கொடுக்கப்பட்ட முப்படிச் சமன்பாடு
2x³ − 6x² + 3x + k = 0
இங்கு a = 2, b = -6, c = 3, d= k
α,β,\(\gamma\) என்பது மூலங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட α=2(\(\beta +\gamma \)) =\(\frac { \alpha }{ 2 } =\beta +\gamma \)       .....(1)
இங்கு  α+β+\(\gamma\)=\(\frac { -b }{ a } =-\frac { (-6) }{ 2 } \)=3
\(\frac { \alpha }{ 2 } +\alpha =3\Rightarrow \frac { \alpha +2\alpha }{ 2 } =3\Rightarrow \frac { 3\alpha }{ 2 } \)=3
⇒ α=2
\(\alpha \beta \gamma =\frac { -d }{ a } =\frac { -k }{ 2 } \Rightarrow 2.\beta \gamma =\frac { -k }{ 2 } \)
\(\beta \gamma =\frac { -k }{ 4 } \)           .......(2)
மேலும், \(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac { c }{ a } \)
\(2\beta +\beta \gamma +2\gamma =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(2(\beta +\gamma )+\beta \gamma =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\alpha \frac { -k }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \) [(1) மற்றும் (2) லிருந்து]
\(2-\frac { k }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \)    [∵ α=2]
\(2-\frac { 3 }{ 2 } =\frac { k }{ 4 } \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } =\frac { k }{ 4 } \)
k=\(\frac { 4 }{ 2 } \) ⇒ k=2
(2)லிருந்து, \(\beta \gamma =\frac { -k }{ 4 } =\frac { -2 }{ 4 } =\frac { -1 }{ 2 } \Rightarrow =\frac { -1 }{ 2\beta } \)
(1) லிருந்து, \(\beta +\gamma =\frac { \alpha }{ 2 } =\frac { 2 }{ 2 } \)=1
\(\gamma =\frac { -1 }{ 2\beta } \) என பிரதியிட கிடைப்பது
\(\beta -\frac { 1 }{ 2\beta } \)=1 ⇒ 2β²-1=2β ⇒ 2β-2β-1=0
β=\(\frac { 2\pm \sqrt { 4-4(2)(-1) } }{ 4 } =\frac { 2\pm \sqrt { 4+8 } }{ 4 } \)
=\(\frac { 2\pm \sqrt { 12 } }{ 4 } =\frac { 2\pm 2\sqrt { 3 } }{ 4 } \)
β =\(\frac { 1\pm \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
எனவே மூலங்கள் 2,\(\frac { 1+\sqrt { 3 } }{ 2 } ,\frac { 1-\sqrt { 3 } }{ 2 } \)  மற்றும் k = 2

கொடுக்கப்பட்ட முப்படி சமன்பாடு
3x³-16x²+23x-6=0
\(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } \) மற்றும் \(\gamma \) என்பது சமன்பாட்டின் மூலங்கள்
[∵ இரண்டு மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் 1]
(1) ⟶ \({ x }^{ 3 }-\frac { 16 }{ 3 } x^{ 2 }+\frac { 23 }{ 3 } -2\)=0  ....(1)
(1) ஒப்பிடும் போது
\({ x }^{ 3 }-\left( \frac { \alpha +\beta +\gamma }{ \alpha } \right) +\left( \alpha \frac { 1 }{ \alpha } .\gamma +\gamma \alpha \right) \)
\(-\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } .\gamma \)=0     ......(2)
கிடைப்பது,
\(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } +\gamma =\frac { 16 }{ 3 } \)     ...(3)
\(1+\frac { \gamma }{ \alpha } +\gamma \alpha =\frac { 23 }{ 3 } \)
\(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } .\gamma \) =2 ⇒ \(\gamma \)=2   ......(4)
\(\gamma \)=2
என (3)-ல் பிரதியிட கிடைப்பது
\(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } +2=\frac { 16 }{ 3 } \)
⇒ \(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } =\frac { 16 }{ 3 } -2=\frac { 16-6 }{ 3 } =\frac { 10 }{ 3 } \)
⇒ \(\frac { \alpha ^{ 2 }+1 }{ \alpha } =\frac { 10 }{ 3 } \)
3x²+3=10α
3α²-10α+3=0
α=\(\frac { -10 }{ 3 } \)
அல்லது α=\(\frac{1}{3}\)
(3α+10)(3α-1)=0
α=\(\frac { -10 }{ 3 } \) சாத்தியமில்லை 
⇒ α=\(\frac{1}{3}\)
[∵ α=\(\frac { -10 }{ 3 } \) (5) ஐ நிறைவு செய்யவில்லை]
∴ மூலங்கள் 3,\(\frac{1}{3}\),2.

உறுப்புகளை பின்வருமாறு வரிசைபடுத்த
(x − 5)(x − 7)(x + 6)(x + 4) = 504
⇒ (x²-x-20) (x²-x-42) = 504
பிரதியிடு x²-x=y
⇒ (y-20)(y-42) = 504
⇒ y²-62y+840-504 =0
⇒ y²-62y+336 =0
⇒ (y-56)(y-6) =0
⇒ y=56,6
நிலை  (i) y=56 எனில், x²-x=56
⇒ x²-x-56=0
⇒ (x-8)(x+7) =0
⇒ x= 8, -7
நிலை (ii) y=6 எனில்,
x²-x =6
⇒ x²-x-6 =0
⇒ (x-3)(x+2) =0
⇒ x=3,-2
எனவே மூலங்கள் -2, 3, 8, -7

இந்நாற்படி சமன்பாட்டை பொருத்தமாக மாற்றி எழுதி பிரதியிடல் முறையைக் கடைபிடிப்பதன் மூலம் இதனைத் தீர்க்கலாம்.
(x − 2) (x − 3) (x − 7) (x + 2) +19 = 0 .
எனச் சமன்பாட்டை மாற்றி எழுதலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு,
(x² - 5x + 6)(x² - 5x - 14) + 19 = 0 என்றாகிறது.
x² - 5x-ஐ y எனப் பிரதியிட, சமன்பாடு (y+6)(y-14)+19=0 என மாறுகிறது. அதாவது,
y²-8y-65=0
இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க y =13மற்றும் y=−5எனக் கிடைக்கும். இவற்றைப் பிரதியிட நமக்கு x²-5x-13=0 மற்றும் x²-5x+5=0 என இரு இருபடி சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன. அவற்றை வழக்கமான முறைகளில் தீர்க்க இயலும். இவ்விரு சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட தீர்வுகள் அனைத்தையும் ஒன்று சேர்த்து \(\frac { 5\pm \sqrt { 77 } }{ 2 } ,\frac { 5\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } \) என எழுதலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட \((\sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } )\) என்பது ஒரு மூலம்
⇒ \(\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } \) என்பது மேலும் ஒரு மூலம்
∴ மூலங்களின் கூடுதல் =\(\sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } +\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } =2\sqrt { 5 } \)
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
=\((\sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } )(\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } )\)
=\((\sqrt { 5 } )^{ 2 }-(\sqrt { 3 } )^{ 2 }\)=5-3=2
∴ ஒரு காரணி x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
⇒ x²-2x\(\sqrt { 5 } \)+2
மற்றொரு காரணியும்  x²+2x\(\sqrt { 5 } \)+2 ஆகும்.
இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. ஆகையால் குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடு.
(x² - 2x \(\sqrt { 5 } \) + 2)(x² + 2x \(\sqrt { 5 } \) + 2) = 0
⇒ (x² + 2 - 2\(\sqrt { 5 } \)x) (x² + 2 + 2\(\sqrt { 5 } \)x) = 0
⇒ (x² + 2)²-(2\(\sqrt { 5 } \)x)² = 0
[∵ (a + b)(a - b)=a² - b²]
⇒ x⁴ + 4x² + 4 - 4(5)x² = 0
⇒ x⁴ + 4x² + 4 - 20x² = 0
⇒ x⁴ - 16x² + 4 = 0