கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகள் \({ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }={ r }^{ 2 }\) ...(1) 
\(xy={ c }^{ 2 }\) ...(2)
\(\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) \) என்பது வளைவரைகள் வெட்டும் புள்ளி என்க.
\((1)\Rightarrow { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }={ r }^{ 2 }\) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(2x-2y\cfrac { dy }{ dx } =0\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { x }{ y } \) 
இப்போது,\(\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) }={ m }_{ 1 }=\cfrac { { x }_{ 1 } }{ { y }_{ 1 } } \) 
\((2)\Rightarrow xy={ c }^{ 2 }\) 
'x' 'ஐ'ப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,
\(x\cfrac { dy }{ dx } +y.1=0\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =-\cfrac { y }{ x } \) 
\(\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) }={ m }_{ 2 }=-\cfrac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } } \) 
இப்போது,\({ m }_{ 1 }\times { m }_{ 2 }=\cfrac { { x }_{ 1 } }{ { y }_{ 1 } } x\left( -\cfrac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } } \right) =-1\) 
எனவே,வளைவரைகள் செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்கின்றன.

வளைவரை y=1+x³
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \('m'=\cfrac { dy }{ dx } ={ 3x }^{ 2 }\) 
கொடுக்கப்பட்ட கோடு  x+12y=12
கோட்டின் சாய்வு = \(-\cfrac { 1 }{ 12 } \) 
தொடுகோடு,கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ளதால் தொடுகோட்டின் சாய்வு 12.
\(\therefore \cfrac { dy }{ dx } =12\) 
அதாவது,\(\\ { 3x }^{ 2 }=12\) 
\({ x }^{ 2 }=4\) 
\(x=\pm 2\) 
x=2 எனும்போது \(y=1+8=9\Rightarrow \) (2,9)
x=-2 எனும்போது \(y=1-8=-7\Rightarrow \) (-2,-7)
(2,9) புள்ளியில் சாய்வு 12 ஐக் கொண்ட தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-9=12(x-2)\) 
\(y-9=12x-24\) 
\(12x-y-15=0\) 
புள்ளி (-2,-7)ல் சாய்வு 12ஐக் கொண்ட தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y+7=12(x+2)\) 
\(y+7=12x+24\) 
\(12x-y+17=0\)

\(s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t+1\) ஐ வகையிட, v(t)= 3t²-12t+9 மற்றும் a(t)=6t-12 எனக் கிடைக்கிறது.   
(i) v(t) = 0 எனும் போது துகள் ஓய்வினை அடைகிறது. எனவே , v(t)=3(t-1)(t-3)=0 என்பதன் மூலம், t=1 மற்றும்  t=3 எனக்கிடைக்கிறது.
(ii) v (t) ஆனது குறியினை மாற்றும் போது துகளின் திசை மாறும். இப்பொழுது 
\(0\le t< 1\) எனில் (t −1) மற்றும் (t-3)<0 ஆகையால் v(t)>0 ஆகும்.
1< t < 3 எனில் (t −1) > 0 மற்றும் (t-3)<0 ஆகையால் v(t)<0 ஆகும்.
t > 3 எனில் (t −1) மற்றும் (t-3)>0 ஆகையால் v(t)>0 ஆகும்.
எனவே t =1 மற்றும் t = 3 எனும்போது துகளின் திசை மாறும்.
 (iii) t = 0 நேரத்திலிருந்து t = 2 வரை துகள் பயணிக்கும் மொத்த தூரம்,
\(|s(0)-s(1)|+|s(1)+s(2)|=|1-5|+|5-3|=6\) மீட்டர்கள் ஆகும்.

f(x)=x⁴+2x³-2 என்க . f (x) ஆனது [0,1] -ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், (0,1) -ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் உள்ளது.
இப்பொழுது f'(x)=4x³+6x². f'(x)=0 எனில், 2x²(2x+3)=0
எனவே , \(x=0, -\frac{3}{2}\) ஆனால் \(0, -\frac{3}{2} \notin (0,1)\).
ஆகவே , \(f'(x)>0, \forall x\in (0,1)\).
எனவே , ரோலின் தேற்றத்தின்படி \(a,b \in(0,1)\) என்ற எண்களை f(a)=0=f(b) எனுமாறு காண இயலாது. ஆனால் f(0)=-2<0 மற்றும்  f(1)=1>0 என்பதில் இருந்து  y=f(x) ஆவது இடைநிலை மதிப்பு தேற்றப்படி, 0 மற்றும் 1-க்கு இடையில் ஒரே ஒரு முறை x -அச்சை வெட்டும். எனவே ,  x⁴+2x³-2=0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு (0,1) என்ற இடைவெளியில் ஒரே ஒரு தீர்வுதான் இருக்கும்.
ரோலின் தேற்றத்தின் பயன்பாடாக கீழ்க்கண்டதை நாம் பெறலாம்.

\(y=x \sin x;\left( \cfrac { \pi }{ 2 } ,\cfrac { \pi }{ 2 } \right) \) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dy }{ dx } =x \cos x+ \sin x\) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \('m'=\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ \left( \pi /2,\pi /2 \right) }\) 
= \(\cfrac { \pi }{ 2 } cos\cfrac { \pi }{ 2 } +sin\cfrac { \pi }{ 2 } =1\) 
செங்கோட்டின் சாய்வு \(-\cfrac { 1 }{ m } =-1\) 
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-{ y }_{ 1 }=m(x-{ x }_{ 1 })\) 
\(\Rightarrow y=\cfrac { \pi }{ 2 } =1\left( x-\cfrac { \pi }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow x-y=0\) 
செங்கோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-{ y }_{ 1 }=-\cfrac { 1 }{ m } \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \) 
\(\Rightarrow y-\cfrac { \pi }{ 2 } =-1\left( x-\cfrac { \pi }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow y-\cfrac { \pi }{ 2 } =-x+\cfrac { \pi }{ 2 } \) 
\(\Rightarrow x+y-\pi =0\)