LHS = \(\left[ \vec { a } -\vec { b } ,\quad \vec { b } -\vec { c } ,\quad \vec { c } -\vec { a } \right] =0\)
[\(\therefore\) குறுக்குப் பெருக்கல் பங்கீட்டுடையது ]
= \(\left( \vec { a } -\vec { b } \right) .\left[ \left( \vec { b } -\vec { v } \right) \times \left( \vec { c } -\vec { a } \right) \right] \)
= \(\left( \vec { a } -\vec { b } \right) .\left[ \vec { b } \times \vec { c } -\vec { b } \times \vec { a } -\vec { c } \times \vec { c } +\vec { c } \times \vec { a } \right] \) 
= \(\left( \vec { a } -\vec { b } \right) .\left[ \vec { b } \times \vec { c } -\vec { b } \times \vec { a } -0+\vec { c } \times \vec { a } \right] \)
\(\left[ \because \vec { c } \times \vec { c } =0 \right] \)
= \(\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] -\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { a } \right] +\left[ \vec { a } \vec { c } \vec { a } \right] -\left[ \vec { b } \vec { b } \vec { c } \right] +\left[ \vec { b } \vec { b } \vec { a } \right] -\left[ \vec { b } \vec { c } \vec { a } \right] \)
= \(\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] -0+0-0+0-\left[ \vec { b } \vec { c } \vec { a } \right] \) 
= \(\left[ \because \left[ \vec { a } \vec { b } \vec { a } \right] =\left[ \vec { b } \vec { b } \vec { c } \right] =0 \right] \)
= \(\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] -\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] \)
= 0 = RHS.எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A D}=\vec{b}\)
இணைகரத்தின் வெக்டர் பரப்பு \(\vec{a} \times \vec{b}\)
இணைகரம் ABB'A' என்பதைக் கருதுக.
\(\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}=m \vec{a}\)
ஏனெனில் \(\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}\) என்பது \(\overrightarrow{A B}\)-க்கு இணை
முக்கோணம் ADA' ஐக் கருதுக.
வெக்டர் விதிப்படி,\(A A^{\prime}=m \vec{a}+\vec{b}\)
எனவே இணைகரத்தின் வெக்டர் பரப்பு
\( A B B^{\prime} A^{\prime} =\vec{a} \times(m \vec{a}+\vec{b}) \\ =m(\vec{a} \times \vec{a})+(\vec{a} \times \vec{b}) \\ =\overrightarrow{0}+(\vec{a} \times \vec{b}) \\ =\vec{a} \times \vec{b} \quad ....(2) \)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
ABCD-ன் பரப்பு = ABB'A' ன் பரப்பு எனவே, நிறுவப்பட்டது

ABCD என்பது ஒரு இணைகரம் மற்றும் அதன் பக்கங்கள் \(\overrightarrow{A B}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{A D}=\vec{b}\) மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் \(\overrightarrow{A C}\) மற்றும் \(\overrightarrow{B D}\)
\( \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\vec{a}+\vec{b} \\ \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}=\vec{b}-\vec{a} \)
மூலைவிட்டங்கள் சமம் என்பதால்....
\(|\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{B D}|\)
\( |\vec{a}+\vec{b}| =|\vec{b}-\vec{a}| \\ (\vec{a}+\vec{b})^2 =(\vec{b}-\vec{a})^2 \\ \vec{a}^2+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^2 =\vec{b}^2-2 \vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{a}^2 \\ 4 \vec{a} \cdot \vec{b} =0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \)
\(​​​​​​​\vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \angle A=90^{\circ}\) என்பதால்,
ABCD என்பது ஒரு செவ்வகம்.

AB-ன் திசை விகிதங்கள் 
(6,-7,0,-2,3-1) = (-1, -2, 2) [\(\because\) (x₂-x₁), (y₂-y₁), (z₂-z₁)]
மேலும் BC ன் திசை விகிதங்கள் 
(4-6, 2-0, 4-3) = (-2, 2, 1)
திசை விகிதங்களின் பெருக்கல் பலன் 
(-1)(-2)+(-2)(2)+291)
= 2-4+2
[\(\therefore\) இரண்டு கோடுகள் \(\bot \) எனில் திசை விகிதங்கள் d₁b₁+d₂b₂+d₃+b₃ = 0]
= 4-4 = 0
எனவே \(AB\bot BC\) 
\(\angle ABC=\cfrac { \pi }{ 2 } \)

கொடுக்கப்பட்ட  \(\vec { a } \vec { b } \vec { c } \) மற்றும் \(\vec { d } \) ஒரு தள வெக்டர்கள்
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { d } \right] \vec { c } -\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] \vec { d } \) 
\(\vec { a } ,\vec { b }, \vec { c } \) மற்றும் \(\vec { d } \) ஒரு தள வெக்டர்கள்  \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) ஒரு தள வெக்டர் அல்லது \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { d } \) யும் ஒரு தள வெக்டர்
\(\therefore \left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] =0\)  [\(\therefore\) அவைகள் ஒரு தள வெக்டர்]
மேலும் \(\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { d } \right] \) [\(\therefore\) அவைகள் ஒரு தள வெக்டர்]
இந்த மதிப்புகளை (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =0\left( \vec { c } \right) -0\left( \vec { d } \right) =\vec { 0 } \)
\(\therefore \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\vec { 0 } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.