6x²<1 எனில், tan^-1 2x + tan^-13x = tan^-1\(\\ \left( \frac { 2x+3x }{ 1-{ 6x }^{ 2 } } \right) \)
\({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 5x }{ 1-{ 6x }^{ 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \) என்பதால் \(\frac { 5x }{ 1-6{ x }^{ 2 } } =\tan\frac { \pi }{ 4 } =1\)
ஆகையால், 1 - 6x² = 5x, என்பதிலிருந்து 6x² + 5x -1 = 0
ஆகவே, \(x=\frac { 1 }{ 6 } ,-1\)
x = -1 என்பது சமன்பாட்டின் இடப்புறம் குறையெண் மதிப்பையும் மற்றும் வலப்புறம் மிகையெண் மதிப்பையும் தருகிறது என்பதை கவனிக்கவும். ஆகையால், x = -1 என்பது தீர்வாகாது. எனவே, \(x=\frac{1}{6}\) மட்டுமே சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வாக அமையும்.

கொடுக்கப்பட்ட \(\frac { \pi }{ 2 } \) < cos^-1 (3x - 1) < π
cos \(\frac { \pi }{ 2 } \) < 3x - 1 < cos π ⇒ 0 < 3x - 1 < -1
0 + 1 < 3x < -1 + 1 ⇒ 1 < 3x < 0
\(\frac { 1 }{ 3 } \) < x < 0
0 < x < \(\frac { 1 }{ 3 } \) எனில் மட்டும் இந்த சமன்பாடு சரி.

(0, 0) \(\left( \frac { \pi }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } \right) ,\left( \pi ,\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) ,\left( \frac { 3\pi }{ 2 } ,1 \right) ,\left( 2\pi ,\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) ,\left( \frac { 5\pi }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } \right) \) மற்றும் (6π, 0) என்ற புள்ளிகளை குறி.

cos⁻¹x = \(\alpha\) மற்றும் cos^-1 y = \(\beta\) என்க
எனவே, x = cos \(\alpha\) மற்றும் y = cos\(\beta\) ஆகும்.
cos^-1x + cos^-1 y + cos^-1z = \(\pi\) என்பதிலிருந்து \(\alpha\)+\(\beta\) = \(\pi\) -cos^-1z   ...(1)
இனி, cos(\(\alpha\) + \(\beta\)) = cos \(\alpha\) cos \(\beta\) - sin \(\alpha\) sin \(\beta\) = xy-\(\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } \)
(1)-லிருந்து, cos(π - cos^-1 z) = xy-\(\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } \) எனப் பெறலாம்.
-cos(cos^-1 z) = xy-\(\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } \)
எனவே \(-z=xy-\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } \), என்பதிலிருந்து -xy - z = -\(\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தி சுருக்க x² + y² + z² + 2xyz = 1 எனப் பெறலாம்.

y = cos^-1 x  -ன் சார்பகம் \(-1\le x\le 1\) அதாவது |x| \(\le \)1 ஆகும். 
எனவே, \(-1\le\frac{2+\sin x}{3}\le1\)  என்பதை -3 \(\le\) 2 + sin x \(\le\) 3 எனலாம்.
எனவே, -5 \(\le \sin\ x\le1 \) என்பதை சுருக்கி, -1\(\le \sin\ x\le1 \), எனப் பெறலாம்.
sin^-1(1)\(\le x\le \sin^{-1}(1)\) அல்லது \(-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}\) எனப் பெறலாம்.
ஆகையால் cos^-1 \((\frac{2+ \sin\ x}{3}) \) -ன் சார்பகம் \( [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) ஆகும்.