y = sec^-1(-2) என்க. எனவே, sec y = -2
y = sec^-1x -ன் முதன்மை மதிப்பிற்குரிய வீச்சகம் [0,\(\pi\)]\\(\left\{ \frac { \pi }{ 2 } \right\} \)ஆகும்.
sec y = -2 என்றிருக்குமாறு [0, \(\pi\)]-\(\left\{ \frac { \pi }{ 2 } \right\} \)ல் y-ஐ காணவேண்டும்.
ஆனால் sec y = -2 \(\Rightarrow \) cos y = -\(\frac {1}{2}\).
இனி, \(\cos y=-\frac { 1 }{ 2 } =-\cos\frac { \pi }{ 3 } =\cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) =\cos\frac { 2\pi }{ 3 } .\) எனவே \(y=\frac { 2\pi }{ 3 } \).
\(\frac { 2\pi }{ 3 } \in [0,\pi ]\)\\(\left\{ \frac { \pi }{ 2 } \right\} \) என்பதால், sec^-1 (-2)-ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) ஆகும்.

பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² − 4x − 5y −1 = 0
⇒ x² - 4x = 5y +1
⇒ x² − 4x + 4 = 5y +1+ 4.
(x - 2)² = 5(y + 1) இது திட்ட வடிவம் ஆகும்.
எனவே, 4a = 5 மற்றும் முனை (2, -1), குவியம் \(\\ \left( 2,\frac { 1 }{ 4 } \right) \)
இயக்குவரையின் சமன்பாடு y - k + a = 0
y + 1+ \(\frac{5}{4}\) = 0
4y + 9 = 0.
செவ்வகத்தின் நீளம் 5 அலகுகள்.

 cosec^-1(-1) = y என்க. எனவே, cosec y = -1
y = cosec^-1x-ன் முதன்மை மதிப்பிற்குரிய வீச்சகம்  \([-\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} ஆகும்.
மேலும், cosec (−\(\frac{\pi}{2}\)) = −1 என்பதால், y = −\(\frac{\pi}{2}\) என்றிருக்க வேண்டும்.
இங்கு −\(\frac{\pi}{2}\)∈ \([\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} என்பதை கவனிக்க.
எனவே, cosec⁻¹ (−1) -ன் முதன்மை மதிப்பு −\(\frac{\pi}{2}\) ஆகும்.

cos⁻¹\(\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) = y என்க. எனவே, cos y = \( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) ஆகும்.
y = cos^-1 x-ன் முதன்மை மதிப்பு வீச்சகம் [0, \(\pi\)]என நாம் அறிவோம். எனவே, cos y = \( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) எனும்படி y மதிப்பு [0, \(\pi\)]-ல் காண வேண்டும். ஆனால், cos \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }\) மற்றும் \( \frac{\pi}{6}\in[0,\pi]\) என்பதால் y = \(\frac{\pi}{6}\) ஆகும். எனவே cos⁻¹\(\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)-ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{6}\)ஆகும்.

தொகையிடலைப் பயன்படுத்தி,கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் கன அளவைக் காண வேண்டும்.முதலில் வளைவரையின் சமன்பாட்டைக் காண வேண்டும்.
A(0,1) மற்றும் B(2,2) என்பன இருபுள்ளிகள் என்க.இந்த இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடு x அச்சைப் பற்றிச் சுழல்கிறது.

AB-ன் சமன்பாடு 
\(\cfrac { y-1 }{ 2-1 } =\cfrac { x-0 }{ 2-0 } \) 
\(\cfrac { y-1 }{ 1 } =\cfrac { x }{ 2 } \) 
\(y-1=\cfrac { x }{ 2 } \) 
\(y=\cfrac { x }{ 2 } +1\) 
\(y=\cfrac { x+2 }{ 2 } \) 
x -அச்சைப் பற்றிச் சுழல்வதால் கிடைக்கும் திடப்பொருளின் கன அளவு 
= \(\pi \int _{ a }^{ b }{ { y }^{ 2 }dx } \) 
= \(\pi \int _{ 0 }^{ 2 }{ \cfrac { \left( x+2 \right) ^{ 2 } }{ 4 } dx } \) 
= \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ \cfrac { \left( x+2 \right) ^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 2 }\) 
= \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ \cfrac { 64 }{ 3 } -\cfrac { 8 }{ 3 } \right] \) 
= \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ \cfrac { 56 }{ 3 } \right] =\cfrac { 14 }{ 3 } \pi \) 
கூம்பின் இடைக் கண்டத்தின் கன அளவு = \(\cfrac { 14 }{ 3 } \pi \) மீ 

மின் இயக்கு விசையின் சமன்பாடு 
\(Ri+L\cfrac { di }{ dt } =E\) 
L ஆல் வகுக்க.\(\cfrac { Ri }{ L } +\cfrac { di }{ dy } =\cfrac { E }{ L } \) 
\(\cfrac { di }{ dt } +\cfrac { R }{ L } i=\cfrac { E }{ L } \) 
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
தொகையீட்டுக் காரணி = \({ e }^{ \int { \cfrac { \\ R }{ L } } }={ e }^{ \frac { R }{ L } L }\) 
சமன்பாட்டின் தீர்வு 
\(i{ e }^{ \frac { R }{ L } t }=\int { \frac { E }{ L } dt } ={ e }^{ \frac { R }{ L } t }\) 
\(i{ e }^{ \frac { R }{ L } t }=\cfrac { E }{ L } \times \cfrac { L }{ R } { e }^{ \frac { R }{ L } t }+c\) 
\(i{ e }^{ \frac { R }{ L } t }=\cfrac { E }{ R } { e }^{ \frac { R }{ L } t }+c\) 
\({ e }^{ \frac { R }{ l } t }\) ஆல் வகுக்க 
\(i=\cfrac { E }{ R } +{ Ce }^{ -\frac { Rt }{ L } }\) 
\(i=\cfrac { 0 }{ 12 } +{ Ce }^{ -\frac { Rt }{ t } }\) 
\(i={ Ce }^{ -\frac { Rt }{ L } }\)

(i) நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு f(x) என்பதால், f(x) ≥ 0 மற்றும் \(\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx} = 1\)
அதாவது \(\int_{-\infty}^{0}{0dx}+\int_{0}^{\infty}{ke^{-2x}dx}=1\)
\(0+k(\frac{e^{-2x}}{-2})_{0}^{\infty}=1\Rightarrow k =(\frac{e^{-\infty}-e^0}{-2})=1 \Rightarrow k = 2\)
எனவே நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு

(ii) பரவல் சார்பு
வரையறைப்படி பரவல் சார்பு \(F(x) = P(X \le x)=\int_{-\infty}^{x}{f(u)du}\)
x ≤ 0 எனும்போது \(F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(u)du}=\int_{-\infty}^{x}{0du}=0\)
x > 0 எனும்போது \(F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(u)du}=\int_{-\infty}^{0}{0du}+\int_{0}^{x}{2e^{-2u}du}=2(\frac{e^{-2u}}{-2})_{0}^{x}=1-e^{-2x}\)
இதிலிருந்து பெறுவது

(iii) P(X < 2) =  P(X ≤ 2) = F(2) = 1 − e^−2×2 = 1 − e⁻⁴ (F(x) தொடர்ச்சி என்பதால்)
(iv) X குறைந்தபட்சம் நான்கு நேர அலகுகளுக்கான நிகழ்தகவு
P(X ≥ 4) = 1 − P(X < 4) = 1−F(4) = 1 − (1−e^−2×4) = e⁻⁸
(v) தொடர்ச்சியானதில், x = a -ல் f(x) என்பது X ஆனது a மதிப்பைக் கொள்வதற்கான நிகழ்தகவு அல்ல . அதாவது f(a) ≠ P(X = a) ஆகும். X தொடர்ச்சியான வகை எனில், அனைத்து a ∈ ℝ -க்கு P(X = a) = 0 ஆகும். எனவே P(X =3)=0ஆகும்.

\(x=7 \cos t\) மற்றும் \(y=2 \sin t \ t\in R\) 
't' ஐப் பொறுத்த வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dx }{ dt } =-7sint\) மற்றும் \( \cfrac { dy }{ dt } =2cost\) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு 'm'
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { \frac { dy }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\cfrac { 2cost }{ -7sint } \) 
வளைவரையின் மீதுள்ள புள்ளி \(\\ \left( 7cost,2sint \right) \) 
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு \(y-{ y }_{ 1 }=m\left( x-{ x }_{ 1 } \right) \) 
\(y-2\space sin \space t=-\cfrac { 2 \space cos \space t }{ 7 \space sin \space t } \left( x-7cos \space t \right) \) 
\(7y \space sin \space t-14 \space { sin }^{ 2 }t=-2x \space cos \space t+14{\space cos }^{ 2 }\space t\) 
\(2x \space cos \space t+7y \space sin \space t-14({ sin }^{ 2 }\space t+{ cos }^{ 2 } \space t)=0\) 
\(2x \space cos \space t+7y \space sin \space t-14=0\) 
செங்கோட்டின் சாய்வு \(-\cfrac { 1 }{ m } \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \) 
செங்கோட்டின் சமன்பாடு \(y-{ y }_{ 1 }=-\cfrac { 1 }{ m } \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \) 
\(y-2sint=\cfrac { 7sint }{ 2cost } \left( x-7cost \right) \) 
\(2y \space cos \space t-4 \space sin \space t \space cos \space t=7x \space sin \space t-49 \space sin t \space cost\) 
\(7x \space sin \space t-2y \space cos \space t-45 \space sin \space t \space cos \space t=0\)

\(s(t)={ 2t }^{ 3 }-9{ t }^{ 2 }+12t-4\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
\(v=0\Rightarrow 6\left( { t }^{ 2 }-3t+2 \right) =0\Rightarrow t=1,2\) 

முடுக்கம் = \(\cfrac { { d }^{ 2 }s }{ { dt }^{ 2 } } =12t-18\) 
t=1ல்,முடுக்கம்=12(1)-18=-6மீ/வினாடி²
t=2ல்,முடுக்கம்=12(2)-18=6மீ /வினாடி²

(i) \(s(t)={ 2t }^{ 3 }-{ 9t }^{ 2 }+12t-4,t \geq 0\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
துகளின் திசைவேகம் மாறும்போது v=0
\(\therefore { 6t }^{ 2 }-18t+12=0\) 
\({ t }^{ 2 }-3t+2=0\) 
\(\left( t-2 \right) \left( t-1 \right) =0\) 
\(t=1,2\) 
\(\therefore t=1\) வினாடி மற்றும் t=2 வினாடி எனும்போது,துகளின் திசை மாறுகிறது.
(ii) முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் 
\(s(0)=-4\) 
\(s(1)=2\left( 1 \right) ^{ 3 }-9\left( 1 \right) ^{ 2 }+12(1)-4\) 
= 2-9+12-4 = 1
\(s(2)=2(2)^{ 3 }-9\left( 2 \right) ^{ 2 }+12(2)-4\) 
= \(16-36+24-4\)  = 0
\(s(3)=2\left( 3 \right) ^{ 3 }-9\left( 3 \right) ^{ 2 }+12\left( 3 \right) -4\) 
= \(54-81+36-4\)  = 5
\(s(4)=2\left( 4 \right) ^{ 3 }-9\left( 4 \right) ^{ 2 }+12(4)-4\) 
= \(128-144+48-4\)  = 28
முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் 
= \(|s(0)+s(1)|+|s(1)-s(2)|+|s(2)-s(3)|+|s(3)-s(4)|\) 
= \(|-4-1|+|1-0|+|0-5|+|5-28|\) 
= \(|-5|+|1|+|-5|+|-23|\) 
= 5+1+5+23 = 34 மீ .
(iii) \(s(t)={ 2t }^{ 3 }-9{ t }^{ 2 }+12t-4\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
\(v=0\Rightarrow 6\left( { t }^{ 2 }-3t+2 \right) =0\Rightarrow t=1,2\)
முடுக்கம் = \(\cfrac { { d }^{ 2 }s }{ { dt }^{ 2 } } =12t-18\) 
t=1ல், முடுக்கம் = 12(1) - 18 = - 6 மீ/வினாடி²
t=2ல், முடுக்கம் = 12(2) - 18 = 6 மீ /வினாடி²

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 
18x²+12y²-144x+48y+120 = 0
18x² - 144x + 12y + 48y = -120
\(\Rightarrow\)18(x² - 8x) + 12(y²+4y) = -120
\(\Rightarrow\)  18(x²-8x+ 16-16)+ 12(y²+4y+4-4) = -120
18(x-4)²-288 + 12(y-2)²-48 = -120
\(\Rightarrow\)18(x-4)²+12(y+2)² = -120+288 + 48
\(\Rightarrow\) 18(x-4)²+12(y+2)² = 216
216 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது 
\(\cfrac { 18\left( x-4 \right) ^{ 2 } }{ 216 } +\cfrac { 12\left( y+2 \right) ^{ 2 } }{ 216 } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { \left( x-4 \right) ^{ 2 } }{ 12 } +\cfrac { \left( y+2 \right) ^{ 2 } }{ 18 } =1\)
நெட்டச்சு y-அச்சுக்கு இணையான நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\(\therefore\) a² = 18, b² = 12
\(\therefore\) c² = a²-b² = 18 -12 = 6 \(\Rightarrow\) c = \(\sqrt { 6 } \)
\(e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 12 }{ 18 } } =\sqrt { \cfrac { 18-12 }{ 18 } } \)

(a) மையம் (4, -2)
\(\Rightarrow\) h = 4, k = -2
(b) முனைகள் (h, k-a), (h, k+a)
\(\Rightarrow (4,-2-\sqrt { 2 } ),\left( 4,-2+3\sqrt { 2 } \right) \)
\(\left[ \because { a }^{ 2 }=18\Rightarrow a=\sqrt { 18 } =\sqrt { 2 } \right] \)
(c) குவியங்கள்(h, k-c); (h, k+c)
\(\Rightarrow \left( 4,-2-\sqrt { 6 } \right) ,\left( 4,-2+\sqrt { 6 } \right) \)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகளின் 
\(y+2=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow y+2=\pm 3\sqrt { 6 } ,y+2=-3\sqrt { 6 } \)
\(\Rightarrow y=-2+3\sqrt { 6 } \) மற்றும்\(y=-2-3\sqrt { 3 } \)

x² - 2x + 8y + 17 = 0
x²- 2x = -8y - 17
இருபுறமும் 1ஐ கூட்ட கிடைப்பது
 x² - 2x + 1 = -8y - 17 + 1
\(\therefore\) (x-1)² = -8y-16= -8(y+2)
\(\therefore\) (x-1)² = 8(y+2)
இது கீழ்நோக்கி திறப்புடைய பரவளையம்,
செவ்வகலம் 4a = 8
\(\Rightarrow\) a = 2
(a) முனை(1, -2)
\(\Rightarrow\) h = 1, k = -2
(b) குவியம் (0+h, -a+k)
\(\therefore\) h = 1, k = -2
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு y = k + a
y = -2 + 2 \(\Rightarrow\) y = 0
(d) செவ்வகலத்தின் நீளம் 4a = 8 அலகுகள்.

AB என்பது தடி என்க மற்றும் P(x₁, y₁) தடியின் மீதுள்ள புள்ளி AP = 0.3மீ வரைக.
\(PD\bot x\) அச்சு மற்றும் \(PC\bot y\) 

\(\Delta ADP\cong \Delta PCB\) 
\(\therefore \cfrac { PC }{ DA } =\cfrac { PB }{ AP } =\cfrac { BC }{ PD } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { { x }_{ 1 } }{ DA } =\cfrac { 0.9 }{ 0.3 } =\cfrac { BC }{ { y\quad }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow DA=\cfrac { { 0.3 }x_{ 1 } }{ 0.9 } =\cfrac { { x }_{ 1 } }{ 3 } \) 
மற்றும் \(BC=\cfrac { 0.9{ y }_{ 1 } }{ 0.3 } =\cfrac { 9 }{ 3 } { y }_{ 1 }={ 3y }_{ 1 }\)
இங்கு OA = OD + DA
 \({ x }_{ 1 }+\cfrac { { x }_{ 1 } }{ 3 } =\cfrac { { 4x }_{ 1 } }{ 3 } \)
OB = OC + BC = y₁ + 3y₁ = 4y₁
OA² + OB² = AB²
\(\Rightarrow \left( \cfrac { 4x_{ 1 } }{ 3 } \right) ^{ 2 }+\left( { 4y }_{ 1 } \right) ^{ 2 }=\left( 1.2 \right) ^{ 2 }\) 
\(\Rightarrow \cfrac { 16{ x }_{ 1 }^{ 2 } }{ 9 } +\cfrac { 16{ y }_{ 1 }^{ 2 } }{ 1 } =1.44\) 
16 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது 
\(\cfrac { { x }_{ 1 }^{ 2 } }{ 9 } +\cfrac { { y }_{ 1 }^{ 2 } }{ 9 } =\cfrac { 1.44 }{ 16 } =0.09\cong 1\) 
 \(\therefore\) (x₁, y₁)\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 9 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 1 } =1\) 
இங்கு a² = 9, b²
\(\therefore e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 1 }{ 9 } } =\sqrt { \cfrac { 9-1 }{ 9 } } \)
\(=\sqrt { \cfrac { 8 }{ 9 } } \)
\(e=\cfrac { 2\sqrt { 2 } }{ 3 } \)

பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² = 4ay என்க

படத்திலிருந்து சமன்பாடு x² = 4ay என்றும் அது C(30, 13) வழிச் செல்கிறது எனவும் அறியலாம்.
\( \therefore 30^2 =4 a \times 13 \\ 4 a =\frac{30^2}{13} \)
ஃ பரவளையத்தின் சமன்பாடு \(x^2=\frac{30^2}{13} y\)
(i) VG = 6 மற்றும் GE = y என்க.
ஃ E(6, y) பரவளையத்தின் மீதுள்ளது.
\(36=\frac{30^2}{13} y \Rightarrow y=0.52\)
சாலையிலிருந்து கம்பி வடத்தின் நீளம் 3 + 0.52 = 3.52 மீ
(ii) VH = 12 மற்றும் HF = y
ஃ F(12, y) பரவளையத்தின் மீதுள்ளது.
\(12^2=\frac{30^2}{13} y \Rightarrow y=\frac{144 \times 13}{900}=\frac{208}{100}=2.08\)
சாலையிலிருந்து கம்பி தம்பி வடத்தின் நீளம் = 3 + 2.08 = 5.08 மீ
முனையிலிருந்து முதலில் உள்ள இரு கம்பி வடங்களின் உயரங்கள் 3.52 மீ மற்றும் 5.08 மீ

சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் அனைத்தும் விகிதமுறு எண்கள் என்பதாலும் 2+i மற்றும் 3-\(\sqrt { 2 } \)  ஆகியவை மூலங்கள் என்பதாலும் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு 2-i மற்றும் 3+\(\sqrt { 2 } \) ஆகியவையும் மூலங்களாக அமையும். எனவே (x − (2 + i)) (x − (2 − i)) (x − (3− \(\sqrt { 2 } \))) மற்றும் (x − (3 + \(\sqrt { 2 } \))) ஆகியவையும் காரணிகளாகும். ஆகையால் இவற்றின் பெருக்கல்
((x − (2 + i)) (x − (2 − i)) (x − (3− \(\sqrt { 2 } \))) (x − (3 + \(\sqrt { 2 } \))) என்பதும் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கு ஒரு காரணியாகும். அதாவது (x²-4x+5)(x²-6x+7)
என்பது ஒரு காரணி. கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டை இக்காரணியால் வகுக்க, மற்றொரு காரணியாக (x²-3x-4) பெறப்படுகிறது. இதிலிருந்து 4 மற்றும் −1ஆகியவை மற்ற இரு மூலங்களாகும். எனவே 2+i, 2-i, 3+\(\sqrt { 2 } \), 3-\(\sqrt { 2 } \), -1, மற்றும் 4 ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்களாகும்.

α,β,\(\gamma \) என்பது சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\frac { \alpha }{ \beta } =\frac { 3 }{ 2 } \Rightarrow 2\alpha =3\beta \Rightarrow \alpha =\frac { 3 }{ 2 } \beta \)
∴ \(\frac { 3 }{ 2 } \beta ,\beta ,\gamma \) என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலங்கள் வியட்டாவின் சூத்திரப்படி,
\(\frac { 3 }{ 2 } \beta +\beta +\gamma =\frac { -b }{ a } =\frac { -(-9) }{ 1 } \)
\(\frac { 5 }{ 2 } \beta +\gamma =9\Rightarrow \gamma =9-\frac { 5 }{ 2 } \beta \)
⇒ \(\gamma \)=\(\frac { 18-5\beta }{ 2 } \)           .........(2)
மேலும் \(\frac { 3 }{ 2 } \beta (\beta )+\beta \gamma +\left( \frac { 3 }{ 2 } \beta \right) \gamma =\frac { c }{ a } =\frac { 14 }{ 1 } \)=14
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } \beta ^{ 2 }+\frac { 5 }{ 2 } \gamma \)=14
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } \beta ^{ 2 }+\frac { 5 }{ 2 } \beta \left( \frac { 18-5\beta }{ 2 } \right) \)=14  [(2) ஐ பயன்படுத்தி]
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } { \beta }^{ 2 }+\frac { 90\beta }{ 4 } -\frac { 25\beta ^{ 2 } }{ 4 } \)=14
4 ஆல் பெருக்க 6β²+90β-25β²=56
19β²-90β+56=0
⇒ (β-4)(19β-14)=0
⇒ β=4
β=\(\frac { 14 }{ 19 } \)
β =4 எனில் மற்ற மூலங்கள்
\(\frac { 3 }{ 2 } (4),4,\frac { 18-5 }{ 2 } (4)\)
⇒ 6,4,-1
β =\(\frac { 14 }{ 19 } \) எனில் மற்ற மூலங்கள் \(\frac { 3 }{ 2 } \beta ,\beta ,\frac { 18-5\beta }{ 2 } \)  [(2)-ன் படி]
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } \left( \frac { 14 }{ 19 } \right) ,\frac { 14 }{ 19 } ,\frac { 18-5\left( \frac { 14 }{ 19 } \right) }{ 2 } \Rightarrow \frac { 21 }{ 19 } ,\frac { 14 }{ 19 } ,\frac { 136 }{ 19 } \).

தேவையான தளம்  \(\vec { r } =(\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+t(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } )\) என்ற வெக்டருக்கு இணையாகும் மற்றும்  \(\vec { a } =\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } \)  \(\vec { b } =2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } \) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் 
\(\vec { c } =\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \) 
∴ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \)என்ற நிலை வெக்டர்களைக் கொண்ட இரு தனித்த புள்ளிகள் A மற்றும் B வழியாகச் செல்வதும் \(\vec { c } \) என்ற பூச்சியமற்ற வெக்டருக்கு இணையானதுமான தளத்தின் துணையலகு வடிவ வெக்டர் சமன்பாடு 
\(\vec { r } =\vec { a } +s\vec { b } +t\vec { c } \)  இங்கு s, t ∈ R
⇒ \(\vec { r } .(\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+s(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } )+t(\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } )\) s, t  ∈ R 
கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } & y-{ y }_{ 1 } & z-{ z }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } & { b }_{ 2 } & { b }_{ 3 } \\ { c }_{ 1 } & { c }_{ 2 } & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 & y+1 & z-3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x - 1)(-1 - 8) - (y + 1)(2 - 4) + (z - 3)(4 + 1) = 0
⇒ (x - 1)(-9) - (y + 1)(-2) + (z - 3)(5) = 0
⇒ -9x + 9 +2y + 2 + 5z - 15 = 0
⇒ -9x + 2y + 5z - 4 = 0
⇒ 9x - 2y - 5z + 4 = 0

தளம் இரண்டு புள்ளிகள் வழிச் செல்கிறது 
\(\vec { a } =2\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \) 
(2, 1, -3) மற்றும் (-1, 5, -8) வழிச் செல்லும் நேர்க்கோடு 
\(\cfrac { x-{ x }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x-2 }{ -1-2 } =\cfrac { y-1 }{ 5-1 } =\cfrac { z+3 }{ -8+3 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x-2 }{ -3 } =\cfrac { y-1 }{ 4 } =\cfrac { z+3 }{ -5 } \) 
ஆகையால் தேவையான தளம் வெக்டர்
\(\vec { c } =-3\hat { i } +4\hat { j } -5\hat { k } \)  க்கு இணை.
இரு புள்ளிகள் \(\vec { a } ,\vec { b } \)வழிச் செல்லும் மற்றும் \(\vec { c } \)க்கு இணையான தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம் \(\vec { r } =\vec { a } +s\left( \vec { b } -\vec { a } \right) +t\vec { c } s,t\in R\) 
\(\vec { r } =2\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } +s(3\hat { i } -4\hat { j } +2\hat { k) } +t\left( -3\hat { i } +4\hat { j } -5\hat { k } \right) ,s.t\in R\) 
இரண்டு புள்ளி வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டருக்கு இணையான தளத்தின் கார்டீசியன் வடிவம் 
\(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } & y-{ { \quad y }_{ 1 } } & z-{ z }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 }-{ { x }_{ 1 } } & { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } & { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } & { c }_{ 2 } & { { c }_{ 3 } } \end{matrix} \right| =0\) 
[\(\therefore\) (x₁, y₁, z₁) = (2, 2, 1), (x₂, y₂, z₂) = (-1, 2, 3) & (c₁, c₂, c₃) = (-3, 4, 5)]
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-2 & y-2 & z-1 \\ -1 & -4 & 2 \\ -3 & 4 & -5 \end{matrix} \right| =0\) 
\(\Rightarrow (x-2)(20-8)-(y-2)(5+6)+(z-1)(-4-12)=0\) 
\(\Rightarrow (x-2)(12)-(y-2)(11)+(z-1)(-16)=0\) 
\(\Rightarrow 12x-24-11y+22-16z+16=0\) 
\(\Rightarrow 12x-11y-16z+14=0\)

தளமானது \(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } \) 
புள்ளி வழிச் செல்கிறது மற்றும் கோடுகள் \(\cfrac { x-1 }{ 2 } =\cfrac { y+1 }{ 3 } =\cfrac { z-3 }{ 1 } \) 
மற்றும் \(\cfrac { x+3 }{ 2 } \) = \(\cfrac { y-3 }{ -5 } =\cfrac { z+1 }{ -3 } \) 
\(\Rightarrow \vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } +\hat { k } \)  மற்றும் \(\vec { c } =2\hat { i } -5\hat { j } -3\hat { k } \) 
\(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & -5 & -3 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( -9+5 \right) -\hat { j } \left( -6-2 \right) +\hat { k } \left( 10-6 \right) \) 
= \(-4\hat { i } +8\hat { j } -16\hat { k } \)
தளத்தின் துணையலகு இல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு 
 \(\left( \vec { r } .\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =0\) 
\(\left( \vec { r } -2\hat { i } +3\hat { j } +16\hat { k } \right) .\left( -4\hat { i } +8\hat { j } -16\hat { k } \right) =0\) 
 \(\Rightarrow \left[ \vec { r } (-4\hat { \quad i } +8\hat { j } -16\hat { k } ) \right] -(-4\hat { i } +8\hat { j } -16\hat { k } )]=0\)
\(\Rightarrow \left[ \vec { r } (-4\hat { \quad i } +8\hat { j } -16\hat { k } ) \right] -\left( -8+24-96 \right) =0\)
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( -4\hat { i } +8\hat { j } -16\hat { k } \right) =-80\) 
\(\div -4\) , கிடைப்பது
\(\vec { r } .\left( \hat { i } -2\hat { j } +4\hat { k } \right) =20\)
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \) என்க.
\(\Rightarrow \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) .\left( \hat { i } -2\hat { j } +4\hat { k } \right) =20\) 
\(\Rightarrow x-2y+4z=20\Rightarrow x-2y+4z-20=0\)

கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
\(Im\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { 2(x+iy)+1 }{ i(x+iy)+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix+{ i }^{ 2 }y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix-y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+iy }{ (1-y)+ix } \right) =0\)
பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது.
\(Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ (1-y)+ix } \times \frac { (1-y)-ix }{ (1-y)-ix } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy\times (1-y)-ix }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } \right) =0\)
கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac { (2x+1)+(-x)\times 2y(1-y) }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } =0\)
⇒ (2x+ 1)-x+2y(1-y) = 0
⇒ -2x² - x + 2y - 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x - 2y = 0
எனவே z - ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x - 2y = 0

அரைவட்ட வளைவு வழிகளின் மையப்புள்ளிகள் O₁ மற்றும் O₂ என்க.
முதல் வளைவு வழியின் மையம் O₁(12, 0) மற்றும் r =10. இதிலிருந்து அந்த அரைவட்டத்தைக் குறிக்கும் சமன்பாடு 
(x −12)² + ( y − 0)² = 10²
\(\Rightarrow \) x² + y² − 24x + 44 = 0 , y > 0 .
இரண்டாம் வளைவு வழியின் மையம் O₂ (34, 0) மற்றும் ஆரம் r = 10. முதல் வளைவு போல இரண்டாம் வளைவு வழியின் சமன்பாடு 
(x − 34)² + y² = 10²
\(\Rightarrow \) x² + y² − 68x +1056 = 0, y > 0 .

v(3) = 64, v(6) = 133 மற்றும் v(9) = 208. ஆதலால் பின்வரும் நேரிய சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம்."
9a + 3b + c = 64,
36a + 6b + c = 133,
81a + 9b + c = 208
மேல் உள்ள நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையில் தீர்க்க உள்ளோம். விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை நிரை-ஏறுபடி வடிவத்திற்கு தொடக்கநிலை நிரை உருமாற்றங்கள் செயல்படுவதன் மூலம் நாம் பெறுவது,
[A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 36 & 6 & 1 \\ 81 & 9 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 133 \\ 208 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-4{ R }_{ 1 },{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-9{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & -6 & -3 \\ 0 & -18 & -8 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ -123 \\ -368 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div (-3),{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-2) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 9 & 4 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 41 \\ 184 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow 2{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 18 & 8 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 41 \\ 368 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-9{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 41 \\ -1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow (-1){ R }_{ 3 }\\ }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 41 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
ஏறுபடி வடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகள்
9a + 3b + c = 64, 2b + c = 41, c = 1
பின்னோக்கிப் பிரதியிடல் மூலம் நமக்குக் கிடைப்பது
c = 1, b = \(\frac { (41-c) }{ 2 } =\frac { (41-1) }{ 2 } \) = 20, a = \(\frac { 64-3b-c }{ 9 } =\frac { 64-60-1 }{ 9 } =\frac { 1 }{ 3 } \).
ஆதலால் v(t) = \(\frac { 1 }{ 3 } \)t² + 20t + 1
எனவே, v(15) = \(\frac { 1 }{ 3 } \)(225) + 20(15) + 1 = 75 + 300 + 1 = 376 மைல்கள்/வினாடி.

y = ax² + bx + c என்ற பாதையானது (10,8), (20,16), (40,22) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்கிறது ஆதலால் 100a + 10b + c = 8, 400a + 20b + c = 16, 1600a + 40b + c = 22 என்ற  சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன. கிராமரின் விதியை பயன்படுத்த பின்வருவனவற்றைக் காண்போம்.
\(\ \triangle =\left| \begin{matrix} 100 & 10 & 1 \\ 400 & 20 & 1 \\ 1600 & 40 & 1 \end{matrix} \right| =1000\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \)= 1000 [-2 + 12 - 16] = -6000
\({ \triangle }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 8 & 10 & 1 \\ 16 & 20 & 1 \\ 22 & 40 & 1 \end{matrix} \right| =20\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ 11 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \) = 20[-8 + 3 + 10] = 100,
\({ \triangle }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 100 & 8 & 1 \\ 400 & 16 & 1 \\ 1600 & 22 & 1 \end{matrix} \right| =200\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 8 & 1 \\ 16 & 11 & 1 \end{matrix} \right| \) = 200 [-3 + 48 - 84] = -7800,
\({ \triangle }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 100 & 10 & 8 \\ 400 & 20 & 16 \\ 1600 & 40 & 22 \end{matrix} \right| =2000\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 8 \\ 16 & 4 & 11 \end{matrix} \right| \)= 2000 [-10 + 84 - 64] = 20000.
கிராமரின் விதிப்படி, a = \(\frac { { \triangle }_{ 1 } }{ \triangle } =-\frac { 1 }{ 60 } ,b=\frac { { \triangle }_{ 2 } }{ \triangle } =\frac { 7800 }{ 6000 } =\frac { 78 }{ 60 } =\frac { 13 }{ 10 } ,c=\frac { { \triangle }_{ 3 } }{ \triangle } =\frac { 20000 }{ 6000 } =-\frac { 20 }{ 6 } =\frac { 10 }{ 3 } \)
எனவே பாதையின் சமன்பாடு \(y =-\frac { 1 }{ 60 } { x }^{ 2 }+\frac { 13 }{ 10 } x-\frac { 10 }{ 3 } \)
x = 70 எனில் y = 6எனக் கிடைக்கிறது. எனவே பந்தானது எல்லைக்கோட்டிற்கு நேர் மேலாக 6 மீ உயரத்தில் செல்கிறது மற்றும் எல்லைக் கோட்டின் அருகில் உள்ள ஆட்டக்காரர் எகிறிக் குதித்துப் பிடிக்க முயன்றாலும் அவரால் அப்பந்தினைப் பிடிக்க இயலாது. எனவே அப்பந்து மிகப்பெரிய 6 ஆகச் சென்றது மற்றும் அவ்வணி ஆட்டத்தினை வென்றது.

A² = \(\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 22 & 27 \\ 18 & 31 \end{matrix} \right] \),
A² + xA + yI₂ = O₂ ⇒ \(\left[ \begin{matrix} 22 & 27 \\ 18 & 31 \end{matrix} \right] +x\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] +y\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \)
⇒ \(\left[ \begin{matrix} 22+4x+y & 27+x \\ 18+2x & 31+5x+y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \)
இதிலிருந்து நமக்குக் கிடைப்பவை 22 + 4x + y = 0, 31 + 5x + y = 0, 27 + 3x = 0 மற்றும் 18 + 2x = 0
எனவே x = −9 மற்றும் y = 14. பின்பு நமக்குக் கிடைப்பது A²-9A+14I₂ = O₂
இச்சமன்பாட்டின் இருபுறமும் A^-1 -ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது A-9I₂ + 14A^-1 = O₂
இதிலிருந்து கிடைப்பது
A^-1 = \(\frac { 1 }{ 14 } (9{ I }_{ 2 }-A)=\frac { 1 }{ 14 } \left( 9\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \right) =\frac { 1 }{ 14 } \left[ \begin{matrix} 5 & -3 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right] \)

இங்கு மதிப்பிடப்படவேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX=B, இங்கு
A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} & \begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{matrix} \right] ,X\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} -9 \\ 4 \\ \begin{matrix} 6 \\ 7 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
[A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} & \begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 4 \\ \begin{matrix} 6 \\ 7 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 4 }\rightarrow { R }_{ 4 }-4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} & \begin{matrix} -2 \\ -2 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 22 \\ \begin{matrix} 33 \\ 43 \end{matrix} \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 2 }\\ { R }_{ 4 }\rightarrow { R }_{ 4 }-3{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 22 \\ \begin{matrix} -11 \\ -23 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\leftrightarrow { R }_{ 4 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 22 \\ \begin{matrix} -23 \\ -11 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
எனவே  ρ(A) = 3  மற்றும் ρ([A|B]) = 4. எனவே ρ(A) ≠ ρ([A|B])
ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது
x - y + z = -9, y - z = 22, z = -23, 0 = -11
கடைசி சமன்பாடானது முரண்பாடாக உள்ளது. எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவற்றது மற்றும் தொகுப்பிற்கு தீர்வு கிடையாது.