\(\theta =2\frac { \pi }{ 3 } \) எனில்
z ஐ சுற்றினால், \({ ze }^{ i\theta }=2{ e }^{ -i2\frac { \pi }{ 3 } }\)
\({ ze }^{ i\theta }=2{ e }^{ -i2\frac { \pi }{ 4 } }.{ e }^{ -i\frac { \pi }{ 3 } }\) [(1) ஐ பயன்படுத்தி]
\(=2\sqrt { 2 } { e }^{ \left( i\frac { \pi }{ 3 } -\frac { \pi }{ 4 } \right) }=2{ e }^{ -i5\frac { \pi }{ 12 } }\)

z = 2 + 3i, (2, 3) எனக் குறிக்கலாம்.
-iz = -i (2 + 3i) = -2i -3i² = -2i -3 (-1)
= 3 -2i
z -iz = 2 + 3i + 3 -2i = 5 + i (5, 1) எனக் ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்கலாம்.

2 tan^-1 (cos x) = tan^-1 (2 cosec x)
கொடுக்கப்பட்ட 2 tan^-1 (cos x) = tan^-1(2 cosec x)
கொடுக்கப்பட்ட 2 tan^-1 (cos x) காண்க.
= tan^-1 (cos x) + tan^-1 (cos x)
[∵ tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1 \(\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) \)]
= tan^-1 \(\left( \frac { cosx+cosx }{ 1-{ cos }^{ 2 }x } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 2cosx }{ { sin }^{ 2 }x } \right) \)
2 tan^-1 (cos x) - tan^-1 (2 cosec x) = 0
⇒ tan^-1 \(\left( \frac { 2cosx }{ { sin }^{ 2 }x } \right) \) - tan^-1 (2 cosec x) = 0
⇒ tan^-1 \(\left( \frac { 2cosx }{ { sin }^{ 2 }x } \right) \) - tan^-1 \(\left( \frac { 2 }{ sinx } \right) \) =0
⇒ tan^-1 \(\left( \frac { \frac { 2cosx }{ { sin }^{ 2 }x } -\frac { 2B }{ sinx } }{ 1+\frac { 2cosx }{ { sin }^{ 2 }x } .\frac { 2 }{ sinx } } \right) =0\)

⇒ 2 sin x cos x - 2 sin x = 0
⇒ 2 sin x (cos x - sin x) = 0
⇒ sin x = 0 அல்லது cos x = sin x
[∵ 2 ≠ 0]
⇒ sin x = 0 அல்லது tan x = 1
⇒ sin x = 0 அல்லது tan x = tan \(\frac { \pi }{ 4 } \)
sin x = 0 க்கு தீர்வுகள் x = nπ, n ∈ Z மற்றும் tan x 
= tan \(\frac { \pi }{ 4 } \) க்கு தீர்வுகள் x = nπ + \(\frac { \pi }{ 4 } \) , n ∈ Z
[∵ tan x = tan α ⇒ tan x = 2nπ + α,  n ∈ Z]
எனவே தீர்வுகள் x = nπ அல்லது x = nπ + \(\frac { \pi }{ 4 } \), n ∈ Z

g(x) = 2sin⁻¹(2x−1)−\(\frac{\pi}{4}\)
sin^-1 x ன் வரையறையிலிருந்து 
-1 ≤ 2x - 1 ≤ 1
⇒ -1 + 1 ≤ 2x ≤ 1 + 1 ⇒ 0 ≤ 2x ≤ 2
⇒ 0 ≤ x ≤ 1
∴ சார்பகம் = [0, 1]

4^x-3(2^x+2)+2⁵ =0
⇒ (2²)^x-3(2^x)(2²)+2⁵ =0
(2^x)²-12(2^x)+32 =0
பிரதியிடு 2^x =y
y²-12y+32 =0
(y-8)(y-4) =0
y=8, 4
நிலை (i)
y=8 எனில், 2^x =8 ⇒ 2^x =2³ ⇒ x=3
நிலை (ii)
y=4 எனில், 2^x =4 ⇒ 2^x =2² ⇒ x=±2. 
∴ மூலங்கள் 2,3 ஆகும் 

இங்கு பல்லுறுப்புக் கோவை சமன்பாட்டின் கெழுக்களின் கூடுதல் பூச்சியமாகும். எனவே பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் 1 ஆகும். மீதமுள்ள மூலங்களைக் கண்டறிய x³ − 3x² − 33x + 35-ஐ x-1 ஆல் வகுக்க x²-2x-35 என்பது ஈவாகக் கிடைக்கின்றது. இதனைத் தீர்க்க 7மற்றும் −5 மூலங்களாகும். எனவே 1,7,-5, ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு ஆகும்.

பொருத்தமான ஆயக்கூறு அச்சுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+y²=r² எனவும், நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு y = mx + c எனவும் கொள்க. வட்டமும் நேர்க்கோடும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளிகள் கீழ்க்காணும் ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகளின் தீர்வாகும் என நாம் அறிவோம்.
x²+y²=r²    .........(1)
y=mx+c     .........(2)
சமன்பாடு (1)-ல் y=mx+c எனப் பிரதியிட
x²+(mx+c)²-r² =0
எனக் கிடைக்கும் இச்சமன்பாட்டினை
(1+m²)x²+2mcx+(c²-r²)=0              ............(3)
என்ற இருபடிச் சமன்பாடாக எழுதலாம்.
இச்சமன்பாட்டிற்கு இரண்டிற்கு மேற்பட்டத் தீர்வுகள் இல்லை என்பதால் ஒரு கோடும் ஒரு வட்டமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேல் வெட்டிக்கொள்ளாது.
இரு மாறிகள் கொண்ட இரு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது ஒரு பிரதியிடல் மூலம் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் கணக்காக மாறுவது கவனிக்கத்தக்கது.
மேலும் அவ்வாறு குறைக்கப்பட்டு அமையும் இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் மெய்யெண்களாக இருப்பதால், இரு மூலங்களுமே மெய் எண்களாகவோ அல்லது இரு மூலங்களுமே மெய்யற்ற எண்களாகவோ அமையும். அவ்வாறு இரு மூலங்களுமே மெய்யற்ற கலப்பெண்கள் எனில், வட்டமும் நேர்க்கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டிக் கொள்ளாது. மெய்யெண் மூலங்களைப் பொருத்தவரையில் அவை ஒன்றுக்கொன்று வேறுபட்டவையாகவோ பல்லுறுப்புக் கோவையின் மூலங்களின் மடங்குகளாகவோ அமையும். அவை வேறுபட்டவை எனில், சமன்பாடு (2)-ல் பிரதியிட y க்கு இரு வேறுபட்ட மதிப்புகள் கிட்டும் என்பதால் இரு புள்ளிகளில் வெட்டிக்கொள்ளும். அவை இரண்டுமே சமமான மூலங்களாக இருப்பின் வட்டத்தில் நேர்க்கோடு தொடுகோடாக அமையும். சமன்பாடு (3)-ல் குறிப்பிட்டுள்ள பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு ஒரே ஒரு எளிமையான மெய்யெண் மூலம் இருப்பதால் ஒரு நேர்க்கோடு ஒரு வட்டத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் வெட்டாது.

\(\sin\frac { \pi }{ 6 } +i \cos\frac { \pi }{ 6 } =i\left( \cos \frac { \pi }{ 6 } -i\sin \frac { \pi }{ 6 } \right) \) ஆக எழுதலாம்.
இருபுறமும் 18-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
\({ \left( sin\frac { \pi }{ 6 } +icos\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 18 }={ \left( i \right) }^{ 18 }{ \left( \cos \frac { \pi }{ 6 } - i\sin \frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 18 }\)
= \((-1)\left( cos\frac { 18\pi }{ 6 } -isin\frac { 18\pi }{ 6 } \right) \)
= -(cos 3π - isin 3π) = 1 + 0i
ஆகவே, \({ \left( sin\frac { \pi }{ 6 } +icos\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 18 }\)  = 1

கொடுக்கப்பட்ட \(\left| { { z }_{ 1 } } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =1\)
⇒ \({ z }_{ 1 }\overline { z } =1\Rightarrow { z }_{ 1 }=\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } \)
மற்றும் \({ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }\neq -1\) மேலும் \({ z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 2 } } =1\)
⇒ \({ z }_{ 2 }=\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } \)
கருதுக \(\frac { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } }{ 1+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \)
\(\therefore \frac { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } }{ 1+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } =\frac { \frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } }{ 1+\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } } =\frac { \frac { \overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 2 } } }{ \overline { z_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } } }{ \frac { \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } +1 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } } } \)
\(=\frac { \overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 1 } } }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } +1 } =\frac { \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } }{ 1+\overline { { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } } \)
\(=\left( \frac { \overline { { z }_{ 1 }+{ 1 }_{ 2 } } }{ 1+{ z }_{ 2 }{ z }_{ 2 } } \right) \)
\(\therefore \frac { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } }{ 1+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \) மெய் [∵ z = \(\overline { z } \)  ⇒ என்பது மெய்]

இதற்கு நாம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் என நிறுவினால் போதும்.
z₁ = 1, z₂ = \(\frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \)மற்றும் z₃ = \(\frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) என்க .
முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்களை காண்போம்
\(\left| { { z }_{ 1 }-z }_{ 2 } \right| =\left| 1-\left( \frac { -1 }{ 2 } +i \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right| =\left| \frac { 3 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i \right | =\sqrt { \frac { 9 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } =\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 2 } =\sqrt { 3 } \)
\(\left| { { z }_{ 2 }-z }_{ 3 } \right| =\left| \left( \frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) -\left( \frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right| =\sqrt { { \left( \sqrt { 3 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 3 } \)
\(\left| { { z }_{ 3 }-z }_{ 1 } \right| =\left| \left( \frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right)-1 \right| =\left| \frac { -3 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i \right| =\sqrt { \frac { 9 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } =\sqrt { 3 } \)
பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

\( \sin ^{-1} \frac{5}{x}=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \frac{12}{x} \\ \frac{\pi}{2}-\left(\cos ^{-1} \frac{5}{x}\right)=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \frac{12}{x} \\ \cos ^{-1} \frac{5}{x}=\sin ^{-1} \frac{12}{x} \\ \cos \theta=\frac{5}{x} \\ \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1 \\ \left(\frac{5}{x}\right)^2+\left(\frac{12}{x}\right)^2=1 \\ \frac{25}{x^2}+\frac{144}{x^2}=1 \Rightarrow \frac{169}{x^2}=1 \\ x^2=169 \Rightarrow x= \pm 13 \)

i) \({ \tan }^{ -1 }\left( -\sqrt { 3 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \tan\left( -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) =-\frac { \pi }{ 3 } \), ஏனெனில் \(-\frac { \pi }{ 3 } \in \left( -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) \)
ii) \({ \tan }^{ -1 }\left( \tan\frac { 3\pi }{ 5 } \right) \)
tan \(\theta\) = tan \(\frac{3\pi}{5}\) எனுமாறு \(\theta \in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) ஐ நாம் கண்டறிய வேண்டும்.
தொடுகோட்டுச் சார்பின் காலம் \(\pi \) என்பதால், \( \tan \frac{3\pi}{5}=\tan(\frac{3\pi}{5}-\pi)=\tan(-\frac{2\pi}{5})\)
எனவே, \({ \tan }^{ -1 }\left( \tan\frac { 3\pi }{ 5 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \tan\left( -\frac { 2\pi }{ 5 } \right) \right) =-\frac { 2\pi }{ 5 } ,\) ஏனெனில் \(-\frac {2\pi }{ 5 } \in \left( -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) .\)
iii) tan(tan^-1 x) = x, x ∈ R, என்பதால், tan(tan^-1(2019)) = 2019 ஆகும்.

|A|=(2)(7)-(9)(1) = 14-9=5. எனவே, A^-1 =\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -9 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 9 }{ 5 } \\ -\frac { 1 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] \)
எனவே, (A^-1)^T = \(\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 1 }{ 5 } \\ -\frac { 9 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \) ... (1)
A^T=\(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 9 & 7 \end{matrix} \right] \)எனவே |A^T| =(2)(7)-(1)(9) = 5
(A^T)^-1 = \(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \)... (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து கிடைப்பது, (A^-1)^T =(A^T)^-1 எனவே கொடுத்துள்ள பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.

\(\cos\left( { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)
cos^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = θ ⇒ \(\frac { 4 }{ 5 } \) = cos θ என்க.    ...(1)
மேலும் sin^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = sin^-1 (cos θ)
= sin^-1\(\left( \sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \right) \)
[∵ cosθ = sin \(\sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \) ]
= \(\frac { \pi }{ 2 } -\theta \)    ...(2)
\(\therefore \cos\left( { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)
= cos \(\left( \theta +\frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \) [(1) மற்றும் (2) ஐ பயன்படுத்தி]
= cos \(\frac { \pi }{ 2 } =0\)

z = x + iy என்க. இங்கு x என்பது Re (z) மற்றும் y என்பது Im (z).
பிறகு \(\bar { z } \) = x - iy
z  + \(\bar { z } \) = x + iy + x - iy = 2x
\(\therefore \frac { z+\bar { z } }{ 2 } =x\)
\( \frac { z+\bar { z } }{ 2 } =Re(z)\)
மேலும் z- z = x + iy-(x-iy)
= x + iy - x + iy = 2iy
\(\frac { z-\bar { z } }{ 2i } =y\)
\(\therefore \frac { z-\bar { z } }{ 2i } =Im(z)\)

வழக்கமான குறியீடுகளுடன் முக்கோணம் ABC-ல் ABC, \(\vec { BC } =\vec { a } ,\vec { CA } =\vec { b } \)மற்றும் \(\vec { AB } =\vec { c } \) என்க.
எனவே, \(\left| \vec { BC } \right| =a\), \(\left| \vec { CA } \right| =b\), \(\left| \vec { AB} \right| =c\) மற்றும் \(\vec { BC } +\vec { CA } +\vec { AB } =\vec { 0 } \)
எனவே, \(\vec { BC } =-\vec { CA } -\vec { AB } \)
\(\vec { BC } .\vec { BC } =(-\vec { CA } -\vec { AB } ).(-\vec { CA } -\vec { AB } )\)
⇒\({ \left| \vec { BC } \right| }^{ 2 }={ \left| \vec { CA } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { AB } \right| }^{ 2 }+\vec { 2CA } .\vec { AB } \)
⇒ a² = b²+c²+2bc cos(\(\pi \) - A)
⇒ a² = b²+c²−2bc cos A.
முடிவுகள் (ii) மற்றும் (iii) ஆகியவற்றை இதேபோல் நிறுவலாம்.

\(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 3 } \right|\) = 1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, \({ \left| { z }_{ 1 } \right| }^{ 2 }=1\Rightarrow { z }_{ 1 }\bar { { z }_{ 1 } } =1,{ \left| { z }_{ 2 } \right| }^{ 2 }=1\Rightarrow { z }_{ 2 }\bar { { z }_{ 2 } } =1\),  மற்றும் \({ \left| { z }_{ 3 } \right| }^{ 3 }=1\Rightarrow { z }_{ 3 }\bar { { z }_{ 3 } } =1\)
 ஆகவே, \(\bar { { z }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } ,\bar { { z }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } \), மற்றும் \(\bar { { z }_{ 3 } } =\frac { 1 }{ { z }_{ 3 } } \)
மேலும், \(\left| \frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 3 } } \right| =\left| \bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } +\bar { { z }_{ 3 } } \right| \) 
\(=\left| \overline { { { z }_{ 1 } } +{ { z }_{ 2 } } + { { z }_{ 3 } } }\right| =\left| { { z }_{ 1 } } + { { z }_{ 2 } } + { { z }_{ 3 } } \right| \) = 1

\( \vec{a} =a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k} \\ \vec{a} \times \hat{i} =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(0)-\hat{j}\left(-a_3\right)+\hat{k}\left(0-a_2\right) \\ =a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k} \\ \hat{i} \times(\vec{a} \times \hat{i}) =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & a_3 & -a_2 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(0)-\hat{j}\left(-a_2\right)+\hat{k}\left(a_3\right)=a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k} \hat{j} \times(\vec{a} \times \hat{j})=a_1 \hat{i}+a_3 \hat{k} \\ \hat{k} \times(\vec{a} \times \hat{k})=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j} \)
\( \hat{i} \times(\vec{a} \times \hat{i})+\hat{j} \times(\vec{a} \times \hat{j}) +\hat{k} \times(\vec{a} \times \hat{k}) \\ =2 a_1 \hat{i}+2 a_2 \hat{j}+2 a_3 \hat{k} \\ =2\left(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}\right)=2 \vec{a} \)

தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX =  B, இங்கு A =\(\left[ \begin{matrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right] \)
|A| = \(\left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \) = 10-6 = 4 ≠ 0. எனவே A^-1 காண இயலும். மற்றும் A^-1 = \(\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right] \)
X = A^-1B என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 6-10 \\ -9+25 \end{matrix} \right] =\frac {1}{4}\left[ \begin{matrix} -4 \\ 16 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { -4 }{ 4 } \\ \frac { 16 }{ 4 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
எனவே தீர்வானது (x = -1, y = 4)

\(y={ x }^{ 3 }-6{ x }^{ 2 }+x+3\) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \(\cfrac { dy }{ dx } ={ 3x }^{ 2 }12x+1\) 
செங்கோட்டின் சாய்வு = \(\cfrac { 1 }{ { 3x }^{ 2 }-12x+1 } \) 
கொடுக்கப்பட்ட கோடு  x+y=1729
கோட்டின் சாய்வு = -1
செங்கோடும்,கோடும் இணை என்பதால் அவற்றின் சாய்வுகள் சமம்.
\(\therefore -\cfrac { 1 }{ { 3x }^{ 2 }-12x+1 } =-1\) 
\({ 3x }^{ 2 }-12x+1=1\) 
\({ 3x }^{ 2 }-12x=0\) 
\(3x(x-4)=0\) 
x = 0, 4
x = 0 எனும்போது, \(y=(0)^{ 3 }-6(0)^{ 2 }+0+3=3\) 
x = 4 எனும்போது \(y=\left( 4 \right) ^{ 3 }-6(4)^{ 2 }+4+3\) 
= 64 - 96 + 4 + 3 = - 25
\(\therefore\) வளைவரையின் மீதுள்ள புள்ளிகள் (0, 3) மற்றும் (4, -25).

சரக்கு வாகனத்தின் அகலம் 3மீ என்பதால் அது வளைவு வழிச் செல்ல சாலையின் மையத்திலிருந்து 1.5மீ தூரத்தில் வளைவின் உயரம் கணக்கிட வேண்டும். இந்த உயரம் 2.7மீ அல்லது குறைவாக இருந்தால் சரக்கு வாகனம் வளைவு வழிச் செல்லாது.
படத்திலிருந்து a = 6 மற்றும் b = 3 என்பது \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { 6 }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { 3 }^{ 2 } } =1\) என்ற நீள்வட்டச் சமன்பாட்டை அளிக்கின்றது.
3மீ அகல வாகனத்தின் விளிம்பு மையத்திலிருந்து x = 1.5மீ-இல் இருக்கும். மையத்திலிருந்து 1.5மீ தூரத்தில் வளைவின் உயரம் காண x = 1.5 எனச் சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு y-இன் தீர்வு காண
\(\frac { { \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ 36 } \frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\)
 \({ y }^{ 2 }=9\left( 1-\frac { 9 }{ 144 } \right) \)
\(\frac { 9\left( 135 \right) }{ 144 } =\frac { 135 }{ 16 } \)
\(y=\frac { \sqrt { 135 } }{ 4 } \)
= 11.62/4
= 2.90
இதனால் வளைவின் மையத்திலிருந்து 1.5மீ தூரத்தில் வளைவின் உயரம் 2.90மீ, சரக்கு வாகனத்தின் உயரம் 2.7மீ என்பதால் அது நீள்வட்ட வளைவு வழியேச் செல்லும்.

ஆய அச்சுகளை பொருத்தமாக தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் நேர்க்கோட்டுக்கான சமன்பாட்டை
y = mx + c  ........(1)
மற்றும் பரவளையத்திற்கான சமன்பாட்டை y² = 4 ax என எடுத்துக் கொள்ளலாம்.  .....(2)
(1) ஐ (2) -ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
(mx + c)² = 4 ax
⇒ m²x² + c² + 2mcx = 4ax
⇒ m² x² + x(2mc - 4a) + c² = 0
இது x ல் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடு.
இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. எனவே ஒரு நேர்க்கோடும் ஒரு பரவளையமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேற்பட்டு வெட்டிக் கொள்ளாது.

(i) cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎) 
கொடுக்கப்பட்ட cos α + cos β + cos ⋎ = sin α + sin β + sin ⋎ = 0 
ஃ (cos α + cos β + cos ⋎) +  (cos α + cos β + cos ⋎)
⇒ (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos ⋎ + i sin ⋎) = 0
⇒ a + b + c = 0 இங்கு a = cos α + i sin α, b = cos β + i sin β, c = cos ⋎ + i sin ⋎
a + b + c = 0 எனில் a³ + b³ + c³ = 3abc.
∴ (cos α+ i sin α)³ + (cos β + i sin β)³ + (cos ⋎ + i sin ⋎)³ = 3[(cos α+ i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos ⋎ + i sin ⋎)]
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
⇒ cos 3α + i sin 3α + cos 3β + i sin 3β + cos 3⋎ + i sin 3⋎
= 3[(cos (α + β + ⋎) i sin (α + β + ⋎)]
⇒ (cos 3α + cos 3β + cos 3⋎) +i [sin 3α + sin 3β + sin 3⋎)]
= 3[(cos (α + β + ⋎) i sin (α + β + ⋎)]
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த கிடைப்பது.
cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎)
மற்றும் sin3 α + sin3 β + sin3 ⋎ = 3 sin (α+ β + ⋎)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

x கேள்விகளுக்கு சரியாக பதில் அளித்திருப்பார் மற்றும் y கேள்விகளுக்கு தவறான பதில் அளித்திருப்பார் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, x+y =100 மற்றும் 
\(x-\frac { 1 }{ 4 } y=80...(1)\)
4ஆல் பெருக்க கிடைப்பது 
4x-y=320      ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து 
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -1/4 \end{matrix} \right| =-1/4-1=-5/4 \not = 0\)
\({ \Delta }_{ x }=\left| \begin{matrix} 100 & 1 \\ 80 & -1/4 \end{matrix} \right| =-25-80=-105\)
\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 1 & 100 \\ 1 & 80 \end{matrix} \right| =80-100=-20\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } =\frac { -105 }{ -5/4 } =21 \times 4 =+84\)
மற்றும் \(y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } =\frac { -20 }{ -5/4 } =4 \times 4 = 16\)
\(\therefore\) 84 கேள்விகளுக்குச் சரியான பதில் அளித்திருப்பார்.
16 கேள்விகளுக்கு தவறான பதில் அளித்திருப்பார்.

ஒரு ஆடவர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு x நாட்கள் மற்றும் மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு y நாட்கள் ஆகும்.
∴ கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, 
\(\frac { 4 }{ x } +\frac { 4 }{ y } =\frac { 1 }{ 3 } \) மற்றும் \(\frac { 2 }{ x } +\frac { 5 }{ y } =\frac { 1 }{ 4 } \)
\(\frac { 1 }{ x } =s\) மற்றும் \(\frac { 1 }{ y } =t\) என பிரதியிடு 
\(\therefore 4s+4t=\frac { 1 }{ 3 } \) மற்றும் \(2s+5t=\frac { 1 }{ 4 } \)
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 4 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} s \\ t \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } \\ \frac { 2 }{ 4 } \end{matrix} \right] \Rightarrow AX=B\)
\(A=\left[ \begin{matrix} 4 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \) மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } \\ \frac { 2 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)
X=A^-1 B 
இங்கு \(|A|=\left| \begin{matrix} 4 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| =20-8=12\neq 0\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} 5 & -4 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} 5 & -4 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} \frac { 5 }{ 3 } -1 \\ \frac { -2 }{ 3 } +1 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 12 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 12 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 18 } \\ \frac { 1 }{ 36 } \end{matrix} \right] \)
\(\therefore s=\frac { 1 }{ 18 } \Rightarrow \frac { 1 }{ x } =\frac { 1 }{ 18 } \Rightarrow x=18\)
\(t=\frac { 1 }{ 36 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ 36 } \Rightarrow y=36\)
ஆகையால் ஓர் ஆடவர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு 18 நாட்கள் மற்றும் ஒரு மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு 36 நாட்கள் ஆகும்.