\(f(x)=\frac{x}{x-5}\)
\(f'(x)=\frac{(x-5)(1)-x(1)}{(x-5)^{2}}=-\frac{5}{(x-5)^{2}}\)
எல்லா x \(\in\) R க்கும், f'(x) \(\neq\) 0  மற்றும் x = 5 ஆக இருக்கும் போது f'(x) காண இயலாது.
எனவே அறுதி மதிப்பு கிடையாது. ஆனால், தேக்க நிலை புள்ளிகள் x = 5.
x < 5 அல்லது x > 5 எனும்போது மட்டுமே சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது.
\(\therefore\) இடைவெளிகள்  (-\(\infty\), 5) மற்றும் (5, \(\infty\))
(-\(\infty\), 5) என்ற இடைவெளியில், f'(x) < 0
(5, \(\infty\)) என்ற இடைவெளியில், f'(x) < 0
கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் f'(x) ன் குறி மாறவில்லை. ஆதலால் இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்பு இல்லை.
மற்றும் f(x) என்பது (- \(\infty\), 5) மற்றும் (5, \(\infty\)) ஆகியவற்றில் திட்டமாக இறங்கும் சார்பாகும்.

(x₀ , y₀) என்ற புள்ளியில் இரண்டு வளைவரைகளும் வெட்டிக் கொண்டால் (a-c)x₀²+(b-d)y₀²=0 எனப்பெறலாம்.
வெட்டும் புள்ளி (x₀ , y₀) என்ற புள்ளியில் வளைவரையின் சாய்வுகளைக் காண்போம்:
ax² + by² = 1 என்ற வளைவரைக்கு \(\frac{dy}{dx}= -\frac{ax}{by}\) மற்றும் 
cx² + dy² = 1 என்ற வளைவரைக்கு \(\frac{dy}{dx}= -\frac{cx}{by}\)
(x₀, y₀) என்ற புள்ளியில் இரண்டு வளைவரைகளும் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொண்டால் சாய்வுகளின் பெருக்கல்பலன் −1 ஆகும். ஆகவே , (x₀, y₀) என்ற புள்ளியில் இரண்டு வளைவரைகளும் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொண்டால் 
\((-\frac{ax_{0}}{by_{0}})\times(-\frac{cx_{0}}{dy_{0}})=-1\)
அதாவது, acx₀²+bdy₀²=0,
மேலும் \((a-c)x^{2}_{0}+(b-d)y_{0}^{2}=0\)
என்பதில் இருந்து, \(\frac{a-c}{ac}=\frac{b-d}{bd}\) எனப் பெறலாம்.
எனவே , \(\frac{1}{c}-\frac{1}{a}=\frac{1}{d}-\frac{1}{b}\).
அதாவது,  \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{c}-\frac{1}{d}\).

இப்பொழுது நாம் வெட்டும் புள்ளியைக் காண்போம். சமப்படுத்த x² = (x - 3)² ⇒ x = 3/2  எனப்பெறலாம். எனவே , வெட்டும் புள்ளி (3/2,9/4) ஆகும். θ என்பது இவ்விரு வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் என்க . வெட்டும் புள்ளியிடத்து வளைவரையின் சாய்வுகள் பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகின்றன :

y = x² என்ற வளைவரைக்கு,
\(\frac{dy}{dx}=2x\) ஆகும்.
\(m_{1}=(\frac{dy}{dx})_{(\frac{3}{2},\frac{9}{4})}=3\).
y=(x-3)² என்ற வளைவரைக்கு,
\(\frac{dy}{dx}=2(x-3)\) ஆகும்.
\(m_{1}=(\frac{dy}{dx})_{(\frac{3}{2},\frac{9}{4})}= -3\)
(3)-லிருந்து,
\(\tan \theta=|\frac{3-(-3)}{1-9}|=\frac{3}{4}\) ஆகும்.
ஆகவே , \(\theta\) = \(\tan^{-1}(\frac{3}{4})\).

\(s(t)={ 2t }^{ 3 }-9{ t }^{ 2 }+12t-4\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
\(v=0\Rightarrow 6\left( { t }^{ 2 }-3t+2 \right) =0\Rightarrow t=1,2\) 

முடுக்கம் = \(\cfrac { { d }^{ 2 }s }{ { dt }^{ 2 } } =12t-18\) 
t=1ல்,முடுக்கம்=12(1)-18=-6மீ/வினாடி²
t=2ல்,முடுக்கம்=12(2)-18=6மீ /வினாடி²

(i) \(s(t)={ 2t }^{ 3 }-{ 9t }^{ 2 }+12t-4,t \geq 0\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
துகளின் திசைவேகம் மாறும்போது v=0
\(\therefore { 6t }^{ 2 }-18t+12=0\) 
\({ t }^{ 2 }-3t+2=0\) 
\(\left( t-2 \right) \left( t-1 \right) =0\) 
\(t=1,2\) 
\(\therefore t=1\) வினாடி மற்றும் t=2 வினாடி எனும்போது,துகளின் திசை மாறுகிறது.
(ii) முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் 
\(s(0)=-4\) 
\(s(1)=2\left( 1 \right) ^{ 3 }-9\left( 1 \right) ^{ 2 }+12(1)-4\) 
= 2-9+12-4 = 1
\(s(2)=2(2)^{ 3 }-9\left( 2 \right) ^{ 2 }+12(2)-4\) 
= \(16-36+24-4\)  = 0
\(s(3)=2\left( 3 \right) ^{ 3 }-9\left( 3 \right) ^{ 2 }+12\left( 3 \right) -4\) 
= \(54-81+36-4\)  = 5
\(s(4)=2\left( 4 \right) ^{ 3 }-9\left( 4 \right) ^{ 2 }+12(4)-4\) 
= \(128-144+48-4\)  = 28
முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் 
= \(|s(0)+s(1)|+|s(1)-s(2)|+|s(2)-s(3)|+|s(3)-s(4)|\) 
= \(|-4-1|+|1-0|+|0-5|+|5-28|\) 
= \(|-5|+|1|+|-5|+|-23|\) 
= 5+1+5+23 = 34 மீ .
(iii) \(s(t)={ 2t }^{ 3 }-9{ t }^{ 2 }+12t-4\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
\(v=0\Rightarrow 6\left( { t }^{ 2 }-3t+2 \right) =0\Rightarrow t=1,2\)
முடுக்கம் = \(\cfrac { { d }^{ 2 }s }{ { dt }^{ 2 } } =12t-18\) 
t=1ல், முடுக்கம் = 12(1) - 18 = - 6 மீ/வினாடி²
t=2ல், முடுக்கம் = 12(2) - 18 = 6 மீ /வினாடி²