ஒரு நாற்கரம் ஒரு சதுரம் எனில், பின்னர் இது ஒரு செவ்வகமாகும்.
மறுதலை: ஒரு நாற்கரமானது ஒரு செவ்வகம் எனில் பின்னர் அது ஒரு சதுரமாகும்.
எதிர்மறை: ஒரு நாற்கரமானது ஒரு சதுரம் அல்ல எனில் பின்னர் அது ஒரு செவ்வகம் அல்ல.
நேர்மாறு: ஒரு நாற்கரமானது ஒரு செவ்வகம் அல்ல எனில் பின்னர் அது ஒரு சதுரம் அல்ல.

முதலில் \(v_{ x },{ v }_{ y }\) ஆகியவற்றைக் காணலாம்.
இப்போது\({ v }_{ x }=\cfrac { \partial v }{ \partial x } =2x-y\)
 \({ v }_{ x }=\cfrac { \partial v }{ \partial y } =-x+\cfrac { 1 }{ 2 } y\) 
வகையீடு 
\(dv={ v }_{ x }dx+{ v }_{ y }dy\) 
\(dv=\left( 2x-y \right) dx+\left( \cfrac { 1 }{ 2 } y-x \right) dy\)

\(L\left( x,y,z \right) =w\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) +\cfrac { \partial w }{ \partial x } { | }_{ { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } }\left( x-{ x }_{ 0 } \right) +\cfrac { \partial w }{ \partial y } { | }_{ { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } }\left( y-{ y }_{ 0 } \right) \) 
\(w\left( 1,-1 \right) =1+3+2=6\) 
\(\cfrac { \partial w }{ \partial x } ={ 3x }^{ 2 }-3y;\cfrac { \partial w }{ \partial y } =-3x+4y\) 
\(\cfrac { \partial w }{ \partial x } { | }_{ \left( 1,-1 \right) }=3+3=6;\cfrac { \partial w }{ \partial y } { | }_{ \left( 1,-1 \right) }=-3-4=-7\) 
\(\therefore L\left( x,y,z \right) =6+6\left( x-1 \right) -7\left( y+1 \right) \) 
\(L\left( x,y,z \right) =6x-7y-7\)

\({ x }^{ 2 }\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\left[ 1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] ^{ \frac { 1 }{ 2 } }\) 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }\left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) =\left[ 1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] \) 
\({ x }^{ 4 }\left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) ^{ 2 }=1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\) 
இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \) மற்றும் இதன் அடுக்கு 2.
ஃ வரிசை = 2 மற்றும் இதன் அடுக்கு 2. 

\(f'(x)=4x^{3}+32=0 \Rightarrow x^{3}=-8 \Rightarrow x=-2\)
மேலும் f''(x)=12x².
f''(-2)>0 என்பதால்  x =−2-ல் சார்பு இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பை அடையும். இந்த இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு f(−2)=−48 ஆகும். எனவே, அறுதிப் புள்ளி (−2,−48).

y = x என்ற நேர்க்கோட்டின் சாய்வு 1 ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைக்கு வரையப்படும் தொடுகோடு, y = x என்ற கோட்டிற்கு இணையாக இருக்க வேண்டும் எனில் தொடுகோட்டின் சாய்வும் 1 என இருக்க வேண்டும்.
ஆகவே , \(\frac{dy}{dx}=3x^{2}-6x+1=1\)
\(\Rightarrow 3x^{2}-6x=0\).
ஆகவே, x = 0 மற்றும் x = 2 என்ற கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கும்.
எனவே, (0, –2) மற்றும் (2, –4) என்ற புள்ளிகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு y = x என்ற கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கும்.

2-\(\sqrt { 3 } \) என்பது ஒரு மூலம் என்பதாலும் மற்றும் கெழுக்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருப்பதாலும் 2+\(\sqrt { 3 } \) என்பதும் ஒரு மூலமாகும்.
x²−(மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கல்தொகை = 0 என்பது நமக்குத் தேவையான பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடாகும். எனவே
x²-4x+1=0
என்பது நமக்குத் தேவையானப் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட மூலங்கள் 1, 2 மற்றும் 3
இங்கு α=1, β=2 மற்றும் \(\gamma \)=3
α,β,\(\gamma \) என்பது மூலங்களாக உடைய ஒரு முப்படி சமன்பாடு
x³-(α+β+\(\gamma \))x² + (αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α)x -αβ\(\gamma \)=0
⇒ x³-(1+2+3)x²+(2+6+3)x-6=0
⇒ x³-6x²+11x-6=0

கொடுக்கப்பட்ட r = 5செ மீ

வட்டம் அச்சை தொட்டுச் செல்வதால் அதனுடைய மையம் \((0,\pm 5)\)
வட்டத்தின் சமன்பாடு (x - h)²+(y - k)² = r²
\(\Rightarrow \left( x-0 \right) ^{ 2 }+\left( y\pm 5 \right) ^{ 2 }={ 5 }^{ 2 }\)

\(\Rightarrow\)  x² + y² + 10y = 0

நேர்க்கோடு 3x +4y = 12 -ஐ வெட்டுத்துண்டு வடிவில் எழுத \(\frac { x }{ 4 } +\frac { y }{ 3 } =1\) எனக் கிடைக்கும்.
எனவே புள்ளிகள் A மற்றும் B முறையே (4, 0) மற்றும் (0, 3).
வட்டத்தின் சமன்பாடு விட்ட வடிவம் 
(x − x₁ )(x − x₂ ) + ( y − y₁ )( y − y₂ ) = 0
(x − 4)(x − 0) + ( y − 0)( y − 3) = 0
x² + y² − 4x − 3y = 0

தேற்றம் - ன் படி : ஒரு வட்டத்தின் விட்டத்தின் முனைப்புள்ளிகள் (x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) எனில் அந்த வட்டத்தின் சமன்பாடு (x − x₁ )(x − x₂ ) + ( y − y₁ )( y − y₂ ) = 0 ஆகும்
(x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) என்ற புள்ளிகளை விட்டத்தின் முனைகளாகக் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு (x − x₁) (x − x₂) + (y − y₁) (y − y₂) = 0
\(\Rightarrow \) (x + 4)(x −1) + ( y + 2)( y −1) = 0
எனவே தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² + 3x + y − 6 = 0

வட்டத்தின் திட்ட வடிவச் சமன்பாடு (x-h)²+(y-k)² = r²
\(\Rightarrow\) (x-(-3))²+(y-(-4))² = 3²
\(\Rightarrow\) (x-3)²+(y+4)² = 3²
\(\Rightarrow\) x² + y² + 6x + 8y + 16 = 0 இது பொது வடிவம் ஆகும்.

\({ \tan }^{ -1 }(\sqrt { 3 } )-{ \sec }^{ -1 }(-2)\)
tan^-1 \(\left( \sqrt { 3 } \right) \) = x ⇒ \(\sqrt { 3 } \) = tan x என்க.
⇒ tan x = tan \(\frac { \pi }{ 3 } \)
⇒ x = \(\frac { \pi }{ 3 } \)
[∵ \(\frac { \pi }{ 3 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) ]
sec^-1 (-2) = y என்க.
⇒ -2 = sec y ⇒ cos y = \(\frac { -1 }{ 2 } \) ⇒ cos y = -cos \(\frac { \pi }{ 3 } \)
⇒ cos y = cos \(\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) \)
⇒ cos y = cos \(\left( \frac { 2\pi }{ 3 } \right) \) ⇒ y = \(\frac { 2\pi }{ 3 } \)
[∵ \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) ∈ [0, π] \ \(\left\{ \frac { \pi }{ 2 } \right\} \)]
∴ tan^-1 \(\left( \sqrt { 3 } \right) \) - sec^-1 (-2)
= \(\frac { \pi }{ 3 } -\frac { 2\pi }{ 3 } =\frac { \pi -2\pi }{ 3 } =\frac { -\pi }{ 3 } \)
∴ tan ^-1 \(\left( \sqrt { 3 } \right) \) - sec^-1 (-2) = \(-\frac { \pi }{ 3 } \)

\({ i }^{ 59 }+\frac { 1 }{ { i }^{ 59 } } = (-i) + \frac {1}{-i}\)
i^4x14+3 + i^-(4x14+3)
= (ⁱ⁴)¹⁴ . i³ + (i⁴)^-14 . i^-3
= 1. i³ + 1.i^-3 [∵ i⁴ = 1]
=-i+ i =0  [∵ i³ = -i மற்றும் i^-3 = i]

A என்பது 2m+1 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. இங்கு m = 0,1,2, .... எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் தேற்றம் |adj A| = |A|^{n - 1}இன் படி கிடைப்பது |adj A| = |A|^(2m+1)-1 = |A|^2m
|A|^2m என்பது எப்பொழுதும் மிகை, எனவே |adj A| ஆனது மிகை.

(i) 4 + 7 = 12
இதன் மெய்மதிப்பு F என்பதால் இது ஒரு கூற்று ஆகும்.
(ii) இது ஒரு வினாவைக் குறிக்கிறது மற்றும் இது ஒரு கூற்று அல்ல.
(iii) \(3^{\mathrm{n}} \leq 81, n \in \mathbb{N}\) 
n=1,2,3,4 எனும்போது இது மெய்யாவதால் இது ஒரு கூற்று ஆகும்.
(iv) இதன் மெய்மதிப்பு T என்பதால் இது ஒரு கூற்று ஆகும்.
(v) இது ஒரு வியப்பு வாக்கியம் ஆகும். எனவே இது கூற்று அல்ல.

\(I=\int _{ 0 }^{2 \pi }{ { \sin }^{ 4 }x{ \cos }^{ 3 }xdx } \) 
\(f(x)={ sin }^{ 4 }x{ cos }^{ 3 }x\) 
\(f\left( 2\pi -x \right) ={ sin }^{ 2 }\left( 2\pi -x \right) { cos }^{ 3 }\left( 2\pi -x \right) \) 
=\({ sin }^{ 4 }x{ cos }^{ 3 }x\) 
\(f\left( 2\pi -x \right) =f(x)\) 
\(f\left( 2a-x \right) =f(x)\) எனில்  \(\int _{ 0 }^{ 2a }{ f(x)dx=2\int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx } } \) 
\(I=2\int _{ 0 }^{ \pi }{ { sin }^{ 4 }{ cos }^{ 3 }xdx } \) 
=  \(2\int _{ 0 }^{ \pi }{ { sin }^{ 4 }x\left( 1-{ sin }^{ 2 }x \right) cosxdx } \) 
\(x=0\)  எனில் t=0 மற்றும் 
\(x=\pi \) எனில் t=0
ஃதொகையீட்டு மதிப்பு = 0
 \(\therefore \int _{ 0 }^{ \pi }{ { sin }^{ 4 }{ cos }^{ 3 }xdx } =0\)

\(x=a,{ cos }^{ 3 }t,y=bsin^{ 3 }t\)
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dx }{ dt } =-3a{ cos }^{ 2 }tsint\) 
\(\cfrac { dy }{ dt } =3b{ sin }^{ 2 }tcost\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { \frac { dy }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\cfrac { 3b{ sin }^{ 2 }tcost }{ -3a{ cos }^{ 2 }tsint } \) 
= \(-\cfrac { b }{ a } \cfrac { sint }{ cost } =- \cfrac { b }{ a } tant\) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \(\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ (t=\pi /2) }\) 
= \(-\cfrac { b }{ a } tan\cfrac { \pi }{ 2 } =\infty \)

\({ \cot }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } \right) =\alpha \) என்க. எனவே, \(\cot \alpha =\frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } \) மற்றும் \(\alpha \) ஒரு குறுங்கோணம் ஆகும்
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களைக் கொண்டு ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உருவாக்குக.
முக்கோணத்திலிருந்து, \(\sec\alpha =\frac { x }{ 1 } =x\) எனப் பெறலாம். எனவே, \(\alpha ={ \sec }^{ -1 }x\) ஆகும்.
எனவே \(\cot^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } \right) ={ \sec }^{ -1 }x,|x|>1\) ஆகும்.

சராசரி:
\(\begin{aligned} \mu & =\mathrm{E}(X)=\int_1^2 x f(x) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\int_1^2 x \times 2(x-1) d x=2 \int_1^2\left(x^2-x\right) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=2\left[\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right] \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left(\frac{7}{3}-\frac{3}{2}\right)=2 \times \frac{5}{6}=\frac{5}{3} \end{aligned}\)
பரவற்படி:
\(\begin{aligned} \mathrm{E}\left(X^2\right) & =\int_1^2 x^2 f(x) d x=2 \int_1^2\left(x^3-x^2\right) d x \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\right]_1^2=2\left[\frac{16}{4}-\frac{8}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left[\frac{15}{4}-\frac{7}{3}\right]=2 \times \frac{17}{12}=\frac{17}{6} \end{aligned}\)
Var(X) = E(X²) - [E(X)]²
\(=\frac{17}{6}-\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{17}{6}-\frac{25}{9}\)
\(=\frac{51-50}{18}=\frac{1}{18}\)

A(2,3,4), B(-1,4,5) மற்றும் C(8,1,2) புள்ளிகள் என்க.
A மற்றும் B இணைக்கும் கோட்டின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\cfrac { { z-{ z }_{ 1 } } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x-2 }{ -1-2 } =\cfrac { y-3 }{ 4-3 } =\cfrac { z-4 }{ 5-4 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x-2 }{ -3 } =\cfrac { y\quad -3 }{ 1 } =\cfrac { z-4 }{ 1 } \) 
புள்ளி C(8,1,2) வை கோடு(1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\(\cfrac { 8-2 }{ -3 } =\cfrac { 1-3 }{ 1 } =\cfrac { 2-4 }{ 1 } \Rightarrow 2=-2=-2\) 
A மற்றும் B யை இணைக்கும் கோட்டை புள்ளி C பூர்த்தி செய்வதால், மூன்று புள்ளிகளும் ஒரு நேர்கோட்டு அமைவன.
எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு நேர்க்கோட்டு அமைவன.

\(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ,\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { c } =-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
\((\vec { a } \times \vec { b } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \)
= \(\\ \hat { i } (6+5)-\hat { j } (4+3)+\hat { k } (10-9)=11\hat { i } -7\hat { j } +\hat { k } \)
∴ LHS = \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \)
= \(\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| =\hat { i } \left| \begin{matrix} -7 & 1 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 11 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 11 & -7 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-21+2)+\hat { j } (33+1)+\hat { k } (-22-7)\)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \) ..............(1)
RHS :
\(\vec { a } .\vec { i } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -2-6-3 = -11
\(\vec { b } .\vec { c } =(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -3-10+6 = -7
∴ RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
= \(-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )+7(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )\)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } +14\hat { i } +21\hat { j } -7\hat { k } \)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \)  .......... (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து LHS = RHS
எனவே \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } =(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
(ii) \(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (15+4)-\hat { j } (9+2)+\hat { k } (-6+5)\)
= \(19\hat { i } -11\hat { j } -\hat { k } \)
∴ \(\vec { a } (\vec { b } \times \vec { c } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 19 & -11 & -1 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ -11 & -1 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 19 & -1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 19 & -11 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-3-11)-\hat { j } (-2+19)+\hat { k } (-22-57)\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) ......(1)
RHS : 
\(\vec { a } .\vec { c } =-11\Rightarrow (\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } =-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= -\(33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { b } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= 6+15-2 = 19
\((\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } =19(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )=-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } \)
RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } -(-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } )\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) .......(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து LHS = RHS
∴ \(\vec { a } \times (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)

(i) \(A=\left[ \begin{matrix} -3 & 4 \\ 6 & 2 \end{matrix} \right] \)= \(\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]\)என்க.
[ ∵ a₂₂, a₁₁ ஆகியவற்றை பரிமாற்றம் செய்க மற்றும் a₁₂, a₂₁ ஆகியவற்றை குறி மாற்றம் செய்க.]
adj A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -6 & -3 \end{matrix} \right] \)
(ii) A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 7 & 2 \end{matrix} \right] \)
adj A = \(\left( \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right) ^{ T }\)
= \({ \left[ \begin{matrix} +(8-7) \\ -(6-7) \\ +(3-4) \end{matrix}\begin{matrix} -(6-3) \\ +(4-3) \\ -(2-3) \end{matrix}\begin{matrix} +(21-12) \\ -(14-9) \\ +(8-9) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
= \({ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ -5 \\ -1 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(adj\ A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
(iii) \(A=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 2 \end{array}\right]_{3 \times 3}\)
adj (kA) = k^n-1 adj A
\(=\operatorname{adj} \mathrm{A}=\left(\frac{1}{3}\right)^2{ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -2 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} -2 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -2 & 2 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } { \left[ \begin{matrix} +(2+4) \\ -(4+2) \\ +(4-1) \end{matrix}\begin{matrix} -(-4-2) \\ +(4-1) \\ -(4+2) \end{matrix}\begin{matrix} +(4-1) \\ +(-4-2) \\ +(2+4) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } { \left[ \begin{matrix} 6 \\ -6 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ -6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{matrix} \right] }^{ T }=\frac { 1 }{ 9 } { \left[ \begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} -6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] }\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & +2 & 2 \end{matrix} \right] \)