(i) நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு 
 \(f(x)=F^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & , x<0 \\ \frac{1}{2}(2 x+1) & , 0 \leq x<1 \\ 0 & , x \geq 1 \end{array}\right.\)
 
(ii) \(P(0.3\le X\le 0.6)\) 
\(P\left( a\le X\le b \right) =F(b)-F(a)\)
\(\mathrm{P}(0.3 \leq X \leq 0.6)=\mathrm{F}(0.6)-\mathrm{F}(0.3)\)
\(=\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \left( 0.6 \right) ^{ 2 }+\left( 0.6 \right) \right] -\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \left( 0.3 \right) ^{ 2 }+\left( 0.3 \right) \right]\)
\(=\cfrac { 1 }{ 2 } \left( 0.96-0.39 \right) =0.285\)

(i) நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு f(x) என்பதால், f(x) ≥ 0 மற்றும் \(\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx} = 1\)
அதாவது \(\int_{-\infty}^{0}{0dx}+\int_{0}^{\infty}{ke^{-2x}dx}=1\)
\(0+k(\frac{e^{-2x}}{-2})_{0}^{\infty}=1\Rightarrow k =(\frac{e^{-\infty}-e^0}{-2})=1 \Rightarrow k = 2\)
எனவே நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு

(ii) பரவல் சார்பு
வரையறைப்படி பரவல் சார்பு \(F(x) = P(X \le x)=\int_{-\infty}^{x}{f(u)du}\)
x ≤ 0 எனும்போது \(F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(u)du}=\int_{-\infty}^{x}{0du}=0\)
x > 0 எனும்போது \(F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(u)du}=\int_{-\infty}^{0}{0du}+\int_{0}^{x}{2e^{-2u}du}=2(\frac{e^{-2u}}{-2})_{0}^{x}=1-e^{-2x}\)
இதிலிருந்து பெறுவது

(iii) P(X < 2) =  P(X ≤ 2) = F(2) = 1 − e^−2×2 = 1 − e⁻⁴ (F(x) தொடர்ச்சி என்பதால்)
(iv) X குறைந்தபட்சம் நான்கு நேர அலகுகளுக்கான நிகழ்தகவு
P(X ≥ 4) = 1 − P(X < 4) = 1−F(4) = 1 − (1−e^−2×4) = e⁻⁸
(v) தொடர்ச்சியானதில், x = a -ல் f(x) என்பது X ஆனது a மதிப்பைக் கொள்வதற்கான நிகழ்தகவு அல்ல . அதாவது f(a) ≠ P(X = a) ஆகும். X தொடர்ச்சியான வகை எனில், அனைத்து a ∈ ℝ -க்கு P(X = a) = 0 ஆகும். எனவே P(X =3)=0ஆகும்.

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 
\(f(0)=P(X=0)=F(0)-F(0^-)=\cfrac { 1 }{ 2 } -0 =\frac { 1 }{ 2 } \) 
\(f(1)=P(X=1)=F(1)-F(0)=\cfrac { 3 }{ 5 } -\cfrac { 1 }{ 2 } =\cfrac { 1 }{ 10 } \)
\(f(2)=P(X=2)=F(2)-F(1)=\cfrac { 4 }{ 5 } -\cfrac { 3 }{ 5 } =\cfrac { 1 }{ 5 } \)
\(f(3)=P(X=3)=F(3)-F(2)=\cfrac { 9 }{ 10 } -\cfrac { 4 }{ 5 } =\cfrac { 1 }{ 10 } \)
\(f(4)=P(X=4)=F(4)-F(3)=1-\cfrac { 9 }{ 10 } =\cfrac { 1 }{ 10 } \)
நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 

(ii) P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P (X = 2) 
 \(\begin{aligned} =\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{5} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{5+1+2}{10}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} \end{aligned}\)
(iii) P(X \(\geq\)2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
\(\begin{aligned} =\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{2+1+1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \end{aligned}\)

(i) கொடுக்கப்பட்டது:

\(f(-1)=P(X=-1)=F(-1)-F(-1)=0.15-0\)  = 0.15
\(f(0)=P(X=0)=F(0)-F(-1)=0.35-0.15\)  = 0.20
\(f(1)=P(X=1)=F(1)-F(0)=0.60-0.35\)  = 0.25
\(f(2)=P(X=2)=F(2)-F(1)=0.85-0.60\)   = 0.25
\(f(3)=P(X=3)=F(3)-F(2)=1-0.85=0.15\) 

(ii) \(P(X<1)\) \(=P(X=-1)+P(X=0)\)  = 0.15 + 0.20 = 0.35
(iii) \(P(X\ge 2)\) = \( P(X=2)+P(X=3)\) = 0.25 + 0.15 = 0.40

இருமுறை எறிதலின் மொத்தத் தொகை X -ஐ குறிப்பதால், X -ஆனது 2, 3, 4, 5, மற்றும் 6 ஆகிய மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.
அருகிலுள்ள அட்டவணை S-லிருந்து,

கூறுவெளி S

\(P(X=2)=\frac{1}{36},\)
\(P(X=3)=\frac{4}{36},\)
\(P(X=4)=\frac{10}{36},\)
\(P(X=5)=\frac{12}{36},\)
மற்றும் \(P(X=6)=\frac{9}{36}.\)
(i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது.

(ii) குவிவு பரவல் சார்பு வரையறைப்படி தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் குவிவு பரவல் சார்பானது,

\(F(x)=P(X\le x) =\underset { { x }_{ i }\le x }{ \Sigma } { P(X={ x }_{ i }) }\),
P(X < x)  = 0, −∞ < x < 2.
\(F(2)=P(X\le 2)=\sum _{ -\infty }^{ 2 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)=0+\frac { 1 }{ 36 } } =\frac { 1 }{ 36 } .\)
\(F(3)= P(X\le 3)=\sum _{ -\infty }^{ 3 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)+P(X=3)=0+\frac { 1 }{ 36 }+\frac { 4 }{ 36 } } =\frac { 5 }{ 36 } .\)
\(F(4)= P(X\le 4)=\sum _{ -\infty }^{ 4 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0+\frac { 1 }{ 36 }+\frac { 4 }{ 36 }+\frac { 10 }{ 36 } } =\frac {15 }{ 36 } .\)
\(F(5)= P(X\le 5)=\sum _{ -\infty }^{ 5 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)}\)= \(0+\frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}=\frac{27}{36}.\)
\(F(6)= P(X\le 6)=\sum _{ -\infty }^{ 6 }{ { P(X={ x })}}\)
= P(X < 2) + P(X = 2) + P(X = 3)+ P(X = 4)+ P(X = 5)+ P(X = 6)
= \(0+\frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}+\frac{9}{36}=1.\)
எனவே , குவிவு பரவல் சார்பானது
,\(\begin{cases}\begin{matrix}0,&-\infty < x< 2\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{1}{36},&2 \le x< 3\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{5}{36},&3 \le x< 4\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{15}{36},&4 \le x< 5\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{27}{36},&5 \le x< 6\end{matrix}\\\begin{matrix}1,&6 \le x< \infty\end{matrix}\end{cases}\)

(iii) \(P(3\le X<6)=\sum _{ x=3 }^{ 5 }{ P(X={ x }_{ i })=P(X=3)+P(X=4) } +P(X=5)\)
= \(\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}=\frac{26}{36}.\)
(iv) \(P(X\ge4)=\sum _{ x=4 }^{ \infty }{ P(X={ x }_{ i })}\)
= P(X = 4)+P(X = 5)+P(X = 6)
=\(\frac{10}{36}+\frac{12}{36}+\frac{9}{36}=\frac{31}{36}.\)