மூலங்களின் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியம் ஆதலால் மூலங்கள் α, -α மற்றும் β என்க.
α - α + β =\(\frac { -b }{ a } =\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ β = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
αβ\(\gamma \)=\(\frac { -d }{ a } \)
⇒ \(\alpha (-\alpha )\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =\frac { -9 }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { { \alpha }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { 9 }{ 2 } \) ⇒ α²=9 ⇒ α=±3
⇒ α=3
∴ மூலங்கள் 3, -3 மற்றும் \(\frac { 1 }{ 2 } \).

ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 மூலங்கள் α,β,γ மற்றும் δ என்க. எனவே,
∑₁ =α+β+γ+ δ=-\(\frac{b}{a}\)
∑₂ =αβ+αγ+αδ+βγ+γδ=\(\frac{c}{a}\)
∑₃ =αβγ+ αβδ+αγδ+βγδ=-\(\frac{d}{a}\)
∑₄ =αβγδ=\(\frac{e}{a}\)
α²+β²+γ²+δ² -ன் மதிப்பைக் காணவேண்டுமெனில்
(a+b+c+d)² ≡ a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
எனும் முற்றொருமையினைப் பயன்படுத்த வேண்டும். எனவே,
α²+β²+γ²+δ² =(α+β+γ+δ)² -2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)
=\(\left( -\frac { b }{ a } \right) ^{ 2 }-2\left( \frac { c }{ a } \right) \)
=\(\frac { { b }^{ 2 }-2ac }{ { a }^{ 2 } } \).

x³+2x²+3x+4=0 மூலங்கள் α,β,\(\gamma \)
∴ α+β+\(\gamma \)=-x²-ன் கெழு =-2    ........(1)
αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α=x-ன் கெழு =3     ......(2)
-α β \(\gamma \) =+4 ⇒ α β \(\gamma \)=-4         ........(3)
2α,2β,2\(\gamma \) வை மூலங்களாக உடைய முப்படி சமன்பாட்டை உருவாக்குக
2α+2β+2\(\gamma \)=2(α,β,\(\gamma \))=2(-2)=-4 [(1) லிருந்து]
4αβ+4β\(\gamma \)+4\(\gamma \)α=4(αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α)=4(3)=12 [(2) லிருந்து]
(2α) (2β) (2\(\gamma \)) =8(αβ\(\gamma \)) =8(-4)=-32 [(3) லிருந்து]
∴ தேவையான முப்படி சமன்பாடு
x³-(2α+2β+2\(\gamma \))x²+(2αβ+2β\(\gamma \)+2\(\gamma \)α)x-(2α) (2β) (2\(\gamma \))=0
⇒ x³-(4)x²+12x+32=0
⇒ x³+4x²+12x+32=0

பண்புகாட்டி Δ=(4p)²-4(4)(p+2)=16(p²-p-2)=16(p+1)(p-2) ஆகும்.
எனவே,
−1< p < 2 எனில், Δ< 0
p = −1 அல்லது p = 2 எனில், Δ = 0
−∞ < p < −1 அல்லது 2 < p < ∞ எனில், Δ > 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்டுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு,
−1< p < 2 எனில், கலப்பெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும் ;
p = -1 அல்லது p = 2 எனில், சமமான மெய்யெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும் ;
− ∞ < p < −1 அல்லது 2 < p < ∞ எனில், வெவ்வேறான மெய்யெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட முப்படி சமன்பாடு
3x³ − 26x² + 52x − 24 = 0
இங்கு, a = 3, b = -26, c = 52, d = -24.
மூலங்கள் பெருக்குத் தொடரில் அமைந்தவை ஆதலால்
மூலங்கள் \(\frac { a }{ r } \)a,ar.  மூலங்களின் கூடுதல் =\(\frac { -b }{ a } \)
⇒ \(\frac { a }{ r } +a+ar=\frac { 26 }{ 3 }\)       .....(1)
மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =\(\frac { -d }{ a } \)

a³=8=2³
a=2
∴ (1)( லிருந்து \(\frac { 2 }{ r } +2+2r=\frac { 26 }{ 3 } \)
⇒ \(\frac { 2+2r+2r^{ 2 } }{ r } =\frac { 13 }{ 3 } \)
⇒ 3+3r+3r²=13r ⇒ 3r²-10r+3=0
⇒ (r-3)(3r-1)=0 ⇒ r=3
∴ மூலங்கள்   \(\frac { a }{ r } \)a, மற்றும் ar.
⇒ \(\frac { 2 }{ 3 } \) மற்றும் 2(3) ⇒ \(\frac { 2 }{ 3 } \),2 மற்றும் 6.