தேவையான நேர்க்கோடு (-5, 7, -4) மற்றும் (13, -5, 2) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்கிறது. எனவே, இப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் திசை விகிதங்கள் 18, -12, 6 ஆகும். அதாவது 3, -2, 1 ஆகும்.
ஆதலால், தேவையான நேர்க்கோடு \(3\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாக இருக்கும். எனவே,
தேவையான நேர்க்கோட்டின் துணையலகு வடிவ வெக்டர் சமன்பாடு
\(\vec { r } =(-5\hat { i } +7\hat { j } -4\hat { k } )+t(3\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } )\)அல்லது \(\vec { r } =(13\hat { i } -5\hat { j } +2\hat { k } )+s(3\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } )\) இங்கு s,t \(\in R\) ஆகும்.
தேவையான கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடுகள் \(\frac { x+5 }{ 3 } =\frac { y-7 }{ -2 } =\frac { z+4 }{ 1 } \) அல்லது \(\frac { x-13 }{ 3 } =\frac { y+5 }{ -2 } =\frac { z-2 }{ 1 } \) ஆகும்.
இந்நேர்க்கோட்டில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியின் அமைப்பு
(3t-5, -2t+7, t-4) அல்லது (3s+13, -2s-5, s+2)
நேர்க்கோடு xy-தளத்தை சந்திப்பதால், வெட்டும் புள்ளியின் z -அச்சுத் தொலைவு பூச்சியமாகும். எனவே, t−4 = 0, அதாவது, t = 4 ஆகும். ஆகையால், நேர்க்கோடு xy-தளத்தை வெட்டும் புள்ளி (7, -1, 0) ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு x + 2y + 3z = 2
(4, 3, 2) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் நீளம் 
\(d=\cfrac { 4+2(3)+3(2) }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } } =\cfrac { 4+6+6 }{ \sqrt { 14 } } \) 
= \(\cfrac { 14 }{ \sqrt { 14 } } =\cfrac { \sqrt { 14 } .\sqrt { 14 } }{ \sqrt { 14 } } =\sqrt { 14 } \) 
தளம் x + 2y + 3z = 2 யில் (4, 3, 2) க்கான பிம்பம் காண்போம்.
இங்கு \(\vec { u } =4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \), \(\vec { n } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \) மற்றும் p = 38 
பிறகு பிம்பம் \(\vec { v } =\vec { u } +\cfrac { 2\left[ p-\left( \vec { u } .\vec { n } \right) \right] }{ \left| \vec { n } \right| ^{ 2 } } \vec { n } \) 
\(\vec { v } =\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2\left[ 2-\left( 4+6+6 \right) \right] }{ \left( \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \right) } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2(2-16) }{ 14 } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2(-14) }{ 14 } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) -2\left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } -2\hat { i } -4\hat { j } -6\hat { k } =2\hat { i } -\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\therefore\) (4, 3, 2) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் அடிப்பகுதி 
\(=\cfrac { \left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\left( 2\hat { i } -\hat { j } -4\hat { k } \right) }{ 2 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { 6\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } }{ 2 } =3\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \)
எனவே செங்குத்தின் அடிப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவு (3, 1, -1)

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் 
\(\frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y+1 }{ \lambda } =\frac { z }{ 2 } \) மற்றும் \(\frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y+1 }{ \lambda } =\frac { z }{\lambda } \)
\(\therefore \vec { a } =\hat { i } -\hat { j } ,\vec { b } =2\hat { i } +\lambda \hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { c } =-\hat { i } -\hat { j } ,\vec { d } =2\hat { i } +\lambda \hat { 2j } +\lambda \hat { k } \)\
\(\left( \vec { c } -\vec { a } \right) =-2\hat { l } \)
மற்றும் \(\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & \lambda & 2 \\ 5 & 2 & \lambda \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left( { \lambda }^{ 2 }-4 \right) -\hat { j } \left( 2\lambda -10 \right) +\hat { k } \left( 4-5\lambda \right) \)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன 
ஆதலால் \(\left( \vec { c } .\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =0\)
\(\Rightarrow \left( -2\vec { i } \right) .\left[ \left( { \gamma }^{ 2 }-4 \right) \hat { i } -\hat { j\left( 2\lambda -10 \right) } +\hat { k } \left( 4-5\lambda \right) \right] =0\)
\(\Rightarrow -2l\left( { l }^{ 2 }4 \right) =0\)
\(\Rightarrow { \lambda }^{ 2 }=4\)
\(\Rightarrow \lambda =\pm \sqrt { 4 } =\pm 2\)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளை கொண்டிருக்கும் தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 2 } & y-{ y }_{ 2 } & z-{ z }_{ 2 } \\ { b }_{ 1 } & { b }_{ 2 } & { b }_{ 3 } \\ { d }_{ 1 } & { d }_{ 2 } & { d }_{ 3 } \end{matrix} \right| \)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x+1 & y-{ 1 } & z \\ 2 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & 2 \end{matrix} \right| =0\)
\( (x-1)(0)-(y+1)(-14)+z(4+10)=0 \\ 14(y+1)+14 z=0 \\ 14 y+14+14 z=0 \\ y+z+1=0 \)
என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளை கொண்டிருக்கும் தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு .

தளமானது \(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } \) 
புள்ளி வழிச் செல்கிறது மற்றும் கோடுகள் \(\cfrac { x-1 }{ 2 } =\cfrac { y+1 }{ 3 } =\cfrac { z-3 }{ 1 } \) 
மற்றும் \(\cfrac { x+3 }{ 2 } \) = \(\cfrac { y-3 }{ -5 } =\cfrac { z+1 }{ -3 } \) 
\(\Rightarrow \vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } +\hat { k } \)  மற்றும் \(\vec { c } =2\hat { i } -5\hat { j } -3\hat { k } \) 
\(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & -5 & -3 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( -9+5 \right) -\hat { j } \left( -6-2 \right) +\hat { k } \left( 10-6 \right) \) 
= \(-4\hat { i } +8\hat { j } -16\hat { k } \)
தளத்தின் துணையலகு இல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு 
 \(\left( \vec { r } .\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =0\) 
\(\left( \vec { r } -2\hat { i } +3\hat { j } +16\hat { k } \right) .\left( -4\hat { i } +8\hat { j } -16\hat { k } \right) =0\) 
 \(\Rightarrow \left[ \vec { r } (-4\hat { \quad i } +8\hat { j } -16\hat { k } ) \right] -(-4\hat { i } +8\hat { j } -16\hat { k } )]=0\)
\(\Rightarrow \left[ \vec { r } (-4\hat { \quad i } +8\hat { j } -16\hat { k } ) \right] -\left( -8+24-96 \right) =0\)
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( -4\hat { i } +8\hat { j } -16\hat { k } \right) =-80\) 
\(\div -4\) , கிடைப்பது
\(\vec { r } .\left( \hat { i } -2\hat { j } +4\hat { k } \right) =20\)
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \) என்க.
\(\Rightarrow \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) .\left( \hat { i } -2\hat { j } +4\hat { k } \right) =20\) 
\(\Rightarrow x-2y+4z=20\Rightarrow x-2y+4z-20=0\)

(x₁,y₁,z₁),(6,7,4) மற்றும் (x₂,y₂,z₂),(8,4,9) என்க.
இரண்டு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\cfrac { x-{ { x }_{ 1 } } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x-6 }{ 8-6 } =\cfrac { y-7 }{ 4-7 } =\cfrac { z-4 }{ 9-4 } \)
\(\Rightarrow \cfrac { x-6 }{ 2 } =\cfrac { y-7 }{ -3 } =\cfrac { z-4 }{ 5 } =s\)     ...(1) 
\(\cfrac { y-7 }{ -3 } =s\Rightarrow y-7=-3s\Rightarrow y=-3s+7\) 
\(\cfrac { z-4 }{ 5 } =s\Rightarrow z-4=5s\Rightarrow z=5s+4\) 
\(\therefore\)  கூட்டின் மீதுள்ள புள்ளி (2s+6,-3s+7,5s+4)..(2)
(1) மற்றும் xz தளத்தின் வெட்டுப்புள்ளி காண, y=0,என (2) ல் பிரதியிடு
 \(\therefore -3s+7=0\Rightarrow -3s=-7\Rightarrow s=\cfrac { 7 }{ 3 } \) 
\(s=\cfrac { 7 }{ 3 } \) என(2) ல் பிரதியிட வெட்டுப்புள்ளியானது
\(\left( 2\left( \cfrac { 7 }{ 3 } \right) +6,0,5\left( \cfrac { 7 }{ 3 } \right) +4 \right) \) 
\(\Rightarrow \left( \cfrac { 14 }{ 3 } +6,0,\cfrac { 35 }{ 3 } +4 \right) \) 
\(\Rightarrow \left( \cfrac { 14+18 }{ 3 } ,0,\cfrac { 35+12 }{ 3 } \right) \Rightarrow \left( \cfrac { 32 }{ 3 } ,0,\cfrac { 47 }{ 3 } \right) \)
(1) மற்றும் yz தளத்தின் வெட்டுப்புள்ளி காண,x=0 என (2) ல் பிரதியிடு
\(\therefore 2s+6=0\) 
\(\Rightarrow 2x=-6\) 
\(\Rightarrow s=-3\) 
\(\therefore (2)\rightarrow (2(-3)+6,(-3)+7,5(-3)+4)\)
= (0,16,-11)