A(6,7,5) மற்றும் (8,10,6) B என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் நேர்க்கோடு \(\vec { b } =\overline { AB } =\overline { OB } -\overline { OA } =2\hat { i } +3\hat { j } +\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாக அமையும் மேலும் (10,2,-5) மற்றும் D(8,3,-4) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் நேர்க்கோடு \(\vec { d } =\overline { CD } =-2\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாக இருக்கும். எனவே, இவ்விரு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணமானது \(\vec { b } \) மற்றும் \(\bar { d } \)ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்திற்குச் சமமாகும்.
\(\vec { b } .\bar { d } =(2\hat { i } +3\hat { j } +\hat { k } ).(-2\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \) = 0 என்பதால்,  \( \vec { b } ,\vec { d } \) என்ற வெக்டர்கள் செங்குத்தானவையாகும். எனவே, இரு நேர்க்கோடுகளும் செங்குத்தானவையாகும்.
மாற்று முறை
A(6, 7, 5) மற்றும் B(8, 10, 6) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் திசை விகிதங்கள் (b₁, b₂, b₃ ) = (2, 3, 1) ஆகும். மேலும், C(10, 2, −5) மற்றும் D(8, 3, −4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் திசை விகிதங்கள் (d₁, d₂, d₃ ) = (−2, 1, 1) ஆகும்.
b₁ d₁ + b₂ d₂ + b₃ d₃  = (2)(−2) + (3)(1) + (1)(1) = 0 என்பதால், இவ்விரு கோடுகளும் செங்குத்தானவையாகும்.

இணைகரத்தின் கனஅளவு = \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \) 
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =90\) 
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} 7 & \lambda & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -3 & 7 & 5 \end{matrix} \right| =90\) 
\(\Rightarrow 7\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right| -\lambda \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 7 \end{matrix} \right| =90\) 

\(\Rightarrow 7(10+7)-\lambda \left( 5-3 \right) -3\left( 7+6 \right) =90\) 
\(\Rightarrow 7(17)-\lambda \left( 2 \right) -3\left( 13 \right) =90\) 
\(\Rightarrow 119-2\gamma -39=90\) 
\(\Rightarrow 119-39-90=2\lambda \) 
\(\Rightarrow -10=2\lambda \) 
\(\Rightarrow \lambda =-5\)

\(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ,\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { c } =-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
\((\vec { a } \times \vec { b } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \)
= \(\\ \hat { i } (6+5)-\hat { j } (4+3)+\hat { k } (10-9)=11\hat { i } -7\hat { j } +\hat { k } \)
∴ LHS = \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \)
= \(\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| =\hat { i } \left| \begin{matrix} -7 & 1 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 11 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 11 & -7 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-21+2)+\hat { j } (33+1)+\hat { k } (-22-7)\)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \) ..............(1)
RHS :
\(\vec { a } .\vec { i } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -2-6-3 = -11
\(\vec { b } .\vec { c } =(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -3-10+6 = -7
∴ RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
= \(-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )+7(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )\)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } +14\hat { i } +21\hat { j } -7\hat { k } \)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \)  .......... (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து LHS = RHS
எனவே \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } =(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
(ii) \(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (15+4)-\hat { j } (9+2)+\hat { k } (-6+5)\)
= \(19\hat { i } -11\hat { j } -\hat { k } \)
∴ \(\vec { a } (\vec { b } \times \vec { c } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 19 & -11 & -1 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ -11 & -1 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 19 & -1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 19 & -11 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-3-11)-\hat { j } (-2+19)+\hat { k } (-22-57)\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) ......(1)
RHS : 
\(\vec { a } .\vec { c } =-11\Rightarrow (\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } =-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= -\(33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { b } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= 6+15-2 = 19
\((\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } =19(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )=-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } \)
RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } -(-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } )\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) .......(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து LHS = RHS
∴ \(\vec { a } \times (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)

கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு 
\(\vec { r } .\left( 6\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) =8\) 
\(\therefore { \vec { n } }_{ 1 }=6\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \) 
\(\vec { r } =\left( 2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \right) +t\left( \hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \right) \) மற்றும் அந்த கோடு 
\(\therefore \vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \) 
தளம் மற்றும் கோட்டிற்கும் இடையேயான கோணம் 
\(sin\theta =\cfrac { \left| \vec { b } .\vec { n } \right| }{ \left| \vec { b } \right| \left| \vec { n } \right| } =\cfrac { \left| 6(1)+3(2)+2(-2) \right| }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+(-2)^{ 2 }.\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } } } \)
= \(\cfrac { 6+6-4 }{ \sqrt { 9 } .\sqrt { 36+9+4 } } =\cfrac { 8 }{ \sqrt { 9 } .\sqrt { 49 } } =\cfrac { 8 }{ 3(7) } =\cfrac { 8 }{ 21 } \) 
\(\therefore \theta { \sin }^{ -1 }\left( \cfrac { 8 }{ 21 } \right) \)

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் நிலை வெக்டர் \(\vec { a } =4\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { n } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி வழியாகச் செல்வதும், தளத்திற்குச் செங்குத்தான வெக்டரைக் கொண்டதுமான தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாடு \((\vec { r } -\vec { a } ).\vec { n } =0\) அல்லது \(\vec { r } .\vec { n } =\vec { a } .\vec { n } \).
எனவே, தேவையான தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாடு காண இச்சமன்பாட்டில் 
\(\vec { a } =4\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { n } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \) எனப்பிரதியிட, நாம் பெறுவது 
\(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=(4 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \Rightarrow \vec{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=3\)
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \) எனப்பிரதியிடக் கிடைப்பது 2x - y + z = 3 ஆகும். இதுவே தேவையான தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாடாகும்.