|z| = 2 என்பது (0, 0) -வை மையமாகவும். 2 ஐ ஆரமாகவும் கொண்ட வட்டத்தைக் குறிக்கும். A, B, மற்றும் C ஆகியவை முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள் என்க. z₁, z₂, மற்றும் z₃ ஆகியவை |z| = 2 என்ற வட்டத்தின் மீதமைந்த சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிப்புள்ளிகள். எனவே, AB, BC, மற்றும் CA என்ற பக்கங்கள் ஆதியை பொருத்து (முக்கோணத்தின் சுற்று வட்ட மையம்) \(\frac { 2\pi }{ 3 } \)ரேடியன்கள் (120°) கோண இடைவெளி விட்டு அமையும். (ze^iθ என்பது z-ஐ ஆதியைப் பொருத்து θ கோணம் கடிகார எதிர்திசையில் சுற்றுவது ஆகும்).
ஆகவே, z₁-ஐ முறையே \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) மற்றும் \(\frac { 4\pi }{ 3 } \) கோணங்கள் சுற்றுவதால் z₂ மற்றும் z₃ ஆகியவற்றை பெறலாம்.

\(\overline { OA } \) = z₁  = 1 + i\(\sqrt { 3 } \) என்க.
\(\overline { OB } \) = z₁\({ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } }(1+i\sqrt { 3 } ){ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } }\)
= \((1+i\sqrt { 3 } )\left( cos\frac { 2\pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
= \((1+i\sqrt { 3 } )\left( -\frac { 1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) = -2
\(\overline { OC } \) = z₁\({ e }^{ i\frac { 4\pi }{ 3 } }\) = z₂\({ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } }\) = -2\({ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } }\)
=\(-2\left( cos\frac { 2\pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
= -2\(\left( -\frac { 1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) = \(1-i\sqrt { 3 } \)
ஆகவே, z₂ = -2 மற்றும் z₃ =\(1-i\sqrt { 3 } \)

z³ +8i = 0 என்க.
⇒ z³ = -8i
= 8(-i) = 8\(\left( cos\left( -\frac { \pi }{ 2 } +2k\pi \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 2 } +2k\pi \right) \right) \), k \(∈\) Z எனவே,
z = \(\sqrt [ 3 ]{ 8 } \left( cos\left( \frac { -\pi +4k\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { -\pi +4k\pi }{ 6 } \right) \right) \), k = 0,1,2.
k = 0, 1, 2 எனப் பிரதியிட
k = 0, z = 2\((cos\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) )=2\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -i\frac { 1 }{ 2 } \right) \) = \(\sqrt { 3 } \) - i
k=1, z = \(2\left( cos\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) \right) \) = 2 = 2(0 + i) = 0 + 2i = 2i
k = 2, z = \(2\left( cos\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) \right) \) = \(2\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
= \(2\left( -cos\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \) = \(2\left( -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -i\frac { 1 }{ 2 } \right) \)  = \(-\sqrt { 3 } \) - i 
z-ன் மதிப்புகள் = \(\sqrt { 3 } \) - i , 2i, மற்றும் -\(\sqrt { 3 } \) - i

கொடுக்கப்பட்ட z = x + iy
\(\left( \frac { z-i }{ z+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow arg(z-i)-arg(z+2)=\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ arg (x + iy - i) - arg(x + iy + 2) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ arg (x + iy- 1) - arg(x + 2) + iy) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { \tan }^{ -1 }\left( \frac { y-1 }{ x } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { y }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { y-1 }{ x } -\frac { y }{ x+2 } }{ 1+\frac { y-1 }{ x } .\frac { y }{ x+2 } } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\([\because { tan }^{ -1 }x-{ tan }^{ -1 }y={ tan }^{ -1 }\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) ]\)

\(\Rightarrow \frac { (x+2)(y-1)-xy }{ x(x+2)+y(y-1) } =1\)
⇒ x + 2y - 2 = x² + 2x + y² - y
⇒ x²+ 2x + y - y + x - 2y + 2 = 0
⇒ x² + y² + 3x - 3y + 2 = 0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
\(Im\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { 2(x+iy)+1 }{ i(x+iy)+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix+{ i }^{ 2 }y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix-y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+iy }{ (1-y)+ix } \right) =0\)
பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது.
\(Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ (1-y)+ix } \times \frac { (1-y)-ix }{ (1-y)-ix } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy\times (1-y)-ix }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } \right) =0\)
கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac { (2x+1)+(-x)\times 2y(1-y) }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } =0\)
⇒ (2x+ 1)-x+2y(1-y) = 0
⇒ -2x² - x + 2y - 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x - 2y = 0
எனவே z - ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x - 2y = 0

i)  கொடுக்கப்பட்டது: \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(\frac { x }{ y } =\frac { cos\alpha +isin\alpha }{ cos\beta +isin\beta } \)
\(=cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )\) ...(1)
மற்றும் \(\frac { y }{ x } =\frac { 1 }{ \frac { x }{ y } } =cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )\) ...(2)
\((1)+(2)\rightarrow =\frac { x }{ y } +\frac { y }{ x } \)
\(=cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )+cos(\alpha -\beta )-isin(\alpha -\beta )\)
\(=2cos(\alpha -\beta )\)
ii)  கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(xy-\frac { 1 }{ xy } =2isin(\alpha +\beta )\)
xy = (cos α + sin α)(cos β - sin β)
= cos(α + β) + i sin(α + β)
\(\frac { 1 }{ xy } =cos(\alpha +\beta )-isin(\alpha +\beta )\)

= 2i sin (α + β)
iii) கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(\frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } -\frac { { y }^{ n } }{ { x }^{ m } } =2isin(m\alpha -n\beta )\)
x^m =(cos α +sin α)^m=cos mα + i sin mα [டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
\(\therefore \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } =\frac { cosm\alpha +isinm\alpha }{ cosn\beta +isinn\beta } \)
= cos(m α - n β) + i sin(mα - nβ)
மற்றும் \(\therefore \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } =\frac { 1 }{ \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } } \)
= cos(m α - n β) + i sin(m α - nβ)

iv) கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }+\frac { 1 }{ { x }^{ m }y^{ n } } =2cos(m\alpha +n\beta )\)
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }=(cos\alpha +isinm\alpha )(cosn\beta +isinn\beta )\)
\(=cos(m\alpha +n\beta )+isin(m\alpha +n\beta )\)
\(\frac { 1 }{ { x }^{ m }{ y }^{ n } } =cos(m\alpha +n\beta )+isin(m\alpha +n\beta )\)