நீள் வட்டமானது இரு அச்சுக்களை பொருத்து சமச்சீர் ஆகும். x-அச்சானது நெட்டச்சு ஆகும். சுழற்றப்படும் அரங்கத்தின் பரப்பானது படம் -ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. எனவே தேவையான கன அளவானது,

V = π \(\int ^{a}_{-a} y^2 dx\) = π  \(\int ^{a}_{-a} \frac {b^2}{a^2} (a^2 - x^2) dx\)
  = \(\frac {2\pi b^2}{a^2} \int ^{a}_{0} (a^2-x^2) dx\) (∴  தொகைச் சார்பானது இரட்டைப்படைச் சார்பு)
 =  \(\frac {2\pi b^2}{a^2} (a^2x - \frac {x^3}{3})^{a}_{0}\) =  \(\frac {2\pi b^2}{a^2} (a^3 - \frac {a^3}{3})\) = \(\frac {2\pi b^2}{a^2} ( \frac {2a^3}{3}) = \frac {4\pi ab^2}{3}\)
குறிப்பு
\(\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2}\) = 1  என்ற நீள்வட்டத்திற்குள் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை y அச்சைப் பொருத்து சுழற்றினால் உருவாகும் திடப்பொருளின் கன அளவானது  \( \frac {4\pi ab^2}{3}\).  இத்திடப்பொருள் நீள்வட்ட திண்மம் (ellipsoid) என அழைக்கப்படும்.

இங்கு \(f(x)=5x+4,a=0,b=1\) 
எனவே, பெறுவது 
\(\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) } dx=\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \frac { 1 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ f\left( \cfrac { r }{ n } \right) } \) 
\(\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 5x+4 \right) dx=\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } } \cfrac { 1 }{ n } \left[ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left( 5\left( \cfrac { r }{ n } \right) +4 \right) } \right] \) 
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ n } \left( \sum _{ r=1 }^{ n }{ 5\left( { \cfrac { r }{ n } } \right) +\sum _{ r=1 }^{ n }{ 4 } } \right) \) 
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ n } \left( \cfrac { 5 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ r+\sum _{ r=1 }^{ n }{ 4 } } \right) \) 
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ n } \left( \cfrac { 5 }{ n } \times \cfrac { n\left( n+1 \right) }{ 2 } +4n \right) \) 
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ n } \left( \cfrac { 5n+5+8n }{ 2 } \right) \) 
=\(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ n } \left( \cfrac { 13n+5 }{ 2 } \right) \) 
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ n } \times \cfrac { n }{ 2 } \left( 13+\cfrac { 5 }{ n } \right) \) 
= \(\cfrac { 13 }{ 2 } \)

ஒரு தர்பூசணி,நீள்வட்டத் திண்ம வடிவைக் கொண்டுள்ளது.

2a=20
a=10
2b=10
b=5
நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 100 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 25 } =1\) 
\(\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 25 } =1-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 100 } \) 
= \(\cfrac { 100-{ x }^{ 2 } }{ 100 } \) 
= \({ y }^{ 2 }=\cfrac { 25 }{ 100 } \left( 100-{ x }^{ 2 } \right) \) 
= \(2\pi \int _{ 0 }^{ 10 }{ { y }^{ 2 }dx } \) 
= \(\cfrac { 2\pi }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 10 }{ { y }^{ 2 }dx } \) 
= \(\cfrac { 2\pi }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 10 }{ \left( 100-{ x }^{ 2 } \right) dx } \) 
= \(\cfrac { 2\pi }{ 4 } \left[ 100x-\cfrac { { x }^{ 3 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 10 }\) 
= \(\cfrac { 2\pi }{ 4 } \times \cfrac { 2000 }{ 3 } \) 
= \(\cfrac { 2\pi }{ 4 } \times \cfrac { 2000 }{ 3 } \) 
ஃ தர்பூசணியின் கன அளவு  \(\cfrac { 1000\pi }{ 3 } \) கன அலகுகள் 

தேவையான அரங்கத்தின் பரப்பு படம் -  ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. அரங்கத்தின் மேல் எல்லை  y = sin x , \(\frac {\pi}{4}\)  ≤ x  ≤  \(\frac {5\pi}{4}\) மற்றும் அரங்கத்தின் கீழ் எல்லை y = cos x,\(\frac {\pi}{4}\) ≤ x  ≤\(\frac {5\pi}{4}\).  தேவையான பரப்பு.

A = \(\int ^\frac {5}{4}_\frac{\pi}{4} (y_U - y_L) dx\) =  \(\int ^\frac {5}{4}_\frac{\pi}{4} (sin x- cos x)dx\) = [-cos  x - sin x\(]^\frac{5​​\pi}{4}_\frac{\pi}{4}\)
=  \((-sin \frac {5\pi}{4} - cos \frac{5\pi}{4})\) - \((-sin \frac {\pi}{4} - cos \frac{\pi}{4})\)
= \((-(\frac {1}{\sqrt 2}) - (\frac {1}{\sqrt 2}))\)  \(-(-\frac {1}{\sqrt 2}) - (\frac {1}{\sqrt 2}))\)
= \(\frac {2}{\sqrt 2} + \frac {2}{\sqrt 2} = 2 \sqrt 2\).

u = tan \(\frac{x}{2}\)  என்க.
sin x = \(\frac{2 tan \frac {x}{2}}{1 + tan^2 \frac{x}{2}}\) = \(\frac{2u}{1+u^2}\), du = \(\frac{1}{2}\) sec² \(\frac{x}{2}\) dx  \(\Rightarrow \) dx = \(\frac {2du}{1+u^2}\)
x = 0 எனில் u = tan 0 = 0  மற்றும் x = \(\frac{\pi}{2}\) எனில் u = tan \(\frac{\pi}{4}\) = 1
∴ I = \(\int ^\frac{\pi}{2}_0\) \(\frac{dx}{4+5 sin x}\) =  \(\int ^{1}_0\) \(\frac{\frac {2du}{1+u^2}}{4+5 (\frac{2u}{1+u^2})}\) =  \(\int ^{1}_0\) \(\frac {du}{2u^2+5u +2}\)= \(\frac{1}{2}\) \(\int ^{1}_{0}\) \(\frac {du}{u^2+\frac{5}{2}u +1}\)
= \(\frac{1}{2}\) \(\int ^{1}_{0}\) \(\frac {du}{(u +\frac{5}{4}) - (\frac{3}{4})^2} \) = \([ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2 \times \frac{3}{4}} \log\)\((\frac{(u+\frac{5}{4})-\frac{3}{4}}{(u +\frac{5}{4}) + \frac{3}{4}})]^1_0\) = \(\frac{1}{3}[ \log (\frac{u+\frac{1}{2}}{u+2})]^1_0\)
= \(\frac {1}{3} \log 2\).