இங்கு α=1, β=2 மற்றும் \(\gamma \)=-2
∴ தேவையான முப்படி சமன்பாடு
x³-(1+1-2)x²+(1-2-2)x-(1)(1)(-2)=0
x³-0x²-3x+2=0
x³-3x+2=0

 \(\bar { z } \) = z^-1
\(\Rightarrow \bar { z } =\frac { 1 }{ z } \Rightarrow z\bar { z } =1\)
\(\Rightarrow { \left| z \right| }^{ 2 }={ 1 }\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1\) தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு.

z = -6 + 8i என்க
\(\left| z \right| =\sqrt { ({ -6) }^{ 2 }+{ 8 }^{ 2 } } \)
\(\sqrt { 36+64 } =\sqrt { 100 } =10\)
\(\sqrt { a+ib } =\pm \left( \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { b }{ \left| b \right| } \sqrt { \frac { \left| z \right| -a }{ 2 } } \right) \) [இங்கு \(\left| z \right| =10,a=-6,b=8\)]
\(\sqrt { -6+8i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 10-6 }{ 2 } } +\frac { 8 }{ \left| 8 \right| } \sqrt { \frac { 10+6 }{ 2 } } \right) \)
\(=\pm \left( \sqrt { \frac { 4 }{ 2 } } +i\sqrt { \frac { 16 }{ 2 } } \right) \)
\(=\pm (\sqrt { 2 } +i\sqrt { 8 } )\)
\(=\pm (\sqrt { 2 } +i2\sqrt { 2 } )\)

Im(3z + 4\(\bar { z } \) - 4i)
= Im (3(x + iy) + 4 (x - iy) - 4i)
= Im (3x + i3y + 4x - i4y - 4i)
= Im (3x + 4x + i (3y - 4y - 4)
= 7x + iy - 4i
= Im (7x + i (- y - 4))
∴ கற்பனை பகுதி என்பது - y - 4

sin^-1(sin 5) = θ, θ ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) என அறிவோம்.
தோராயமாக கருதுக \(\frac { \pi }{ 2 } =\frac { 11 }{ 7 } \)
\(5=5\times \frac { 11 }{ 7 } \times \frac { 7 }{ 11 } =5\times \frac { \pi }{ 2 } \times \frac { 7 }{ 11 } =\frac { 35\pi }{ 22 } \) ∉ \(\left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)
ஆனால் 5 - 2π = 5 - 2 x \(\frac { 22 }{ 7 } \) = 5 - \(\frac { 44 }{ 7 } \) = \(\frac { 35-44 }{ 7 } \)
= \(\frac { -11 }{ 7 } \epsilon \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)
5 - 2π ∈ \(\left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)
sin^-1 (sin 5) = sin^-1 (sin (5 - 2π))
= 5 - 2π
[∵ 5 - 2π ∈ \(-\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \)]

tan (tan^-1 (-0.2021)) = -0.2021
[∵ tan (tan^-1 x) = x எந்த மெய்யெண்ணுக்கும்]

அந்த எண் x என்க. \(\sqrt [ 3 ]{ x } \)+x = 6
⇒ \(\sqrt [ 3 ]{ x } \) = 6 - x
இருபுறமும் 3 ஆம் அடுக்கை எடுக்க கிடைப்பது
\(\left( { x }^{ \frac { 1 }{ 3 } } \right) ^{ 3 }\)= (6-x)³
x = 6³-3(6²)x+3(6)(x²)-x³
[∵ (a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³]
⇒ x = 216-108x+18x²-x³
⇒ x³+108x-18x-216+x = 0
⇒ x³+18x²+109x-216 = 0 என்பது தேவையான கணிதவியல் கணக்கு.

மூலங்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருக்க வேண்டுமெனில், Δ = b² - 4ac =(-2p)²- 4(p² - q² + 2qr - r²) என இருக்க வேண்டும்.
ஆனால் இதனைச் சுருக்கினால் 4(q² - 2qr + r²) அல்லது 4(q - r)² எனும் முழு வர்க்க எண்ணாகும். எனவே, மூலங்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருக்கும்.

Δ =b²-4ac=-20 < 0. எனவே மூலங்கள் கற்பனை எண்களாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு 
x² + y² = 16
\(\Rightarrow\) a² = 16
மற்றும் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
 \(y=2\sqrt { 2x } +c\)
\(\Rightarrow y=mx+c\)
[தொடுகோடானது y = mx + c ]
y = mx + x என்ற கோடு x² + y² = a² என்ற வட்டத்திற்கு தொடுகோடாக இருப்பதற்கான நிபந்தனை
c² = a²(1 + m²)
\(\Rightarrow { c }^{ 2 }=16(1+2\sqrt { 2 } )^{ 2 }\)
\(\Rightarrow\) c² = 16(1 + 8)
\(\Rightarrow\) c² = 16(9)
\(\Rightarrow\)\(c=\pm 4(3)\)
\(\Rightarrow\) \(c=\pm 12\)

கொடுக்கப்பட்ட (2, -1) மையம் மற்றும்(3,6) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
\(\therefore\) r = இடைப்பட்ட தோற்றம் (2, -1) மற்றும் (3, 6) புள்ளி வழிச் செல்கிறது
= \(\sqrt { \left( 2-3 \right) ^{ 2 }+\left( -1-6 \right) ^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { \left( -1 \right) ^{ 2 }+\left( -7 \right) ^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 1+49 } =\sqrt { 50 } \)
\(\therefore\) வட்டத்தின் சமன்பாடு
(x - h)² + (y - k)² = r²
\(\left( x-2 \right) ^{ 2 }+\left( y+1 \right) ^{ 2 }=\left( \sqrt { 50 } \right) ^{ 2 }\)
\(\Rightarrow\) (x - 2)² + (y + 1)² = 50

sin^-1(cos\(\pi\))
sin^-1 (cos π) = x என்க.
⇒sin^-1 (-1) = x 
[∵ cos π = -1]
⇒ sin x = sin \(\left( -\frac { \pi }{ 2 } \right) \)
[∵ \(-\frac { \pi }{ 2 } \) ∈ \(\left[- \frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
⇒ x = \(-\frac { \pi }{ 2 } \)
∴ sin^-1 (cos π) = \(-\frac { \pi }{ 2 } \)

Re\(\left( \frac { 1 }{ z } \right) = \left( \frac { 1 }{ x+iy } \right) \times \frac { x-iy }{ x^2+y^ 2 }\)
\(=Re\left( \frac { 1 }{ x+iy } \right) +Re\left( \frac { 1 }{ x+iy } \times \frac { x-iy }{ x-iy } \right) \)
\(=Re\left( \frac { x-iy }{ { x }^{ 2 }-({ i }^{ 2 }{ y }^{ 2 }) } \right) =Re\left( \frac { x-iy }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) \)
Re\(\left( \frac { 1 }{ z } \right) = \frac { x }{ x^2+y^ 2 }\)

A =\(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)பின்பு, A^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
எனவே
AA^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta & cos\theta sin\theta -sin\theta cos\theta \\ sin\theta cos\theta -cos\theta sin\theta & { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \) = I₂
இதேபோல் A^TA = I₂. எனவே AA^T = A^TA = I₂ ⇒ A ஆனது செங்குத்து அணியாகும்.

\(2{ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)
cos^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = x மற்றும் sin^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = y என்க.
⇒ cos x = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ cos x = cos \(\frac { \pi }{ 3 } \)
[∵ \(\frac { \pi }{ 3 } \) ∈ [0, π]]
⇒ x = \(\frac { \pi }{ 3 } \)
[∵ முதன்மை சார்பகம் சைனுக்கு \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) மற்றும் கொசைனுக்கு முதன்மை சார்பகம் [0, π]]
sin y = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
sin y = sin \(\frac { \pi }{ 6 } \)
[∵ \(\frac { \pi }{ 6 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
⇒ x = \(\frac { \pi }{ 3 } \) மற்றும் y = \(\frac { \pi }{ 6 } \)
∴ 2 cos^-1\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) + sin^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)
= 2 \(\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) \) + \(\\ \frac { \pi }{ 6 } \) = \(\frac { 2\pi }{ 2 } \) + \(\frac { \pi }{ 6 } \) = \(\frac { 4\pi +\pi }{ 6 } \) = \(\frac { 5\pi }{ 6 } \)

cos^-1(-x) = θ என்க.      ....(1)
⇒ -x = cos θ
⇒ x = -cos θ = cos (π - θ)
⇒ π - θ = cos^-1x          ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து cos^-1(-x) = π - cos^-1(x)
∴ cos^-1(-x) = π - cos^-1(x) சரி

cos x = 0 ⇒ x = (2n + 1) \(\frac{\pi}{2}\), n ∈ Z
-6π ≤ x ≤ 6π
∴ n ஆனது -5 லிருந்து 5  வரை மதிப்புகளை எடுத்துக் கொள்ளும்.
x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\), n = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5

கொடுக்கப்பட்டது: sin x = sin^-1 x    ....(1)
நாம் அறிந்தது, \(sin\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\)= [-1, 1] \(\Rightarrow\) sin (0) = 0
மேலும், sin^-1[-1, 1] = \(\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\)
\(\Rightarrow\)  sin^-1(0) = 0
எனவே (1) ன் தீர்வு x = 0
மேலும் sin x மற்றும் sin^-1 xன் வரைபடங்கள் (0, 0) என்ற ஆதிப்புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்கிறது.

\({ \sin }^{ -1 }\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \) = y என்க. எனவே, sin y = -\(\frac{1}{2}\) ஆகும்.
sin^-1 x-ன் முதன்மை மதிப்புகளின் வீச்சகம் \(\left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) ஆகும். எனவே sin y = -\(\frac{1}{2}\) என்றவாறு \(y\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \\ \) ஐ  கண்டறிய வேண்டும். ஆகவே y = \(-\frac{\pi}{6}\) எனக் கிடைக்கின்றது. எனவே  \({ \sin }^{ -1 }\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \)-ன்  முதன்மை மதிப்பு \(-\frac { \pi }{ 6 } \) ஆகும். அதன் ஒத்த மதிப்பு -30^o ஆகும்.

இங்கு a_n=1, a₀=1
\(\frac{p}{q}\) பல்லுறுப்பு கோவையின் ஒரு மூலம் இங்கு (p,q) =1, a₀=1 -ன் காரணி p மற்றும் a_n =1 -ன் காரணி q .
1 க்கு காரணி இல்லை ஆதலால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டுக்கு விகிதமுறு மூலங்கள் இல்லை.

sin x = -1
⇒ sin x = sin^-1 \(\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \) ⇒ x = \(\frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { 3\pi }{ 2 } ,\frac { 7\pi }{ 2 } \)........,
⇒ x = (4n - 1) \(\frac { \pi }{ 2 } \), n ∈ Z. ⇒ x = (4n - 1) \(\frac { \pi }{ 2 } \), n எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, 土1, 土2, 土3, மற்றும் 土4
ஆதலால் n = -4 எனில், x = \(\frac { -17\pi }{ 2 } \) < -8π.

-1 - i = r(cos θ + isin θ) என்க.
r  \(=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 1+1 } =\sqrt { 2 } \) மற்றும்
\(\alpha ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ \tan }^{ -1 }1=\frac { \pi }{ 4 } \) என கிடைக்கிறது.
-1 - i என்ற கலப்பெண் மூன்றாம் கால்பகுதியில் அமைவதால் அதன் முதன்மை வீச்சு
θ = α - π = \(\frac { \pi }{ 4 } -π=-\frac { 3\pi }{ 4 } \)
எனவே, -1 - i = \(\sqrt { 2 } \left( \cos\left( -\frac { 3\pi }{ 4 } \right) +i \sin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right) \)
= \(\sqrt { 2 } \left( \cos\frac { 3\pi }{ 4 } -i \sin\frac { 3\pi }{ 4 } \right) \)
-1 - i  \(=\sqrt { 2 } \left( \cos\left( \frac { 3\pi }{ 4 } +2k\pi \right) -i \sin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } +2k\pi \right) \right) \), k\(∈\)Z. 

|adj A| = \(\left| \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) = 9
எனவே A^-1 = \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adj(A)| } } adj(A)=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 9 } } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] =\pm \frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \).

x²=y என பிரதியிடு (அ)
⇒ y²-14y+45=0
⇒ (y-9)(y-5)=0
⇒ y=9 (அ) y=5
⇒ x2=9 (அ) x2=5
⇒ x=±3 (அ) x=±\(\sqrt{5}\)
எனவே, மூலங்கள் 3, -3, \(\sqrt{5}\) மற்றும் -\(\sqrt{5}\). 

(i) A= \(\left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right] \) என்க 
\(|A|=\left| \begin{matrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right| =6-4=2\neq 0\)
A பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் A^-1 காணலாம்.
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adjA\)
இங்கு \(adj\quad A=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -3 & -4 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்றம் மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்றுக]
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -3 & -4 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
(ii) A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix} \right] \)என்க
= 5(25-1)-1(5-1)+1(1-5)
= 5(24)-1(4)+1(-4)
= 120-4-4 = 120 - 8 = 112 ≠ 0 
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த,
\(|A|=5\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \)
A ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை எனில் A^-1 சாத்தியம்
\(adj\quad A={ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(25-1) \\ -(5-1) \\ +(1-5) \end{matrix}\begin{matrix} -(5-1) \\ +(25-1) \\ +(5-1) \end{matrix}\begin{matrix} +(1-5) \\ -(5-1) \\ +(25-1) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }^{ T }={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }\)
ஒவ்வொரு உறுப்பிலிருந்து 4 ஐ பொதுவில் எடுக்க,
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\ A=\frac { 1 }{ 112 } ={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }\)
\(=\frac { 1 }{ 28 } \left[ \begin{matrix} 6 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 6 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
(iii) A =\(\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 7 & 2 \end{matrix} \right] \)என்க 
= 2(8-7)-3(6-3)+1(21-12)
= 2(1)-3(3)+1(9)

R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த கிடைப்பது,
\(|A|=2\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \)
A ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் A^-1 சாத்தியம் 
\(adj\quad A={ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(8-7) \\ -(6-7) \\ +(3-4) \end{matrix}\begin{matrix} -(6-3) \\ +(4-3) \\ +(2-3) \end{matrix}\begin{matrix} +(21-12) \\ +(14-9) \\ +(8-9) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ -5 \\ -1 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(adj\quad A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
இங்கு, \({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A\)
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)