சாய்சதுரம் ABCD-ல்,
AB = BC = DC = AD .......(1)
மேலும், AB || DC,
\( \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=\vec{a}\) (என்க)
BC || AD,
\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}=\vec{b}\) (என்க)
(1)ஐப் பயன்படுத்த, நமக்கு கிடைப்பது
\(|\vec{a}|=|\vec{b}|\)                ...... (2)
\(\triangle \mathrm{ABC}\) - ல்,
\(\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\vec{a}+\vec{b} \)    ....(3)
\(\triangle A B D\) - ல்,
\( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D} \Rightarrow \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}=\bar{b}-\vec{a} \\ \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D} =(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{b}-\vec{a}) \\ =(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\vec{b}-\vec{a}) \\ =|\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2=0(\because|\vec{a}|=|\vec{b}|) \\ \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D} =0 \Rightarrow \overrightarrow{A C} \perp \overrightarrow{B D} \)
எனவே நிறுவப்பட்டது.

இருசமபக்க முக்கோணம் ABC-ல், AB = AC, D என்பது BC ன் நடுப்புள்ளி என்க. AD ஐ இணைக்க.
ஆதி A எனக் கருதுக.
B-ன் நிலைவெக்டர் = \(\overrightarrow{A B}=\vec{b}\) (என்க)
C -ன் நிலைவெக்டர் = \(\overrightarrow{A C}=\vec{c}\)(என்க)
D-ன் நிலைவெக்டர் = \(\overrightarrow{A D}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\)
(\(\because\)D என்பது BC ன் நடுப்புள்ளி)
\( \triangle \mathrm{ABC}, \) - \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}\)
\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\vec{c}-\vec{b}\)
\(\therefore \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}=\left(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\right) \cdot(\vec{c}-\vec{b})\)
\( \\ =\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{b}) \cdot(\vec{c}-\vec{b})\)
\(=\frac{1}{2}\left[|\vec{c}|^2-|\vec{b}|^2\right]=\frac{1}{2}(0)\)
\( \\ \{\because|\vec{c}|=|\vec{b}|\} \)
\(\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \Rightarrow \overrightarrow{A D} \perp \overrightarrow{B C}\)
எனவே நிறுவப்பட்டது.

நாற்கரம் ABCD யின் வெக்டர் பரப்பு  = \(\Delta ABC\) யின் வெக்டர் பரப்பு +\(\Delta ACD\) யின் வெக்டர் பரப்பு 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \vec { AB } \times \vec { AC } \right) +\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \vec { AC } \times \vec { AD } \right) \) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \vec { AC } \times \vec { AB } \right) +\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \vec { AC } \times \vec { AD } \right) \) 
\(\left[ \therefore \vec { b } \times \vec { a } =-\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \right] \) [ \(\Delta \)கூட்டல் விதியின் படி]
நாற்கரம் ABCD யின் பரப்பு 
= \(\left[ \because \vec { AB } =-\vec { BA } \right] \) 
 \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left| \vec { AC } \times \vec { BD } \right| \) 
எனவே, நிறுவப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a }\)= \(\hat { i }\)+2\(\hat { j }\)+3\(\hat { k }\), \(\vec { b }\)= 2\(\hat { i }\)-\(\hat { j }\)+\(\hat { k }\), \(\vec { c }\)= 3\(\hat { i }\)+2\(\hat { j }\)+\(\hat { k }\) 
\(\vec { a } .\vec { c } =\left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) ,\left( 3\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \right) \) 
 = 3 + 4 + 3 = 10
\(\vec { a } .\vec { b } =\left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) .\left( 2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \right) =2-2+3=3\) 
\(\therefore \left( \vec { a } .\vec { c } \right) \vec { b } -\left( \vec { a } .\vec { b } \right) \vec { c } =10\vec { b } -3\vec { c } \) 
\(\Rightarrow \vec { a } \times \left( \vec { a } \times \vec { c } \right) =10\vec { b } -3\vec { c } \) 
\(\left[ \vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\left( \vec { a } .\vec { c } \right) \vec { b } -\left( \vec { a } .\vec { b } \right) \vec { c } \right] \) 
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =l\vec { a } +m\vec { b } +n\vec { c } \)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து \(10\vec { b } -3\vec { c } =l\vec { a } +m\vec { b } +n\vec { c } \) 
ஒத்த உறுப்புகளை ஒப்பிட கிடைப்பது l = 0, m = 10 மற்றும் n = -3

\(\Delta ABC\) -ல், G என்பது நடுக்கோட்டு மையம்.
GA, GB, GC ஐ இணைக்க.
AG ஆனது BC ஐ சந்திக்கும் புள்ளி D.
\(\Rightarrow\) AD என்பது நடுக்கோடு மற்றும் D என்பது BC-ன் நடுப்புள்ளி.
G ஐ மையமாகக் கருதுக.
\(\overrightarrow{G A}, \overrightarrow{G B}, \overrightarrow{G C}, \overrightarrow{G D}\) என்பன A, B, C, D ஆகிய புள்ளிகளின் நிலைவெக்டர்களாகும்.
\(\overrightarrow{G A}=\vec{a} ; \overrightarrow{G B}=\vec{b} ; \overrightarrow{G C}=\vec{c}\) என்க.
\(\overrightarrow{G D}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})\)                                            ........(1)
(\(\because\) D என்பது BC -ன் நடுப்புள்ளி)
நடுக்கோட்டு மையம் G ஆனது AD என்ற நடுக்கோட்டை 2:1 விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
\( |\overrightarrow{G A}|=2|\overrightarrow{G D}| \\ \overrightarrow{G A}=-2 \overrightarrow{G D} \)
(\(\because \overrightarrow{G A} \& \overrightarrow{G D}\)ஆகியவை எதிரெதிர் திசையைக் கொண்டவை)
\(\vec{a}=-2 \overrightarrow{G D} \Rightarrow \overrightarrow{G D}=-\frac{1}{2} \vec{a}\)                     .......(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})=-\frac{1}{2} \vec{a}\)
\(ie)  \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0} \)                                  .......(3)
\(\vec{a} \times \vec{b}   =\vec{a} \times(-\vec{a}-\vec{c}) \)      ((3) லிருந்து)
 \(=-\vec{a} \times \vec{a}-\vec{a} \times \vec{c}=0+\vec{c} \times \vec{a} \)
\(\vec{a} \times \vec{b}  =\vec{c} \times \vec{a}\)                                               .......(4)
\(\vec{b} \times \vec{c}  =\vec{b} \times(-\vec{a}-\vec{b}) \)
\( =-\vec{b} \times \vec{a}-\vec{b} \times \vec{b}=\vec{a} \times \vec{b}-0=\vec{a} \times \vec{b}\).......(5)
(4) மற்றும் (5) லிருந்து
\( \vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}\)                          .......(6) 
\(\Delta GAB\) ன் பரப்பு = வெக்டர் பரப்பு \(\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|\)
\(\Delta GBC\) ன் பரப்பு = வெக்டர் பரப்பு \(\frac{1}{2}|\vec{b} \times \vec{c}|\)
\(\Delta GCA\) ன் பரப்பு = வெக்டர் பரப்பு \(\frac{1}{2}|\vec{c} \times \vec{a}|\)
(6) ஐ பயன்படுத்த கிடைப்பது,
\(\Delta GAB\) ன் பரப்பு = \(\Delta GBC\) ன் பரப்பு
= \(\Delta GCA\) ன் பரப்பு
மேலும்,
\(\Delta ABC\) ன் பரப்பு = \(\Delta GAB\) ன் பரப்பு +\(\Delta GBC\) ன் பரப்பு + \(\Delta GCA\) ன் பரப்பு
\(\therefore\) நமக்கு கிடைப்பது,
\(\Delta GAB\) ன் பரப்பு = \(\Delta GBC\) ன் பரப்பு
 \(\Delta GCA\) ன் பரப்பு = \(\cfrac { 1 }{ 3 } \Delta ABC\) ன் பரப்பு