y = sec^-1(-2) என்க. எனவே, sec y = -2
y = sec^-1x -ன் முதன்மை மதிப்பிற்குரிய வீச்சகம் [0,\(\pi\)]\\(\left\{ \frac { \pi }{ 2 } \right\} \)ஆகும்.
sec y = -2 என்றிருக்குமாறு [0, \(\pi\)]-\(\left\{ \frac { \pi }{ 2 } \right\} \)ல் y-ஐ காணவேண்டும்.
ஆனால் sec y = -2 \(\Rightarrow \) cos y = -\(\frac {1}{2}\).
இனி, \(\cos y=-\frac { 1 }{ 2 } =-\cos\frac { \pi }{ 3 } =\cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) =\cos\frac { 2\pi }{ 3 } .\) எனவே \(y=\frac { 2\pi }{ 3 } \).
\(\frac { 2\pi }{ 3 } \in [0,\pi ]\)\\(\left\{ \frac { \pi }{ 2 } \right\} \) என்பதால், sec^-1 (-2)-ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) ஆகும்.

Now, \({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) +{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left[ \frac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\frac { x-1 }{ x-2 } \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } \right] =\frac { \pi }{ 4 } \)
எனவே, \(\frac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\frac { x-1 }{ x-2 } \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } =1\), என்பதை சுருக்கினால் 2x²- 4 = -3 எனக்கிடைக்கிறது.
எனவே, \({ x }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \) என்பதிலிருந்து \(x=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) எனப் பெறுகிறோம்.

\(\tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } \right) =\tan^{ -1 }(\frac { { a }_{ 2 }-{ a }_{ 1 } }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } )=\tan^{ -1 }{ a }_{ 2 }-\tan^{ -1 }{ a }_{ 1 }\)
இதே போன்று \(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_3-a_2}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1} a_3-\tan ^{-1} a_2\)
தொடர்ந்து உய்த்தறிதல் மூலம் 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_{n-1}}{1+a_{n-1} a_n}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_{n-1}\) என கிடைக்கிறது. 
செங்குத்தாக கூட்டும்போது. 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\) என நமக்கு கிடைக்கிறது.
\(\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)\right]=\tan \left[\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\right]\) 
\(=\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n}\right)\right]=\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n} .\)

cos^-1 x : [-1, 1] \(\rightarrow\) [0, \(\pi\)]  எனும் நேர்மாறு கொசைன் சார்பு வரையறையின்படி, cos⁻¹x = y எனில், எனில் மட்டுமே cos y = x. இங்கு \(-1\le x\le1 \) மற்றும் \(0\le y \le\pi\) ஆகையால்,
i) cos^-1 \((-\frac{1}{\sqrt2})\) = \(\frac{3\pi}{4}\), ஏனெனில் \(\frac{3\pi}{4}\)\(\in[0,\pi]\) மற்றும் cos\(\frac{3\pi}{4}\) = cos\((\pi-\frac{\pi}{4})=-cos \frac{\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt2}\)
ii) cos^-1\((\cos(-\frac{\pi}{3}))\) = cos^-1\((cos(\frac{\pi}{3}))\) = \(\frac{\pi}{3}\), ஏனெனில் -\(\frac{\pi}{3}\)\(\notin \)[0,\(\pi\)], ஆனால் \(\frac{\pi}{3}\in[0, \pi]\)
iii) cos^-1\((\cos(\frac{7\pi}{6}))\) = \(\frac{5\pi}{6}\), ஏனெனில் cos\((\frac{7x}{6})=\cos(\pi+\frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt3}{2}=\cos(\frac{5\pi}{6})\) மற்றும் \( (\frac{5\pi}{6})\in[0, \pi].\)

\({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) ={ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \).என அறிவோம்
எனவே, \(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right) +\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } )\)     ...(1)
\({ \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) =\theta \). என்க. பின்னர் \(\cot\theta =\frac { 3 }{ 4 } \)மற்றும் \(\theta \) குறுங்கோணம்.
படத்திலிருந்து, நமக்கு கிடைக்கப்பெறுவது 
\(\sin\left\{ { \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right\} =\sin\theta =\frac { 4 }{ 5 } \)        ...(2)
(1) மற்றும் (2)-ஐ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தும்போது 
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { 4 }{ 5 } \), என்பதிலிருந்து \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 4 } \) எனவே, \(x=\pm \frac { 3 }{ 4 } \).