QB365 provides detailed and simple solution for every book back questions in class 12 Maths subject.It will helps to get more idea about question pattern in every book back questions with solution.

latest Book back Questions

12ஆம் வகுப்பு Maths / கணிதவியல் தமிழ் மீடியம் | மாதிரி வினாத்தாள்கள் | முக்கிய வினாக்கள் | கேள்வி விடை தொகுப்பு | வினாத்தாள்கள் | பொதுத்தேர்வு மாதிரி வினாத்தாள்கள் , Maths / கணிதவியல் பாடத்திற்கான மாதிரி வினாத்தாள்கள், முக்கிய கேள்வி-விடைகள், ஒருமார்க் கேள்விகள், காலாண்டு & பொதுத்தேர்வு கேள்வித் தொகுப்புகள்

Questions:

Generic 5

4 x 5 = 20

ஒரு ராக்கெட்டின் மேல் நோக்கிய வேகம் t நேரத்தில் தோராயமாக v(t) = at²+ bt + c என்றவாறு உள்ளது. இங்கு 0 ≤ t ≤ 100 மற்றும் a, b, c என்பன மாறிலிகள். ராக்கெட்டின் வேகம் t = 3, t = 6 மற்றும் t = 9 வினாடிகளில் முறையே 64, 133, மற்றும் 208 மைல்கள்/வினாடி எனில் t = 15 வினாடியில் அதன் வேகத்தைக் காண்க. (காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையை பயன்படுத்துக).

A B, மற்றும் C என்ற பொருட்களின் விலை ஓர் அலகிற்கு முறையே ரூ. x y, மற்றும் z ஆகும். P என்பவர் B -ல் 4 அலகுகள் வாங்கி, A-ல் 2 அலகையும் C -ல் 5 அலகையும் விற்கிறார். Q என்பவர் C -ல் 2 அலகுகள் வாங்கி A-ல் 3 அலகுகள் மற்றும் B -ல் 1 அலகையும் விற்கிறார். R என்பவர் A-ல் 1 அலகை வாங்கி, B -ல் 3 அலகையும் C அலகில் ஒரு அலகையும் விற்கிறார். இவ்வணிகத்தில் P Q, மற்றும் R முறையே ரூ. 15,000, ரூ. 1,000 மற்றும் ரூ. 4,000 வருமானம் ஈட்டுகின்றனர் எனில் A B, மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க. (நேர்மாறு அணிகாணல் முறையில் இக்கணக்கைத் தீர்க்க.)

A = \(\left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] \) மற்றும் B = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \) எனில் பெருக்கற்பலன் AB மற்றும் BA காண்க. இதன் மூலம் x-y + z = 4, x - 2y - 2z = 9, 2x + y + 3z = 1 என்ற நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைத் தீர்க்கவும்.

A =\(\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \) எனில், A²+ xA + yI₂= O₂ எனுமாறு x மற்றும் y-ஐ காண்க. இதிலிருந்து A^-1 காண்க.

Generic 3

1 x 3 = 3

\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \) என்பது பூச்சியமற்ற அணிக்கோவை அணி எனக்காட்டுக மற்றும் இவ்வணியை தொடக்க நிலை உருமாற்றங்கள் மூலம் அலகு அணியாக மாற்றுக.

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

Generic 5

4 x 5 = 20

v(3) = 64, v(6) = 133 மற்றும் v(9) = 208. ஆதலால் பின்வரும் நேரிய சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம்."
9a + 3b + c = 64,
36a + 6b + c = 133,
81a + 9b + c = 208
மேல் உள்ள நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையில் தீர்க்க உள்ளோம். விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை நிரை-ஏறுபடி வடிவத்திற்கு தொடக்கநிலை நிரை உருமாற்றங்கள் செயல்படுவதன் மூலம் நாம் பெறுவது,
[A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 36 & 6 & 1 \\ 81 & 9 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 133 \\ 208 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-4{ R }_{ 1 },{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-9{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & -6 & -3 \\ 0 & -18 & -8 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ -123 \\ -368 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div (-3),{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-2) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 9 & 4 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 41 \\ 184 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow 2{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 18 & 8 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 41 \\ 368 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-9{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 41 \\ -1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow (-1){ R }_{ 3 }\\ }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 41 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
ஏறுபடி வடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகள்
9a + 3b + c = 64, 2b + c = 41, c = 1
பின்னோக்கிப் பிரதியிடல் மூலம் நமக்குக் கிடைப்பது
c = 1, b = \(\frac { (41-c) }{ 2 } =\frac { (41-1) }{ 2 } \) = 20, a = \(\frac { 64-3b-c }{ 9 } =\frac { 64-60-1 }{ 9 } =\frac { 1 }{ 3 } \).
ஆதலால் v(t) = \(\frac { 1 }{ 3 } \)t²+ 20t + 1
எனவே, v(15) = \(\frac { 1 }{ 3 } \)(225) + 20(15) + 1 = 75 + 300 + 1 = 376 மைல்கள்/வினாடி.

A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலை ரூ. x, ரூ.y மற்றும் ரூ.z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி,
2x-4y+5z = 15000
3x+y-2z = 1000
-x+3y+z = 4000
சமன்பாடுகளின் தொகுப்பின் அணி வடிவம்
\(\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 15000 \\ 1000 \\ 4000 \end{matrix} \right] \)
AX=B \(\Rightarrow X={ A }^{ -1 }B\) இங்கு \(A=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \)
\(B=\left[ \begin{matrix} 15000 \\ 1000 \\ 4000 \end{matrix} \right] \)
மற்றும் \(|A|=\left| \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right| \)
\(=2\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right| +5\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| \)
=2(1+6)+4(3-2)+5(9+1)
=2(7)+4(1)+5(10)=14+4+50=68
A^-1 ஐக் காண இயலும்
\(={ \left[ \begin{matrix} +(1+6) \\ -(-4-15) \\ +(8-5) \end{matrix}\begin{matrix} -(3-2) \\ +(2+5) \\ -(-4-15) \end{matrix}\begin{matrix} +(9+1) \\ -(6-4) \\ +(2+12) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 7 \\ 19 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 7 \\ 19 \end{matrix}\begin{matrix} 10 \\ -2 \\ 14 \end{matrix} \right] }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 10 \end{matrix}\begin{matrix} 19 \\ 7 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 19 \\ 14 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 68 } \left[ \begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 10 \end{matrix}\begin{matrix} 19 \\ 7 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 19 \\ 14 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\frac { 1 }{ 68 } \left[ \begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 10 \end{matrix}\begin{matrix} 19 \\ 7 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 19 \\ 14 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 15000 \\ 1000 \\ 4000 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 68 } \left[ \begin{matrix} 105000 \\ -15000 \\ 150000 \end{matrix}\begin{matrix} +19000 \\ +7000 \\ -2000 \end{matrix}\begin{matrix} +12000 \\ +76000 \\ +56000 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 68 } \left[ \begin{matrix} 136000 \\ 68000 \\ 204000 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2000 \\ 1000 \\ 3000 \end{matrix} \right] \)
∴ ரூ.2000, ரூ.1000, ரூ.3000
A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஒரலகு விலைகள் முறையே ரூ.2000, ரூ.1000, மற்றும் ரூ.3000 ஆகும்.

AB = \(\left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -4+4+8 & 4-8+4 & -4-8+12 \\ -7+1+6 & 7-2+3 & -7-2+9 \\ 5-3-2 & -5+6-1 & 5+6-3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix} \right] \)= 8I₃

மற்றும் BA = \( \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -4+7+5 & 4-1-3 & 4-3-1 \\ -4+14-10 & 4-2+6 & 4-6+2 \\ -8-7+15 & 8+1-9 & 8+3-3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix} \right] \)= 8I₃
எனவே நாம் பெறுவது AB = BA = 8I₃ அதாவது \(\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) B = B\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) \) = I₃ எனவே, B^-1= \(\frac { 1 }{ 8 } \)A.
கொடுத்துள்ள நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை அணி வடிவில் எழுதக் கிடைப்பது.
\(\\ \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] \) அதாவது, B = \(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே, \(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ={ B }^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) \left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} -16+36+4 \\ -28+9+3 \\ 20-27-1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} 24 \\ -16 \\ -8 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
எனவே தீர்வானது (x = 3, y = -2, z = -1)

A²= \(\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 22 & 27 \\ 18 & 31 \end{matrix} \right] \),
A²+ xA + yI₂ = O₂ ⇒ \(\left[ \begin{matrix} 22 & 27 \\ 18 & 31 \end{matrix} \right] +x\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] +y\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \)
⇒ \(\left[ \begin{matrix} 22+4x+y & 27+x \\ 18+2x & 31+5x+y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \)
இதிலிருந்து நமக்குக் கிடைப்பவை 22 + 4x + y = 0, 31 + 5x + y = 0, 27 + 3x = 0 மற்றும் 18 + 2x = 0
எனவே x = −9 மற்றும் y = 14. பின்பு நமக்குக் கிடைப்பது A²-9A+14I₂= O₂
இச்சமன்பாட்டின் இருபுறமும் A^-1 -ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது A-9I₂+ 14A^-1 = O₂
இதிலிருந்து கிடைப்பது
A^-1 = \(\frac { 1 }{ 14 } (9{ I }_{ 2 }-A)=\frac { 1 }{ 14 } \left( 9\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \right) =\frac { 1 }{ 14 } \left[ \begin{matrix} 5 & -3 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right] \)

Generic 3

1 x 3 = 3

A =\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \) என்க. |A| = 3(0+2)-1(2+5)+4(4-0) = 6-7+16 = 15 ≠ 0. எனவே, A ஆனது பூச்சியமற்ற அணிக்கோவை அணியாகும்.
\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow \frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 4 }{ 3 } \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 },{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 4 }{ 3 } \\ 0 & -\frac { 2 }{ 3 } & -\frac { 11 }{ 3 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } & -\frac { 17 }{ 3 } \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow \left( -\frac { 3 }{ 2 } \right) { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 4 }{ 3 } \\ 0 & 1 & \frac { 11 }{ 2 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } & -\frac { 17 }{ 3 } \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-\frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 2 },{ R }_{ 3 }\rightarrow \frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 & \frac { 11 }{ 2 } \\ 0 & 0 & -\frac { 15 }{ 2 } \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow \left( -\frac { 2 }{ 15 } \right) { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 & \frac { 11 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 3 },{ R }_{ 2 }\rightarrow- \frac { 11 }{ 2 } { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)