y² - 4y - 8x + 12 = 0
y²-4y = 8x-12
இருபுறமும் 4ஐ கூட்ட கிடைப்பது
y - 4y + 4 = 8x - 12 + 4 = 8x - 8
⇒ (y - 2)² = 8(x - 1)
இது கீழ்நோக்கி திறப்புடைய பரவளையம்,
செவ்வகலம் 4a = 8 ⇒ a = 2.
(a) முனை (1, 2) ⇒ h = 1, k = 2
(b) குவியம் (h + a, 0 + k)
⇒ (1 + 2, 0 + 2)
⇒ (3, 2)
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = h - a
⇒ x = 1-2
⇒ x = -1
(d) செவ்வகலத்தின் நீளம் 4a = 8 அலகுகள்.

முனை (1, 2)
குவியம் (3, 2)
இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = -1
செவ்வகலத்தின் நீளம் = 8

அணு உலை குளிரூட்டும் தூணின் குறுக்கு வெட்டு அதிபரவளைய வடிவில் உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட \(OC=\cfrac { 1 }{ 2 } OD\) மற்றும் CD = 150மீ அதனுடைய சமன்பாடு OC = 50மீ மற்றும் OD = 100 மீ \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 30 }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { 44 }^{ 2 } } =1\)
OC = 50 மீ மற்றும் OD = 100 மீ அணு உலையின் மேற்புற ஆரம் x₁ எனவும், கீழ்புற ஆரம் x₂ எனவும் கொள்க.
ஃபுள்ளிகள் A(x₁, 50) மற்றும் B(x₂, -100) அதிபரவளையம் A(x₁, 50) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
\( \therefore \frac{x_1^2}{30^2}-\frac{50^2}{44^2} =1+\frac{2500}{1936}=\frac{1936+2500}{1936} \\ x_1^2 =\frac{30^2}{44^2}(4436) \\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times \sqrt{4436} \)
\(\\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times(66.6)=45.41 \ \)மீ
மேற்புற ஆரம் = 45.41 மீ
மேற்புற விட்டம் = 90.82 மீ
மேலும், அதிபரவளையம் B(x₂, -100) வழிச் செல்கிறது.
\( \frac{x_2^2}{30^2}-\frac{100^2}{44^2} =1 \\ \frac{x_2^2}{30^2} =1+\frac{100^2}{44^2}=\frac{44^2+100^2}{44^2} \\ x_2^2 =\frac{30^2}{44^2}(11936) \\ x_2 =\frac{30}{44} \times \sqrt{11936} \\ =\frac{30}{44}(109.25)=74.48 \)
கீழ்ப்புற ஆரம் = 74.48 மீ
கீழ்ப்புற விட்டம் = 148.96 மீ
ஃ தூணின் மேற்பகுதி மற்றும் அடிப்பகுதியின் விட்டங்கள் முறையே 90.82 மீ மற்றும் 148.96 மீ.

துணைக்கோள் ஏற்பியின் குறுக்கு வெட்டு பரவளையம் வலது பக்க திறப்புடையது.

அதனுடைய சமன்பாடு y² = 4ax 
முனையிலிருந்து குவியம் 1.2 மீ தூரத்தில் உள்ளதால் OA = 1.2மீ மற்றும் BC = 2.5 மீ ஏற்பியின் அகலம் 5மீ 
படத்திலிருந்து, a = 1.2 மீ 
\(\therefore\) y₂ = 4(1.2)x
(a) \(\Rightarrow\) y₂ = 4.8x
(b) (x₁, 2.5) (1)-ன் மீது அமைந்துள்ளதால் 
(2.5)² = 4.8(x₁)
\({ x }_{ 1 }=\cfrac { 2.5\times 2.5 }{ 4.8 } \) 
x₁ = 1.3மீ
\(\therefore \) முனையிலிருந்து செயற்கைக்கோள் ஏற்பியின் ஆழம் 1.3மீ ஆகும்.

சுரங்க பாதையின் குறுக்கு வெட்டு நீள்வட்ட வடிவில் உள்ளது என்க.

கொடுக்கப்பட்ட AA' = 16மீ \(\Rightarrow\) OA = 8 மீ மற்றும் OB = 5மீ 
\(\therefore\) \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 5 }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { 8 }^{ 2 } } =1\) 
சாலையின் அகலம் BB' மற்றும் AA' சுரங்கப் பாதை திறப்பின் முனைகள் என்க.
CB = 8 மற்றும் BD = 4
D(8, 4) என்ற புள்ளி நீள்வட்டத்தில் உள்ளது.
\( \frac{8^2}{a^2}+\frac{4^2}{5^2} =1 \\ \Rightarrow a^2 =\frac{25}{9} \times 64 \\ \Rightarrow a =\frac{40}{3} \) 
\( \mathrm{AA}^{\prime} =2 a=\frac{80}{3} \\ =26.66 \) 
சுரங்கப்பாதையின் திறப்பின் அகலம் = 26.66 மீ 

வட்டத்தின் பொதுச் சமன்பாடு x² + y² + 2gx +2fy + c = 0    ...(1)
இது (1, 1), (2, -1) மற்றும் (3, 2) என்ற புள்ளிகள் வழிச்செல்வதால் 
2g + 2 f + c = -2 , … (2)
4g − 2 f + c = -5 , … (3)
6g + 4 f + c = -13 . … (4)
(2)-(3)-இலிருந்து -2g + 4f = 3.     ...(5)
(4)-(3)-இலிருந்து  2g + 6f = -8.     ...(6)
(5)+(6)-இலிருந்து f = -\(\frac{1}{2}\) என கிடைக்கும் மதிப்பை (6) இல் பிரதியிட g =\(\frac{-5}{2},f,g\) இன் மதிப்புகளை (2) இல் பிரதியிட c = 4 எனவும் கிடைக்கிறது.
எனவே தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2\left( -\frac { 5 }{ 2 } \right) x+2\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) y+4=0\)
அதாவது x² + y² − 5x − y + 4 = 0.