கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { dy }{ dx } =\frac { x-y+5 }{ 2(x-y)+7 } .\)
z = x − y என்க.
\(\frac { dz }{ dx } =1-\frac { dy }{ dx } \)
\(\frac { dy }{ dx } =1-\frac { dz }{ dx } \)
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\(1-\frac { dz }{ dx } =\frac { z+5 }{ 2z+7 } \) என மாறும்.
\(\frac { dz }{ dx } =1+\frac { z+5 }{ 2z+7 } \)
\(\frac { dz }{ dx } =\frac { z+2 }{ 2z+7 } \)
மாறிகளைப் பிரித்து எழுத, நாம் பெறுவது
\(\frac { 2z+7 }{ z+2 } dz=dx\)
\(\frac { 2(z+2)+3 }{ z+2 } =dx\)
\(\left( 2+\frac { 3 }{ z+2 } \right) dz=dx\)
இருபக்கமும் தொகையிட, நாம் செய்வது
 \(2z+3log\left| z+2 \right| =x+C\)
அதாவது, \(2(x-y)+3log\left| x-y+2 \right| =x+C\)

y' = sin² (x - y + 1)
z = x - y + 1 என்க. எனவே, \(\frac { dz }{ dx } =1-\frac { dy }{ dx } .\)
ஆகவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 1 - \(\frac { dz }{ dx } =\) sin² z என மாறுகிறது.
அதாவது, \(\frac { dz }{ dx } =\) 1 - sin² z = cos² z.
மாறிகளைப் பிரித்து எழுதக்கிடைப்பது \(\frac { dz }{ { cos }^{ 2 }z } \) = dx (அல்லது) sec² zdz = dx.
தொகையிட நாம் பெறுவது tan z = x + C (அல்லது) tan (x - y + 1) = x + C

T என்பது t நேரத்தில் காபியின் வெப்பநிலை மற்றும் T_k என்பது சமையல் அறையின் வெப்பநிலை என்க.
நியூட்டனின் குளிர்ச்சியடையும் விதிப்படி 
\(\cfrac { dT }{ dt } =k\left( T-{ T }_{ k } \right) \) 
கொடுக்கப்பட்டது:
\({ T }_{ k }=70\) 
\(\cfrac { dT }{ dt } =k\left( T-70 \right) \) 
சமன்பாட்டை \(\cfrac { dT }{ T-70 } =kdt\) என எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dT }{ T-70 } } =\int { kdt } \) 
\(log\left( T-70 \right) =kt+logc\) 
\(log(T-70)-logc=kt\) 
\(log\left( \cfrac { T-70 }{ C } \right) =kt\) 
\(\cfrac { T-70 }{ c } =kt\) 
\(T-70={ ce }^{ kt }\) 
\(T={ ce }^{ kt }+70\) ...(1)
தொடக்கக் கட்டப்பாடு:
t=0 எனும்போது  \(T=80^{ 0 }F\) 
\(180={ ce }^{ k(0) }+70\) 
\(180-70=c\) 
\(\therefore c={ 110 }^{ o }\) 
c ன் மதிப்பை சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(T={ ce }^{ +kr }+70\) 
\(T=110{ e }^{ kr }+70\) 
இரண்டாவது கட்டுப்பாடு:
t=10 எனும்போது  \(T=160\) 
\((2)\Rightarrow 160=110{ e }^{ 10k }+70\) 
\(160-70=110e^{ 10k }\) 
\(\cfrac { 90 }{ 110 } ={ e }^{ k }\) 
\(\cfrac { 9 }{ 11 } ={ e }^{ 10k }\) 
\({ e }^{ k }=\left( \cfrac { 9 }{ 11 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 10 } }\) 
பெண்மணியின் காபியின் வெப்பநிலை 130^oF க்கும் 140^oக்கும் இடைப்பட்டதாக இருக்கும்போது அதை அருந்த விரும்புகிறார்.
\((a)T=130^{ o }F\) எனும்போது 
\((2)\Rightarrow T=110{ e }^{ kt }+70\) 
\(130-70={ 110 }e^{ kt }\) 
\(\cfrac { 60 }{ 110 } ={ e }^{ kt }\) 
\(\cfrac { 6 }{ 11 } ={ e }^{ kt }\) 
\({ e }^{ kt }=\cfrac { 6 }{ 11 } \) 
\(\left( \cfrac { 9 }{ 11 } \right) ^{ \frac { t }{ 10 } }=\cfrac { 6 }{ 11 } \) 
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்கக் கிடைப்பது 
\(log\left( \cfrac { 9 }{ 11 } \right) ^{ \frac { t }{ 10 } }=log\cfrac { 6 }{ 11 } \) 
\(\cfrac { t }{ 10 } log\left( \cfrac { 9 }{ 11 } \right) =log\cfrac { 6 }{ 11 } \) 
\(\cfrac { t }{ 10 } =\cfrac { log\left( \frac { 6 }{ 11 } \right) }{ log\left( \frac { 9 }{ 11 } \right) } \) 
\(\cfrac { t }{ 10 } =\cfrac { log\left( 0.545 \right) }{ log\left( 0.818 \right) } =\cfrac { -0.264 }{ -0.087 } =3.0345\) 
\(t=10\times 3.3045\) 
= 30.345
\(\\ (b)T=140^{ 0 }\) எனும்போது 
\((2)\Rightarrow T={ 110 }e^{ kt }+70\) 
\(140-70=110{ e }^{ kt }\) 
\(\cfrac { 70 }{ 110 } ={ e }^{ kt }\) 
\(\cfrac { 7 }{ 11 } ={ e }^{ kt }\) 
\({ e }^{ kt }=\cfrac { 7 }{ 11 } \) 
\(\left( \cfrac { 9 }{ 11 } \right) ^{ \cfrac { t }{ 10 } }=log\cfrac { 7 }{ 11 } \) 
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்கக் கிடைப்பது 
 \(\cfrac { t }{ 10 } log\left( \cfrac { 9 }{ 11 } \right) =log\cfrac { 7 }{ 11 } \) 
\(\cfrac { t }{ 10 } =\cfrac { log\left( \frac { 7 }{ 11 } \right) }{ log\frac { 9 }{ 11 } } =\cfrac { -0.197 }{ -0.087 } =2.264\) 
\(t=10\times 2.264\) 
\(t=22.6\)  நிமிடங்கள் 
அப்பெண்மணி காபியை காலை 10.22 லிருந்து 10.30க்குள் அருந்த வேண்டும்.

t நேரத்தில் தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவு x(t) என்க. இதன் மாறுவீதம் \(\frac { dx }{ dt } \) = உள் நுழையும்வீதம் − வெளியேறும் வீதம்.
இப்பொழுது ஒரு லிட்டர் நீரில் 5 கிராம் உப்பு கரைக்கப்பட்டு தொட்டியில் உட்புகுத்தப்படுவதால், 10 லிட்டர் நீரில் 50கிராம் உப்புத் தொட்டியில் உள்ள நீரில் கரைந்திருக்கும். மேலும், தொட்டியில் இருந்து உப்புக்கரைசல் (பிரைன்) ஒரு நிமிடத்திற்கு 10 லிட்டர் வீதம் வெளியேறுகிறது. இது தொட்டியில் உள்ள மொத்த உப்புக் கரைசலின் 10 / 1000 = 0.01 மடங்காகும். ஆகவே, t நேரத்தில் உள்ள உப்பின் அளவு x(t) -ன் 0.01 மடங்காகும். அதாவது 0.01x(t) ஆகும்.
எனவே, இந்த மாதிரியின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\frac { dx }{ dt } \) = 50 - 0.01x = -0.01(x - 5000)
இச்சமன்பாட்டினை \(\frac { dx }{ x-5000 } =-(0.01)dt\) என எழுதலாம்.
சமன்பாட்டின் இரு பக்கமும் தொகையிட, \(log\left| x-5000 \right| =-0.01t+logC\)
அல்லது x - 5000 = Ce^-0.01t அல்லது x = 5000 + Ce^-0.01t 
ஆரம்பத்தில், அதாவது t = 0 எனும்போது x = 100
அதாவது 100 = 5000 + C. ஆகையால், C = -4900.
எனவே t நேரத்தில் தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவு is x = 5000 - 4900e^-0.01t.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை 
\(\cfrac { dx }{ dy } =\cfrac { { xe }^{ \frac { x }{ y } }+y }{ { ye }^{ \frac { x }{ y } } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இது ஒரு சமப்படிதான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
x=vy என்க. & \(\cfrac { dx }{ dy } =v+y\cfrac { dv }{ dy } \) 
\(v+y\cfrac { dv }{ dy } =\cfrac { { vye }^{ \frac { vy }{ y } }+y }{ ye^{ \frac { vy }{ y } } } \) 
\(v+y\cfrac { dv }{ dy } =\cfrac { y\left[ { ve }^{ v }+1 \right] }{ y\left[ e^{ v } \right] } \) 
\(y\cfrac { dy }{ dv } =\cfrac { 1 }{ { e }^{ v } } \) 
\({ e }^{ v }dv=\cfrac { dy }{ y } \) 
தொகையிடைக் கிடைப்பது 
\(\int { { e }^{ v }dv } =\int { \cfrac { dy }{ y } } \) 
\({ e }^{ v }=logy+logc\) 
\({ e }^{ \frac { x }{ y } }=log|cy|\) என்பது தேவையான தீர்வாகும்.