\(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right) \)
sin^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = x என்க.
\( \frac { 4 }{ 5 } \) = sin x 

∴ cos x = \(\frac { adj }{ hyp } =\frac { 3 }{ 5 } \)
tan^-1 \(\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \) = y என்க.
⇒ tan y = \(\frac { 3 }{ 4 } \)

⇒ sin y = \(\frac { opp }{ hyp } =\frac { 3 }{ 5 } \) மற்றும் cos y = \(\frac { adj }{ hyp } =\frac { 4 }{ 5 } \)
∴ cos \(\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right) \)
= cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y
= \(\frac { 3 }{ 5 } .\frac { 4 }{ 5 } +\frac { 4 }{ 5 } .\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 12 }{ 25 } +\frac { 12 }{ 25 } =\frac { 24 }{ 25 } =\frac { 24 }{ 25 } \)

கெழுக்களின் கூடுதல் =2-1-1=0
x =1 என்பது ஒரு மூலம்

∴ x=1 ஒரு மூலம் மற்றும் மீதியிருக்கும் காரணி 2x²+x+1
⇒ x=\(\frac { -1\pm \sqrt { 1^{ 2 }-4(2)(1) } }{ 2 } \)
⇒ x=\(\frac { -1\pm \sqrt { -7 } }{ 2 } \)
மூலம் என்பது ஒரு கலப்பெண்
⇒ x =\(\frac { -1\pm i\sqrt { 7 } }{ 2 } \)
∴ x=1 என்பது ஒரு விகிதமுறு மூலம்

மூலங்கள் இசைத் தொடர்முறையில் உள்ளன என்க. எனவே அவற்றின் பெருக்கல் தலைகீழிகள் கூட்டுத் தொடர் முறையில் இருக்கும். மேலும்
\(\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 3 }+p\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 2 }+q\left( \frac { 1 }{ x } \right) \)+r=0 ⇔ rx³+qx²+px+1=0            .....(1)
(1) –ன் மூலங்கள் கூட்டுத்தொடர் முறையில் இருப்பதால் அவற்றினை a-d, a,a+d என்க.வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த
Σ₁=(α-d)+α+(α+d) =\(-\frac { q }{ r } \Rightarrow 3\alpha =-\frac { q }{ r } \Rightarrow \alpha =-\frac { q }{ 3r } \)
ஆனால் (1)-ன் மூலம் α என்பதால்,
\(r\left( -\frac { q }{ 3r } \right) ^{ 3 }+q\left( -\frac { q }{ 3r } \right) ^{ 2 }+p\left( -\frac { q }{ 3r } \right) \)+1=0 ⇒ -q³+3q³-9pqr+27r²=0 ⇒ 9pqr =2q³+27r².

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு x⁴-9x²+20=0 ஆகும்.
இது ஒரு நாற்படிச் சமன்பாடாகும். x²=y எனப் பிரதியிட y²-9y+20=0 எனும் இருபடி சமன்பாடு கிடைக்கிறது. இதன் தீர்வு 4 மற்றும் 5ஆகும். இனி x²=4 மற்றும் x²=5 என எடுத்துக் கொண்டால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு 2,-2,\(\sqrt { 5 } \), -\(\sqrt { 5 } \) என்பது தீர்வுகளாகும்.
மேற்கண்ட வழிமுறையை x⁶ −17x³ + 30 = 0, ax^2k + bx^k + c = 0 மற்றும் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடுகளுக்கும் மற்றும் a_nx^kn + a_n-1kⁿ⁻¹ + .....+ a₁x^k + a₀ (இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு எண்) என்ற முறையில் அமையும் பொதுவான பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கும் பயன்படுத்தலாம் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2x²+kx+k=0
இங்கு a=2, b=k, c=k
பண்புகாட்டி

Δ=b²-4ac=k²-4(2)(k)
=k²-8k=k(k-8)
k மெய் ஆகையால் k-க்கு சாத்தியமான மதிப்புகள்
k<0, k=0 அல்லது 8, 08 நிலை (i) k<0 எனில், Δ=k(k-8)>0
⇒ அது மெய் மூலங்களை கொண்டிருக்கும்.
(∵ k என்பது மெய்)
நிலை (ii) k=0 அல்லது 8 எனில், Δ=0,
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
நிலை (iii) 0 நிலை (iv) k>8 எனில், Δ=k(k-8)>0
⇒ மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை.

குவியங்களின் நடுப்புள்ளி மையம் C(0, 0)
குறுக்கச்சு y-அச்சு
AA′ = 2a \(\Rightarrow \) 2a = 8,
SS′ = 2c = 12, c = 6
a = 4
b² = c²- a² = 36 - 16 = 20.
எனவே தேவையான அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 20 } =1\)

17x²+43x-73=0 எனும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள், α மற்றும் β என்பதால், α+β=-\(\frac { 43 }{ 17 } \) மற்றும் αβ=-\(\frac { 73 }{ 17 } \) ஆகும்.
தேவையான இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α+2 மற்றும் β+2 ஆகும். எனவே
மூலங்களின் கூடுதல் =α+β+4=\(\frac { -43 }{ 17 } +4=\frac { 25 }{ 17 } \)
மூலங்களின் பெருக்கல் =αβ+2(α+β)+4=\(\frac { -73 }{ 17 } +2\left( \frac { -43 }{ 17 } \right) +4=\frac { -91 }{ 17 } \)
எனவே, தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு \({ x }^{ 2 }-\frac { 25 }{ 17 } x-\frac { 91 }{ 17 } \)=0 ஆகும். இச்சமன்பாட்டை 17-ஆல் பெருக்க,  α+2 மற்றும் β+2 ஆகியவற்றை மூலங்களாகக் கொண்ட 17x² - 25x - 91 = 0 எனும் இருபடிச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது

\(\left| z+3+4i \right| \le \left| z|+|3+4i \right| \) = 2 + 5 =7
\(\left| z+3+4i \right| \le 7\)     (1)
\(\left| z+3+4i \right| \ge \left| z \right| -\left| 3+4i \right| \) = \(\left| 2-5 \right| \) = 3
\(\left| z+3+4i \right| \ge 3\)   (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து \(3\le \left| z+3+4i \right| \le 7\)

\(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| 3+4i \right| =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } =5\)
\(\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| 5-12i \right| =\sqrt { { 5 }^{ 2 }+(-{ 12 })^{ 2 } } =13\)
\(\left| { z }_{ 3 } \right| =\left| 6+8i \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ 8 }^{ 2 } } =10\)
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } \right| =\left| (3+4i)+(5-12i) \right| =\left| 8-8i \right| =\sqrt { 128 } =8\sqrt { 2 } \)
\(\left| { z }_{ 2 }-{ z }_{ 3 } \right| =\left| (5-12i)-(6+8i) \right| =\left| -1-20i \right| =\sqrt { 401 } \)
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 3 } \right| =\left| (3+4i)+(6+8i) \right| =\left| 9+12i \right| =\sqrt { 225 } =15\)
எல்லா வகைகளிலும் முக்கோணச் சமனிலி நிறைவு செய்யப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காண்க
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| +\left| { z }_{ 2 } \right|\) = 15 (ஏன்?)

cos⁻¹x = \(\alpha\) மற்றும் cos^-1 y = \(\beta\) என்க
எனவே, x = cos \(\alpha\) மற்றும் y = cos\(\beta\) ஆகும்.
cos^-1x + cos^-1 y + cos^-1z = \(\pi\) என்பதிலிருந்து \(\alpha\)+\(\beta\) = \(\pi\) -cos^-1z   ...(1)
இனி, cos(\(\alpha\) + \(\beta\)) = cos \(\alpha\) cos \(\beta\) - sin \(\alpha\) sin \(\beta\) = xy-\(\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } \)
(1)-லிருந்து, cos(π - cos^-1 z) = xy-\(\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } \) எனப் பெறலாம்.
-cos(cos^-1 z) = xy-\(\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } \)
எனவே \(-z=xy-\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } \), என்பதிலிருந்து -xy - z = -\(\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தி சுருக்க x² + y² + z² + 2xyz = 1 எனப் பெறலாம்.

\(\left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 20 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 2 }{ 3 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \frac { 22 }{ 3 } \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 16 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { 3R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 22 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 48 \end{matrix} \right] \)

|adj(A)| = \(\left| \begin{matrix} 7 & 7 & -7 \\ -1 & 11 & 7 \\ 11 & 5 & 7 \end{matrix} \right| \)=7(77-35)-7(-7-77)-7(-5-121) = 1764 > 0
எனவே
A =  \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adjA| } } adj(adjA)=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 1764 } } \left[ \begin{matrix} +(77-35) & -(-7-77) & +(-5-121) \\ -(49+35) & +(49+77) & -(35-77) \\ +(49+77) & -(49-7) & +(77+7) \end{matrix} \right] ^{ T }\)
\(=\pm \frac { 1 }{ 42 } \left[ \begin{matrix} 42 & 84 & -126 \\ -84 & 126 & 42 \\ 126 & -42 & 84 \end{matrix} \right] ^{ T }=\pm \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \).

|2z−3−i|=3
|2(x+iy)−3−i|=3
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
|(2x−3)+(2y−1)i|²|= 9
⇒ (2x−3)2+(2y−1)² = 9
⇒ 4x² + 4y² - 12x - 4y + 1 = 0, என்பது கார்ட்டீசியன் வடிவில் z-ன் நியமப்பாதை ஆகும்

x + iy= \(\frac { i-1 }{ cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } } \) என்க.
கருதுக x + iy = -2 - 2i = r (cos θ + i sin θ)
\(r=\sqrt { 1^{ 2 }+(1{ ) }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } \)
\(\alpha ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { -1 }{ -1 } \right| ={ \tan }^{ -2 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
(-1 + i) என்ற கலப்பெண் II -ம் கால் பகுதியில் அமைவதால் [x ➝ குறை y ➝ மிகை]
அதன் முதன்மை வீச்சு \(\theta =\pi -\frac { \pi }{ 4 } =\frac { 3\pi }{ 4 } \)
\(\therefore i-1=\sqrt { 2 } \left[ cos\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right] \)
\(\therefore x+iy=\frac { \sqrt { 2 } \left[ cos\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right] }{ cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } } \)
\([\because \frac { cos{ \theta }_{ 1 }+isin{ \theta }_{ 1 } }{ cos{ \theta }_{ 2 }+isin{ \theta }_{ 2 } } =cos({ \theta }_{ 1 }-{ \theta }_{ 2 })+isin({ \theta }_{ 1 }-{ \theta }_{ 2 })]\)
\(=\sqrt { 2 } \left[ cos\left( \frac { 3\pi }{ 4 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right] \)
\(=\sqrt { 2 } \left[ cos\frac { 5\pi }{ 12 } +isin\frac { 5\pi }{ 12 } \right] \)
எனவே துருவ வடிவம்
\(z =\sqrt { 2 } \left( cos\left( 2k\pi +\frac { 5\pi }{ 12 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { 5\pi }{ 12 } \right) \right) \)
இங்கு k ∈ Z 

⇒ |z + i| = |z - 1|
\(\Rightarrow \left| x+iy+i \right| =\left| x+iy-1 \right| \)
\(\Rightarrow \left| x+i(y+1) \right| =\left| (x-1)+iy \right| \)
\(\Rightarrow \sqrt { { x }^{ 2 }+{ (y+1) }^{ 2 } } =\sqrt { { (x-1) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+{ (y+1) }^{ 2 }=(x-{ 1) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\) [இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது]

⇒ \(2y+2x=0\Rightarrow x+y=0\)
எனவே கார்டீசியன் சமன்பாடானது x - y = 0.

அச்சு y-அச்சுக்கு இணை என்பதால் தேவையான பரவளையத்தின் சமன்பாடு
(x+1)² = 4a(y+2)
இது (3, 6) வழிச்செல்வதால் 
(3 + 1)² = 4a(6 + 2)
\(\Rightarrow\) a = \(\frac{1}{2}\)
எனவே பரவளையத்தின் சமன்பாடு (x + 1)² = 2(y + 2)
இதைச் சுருக்க x² + 2x - 2y - 3 = 0 எனக் கிடைக்கும்.

கொள்கை z² = \(\bar { z } \).
⇒ \({ \bar { \left| z \right| } }^{ 2 }=\left| z \right| \)
⇒  \(\left| z \right| (\left| z \right| -1)\) = 0
⇒ \(\left| z \right| \) = 0, அல்லது \(\left| z \right| \) = 1
\(\left| z \right| \) = 0 ⇒ z = 0 என்பது ஒரு தீர்வு \(\left| z \right| \) = 1 ⇒ z\(\bar { z } \) = 1 ⇒ \(\bar { z } \) = \(\frac12\)
கொள்கையிலிருந்து z² = \(\bar { z } \) ⇒ \({ z }^{ 2 }=\frac 1z \) ⇒ z³ = 1
இதற்கு 3 பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள் இருக்கும். ஆகவே பூஜ்ஜியத்தையும் சேர்த்து இதற்கு நான்கு தீர்வுகள் இருக்கும்.

6x²<1 எனில், tan^-1 2x + tan^-13x = tan^-1\(\\ \left( \frac { 2x+3x }{ 1-{ 6x }^{ 2 } } \right) \)
\({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 5x }{ 1-{ 6x }^{ 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \) என்பதால் \(\frac { 5x }{ 1-6{ x }^{ 2 } } =\tan\frac { \pi }{ 4 } =1\)
ஆகையால், 1 - 6x² = 5x, என்பதிலிருந்து 6x² + 5x -1 = 0
ஆகவே, \(x=\frac { 1 }{ 6 } ,-1\)
x = -1 என்பது சமன்பாட்டின் இடப்புறம் குறையெண் மதிப்பையும் மற்றும் வலப்புறம் மிகையெண் மதிப்பையும் தருகிறது என்பதை கவனிக்கவும். ஆகையால், x = -1 என்பது தீர்வாகாது. எனவே, \(x=\frac{1}{6}\) மட்டுமே சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வாக அமையும்.

கொடுக்கப்பட்ட adj \(A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
இங்கு \(adj(adj\quad A)={ \left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(2-0) \\ -(0) \\ +(0-2) \end{matrix}\begin{matrix} -(0) \\ +(1+1) \\ -(0) \end{matrix}\begin{matrix} +(0+2) \\ -(0) \\ +(2-0) \end{matrix} \right] }^{ T }={ \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
adj(adj) A \(=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] \)

A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right] \)என்க 
காஸ்-ஜோர்டன் முறையை பயன்படுத்த கிடைப்பது.
\([A|{ I }_{ 2 }]=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div 2 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 5 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 2 } \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ -\frac { 5 }{ 2 } & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { R_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\times 2 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} -2 & 1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
∴.A^-1\(\left[ \begin{matrix} -2 & 1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)

f(x) = tan^-1 \(\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } } \) என்க.
\(\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } } \) ∈ R ஆனால் \(\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } } \) ≥ 0
∴ 9 - x² ≥ 0
⇒ x² - 9 ≤ 0
⇒ (x + 3) (x - 3) ≤ 0
⇒ சார்பகம் [-3, 3]

tan^-1(\(\sqrt3\)) = y  என்க.
எனவே tan y =\(\sqrt3\).
ஆகையால், y = \(\frac{\pi}{3}\).
ஏனெனில் \(\frac{\pi}{3}\) \(\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)
எனவே, tan^-1(\(\sqrt3\)) ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{3}\)ஆகும்.

நீள்வட்ட வடிவக் கூரையின் அரை நெட்டச்சு 17மீ, அதன் உயரம் அரை குற்றச்சு 8மீ. இதனால்
c² = a² -b² = 17²-8²
c =\(\sqrt { 289-64 } =\sqrt { 225 } =15\)
நீள்வட்டக் கூரையின் குவியங்கள் நெட்டச்சின் மீது மையத்திலிருந்து 15மீ தூரத்தில் இருக்கும்.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடிவ வடிவத்திற்கு உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது,
\(\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 9 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 25 \\ 13 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \\ 4 & 3 & 6 \\ 2 & 9 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 13 \\ 25 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-4{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \\ 0 & -17 & -22 \\ 0 & -1 & -13 \end{matrix}|\begin{matrix} 13 \\ -27 \\ -25 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+ (-1)\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+ (-1) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \\ 0 & 17 & 22 \\ 0 & 1 & 13 \end{matrix}|\begin{matrix} 13 \\ 27 \\ 25 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow 17{ R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \\ 0 & 17 & 22 \\ 0 & 0 & 199 \end{matrix}|\begin{matrix} 13 \\ 27 \\ 398 \end{matrix} \right] \)
ஏறுபடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது
x + 5y + 7z = 13,   ....(1)
17y + 22z = 27,   .....(2)
199z = 398   ......(3)
(3)-லிருந்து நாம் பெறுவது z = \(\frac { 398 }{ 199 } \) = 2
z = 2 என (2) -ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது y = \(\frac { 27-22\times 2 }{ 17 } =\frac { -17 }{ 17 } \) = -1
z = 2 மற்றும் y = −1 என (1)-ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது x = 13 - 5 x (-1) -7 x 2 = 4
எனவே தீர்வானது (x = 4, y = -1, z = 2)

நபரின் மாத ஆரம்ப ஊதியம் ரூ x என்க மற்றும் ஆண்டு உயர்வு ரூ y என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி x + 3y = 19800 மற்றும் x + 9y = 23,400.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 9 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 19800 \\ 23400 \end{matrix} \right] \)
⇒ AX=B இங்கு A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 9 \end{matrix} \right] \)மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} 19800 \\ 23400 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 9 \end{matrix} \right| =9-3=6\neq 0\)
A^-1 ஐக் காண இயலும்
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 6 } \begin{bmatrix} 9 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B\)
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]=\frac { 1 }{ 6 } \begin{bmatrix} 9 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} 19800 \\ 23400 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 178200 & -70200 \\ -19800 & +23400 \end{matrix} \right] \)
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]=\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 108000 \\ 3600 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 18000 \\ 600 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore x=18000,\quad y=600\)
எனவே  ஆரம்ப ஊதியம் Rs. 18000 மற்றும் ஆண்டு உயர்வு Rs. 600.