கொடுக்கப்பட்டது: z = x + iy
iz = i (x + iy)
= ix - y = -y + ix
கொடுக்கப்பட்டது: [Re(iz)]² = 3
(-y)² = 3 \(\Rightarrow\) y² = 3

= i . i ²i³ ...... i²⁰⁰⁰ = i^{1+2+3+ +2000}
= \({ i }^{ \frac { 2000\times 2001 }{ 2 } }[∵ 1+2+3+...n=\frac { n(n+1) }{ 2 } ]\)
= i^1000x2001 = i^2001000 = 1
[ \(\because\) 2001000 என்பது 4 ஆல் வகுப்படும் அதன் கடைசி இரண்டு எண்களும் 4 ஆல் வகுப்படும்]

\(\sum _{ n=1 }^{ 12 }{ { i }^{ n } } \) = (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i-⁶+ i⁷ + i⁸) + (i⁹ + i¹⁰ + i¹¹ + i¹²)
= (i - 1-i + 1) + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + (i⁴)²) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺² + i⁸⁺³ + (i⁴)³)
= 0 + (i +i² + i³ +i⁴) + (i¹ + i² + i³ + i⁴) [∵ i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1]
= 0 + (i -1 -i + 1) + (i -1 -i + 1)
=0+0+0=0

z, iz மற்றும் z + iz ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்டு அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு 50 சதுர அலகுகள்.
z = x + iy
எனில் iz = i ( x + iy) = ix + i²y = - y + ix
z + iz = x + iy - y + ix
= (x - y) + i (x + y)
z,iz மற்றும் z + iz ஆகியவற்றைக்  முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பு A எனில் \(A=\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} x & y & 1 \\ x-y & x+y & 1 \\ -y & x & 1 \end{matrix} \right| \)
\({ R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }-{ R }_{ 3 }\), நமக்கு கிடைப்பது.
\(A=\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} x & y & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ -y & x & 1 \end{matrix} \right| \)
R2 மூலம் விரிவுபடுத்த கிடைப்பது
\(A=\frac { 1 }{ 2 } \left[ +1\left| \begin{matrix} x & y \\ -y & x \end{matrix} \right| \right] =\frac { 1 }{ 2 } ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })\)
கொடுக்கப்பட்ட A = 50 ச.அலகுகள்
\(\therefore 50=\frac { 1 }{ 2 } ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })\Rightarrow 100={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\)
எனில் \(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { 100 } =10\)
\(\therefore \left| z \right| =10[\because \left| z \right| =\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)

\(\left| 3z-5+i \right| =4\) என்ற சமன்பாட்டை \(3\left| z-\frac { 5-i }{ 3 } \right| \) = 4 ⇒ \(\left| z-\left( \frac { 5 }{ 3 } -\frac { i }{ 3 } \right) \right| =\frac { 4 }{ 3 } \) என எழுதலாம்.
இது \(\left| z-{ z }_{ \circ } \right| \) = r என்ற வடிவில் உள்ளது. ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது. இதன் மையம் மற்றும் ஆரம் ஆகியவை முறையே \(\left( \frac { 5 }{ 3 } ,-\frac { 1 }{ 3 } \right) \) மற்றும் \(\frac { 4 }{ 3 } \) ஆகும்.