\(z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}\) மற்றும் \(z+\frac{1}{z} \in \mathbb{R}\) எனில், 1/z ஆனது z - ன் இணை எண் ஆகும்.
ie) \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

\(|\mathrm{z}|-\mathrm{z} =1+2 \mathrm{i} \)
\(\mathrm{z}  =x+\mathrm{iy} \) என்க.
\(|\mathrm{z}|  =x+\mathrm{iy}+1+2 \mathrm{i} \)
\(\sqrt{x^2+y^2}  =(x+1)+\mathrm{i}(\mathrm{y}+2) \)
\(\sqrt{x^2+y^2}  =x+1 \)
\(x^2+\mathrm{y}^2  =(x+1)^2 \)
\(\mathrm{y}^2 =2 x+1 \)
\(\mathrm{y}+2=0\)
y = -2
\(2 x  =3 \Rightarrow x=\frac{3}{2} \)
\(\therefore \mathrm{z}=x+\mathrm{iy}  =\frac{3}{2}-2 i\)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left| z-\frac { 3 }{ z } \right| \) = 2
|z| ஐ \(\left|\left(z-\frac{3}{z}\right)+\frac{3}{z}\right|\) என எழுதலாம்.
ஏதேனும் இரு காலப்பெண்களுக்கான முக்கோண சமனிலியைப் பயன்படுத்த,
\( || z-\frac{3}{z}|-| \frac{3}{z}|| \leq\left|z-\frac{3}{z}+\frac{3}{z}\right| \leq\left|z-\frac{3}{z}\right|+\left|\frac{3}{z}\right|\)
\(\left|2-| \frac{3}{z}|\leq| z|\leq 2+| \frac{3}{z} \right\rvert\, \)
\( \left.\Rightarrow 2-\left|\frac{3}{z}\right|-|z| \leq 0 \Rightarrow|z|+\frac{3}{\mid z} \right\rvert\,-2 \geq 0\)
\( -2+\left|\frac{3}{z}\right|-|z| \leq 0 \Rightarrow|z|-\frac{3}{|z|}+2 \geq 0\)
\( |z|-2-\frac{3}{|z|} \leq 0\)
|z| = r என்க.
\(\text {(1) } \Rightarrow r^2-2 r+3 \geq 0 \)
B² - 4AC = 4 - 12 < 0, மெய் மூலங்கள் இல்லை 
\(\text {(2) } \Rightarrow r^2+2 r-3 \geq 0 \Rightarrow(r+3)(r-1) \geq 0\)
ie) \(r \in \mathbb{R}-(-3,1)\)
\(\text {(3) } \Rightarrow r^2-2 r-3 \leq 0 \Rightarrow(r-3)(r+1) \leq 0\)
ie) \(r \in[-1,3]\)
(4) மற்றும் (5) லிருந்து, \(r \in[1,3] \Rightarrow|z| \in[1,3]\)
\(\therefore|z|\) ன் மீச்சிறு மதிப்பு 1

ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac { 1 }{ i-2 } \) 
கலப்பெண் \(z = \frac { 1 }{ -i-2 } = \frac { 1 }{-( i-2) } = \frac { -1 }{( i+2) } \)

\(\sum_{n=1}^{13}\left(i^n+i^{n-1}\right)=  \left(\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\ldots+\mathrm{i}^{13}\right)+ \left(\mathrm{i}^0+\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\ldots+\mathrm{i}^{12}\right) \)
\(=  \mathrm{i}^0+2\left(\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\ldots+\mathrm{i}^{12}\right)+\mathrm{i}^{13} \)
\(=  1+2(\mathrm{i}-1-\mathrm{i}+1+\ldots+1)+\mathrm{i} \)
\(=  1+2(0)+\mathrm{i}=1+\mathrm{i}\)