(1,1) என்ற புள்ளியில் இருந்து எந்த ஒரு புள்ளி (x, y) -க்கு உள்ள தூரம் d =\(\sqrt { { \left( x-1 \right) }^{ 2 }+{ \left( y-1 \right) }^{ 2 } } \) d -ல் கணக்கிடுவதற்குப் பதில், நம் வசதிக்காக D = d² = (x−1)²+ (y− 1)² -ல் கணக்கிடுவோம். இங்கு கட்டுப்பாடானது x² + y²  = 1 ஆகும். இப்பொழுது, \(\frac { dD }{ dx } \) = 2( x −1)+2(y −1) x \(\frac { dy }{ dx } \) இங்கு \(\frac { dy }{ dx } \) -யினை x² + y²  =1-ஐ வகையிட்டு கணக்கிடலாம். எனவே, 2x + 2y \(\frac { dy }{ dx } \) =0 ⇒\(\frac { dy }{ dx } \) =-\(\frac { x }{ y } \).
இதனைப் பிரதியிட, நாம் பெறுவது \(\frac { dD }{ dx } \) =2(x −1) +2(y −1)\(\left(- \frac { x }{ y } \right) \)
=\(\frac { 2\left[ xy-y-xy+x \right] }{ y } \)
எனவே, \(\frac { dD }{ dx } \) =2\(\left[ \frac { x-y }{ y } \right] \)=0
⇒x = y
(x, y) ஆனது x² + y²  =1 என்ற வட்டத்தின் மீது அமைவதால் 2x² = 1 ⇒x= 土\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) 
ஆகவே அறுதி தூரங்கள்  \(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \), \(\left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \) என்ற புள்ளிகளில் கிடைக்கும்.
இப்பொழுது, \(\frac { { d }^{ 2 }D }{ { dx }^{ 2 } } =2\frac { { y }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }{ { y }^{ 3 } } \)
மேலும் \({ \left( \frac { { d }^{ 2 }D }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) }>0;{ \left( \frac { { d }^{ 2 }D }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) }<0\) 
இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி மிக அருகாமையில் மற்றும் மிக தொலைவில் உள்ள புள்ளிகள் முறையே \(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \) மற்றும் \(\left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \) ஆகும்.
எனவே, மிகக் குறைந்த மற்றும் மிக அதிக தூரங்கள் முறையே \(\sqrt { 2 } \)-1 மற்றும் \(\sqrt { 2 } \)+1 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகள் xy=2 ...(1)
\({ x }^{ 2 }+4y=0\)                                                 ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐத் தீர்க்க 
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+4\left( 2/x \right) =0\) 
\({ x }^{ 3 }+8=0\) 
\({ x }^{ 3 }=-8\) 
\(x=-2\) 
(1) ல் பிரதியிட,\(y=\cfrac { 2 }{ -2 } =1\) 
\(\therefore\) (1) மற்றும் (2)ன் வெட்டும் புள்ளி (-2, -1)
 \(xy=2\Rightarrow y=\cfrac { 2 }{ x } \)                            ...(1) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \('{ m }_{ 1 }'=\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ \left( -2,-1 \right) }\) 
= \(-\cfrac { 2 }{ 4 } =-\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
=  \({ x }^{ 2 }+4y=0\Rightarrow y=-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 4 } \) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dy }{ dx } =-\cfrac { 2x }{ 4 } =-\cfrac { x }{ 2 } \)
தொடுகோட்டின் சாய்வு \('{ m }_{ 2 }'=\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ \left( -2,-1 \right) }\) 
= \(\cfrac { 2 }{ 2 } =1\) 
வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் 
\(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left| \cfrac { { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } } \right| \) 
\(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left| \cfrac { \frac { -1 }{ 2 } -1 }{ 1-\frac { 1 }{ 2 } } \right| \) 
= \({ \tan }^{ -1 }\left| \cfrac { -\frac { 3 }{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } } \right| \) 
\(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left( 3 \right) \)

கொடுக்கப்பட்ட இரு வளைவரைகளும் வெட்டும் புள்ளியை (a, b) என்க.
ஆகவே, a² + 4b² = 8  மற்றும் a² - 2b² = 4   ...(4)   
நாம் (a, b) என்ற புள்ளியில் இவ்விரு வளைவரைகளின் சாய்வுகளின் பெருக்கல் பலன் −1 என நிறுவ வேண்டும்.
x² + 4y² = 8 -ஐ x -ஐப் பொருத்து வகையிட
\(\begin{aligned} 2 x+8 y \frac{d y}{d x} & =0 \end{aligned}\)
எனவே, \(\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-\frac{x}{4 y} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, b)} & =m_1=-\frac{a}{4 b} . \end{aligned}\)
x² - 2y² = 4 -ஐ x -ஐப் பொருத்து வகையிட
\(2x-4y\frac{dy}{dx}=0\)
எனவே, \(\frac{dy}{dx}=\frac{x}{2y}\)
\(\left ( \frac{dy}{dx} \right )_{(a,b)}=m_{2}=\frac{a}{2b}\)
எனவே , \(m_{1}\times m_{2}=\left ( -\frac{a}{4b} \right )\times \left ( \frac{a}{2b} \right )=-\frac{a^{2}}{8b^{2}}\)  ..... (5)
(4)-ல் விகிதச் சமக் கொள்கையை பயன்படுத்த ,
\(\frac{a^{2}}{-16-16}=\frac{b^{2}}{-8+4}=\frac{1}{-2-4}\)எனப்பெறலாம்.
எனவே, \(\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{32}{4}=8\) ஆகும். இதனை (5)-ல் பிரதியிட, நாம்  m₁ \(\times\) m₂ = -1 எனப் பெறலாம். ஆகவே, இவ்விரு வளைவரைகளும் செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்ளும்.

h மற்றும் r முறையே உயரம் மற்றும் அடிமானத்தின் ஆரம் என்க. எனவே h = 2r ஆகும். V என்பது உப்பு கூம்பின் கன அளவு என்க .

\(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{12}\pi h^{3}; \frac{dV}{dt}=30\) மீ³ / நிமிடம்  
எனவே , \(\frac{dV}{dt}=\frac{1}{4}\pi h^{2}\frac{dh}{dt}\)
ஆகையால், \(\frac{dh}{dt}=4 \frac{dV}{dt}.\frac{1}{\pi h^{2}}\)
அதாவது, \(\frac{dh}{dt}=4\times30\times \frac{1}{100 \pi}\)
= \(\frac{6}{5\pi}\)மீ/ நிமிடம்  

இது இரட்டைப்படை இரண்டாம் வகை தலைகீழ் சமன்பாடாகும். எனவே இதனை பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.
\(6\left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) -5\left( { x }+\frac { 1 }{ x } \right) -38\)              ......(1)
பிரதியிடு \({ x }+\frac { 1 }{ x } =y\Rightarrow \left( { x }+\frac { 1 }{ x } \right) ^{ 2 }\)=y²
⇒ \({ x^{ 2 } }+\frac { 1 }{ x } +2={ y }^{ 2 }\Rightarrow { x^{ 2 } }+\frac { 1 }{ x } \)=y2-2
∴ (1)லிருந்து,
6(y²-2)-5y-38 =0
⇒ 6y²-12-5y-38 =0
⇒ 6y²-5y-50 =0
⇒ (3y-10)(2y+5)=0
⇒ y=\(\frac { 10 }{ 3 } ,\frac { -5 }{ 2 } \)
நிலை (i)
y=\(\frac { +10 }{ 3 } \) எனில்,
\({ x }+\frac { 1 }{ x } =\frac { +10 }{ 3 } \)
\(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { +10 }{ 3 } \)
⇒ 3x²-10x+3 =0
\((x-3)(x-\frac { 1 }{ 3 } )=0\Rightarrow x=3,\frac { 1 }{ 3 } \)
நிலை (ii)
y=-\(\frac { 5 }{ 2 } \) எனில்,
⇒ \(x+\frac { 1 }{ x } =-\frac { 5 }{ 2 } \Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { -5 }{ 2 } \)
⇒ 2x²+2+5x=0 ⇒ 2x²+5x+2=0
⇒ (x+2)(2x+1) =0 ⇒ x=-2, \(\frac { -1 }{ 2 } \)
∴ மூலங்கள் \(3,\frac { 1 }{ 3 } ,-2,\frac { -1 }{ 2 } \).

உறுப்புகளை பின்வருமாறு வரிசைபடுத்த
(x − 5)(x − 7)(x + 6)(x + 4) = 504
⇒ (x²-x-20) (x²-x-42) = 504
பிரதியிடு x²-x=y
⇒ (y-20)(y-42) = 504
⇒ y²-62y+840-504 =0
⇒ y²-62y+336 =0
⇒ (y-56)(y-6) =0
⇒ y=56,6
நிலை  (i) y=56 எனில், x²-x=56
⇒ x²-x-56=0
⇒ (x-8)(x+7) =0
⇒ x= 8, -7
நிலை (ii) y=6 எனில்,
x²-x =6
⇒ x²-x-6 =0
⇒ (x-3)(x+2) =0
⇒ x=3,-2
எனவே மூலங்கள் -2, 3, 8, -7

வெடிச்சத்தம் உண்டான இடம்P(x, y) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட PB-PA = 6

தூரத்திற்கான சமன்பாட்டை பயன்படுத்த
\(\sqrt { (x-5)^{ 2 }+(y-0)^{ 2 } } -\sqrt { (x+5)^{ 2 }+(y-0)^{ 2 } } =6\)
⇒ \(\sqrt { (x-5)^{ 2 }+(y)^{ 2 } } -\sqrt { (x+5)^{ 2 }+(y)^{ 2 } } =6\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது
(x-5)²+y²+(x+5)²+y²
\(-2\sqrt { [(x-5)^{ 2 }+{ y }^{ 2 }][(x+5)^{ 2 }+{ y }^{ 2 }] } =36\)

= \(2\sqrt { ({ x }^{ 2 }-10x+25+{ y }^{ 2 })({ x }^{ 2 }+10x+25+{ y }^{ 2 }) } \)
⇒ x² + y² + 7
= \(2\sqrt { ({ x }^{ 2 }-10x+25+{ y }^{ 2 })({ x }^{ 2 }+10x+25+{ y }^{ 2 }) } \) [∵ ÷2]
மீண்டும் வர்க்கப்படுத்த,
x⁴+y⁴+49+2x²y²+14y²+14x²
= (x²-10x+25y²) (x²+10x+25+y²)

⇒ 14y²+14x² = -50x²+50y²+625-49
⇒ 64x²-36y² = 576
÷ 4 கிடைப்பது
16x²-9y² = 144
\(\frac { x^{ 2 } }{ 9 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } \) = 1
எனவே வெடிச்சத்தம் உண்டான இடம் அதிபரவளையத்திற்கு உட்பட்டது. அதன் சமன்பாடு \(\frac { x^{ 2 } }{ 9 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } \)=1

அணு உலை குளிரூட்டும் தூணின் குறுக்கு வெட்டு அதிபரவளைய வடிவில் உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட \(OC=\cfrac { 1 }{ 2 } OD\) மற்றும் CD = 150மீ அதனுடைய சமன்பாடு OC = 50மீ மற்றும் OD = 100 மீ \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 30 }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { 44 }^{ 2 } } =1\)
OC = 50 மீ மற்றும் OD = 100 மீ அணு உலையின் மேற்புற ஆரம் x₁ எனவும், கீழ்புற ஆரம் x₂ எனவும் கொள்க.
ஃபுள்ளிகள் A(x₁, 50) மற்றும் B(x₂, -100) அதிபரவளையம் A(x₁, 50) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
\( \therefore \frac{x_1^2}{30^2}-\frac{50^2}{44^2} =1+\frac{2500}{1936}=\frac{1936+2500}{1936} \\ x_1^2 =\frac{30^2}{44^2}(4436) \\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times \sqrt{4436} \)
\(\\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times(66.6)=45.41 \ \)மீ
மேற்புற ஆரம் = 45.41 மீ
மேற்புற விட்டம் = 90.82 மீ
மேலும், அதிபரவளையம் B(x₂, -100) வழிச் செல்கிறது.
\( \frac{x_2^2}{30^2}-\frac{100^2}{44^2} =1 \\ \frac{x_2^2}{30^2} =1+\frac{100^2}{44^2}=\frac{44^2+100^2}{44^2} \\ x_2^2 =\frac{30^2}{44^2}(11936) \\ x_2 =\frac{30}{44} \times \sqrt{11936} \\ =\frac{30}{44}(109.25)=74.48 \)
கீழ்ப்புற ஆரம் = 74.48 மீ
கீழ்ப்புற விட்டம் = 148.96 மீ
ஃ தூணின் மேற்பகுதி மற்றும் அடிப்பகுதியின் விட்டங்கள் முறையே 90.82 மீ மற்றும் 148.96 மீ.

துணைக்கோள் ஏற்பியின் குறுக்கு வெட்டு பரவளையம் வலது பக்க திறப்புடையது.

அதனுடைய சமன்பாடு y² = 4ax 
முனையிலிருந்து குவியம் 1.2 மீ தூரத்தில் உள்ளதால் OA = 1.2மீ மற்றும் BC = 2.5 மீ ஏற்பியின் அகலம் 5மீ 
படத்திலிருந்து, a = 1.2 மீ 
\(\therefore\) y₂ = 4(1.2)x
(a) \(\Rightarrow\) y₂ = 4.8x
(b) (x₁, 2.5) (1)-ன் மீது அமைந்துள்ளதால் 
(2.5)² = 4.8(x₁)
\({ x }_{ 1 }=\cfrac { 2.5\times 2.5 }{ 4.8 } \) 
x₁ = 1.3மீ
\(\therefore \) முனையிலிருந்து செயற்கைக்கோள் ஏற்பியின் ஆழம் 1.3மீ ஆகும்.

நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு c² + 3y² = 12
\(\div \) 12 கிடைப்பது \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 12 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 4 } =1\) 
\(\therefore\) a² = 12, b² = 4
கோடு x - y + 4 = 0 ஐ y = x + 4 என திருத்தி எழுதலாம் .
\(\therefore\) m = 1, c = 4
y = mx + 4 நீள் வட்டத்தின் தொடுகோடாக இருக்க கட்டுப்பாடு c² = a²m² + b²
\(\therefore \) (4)² = 12(1)² + 4
\(\Rightarrow\) 16 = 12 + 4
\(\Rightarrow\) 16 = 16
நிபந்தனை நிறைவு செய்யப்படுவதால், கோடு x - y + 4 = 0 நீள் வட்டம் x² + 3y² = 12க்கு தொடுகோடாகும்.
மேலும் தொடும்புள்ளி \(\left( \cfrac { { -a }^{ 2 }m }{ c } ,\cfrac { { b }^{ 2 } }{ c } \right) \)
\(\Rightarrow \left( -\cfrac { 12(1) }{ 4 } ,\cfrac { 4 }{ 4 } \right) \Rightarrow \left( -3,1 \right) \)
\(\therefore\) தொடுபுள்ளி (-3, 1)

கொடுக்கப்பட்ட தளம் புள்ளிகள் \(\vec { a } =2\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =9\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } \) வழிச் செல்கிறது.
கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு \(2x+6y+6z=9\)
இதை இவ்வாறு எழுதலாம் \(\vec { r } .\left( 2\hat { i } +6\hat { j } +6\hat { k } \right) =9\)
கொடுக்கப்பட்ட தளம் \(2\hat { i } +6\hat { j } +6\hat { k } \)க்கு செங்குத்து ஆதலால், தேவையான தளம்   \(\vec { c } =2\hat { i } +6\hat { j } +6\hat { k } \)க்கு இணை ஆகையால் இரண்டு புள்ளி வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டருக்கு இணையான தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம் \(\vec { r } =\vec { a } +s\left( \vec { b } -\vec { a } \right) +t\vec { c } ,s,t\in R\)
\(\vec { r } =2\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } +s\left( 7\hat { i } +\hat { j } +5\hat { k } \right) +t\left( 2\hat { i } +6\hat { j } +6\hat { k } \right) ,s,t\in R\)
தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாடு
\(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } & y-{ y }_{ 1 } & z-{ z }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } & { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } & { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } & { { c }_{ 2 } } & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\) 
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-2 & y-2 & z-1 \\ 7 & 1 & 5 \\ 2 & 6 & 6 \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left( x-2 \right) (6-30)-(y-2)(42-10)+(z-1)(42-2)=0\) 
\(\Rightarrow (x-2)(-24)-(y-2)(32)+(z-1)(40)=0\) 
\(\Rightarrow -24x+48-32y+64+40z-40=0\) 
\(\Rightarrow -24x-32y+40z+72=0\) 
\(\div -8\) கிடைப்பது
3x + 4y - 5z - 9 = 0 என்பது கார்டீசியன் வடிவம்.
\(\therefore\) வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்
\(\vec { r } =\vec { r } .\left( 3\vec { i } +4\hat { j } -5\vec { k } \right) =9\)

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் 
\(\frac { x-3 }{ 3 } =\frac { y-3 }{ -1} \) ....(1)
மற்றும் z - 1 = 0 \(\Rightarrow\) z = 1
மற்றும் y - 2 = 0 \(\Rightarrow\) y = 2
y = 2 மற்றும் z = 1 என(1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 

(6, 2, 1) வெட்டுப்புள்ளி 
(6, 2, 1), (1) மற்றும் (2) ஐ பூர்த்தி செய்கிறது என்பதை சோதிக்க
\((1)\longrightarrow \cfrac { 6-6 }{ 2 } =\cfrac { 1-1 }{ 3 } \Rightarrow 0=0\) 
\(\left( 2 \right) \longrightarrow \cfrac { 6-3 }{ 3 } =\cfrac { 1-3 }{ -1 } \Rightarrow -1=-1\) 
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டுகின்றன மற்றும் வெட்டும் புள்ளி (6, 2, 1)

அணிவடிவம் \(=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & \lambda \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}\right ]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]\)
விரிவு படுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மற்ற கிடைப்பது,
\([A|0]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & \lambda \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & \lambda \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 } }{ \underset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & \lambda \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & \lambda -8 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]\)
நிலை (i) λ≠8 எனில் 

இங்கு ρ(A) = 3, ρ([A | B]) = 3
\(\therefore\) ρ(A) = ρ([A | B]) = 3 = n மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
\(\therefore\) கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும்.
தீர்வு x = 0, y = 0, z = 0
நிலை (ii) λ = 8 எனில் 
\([A|0]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A) = 2, ρ([A | B]=2
\(\therefore\) ρ(A) = ρ([A|0]) = 2 < 3, மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை,
\(\therefore\) தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் வெளிப்படையற்ற தீர்வுகளை உடையது.

வட்டத்தின் பொதுச் சமன்பாடு x² + y² + 2gx +2fy + c = 0    ...(1)
இது (1, 1), (2, -1) மற்றும் (3, 2) என்ற புள்ளிகள் வழிச்செல்வதால் 
2g + 2 f + c = -2 , … (2)
4g − 2 f + c = -5 , … (3)
6g + 4 f + c = -13 . … (4)
(2)-(3)-இலிருந்து -2g + 4f = 3.     ...(5)
(4)-(3)-இலிருந்து  2g + 6f = -8.     ...(6)
(5)+(6)-இலிருந்து f = -\(\frac{1}{2}\) என கிடைக்கும் மதிப்பை (6) இல் பிரதியிட g =\(\frac{-5}{2},f,g\) இன் மதிப்புகளை (2) இல் பிரதியிட c = 4 எனவும் கிடைக்கிறது.
எனவே தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2\left( -\frac { 5 }{ 2 } \right) x+2\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) y+4=0\)
அதாவது x² + y² − 5x − y + 4 = 0.

கொடுக்கப்பட்ட A=\(\left[ \begin{matrix} -5 & 1 & 3 \\ 7 & 1 & -5 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \), 
B=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \)
\(AB=\left[ \begin{matrix} -5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -5+3+6 \\ 7+3-10 \\ 1-3+2 \end{matrix}\begin{matrix} -5+2+3 \\ 7+2-5 \\ 1-2+1 \end{matrix}\begin{matrix} -10+1+9 \\ 14+1-15 \\ 2-1+3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right] =4{ I }_{ 3 }\)
\(BA=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -5+7+2 \\ -15+14+1 \\ -10+7+3 \end{matrix}\begin{matrix} 1+1-2 \\ 3+2-1 \\ 2+1-3 \end{matrix}\begin{matrix} 3-5+2 \\ 9-10+1 \\ 6-5+3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right] =4{ I }_{ 3 }\)
ஆகையால் AB = BA = 4I₃ என அறிவோம்.
\(\Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 4 } A \right) B=B\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) =I\)
\(\Rightarrow { B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 4 } =I\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பை அணி வடிவில் எழுத கிடைப்பது, 
\(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
BX = C 
X = B^-1 C 
\(\Rightarrow B\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ={ B }^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] =\left[ \frac { 1 }{ 4 } A \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} -5+7+6 \\ 7+7-10 \\ 1-7+2 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 8 \\ 4 \\ -4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
∴ x = 2, y = 1, z = -1
எனவே தீர்வு கணம் {2, 1, -1}

A என்பது செங்குத்து அணி. எனவே, AA^T = A^TA = I₃ எனவே நாம் பெறுவது
AA^T = I₃ ⇒ \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & a \\ b & -2 & 6 \\ 2 & c & 3 \end{matrix} \right] \frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & b & 2 \\ -3 & -2 & c \\ a & 6 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
⇒\(\left[ \begin{matrix} 45+{ a }^{ 2 } & 6b+6+6a & 12-3c+3a \\ 6b+6+6a & { b }^{ 2 }+40 & 2b-2c+18 \\ 12-3c+3a & 2b-2c+18 & { c }^{ 2 }+13 \end{matrix} \right] =49\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
⇒ \(\left\{ \begin{matrix} 45+{ a }^{ 2 }=49 \\ { b }^{ 2 }+40=49 \\ \begin{matrix} { c }^{ 2 }+13=49 \\ 6b+6+6a=0 \\ \begin{matrix} 12-3c+3a=0 \\ 2b-2c+18=0 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} { a }^{ 2 }=4,\quad { b }^{ 2 }=9,\quad { c }^{ 2 }=36 \\ a+b=-1,a-c=-4,b-c=-9 \end{matrix} \right\} \) ⇒m a = 2, b = -3, c = 6
எனவே நமக்குக் கிடைப்பது, A = \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & 2 \\ -3 & -2 & 6 \\ 2 & 6 & 3 \end{matrix} \right] \) மற்றும் A^-1 = A^T = \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & 2 \\ -3 & -2 & 6 \\ 2 & 6 & 3 \end{matrix} \right] \).

இது \(\infty^{0}\) எனும் தேரப்பெறா வடிவில் உள்ளது.
\(g(x)=(1+2x)^{\frac{1}{2\log x}}\) என்க .
மடக்கை எடுக்க ,
log g(x)=\(\frac{\log(1+2x)}{2 \log x}\)
\(\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\log g(x)=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{\log(1+2x)}{2\log x})\) (\(\frac{\infty}{\infty}\) வடிவம்)
\(=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{\frac{2}{1+2x}}{\frac{2}{x}})\) (லோபிதாலின் விதிப்படி) 
=\(\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{x}{1+2x})\)(\(\frac{\infty}{\infty}\) வடிவம்)
=\(\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\) ஆனால் ,
\(\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\log g(x)=\log (\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}g(x))\).
ஆகவே அடுக்குப்படுத்த , நமக்குத் தேவையான எல்லையினை  \(\sqrt{e}\) எனப் பெறலாம்.

இங்கு \(\vec { u } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ,\vec { n } =\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ,P=38\) ஆகும். \(\overset \rightarrow{ u } \) \(=\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளி \(\overset \rightarrow{ v } \)-ன் நிலைவெக்டர் 
\(\vec { v } =\vec { u } +\frac { 2[p-(\vec { u } .\vec { n } )] }{ { \left| \vec { n } \right| }^{ 2 } } \vec { n } \) ஆகும்.
\(\vec { v } =(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )+\frac { 2[38-(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ).(\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ))] }{ (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ).(\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ) } (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )\)
அதாவது \(\vec { v } =(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )+2(\frac { 38-17}{ 21 }) (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )= (\hat {3 i } +6\hat { j } +11\hat { k } )\)
எனவே, \(\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற நிலை வெக்டர் கொண்ட புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளியின் நிலைவெக்டர் \((\hat {3 i } +6\hat { j } +11\hat { k } )\)ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட முப்படிச் சமன்பாடு
2x³ − 6x² + 3x + k = 0
இங்கு a = 2, b = -6, c = 3, d= k
α,β,\(\gamma\) என்பது மூலங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட α=2(\(\beta +\gamma \)) =\(\frac { \alpha }{ 2 } =\beta +\gamma \)       .....(1)
இங்கு  α+β+\(\gamma\)=\(\frac { -b }{ a } =-\frac { (-6) }{ 2 } \)=3
\(\frac { \alpha }{ 2 } +\alpha =3\Rightarrow \frac { \alpha +2\alpha }{ 2 } =3\Rightarrow \frac { 3\alpha }{ 2 } \)=3
⇒ α=2
\(\alpha \beta \gamma =\frac { -d }{ a } =\frac { -k }{ 2 } \Rightarrow 2.\beta \gamma =\frac { -k }{ 2 } \)
\(\beta \gamma =\frac { -k }{ 4 } \)           .......(2)
மேலும், \(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac { c }{ a } \)
\(2\beta +\beta \gamma +2\gamma =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(2(\beta +\gamma )+\beta \gamma =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\alpha \frac { -k }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \) [(1) மற்றும் (2) லிருந்து]
\(2-\frac { k }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \)    [∵ α=2]
\(2-\frac { 3 }{ 2 } =\frac { k }{ 4 } \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } =\frac { k }{ 4 } \)
k=\(\frac { 4 }{ 2 } \) ⇒ k=2
(2)லிருந்து, \(\beta \gamma =\frac { -k }{ 4 } =\frac { -2 }{ 4 } =\frac { -1 }{ 2 } \Rightarrow =\frac { -1 }{ 2\beta } \)
(1) லிருந்து, \(\beta +\gamma =\frac { \alpha }{ 2 } =\frac { 2 }{ 2 } \)=1
\(\gamma =\frac { -1 }{ 2\beta } \) என பிரதியிட கிடைப்பது
\(\beta -\frac { 1 }{ 2\beta } \)=1 ⇒ 2β²-1=2β ⇒ 2β-2β-1=0
β=\(\frac { 2\pm \sqrt { 4-4(2)(-1) } }{ 4 } =\frac { 2\pm \sqrt { 4+8 } }{ 4 } \)
=\(\frac { 2\pm \sqrt { 12 } }{ 4 } =\frac { 2\pm 2\sqrt { 3 } }{ 4 } \)
β =\(\frac { 1\pm \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
எனவே மூலங்கள் 2,\(\frac { 1+\sqrt { 3 } }{ 2 } ,\frac { 1-\sqrt { 3 } }{ 2 } \)  மற்றும் k = 2

படத்திலிருந்து முனை (0, 0) மற்றும் பரவளையம் கீழ்நோக்கித் திறப்புடையது எனலாம்.
பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² = -4ay 
(-20, -15) மற்றும் (20, -15) என்ற புள்ளிகள் பரவளையத்தின் மீதுள்ளன.
20² = -4a(-15)
\(4a=\frac { 400 }{ 15 } \)
x² = \(\frac { -80 }{ 3 } \) x y
எனவே சமன்பாடு 3x² = -80y

மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவமானது AX =B, இங்கு A =\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 3 & -5 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 7 \\ \mu \\ 5 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
[A|B] =\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 3 & -5 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ \mu \\ 5 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & -5 \\ 1 & 1 & \lambda \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ \mu \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-R_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & -1 & \lambda -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ -2 \\ \mu -7 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & \lambda -7 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ -2 \\ \mu -9 \end{matrix} \right] \)
(i) \(λ\) = 7 மற்றும் μ ≠ 9, எனில் ρ(A) = 2 மற்றும் ρ([A|B]) = 3 எனவே ρ(A) ≠ ρ([A|B]) தொகுப்பானது ஒருங்கமைவற்றது. மேலும் தொகுப்பிற்கு தீர்வு கிடையாது.
(ii) ⋋≠ 7 மற்றும் μ ஆனது ஏதாவது ஒரு மெய்யெண் எனில்  ρ(A) = 3 மற்றும் ρ([A|B])=  3 எனவே ρ(A) = ρ([A|B]) = 3 = மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
எனவே கொடுத்துள்ள தொகுப்பானது ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வினைப் பெற்றிருக்கும்.
(iii) \(λ\) = 7 மற்றும் μ = 9, எனில் ρ(A) = 2 மற்றும் ρ([A|B]) = 2
எனவே ρ(A) = ρ([A|B]) = 2 < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
எனவே தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும். இத்தீர்வுகள் ஒரு சாராமாறிக் குடும்பத் தீர்வுகளாக அமைகின்றன.

இங்கு மதிப்பிடப்படவேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX=B, இங்கு
A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} & \begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{matrix} \right] ,X\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} -9 \\ 4 \\ \begin{matrix} 6 \\ 7 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
[A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} & \begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 4 \\ \begin{matrix} 6 \\ 7 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 4 }\rightarrow { R }_{ 4 }-4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} & \begin{matrix} -2 \\ -2 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 22 \\ \begin{matrix} 33 \\ 43 \end{matrix} \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 2 }\\ { R }_{ 4 }\rightarrow { R }_{ 4 }-3{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 22 \\ \begin{matrix} -11 \\ -23 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\leftrightarrow { R }_{ 4 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 22 \\ \begin{matrix} -23 \\ -11 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
எனவே  ρ(A) = 3  மற்றும் ρ([A|B]) = 4. எனவே ρ(A) ≠ ρ([A|B])
ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது
x - y + z = -9, y - z = 22, z = -23, 0 = -11
கடைசி சமன்பாடானது முரண்பாடாக உள்ளது. எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவற்றது மற்றும் தொகுப்பிற்கு தீர்வு கிடையாது.

\({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) ={ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \).என அறிவோம்
எனவே, \(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right) +\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } )\)     ...(1)
\({ \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) =\theta \). என்க. பின்னர் \(\cot\theta =\frac { 3 }{ 4 } \)மற்றும் \(\theta \) குறுங்கோணம்.
படத்திலிருந்து, நமக்கு கிடைக்கப்பெறுவது 
\(\sin\left\{ { \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right\} =\sin\theta =\frac { 4 }{ 5 } \)        ...(2)
(1) மற்றும் (2)-ஐ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தும்போது 
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { 4 }{ 5 } \), என்பதிலிருந்து \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 4 } \) எனவே, \(x=\pm \frac { 3 }{ 4 } \).

x,y என்பன இரண்டு மிகை எண்கள் என்க 
கொடுக்கப்பட்ட பெருக்குத்தொகை \(20\Rightarrow xy=20\) 
\(\Rightarrow y=\cfrac { 20 }{ x } \) 
கூடுதல் \(S=x+y\) 
\(S=x+\cfrac { 20 }{ x } \) 
\(\cfrac { ds }{ dx } =1-\cfrac { 20 }{ { x }^{ 2 } } \) 
பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு \(\cfrac { dS }{ dx } =0\) 
\({ x }^{ 2 }-20=0\) 
\({ x }^{ 2 }=20\) 
\(x=\pm 2\sqrt { 5 } \) 
\(x=-2\sqrt { 5 } \) என்பது சாத்தியமல்ல 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }S }{ { dx }^{ 2 } } =\cfrac { 40 }{ { x }^{ 3 } } \) 
\(x=2\sqrt { 5 } \quad \cfrac { { d }^{ 2 }S }{ { dx }^{ 2 } } >0\) 
\(\therefore x=2\sqrt { 5 } \) எனும்போது கூடுதல் "S" என்பது சிறுமமாகிறது.
\(y=\cfrac { 20 }{ 2\sqrt { 5 } } =2\sqrt { 5 } \) 
குறைந்தபட்ச கூடுதல் = \(2\sqrt { 5 } +2\sqrt { 5 } =4\sqrt { 5 } \)

பரவளையத்தின் முனை V₁ மற்றும் அதிபரவளையத்தின் முனை V₂ என்க.
\(\overset { \_ \_ \_ \_ \_ \_ }{ { F }_{ 1 }{ F }_{ 2 } } \) = 14 − 2 = 12 மீ, 2c = 12, c = 6
மையத்திலிருந்து அதிபரவளையத்தின் முனைக்கு உள்ள தூரம் a = 6 - 1 = 5
b² = c² -a²
= 36 − 25 = 11
எனவே அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\frac { { y }^{ 2 } }{ 25 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 11 } =1\)