\(\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ { sin }^{ 6 }2xdx } \) 
\(t=2x\)
\(dt=2dx\) 
\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ 6 }t\cfrac { dt }{ 2 } } \) 
இங்கு n=6 என்பது இரட்டை எண் 
\(\therefore \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ n }xdx } =\cfrac { \left( n-1 \right) }{ n } \times \cfrac { \left( n-3 \right) }{ (n-2) } \times ...\times \cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { \pi }{ 2 } \) 
\(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ 6 }t\cfrac { dt }{ t } } =\cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { 5 }{ 6 } \times \cfrac { 3 }{ 4 } \times \cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { \pi }{ 2 } \) = \(\cfrac { 5\pi }{ 2 } \)

\(I =\int ^{1}_{0} \frac {1-x^2}{(1+x^2)^2} dx\)
\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \cfrac { 1-{ tan }^{ 2 }\theta }{ \left( 1+{ tan }^{ 2 }\theta \right) \left( 1+{ tan }^{ 2 }\theta \right) } } \times { sec }^{ 2 }\theta d\theta \) 
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \cfrac { 1-{ tan }^{ 2 }\theta }{ 1+{ tan }^{ 2 }\theta } } \times \cfrac { { sec }^{ 2 }\theta }{ { sec }^{ 2 }\theta } d\theta \) 
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ cos2\theta d\theta } \) 
= \(\left[ \cfrac { sin2\theta }{ 2 } \right] ^{ \pi /4 }\) 
= \(\cfrac { sin2\left( \pi /4 \right) }{ 2 } -\cfrac { sin(0) }{ 2 } \)  = \(\cfrac { 1 }{ 2 } \)

\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { e }^{ x }\left( \cfrac { 1+sinx }{ 1+cosx } \right) dx } \) 
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { e }^{ x }\left( \cfrac { 1 }{ 1+cosx } +\cfrac { sinx }{ 1+cosx } \right) dx } \) 
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { e }^{ x }\left( \cfrac { 1 }{ 2{ cos }^{ 2 }x/2 } +\cfrac { 2sinx/2cosx/2 }{ 2{ cos }^{ 2 }x/2 } \right) dx } \) 
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { e }^{ x }\left( \cfrac { 1 }{ 2 } { sec }^{ 2 }x/2+tanx/2 \right) dx } \) 
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { e }^{ x }\left( tanx/2+\cfrac { 1 }{ 2 } { sec }^{ 2 }x/2 \right) dx } \) 
= \(\left[ { e }^{ x }tan\cfrac { x }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ \pi /2 }\) 
= \({ e }^{ \pi /2 }tan\pi /4-{ e }^{ 0 }tan0\) 
= \({ e }^{ \pi /2 }\left( 1 \right) -0\) 
\(I={ e }^{ \pi /2 }\)

இங்கு \(a=1,b=1.5,n=5,f(x)={ x }^{ 2 }\) 
எனவே,ஒவ்வொரு பகுதி இடைவெளியில் அகலம் 
\(h=\Delta x=\cfrac { b-a }{ n } =\cfrac { 1.5-1 }{ 5 } =0.1\) 
இடைவெளியின் துண்டுகளைத் தரும் புள்ளிகள் 
\({ x }_{ 1 }=1.1\) 
\({ x }_{ 2 }=1.2\) 
\({ x }_{ 3 }=1.3\) 
\({ x }_{ 4 }=1.4\) 
\({ x }_{ 5 }=1.5\)
சம அளவு \(\Delta x\) கொண்ட ரீமன் கூட்டலுக்கான வலது-முனை விதியானது.
\(S=\left[ f\left( { x }_{ 1 } \right) +f\left( { x }_{ 2 } \right) +...+f\left( { x }_{ n } \right) \right] \Delta x\) 
\(\therefore S=\left[ f\left( (1.1 \right) +f\left( 1.2 \right) +...f\left( { x }_{ n } \right) \right] \Delta x\) 
=\(\left( 1.21+1.44+1.69+1.96+2.25 \right) \times 0.1\) 
= \(8.55\times 0.1\) 
= 0.855

இங்கு f(x) = x , a = 0 மற்றும் b = 1. எனவே
\(\int ^b _a \)  f(x) dx = \({ \underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } }\frac { 1 }{ n } \sum _{ n-1 }^{ n }{ f } \frac { r }{ n } \Rightarrow \ \int _{ 0 }^{ 1 }{ xdx }= { \underset { n\rightarrow \infty }{\lim} }\frac { 1}{ n }\sum _{ n-1 }^{ n }\frac { r }{ n } \)
=  \({ \underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } }\frac { 1 }{ n^2}\)[1+2+^....+n]
=  \({ \underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } }\frac { 1 }{ n^2}\) \(\frac{n(n+1)}{2}\) 
=  \({ \underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } }\frac { 1 }{ 2}\) (1 + \(\frac{1}{n}\)) = \(\frac{1}{2}\)