இங்கு மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B, இங்கு
A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியானது [A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
[A|B]-ல் காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையை பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
[A|B] = \(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 },\\ { R }_{ 4 }\rightarrow { R }_{ 4 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -7 \\ \begin{matrix} -4 \\ -3 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 5 \\ \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ -8 \\ \begin{matrix} 0 \\ -4 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow (-1){ R }_{ 2 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow (-1){ R_{ 3 } },\\ { R }_{ 4 }\rightarrow (-1){ R }_{ 4 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ \begin{matrix} -4 \\ -2 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ 8 \\ \begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix} \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow 7{ R }_{ 3 }-4{ R }_{ 2 }\\ { R }_{ 4 }\rightarrow 7{ R }_{ 4 }-3{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ \begin{matrix} -8 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ 8 \\ \begin{matrix} -32 \\ 4 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-8) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ 8 \\ \begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix} \end{matrix} \right] \\ \overset { R4\rightarrow { R }_{ 4 }-{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ 8 \\ \begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A|B]-ல் மூன்று அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன. எனவே, \(\rho \)([A|B]) = 3.
A-யின் நிரை-ஏறுபடி வடிவமானது \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) இதில் மூன்று அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன.
எனவே, \(\rho \)(A) = 3
எனவே, \(\rho \)(A) = \(\rho \)([A|B]) = 3
ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது x + 2y - z = 3, 7y - 5z = 8, z = 4, 0 = 0.
கடைசி சமன்பாடு 0 = 0 என்பது அர்த்தமுள்ளது. பின்னோக்கிப் பிரதியிடல் முறையில் நமக்குக் கிடைப்பது
z = 4
7y - 20 = 8 ⇒ y = 4,
x = 3 - 8 + 4 ⇒ x = -1
எனவே தீர்வானது (x = -1, y = 4, z = 4).  (இங்கு A-ஆனது சதுர அணியல்ல என்பது குறிப்பிடத்தக்கது)

ஒரு தோசையின் விலை ரூ.x என்க.
ஒரு இட்லியின் விலை ரூ. y என்க.
ஒரு வடையின் விலை ரூ.z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, 
2x+3y+2z=150
2x+2y+4z=200
5x+4y+2z=250
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 2 \end{matrix} \right| \)
\(=2\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \)
=2(4-16)-3(4-20)+2(8-10)
=2(-12)-3(-16)+2(-2)
=-24+48-4=20 ≠ 0 
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 150 & 3 & 2 \\ 200 & 2 & 4 \\ 250 & 4 & 2 \end{matrix} \right| \)
C₃ லிருந்து 50ஐ பொதுவில் எடுக்க கிடைப்பது 
\(=50\left| \begin{matrix} 3 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ 3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \right] \)
= 50[3(4 - 16) - 3(8 - 20) + 2(16 - 10)]
= 50[- 36 + 36 + 12] = 600
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 2 & 150 & 2 \\ 2 & 200 & 4 \\ 5 & 250 & 2 \end{matrix} \right| =50\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 5 & 5 & 1 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 5 \end{matrix} \right| \right] \)
= 50 [2(8-20)-3(4-20)+2(10-20)]
= 50[-24+48-20] = 200
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 150 \\ 2 & 2 & 200 \\ 5 & 4 & 250 \end{matrix} \right| =50\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 5 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ 2\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 5 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \right] \)
=50[2(10-16)-3(10-20)+3(8-10)]
=50[2(-6)-3(-10)+3(-2)]
=50[-12+30-6]=50[12]=600
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 600 }{ 20 } =30\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 200 }{ 20 } =10\)
\(z=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 600 }{ 20 } =30\)
ஆகையால் ஒரு தோசையின் விலை ரூ.30, ஒரு இட்லியின் விலை ரூ. 10 மற்றும் 1 வடையின் விலை ரூ.30.
மேலும் 3 தோசைகள், ஆறு இட்லிகள் மற்றும் 6 வடைகளின் விலை
=3x+6y+6z =3(30)+6(10)+6(30)
=90+60+180=ரூ.330
அக்குடும்பத்தினரிடம் ரூ.350 இருப்பதால் சாப்பிட்ட செலவிற்கான தொகையை அவர்களிடமிருந்த பணத்தைக் கொண்டு செலுத்த முடியும்.

A என்பது செங்குத்து அணி. எனவே, AA^T = A^TA = I₃ எனவே நாம் பெறுவது
AA^T = I₃ ⇒ \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & a \\ b & -2 & 6 \\ 2 & c & 3 \end{matrix} \right] \frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & b & 2 \\ -3 & -2 & c \\ a & 6 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
⇒\(\left[ \begin{matrix} 45+{ a }^{ 2 } & 6b+6+6a & 12-3c+3a \\ 6b+6+6a & { b }^{ 2 }+40 & 2b-2c+18 \\ 12-3c+3a & 2b-2c+18 & { c }^{ 2 }+13 \end{matrix} \right] =49\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
⇒ \(\left\{ \begin{matrix} 45+{ a }^{ 2 }=49 \\ { b }^{ 2 }+40=49 \\ \begin{matrix} { c }^{ 2 }+13=49 \\ 6b+6+6a=0 \\ \begin{matrix} 12-3c+3a=0 \\ 2b-2c+18=0 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} { a }^{ 2 }=4,\quad { b }^{ 2 }=9,\quad { c }^{ 2 }=36 \\ a+b=-1,a-c=-4,b-c=-9 \end{matrix} \right\} \) ⇒m a = 2, b = -3, c = 6
எனவே நமக்குக் கிடைப்பது, A = \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & 2 \\ -3 & -2 & 6 \\ 2 & 6 & 3 \end{matrix} \right] \) மற்றும் A^-1 = A^T = \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & 2 \\ -3 & -2 & 6 \\ 2 & 6 & 3 \end{matrix} \right] \).

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் மீது காஸ்-ஜோர்டான் முறையைப் பயன்படுத்த, நமக்குக் கிடைப்பது,
[A|I₃] =  \(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow \frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 0 & (1/2) & -(1/2) \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ -(3/2) & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \\ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 & -1 & 0 \\ - & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-{ R }_{ 3 }\\ { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 3 & -1 & -1 \\ -4 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே, A^-1 =\(\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & -1 \\ -4 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B
இங்கு A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{matrix} \right] \)
|A| = \(\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{matrix} \right| \) = 2(4+1)-3(-2-3)+3(-1+6) = 10 + 15 + 15 = 40 ≠ 0
எனவே A^-1 காண இயலும் மற்றும்
A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } (adjA)=\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} +(4+1) & -(-2-3) & +(-1+6) \\ -(-6+3) & +(4-9) & -(-2-9) \\ +(3+6) & -(2-3) & +(-4-3) \end{matrix} \right] ^{ T }=\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{matrix} \right] \)
X = A^-1B என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(\left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} 25-12+27 \\ 25+52+3 \\ 25-44-21 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} 40 \\ 80 \\ -40 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
எனவே தீர்வானது (x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = -1)