நாம் \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\) ஐ காண வேண்டும். z = \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\) எனில் z⁴ = 1 ஆகும்.
z⁴ = 1  என்ற சமன்பாட்டை துருவ வடிவில் எழுத,
z = cos (0 + 2kㅠ) + isin (0 + 2kㅠ) = e^i2kㅠ, k = 0,1,2,.....
எனவே, z = \(cos\left( \frac { 2k\pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { 2k\pi }{ 4 } \right) ={ e }^{ i\frac { 2k\pi }{ 4 } }\) k = 0,1,2,3
k = 0,1,2,3 எனப்பிரதியிட
k = 0, z = cos0 + isin0=1
k = 1, \(z = cos\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) =i\),
k = 2, z = cosㅠ + isinㅠ = -1
k=3, z = \(cos\frac { 3\pi }{ 2 } +isin\frac { 3\pi }{ 2 } \) = - \(cos\frac { \pi }{ 2 } -isin\frac { \pi }{ 2 } =-i\)
ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்கள் 1, i, -1, -i ⇒ 1, ω, ω²மற்றும் ω³ இங்கு \(ω ={ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 4 } }=i\)

கொடுக்கப்பட்ட z = x + iy
\(\left( \frac { z-i }{ z+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow arg(z-i)-arg(z+2)=\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ arg (x + iy - i) - arg(x + iy + 2) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ arg (x + iy- 1) - arg(x + 2) + iy) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { \tan }^{ -1 }\left( \frac { y-1 }{ x } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { y }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { y-1 }{ x } -\frac { y }{ x+2 } }{ 1+\frac { y-1 }{ x } .\frac { y }{ x+2 } } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\([\because { tan }^{ -1 }x-{ tan }^{ -1 }y={ tan }^{ -1 }\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) ]\)

\(\Rightarrow \frac { (x+2)(y-1)-xy }{ x(x+2)+y(y-1) } =1\)
⇒ x + 2y - 2 = x² + 2x + y² - y
⇒ x²+ 2x + y - y + x - 2y + 2 = 0
⇒ x² + y² + 3x - 3y + 2 = 0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

(i) cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎) 
கொடுக்கப்பட்ட cos α + cos β + cos ⋎ = sin α + sin β + sin ⋎ = 0 
ஃ (cos α + cos β + cos ⋎) +  (cos α + cos β + cos ⋎)
⇒ (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos ⋎ + i sin ⋎) = 0
⇒ a + b + c = 0 இங்கு a = cos α + i sin α, b = cos β + i sin β, c = cos ⋎ + i sin ⋎
a + b + c = 0 எனில் a³ + b³ + c³ = 3abc.
∴ (cos α+ i sin α)³ + (cos β + i sin β)³ + (cos ⋎ + i sin ⋎)³ = 3[(cos α+ i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos ⋎ + i sin ⋎)]
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
⇒ cos 3α + i sin 3α + cos 3β + i sin 3β + cos 3⋎ + i sin 3⋎
= 3[(cos (α + β + ⋎) i sin (α + β + ⋎)]
⇒ (cos 3α + cos 3β + cos 3⋎) +i [sin 3α + sin 3β + sin 3⋎)]
= 3[(cos (α + β + ⋎) i sin (α + β + ⋎)]
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த கிடைப்பது.
cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎)
மற்றும் sin3 α + sin3 β + sin3 ⋎ = 3 sin (α+ β + ⋎)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
\(Im\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { 2(x+iy)+1 }{ i(x+iy)+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix+{ i }^{ 2 }y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix-y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+iy }{ (1-y)+ix } \right) =0\)
பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது.
\(Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ (1-y)+ix } \times \frac { (1-y)-ix }{ (1-y)-ix } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy\times (1-y)-ix }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } \right) =0\)
கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac { (2x+1)+(-x)\times 2y(1-y) }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } =0\)
⇒ (2x+ 1)-x+2y(1-y) = 0
⇒ -2x² - x + 2y - 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x - 2y = 0
எனவே z - ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x - 2y = 0

கொடுக்கப்பட்டது \(\left| { z }_{ 1 } \right| =1,\left| { z }_{ 2 } \right| =2,\left| z_{ 3 } \right| =3\),
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| =1\)
\({ \left| { z }_{ 1 } \right| }^{ 2 }={ 1 }^{ 2 }\Rightarrow { z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 1 } } \Rightarrow { z }_{ 1 }=\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } \)
\({ \left| { z }_{ 2 } \right| }^{ 2 }=4\Rightarrow { z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 2 } } =4\Rightarrow { z }_{ 2 }=\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } \)
\({ \left| { z }_{ 3 } \right| }^{ 2 }=9\Rightarrow { z }_{ 3 }\overline { { z }_{ 3 } } =9\Rightarrow { z }_{ 3 }=\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } \)
\(\therefore \left| 9{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }+4{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| \)
\(=\left| 9.\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } +4.\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } +\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } .\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } \right| \)
\(\left| \frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } } +\frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 3 } } } +\frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 2 } } \overline { { z }_{ 3 } } } \right| =\left| \left( \frac { \overline { { z }_{ 3 } } +\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 1 } } }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } \overline { { z }_{ 3 } } } \right) \right| \)
\([\therefore \left| \overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 3 } } = \right| =\overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } ]\)
\(\frac { 36\left| \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| }{ \left| \overline { { z }_{ 1 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 2 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 3 } } \right| } =36\frac { 36\left| \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| }{ \left| \overline { { z }_{ 1 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 2 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 3 } } \right| } \)

\([\because \left| { \overline { z } }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| ,\left| { \overline { z } }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| ,\left| { \overline { z } }_{ 3 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| ]\)

\({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } })^{ 10 }\)
இப்பொழுது \(\overline { z } =\overline { (2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)
\(\overline { z } =\overline { (2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } -(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) \([\because \overline { { z }_{ 1 }-{ z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 } } -\overline { { z }_{ 2 } } ]\)
\(=(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\)
\(=-[(2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }]=-z\)
\(\therefore \overline { z } =-\overline { z } \Rightarrow z\) முழுவதும் கற்பனை எண்
எனவே \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } })^{ 10 }\) முழுவதும் கற்பனை எண்.

i) z = \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) என்க.
இதிலிருந்து, \(\bar { z } =\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)
= \(\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } +\overline { { (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)  \(\overline { (\because { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } =\bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } )\)
= \({\overline { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ \overline { (2-i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\)  \((\because \bar { { (z }^{ n }) } ={ (\bar { z } ) }^{ n })\)
= \({ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\) = z
\(\bar { z } \)= z ⇒ z ஒரு மெய்யெண் ஆகும்.
ii)  \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்க.
இங்கு, \(\frac { 19+9i }{ 5-3i } =\frac { (19+9i)(5+3i) }{ (5-3i)(5+3i) } \)
= \(\frac { (95-27)+i(45+57) }{ { 5 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\frac { 68+102i }{ 34 } \)
= 2 + 3i    ....(1)
மற்றும், \(\frac { 8+i }{ 1+2i } =\frac { (8+i)(1-2i) }{ (1+2i)(1-2i) } \)
= \(\frac { (8+2)+i(1-16) }{ { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\frac { 10-15i }{ 5 } \)
= 2 - 3i     ...(2)
இப்பொழுது, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\)
⇒ z = (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ ((1) மற்றும் (2)லிருந்து)
வரையறையிலிருந்து, \(\bar { z } \) = \(\overline { { (2+3i) }^{ 15 }-{ (2-3i) }^{ 15 } } \)
= \({ \overline{ (2+3i) } }^{ 15 }-{ \overline { (2-3i) } }^{ 15 }\) (இணை எண் பண்புகளின்படி)
= (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ = - ((2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ )
⇒ \(\bar { z } \) = −z.
ஆகவே, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்பது முழுவதும் கற்பனை எண் ஆகும்.

\(\sum _{ n=1 }^{ 102 }{ { i }^{ n } } \) = (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i⁷ + i⁸)+ ..........+ (i⁹⁷ + i⁹⁸ + i⁹⁹ + i¹⁰⁰) + i¹⁰¹ + i¹⁰²
= (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i¹ + i² + i³ + i⁴) + ............(i¹ + i² + i³ + i⁴) + i¹ + i²
= {i + (-1) + (-i) + 1} + {i + (-1) + (-i) + 1} + .........+ {i + (-1) + (-i) + 1} + i + (-1)
= 0 + 0 + .........0 + i −1
= −1 + i (இது என்ன எண்?)

z = -6 + 8i என்க
\(\left| z \right| =\sqrt { ({ -6) }^{ 2 }+{ 8 }^{ 2 } } \)
\(\sqrt { 36+64 } =\sqrt { 100 } =10\)
\(\sqrt { a+ib } =\pm \left( \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { b }{ \left| b \right| } \sqrt { \frac { \left| z \right| -a }{ 2 } } \right) \) [இங்கு \(\left| z \right| =10,a=-6,b=8\)]
\(\sqrt { -6+8i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 10-6 }{ 2 } } +\frac { 8 }{ \left| 8 \right| } \sqrt { \frac { 10+6 }{ 2 } } \right) \)
\(=\pm \left( \sqrt { \frac { 4 }{ 2 } } +i\sqrt { \frac { 16 }{ 2 } } \right) \)
\(=\pm (\sqrt { 2 } +i\sqrt { 8 } )\)
\(=\pm (\sqrt { 2 } +i2\sqrt { 2 } )\)

\(\left| 6-8i \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+({ -8) }^{ 2 } } =10\) மற்றும் வர்க்கமூலம் காண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\sqrt { 6-8i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 10+6 }{ 2 } } -i\sqrt { \frac { 10-6 }{ 2 } } \right) \) \((\because \) b குறை, \(\frac { b }{ \left| b \right| } =-1\))
 \(=\pm (\sqrt { 8 } -i\sqrt { 2 } )\)
\(=\pm (2\sqrt { 2 } -i\sqrt { 2 } )\).

z = i, -2 + i,  மற்றும் 3 ஆகியவற்றிற்கும் ஆதிக்கும் உள்ள தொலைவுகள்
\(\left| z \right| =\left| i \right| =1\)
\(\left| z \right| =\left| -2+i \right| =\sqrt { { (-2) }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 5 } \)
\(\left| z \right| =\left| 3 \right| =3\) ஆகும்.
1 < \(\sqrt { 5 } \) < 3 எனவே, ஆதியிலிருந்து அதிக தொலைவில் உள்ள கலப்பெண் 3 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 2 - i மற்றும் z₂ = - 4 + 3i
z₁ z₂ = (2 + i)(- 4 + 3i)
= - 8 + 6i + 4i - 3i²
= -8 + 10i - 3(-1)
= -8 + 10i + 3 = - 5 + 10i
z₁ z₂ -ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \)
= \(\frac { 1 }{ -5+10i } \times \frac { -5-10i }{ -5-10i } \)
= \(\frac { -5-10i }{ { (-5) }^{ 2 }-({ 10i })^{ 2 } } \)
= \(\frac { -5-10i }{ { 25-{ 100i }^{ 2 } } } \)
= \(\frac { -5-10i }{ 25+100 } \)  [∵ i²=1]

∴ z₁z₂ - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ 25 } (-1-2i)\)
\(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \) - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } } =\frac { { z }_{ 2 } }{ { z }_{ 1 } } \)
∴ நேர்மாறு \(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } =\frac { { z }_{ 2 } }{ { z }_{ 1 } } =\frac { -4+3i }{ 2-i } \times \frac { 2+i }{ 2+i } \)
\(=\frac { -4+3i }{ 2-i } \times \frac { 2+i }{ 2+i } \)
\(=\frac { -8-4i+6i+{ 3 }i^{ 2 } }{ { 2 }^{ 2 }-{ (i }^{ 2 }) } \)
\(=\frac { -8+2i-3 }{ 4+1 } =\frac { -11+2i }{ 5 } =\frac { 1 }{ 5 } (-11+2i)\)
∴ \(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \) - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ 5 } (-11+2i)\)

⇒ 3|z - 2 + 4i| = 8
⇒ |z - (2 + 4i)| = \(\frac 83\)
இது |z - z₀| = r என்ற வடிவம். உள்ளது ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (2 - 4i) மற்றும் ஆரம் \(\frac 83\) ஆகும்.

நாம் \({ \left( { \sqrt { 3 } +i } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) - ன் மதிப்புகளை காண வேண்டும். z = \({ \left( { \sqrt { 3 } +i } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) எனில்
z³ = \( { \sqrt { 3 } +i } \) = r(cos θ + isin θ) ஆகும்.
r = \( \sqrt {3 + 1}\) = 2, மற்றும் α = θ = \(\frac { \pi }{ 6 } \) (∵ \( { \sqrt { 3 } +i } \) I கால்பகுதியில் அமைவதால்)
ஆகவே, z³ = \( { \sqrt { 3 } +i } \) = \(2\left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
⇒ z =  \(\sqrt [ 3 ]{ 2 } \left( cos\left( \frac { \pi +12k\pi }{ 18 } \right) +isin\left( \frac { \pi +12k\pi }{ 18 } \right) \right) \), k=0,1,2.
k=0,1,2, எனப்பிரதியிட,
k = 0, z \(={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\left( cos\frac { \pi }{ 18 } +isin\frac { \pi }{ 18 } \right) \)
k = 1, z  \(={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\left( cos\frac { 13\pi }{ 18 } +isin\frac { 13\pi }{ 18 } \right) \)
k = 2, \(={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\left( cos\frac { 25\pi }{ 18 } +isin\frac { 25\pi }{ 18 } \right) ={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\left( −cos\frac { 7\pi }{ 18 } +isin\frac { 7\pi }{ 18 } \right) \)

\(z^3+27=0\)
\(z^3=-27=27(-1) \)
\(=27[\cos (\pi+2 k \pi)+i \sin (\pi+2 k \pi)], k \in \mathrm{Z} \)
\(\therefore z=(27)^{\frac{1}{3}}[\cos (2 k+1) \pi+i \sin (2 k+1) \pi]^{\frac{1}{3}}, k \in \mathrm{Z}\)
\(=3\left[\cos \frac{(2 k+1) \pi}{3}+i \sin \frac{(2 k+1) \pi}{3}\right], k=0,1,2\)
k = 0 எனில், \(\mathrm{z}=3\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)\)
k = 1 எனில், = 3[cos π + i sin π]= 3 (- 1 + 0) = - 3
k = 2 எனில், \(\mathrm{z}=3\left(\cos \frac{5 \pi}{3}+i \sin \frac{5 \pi}{3}\right)\)

i)  கொடுக்கப்பட்டது: \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(\frac { x }{ y } =\frac { cos\alpha +isin\alpha }{ cos\beta +isin\beta } \)
\(=cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )\) ...(1)
மற்றும் \(\frac { y }{ x } =\frac { 1 }{ \frac { x }{ y } } =cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )\) ...(2)
\((1)+(2)\rightarrow =\frac { x }{ y } +\frac { y }{ x } \)
\(=cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )+cos(\alpha -\beta )-isin(\alpha -\beta )\)
\(=2cos(\alpha -\beta )\)
ii)  கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(xy-\frac { 1 }{ xy } =2isin(\alpha +\beta )\)
xy = (cos α + sin α)(cos β - sin β)
= cos(α + β) + i sin(α + β)
\(\frac { 1 }{ xy } =cos(\alpha +\beta )-isin(\alpha +\beta )\)

= 2i sin (α + β)
iii) கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(\frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } -\frac { { y }^{ n } }{ { x }^{ m } } =2isin(m\alpha -n\beta )\)
x^m =(cos α +sin α)^m=cos mα + i sin mα [டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
\(\therefore \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } =\frac { cosm\alpha +isinm\alpha }{ cosn\beta +isinn\beta } \)
= cos(m α - n β) + i sin(mα - nβ)
மற்றும் \(\therefore \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } =\frac { 1 }{ \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } } \)
= cos(m α - n β) + i sin(m α - nβ)

iv) கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }+\frac { 1 }{ { x }^{ m }y^{ n } } =2cos(m\alpha +n\beta )\)
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }=(cos\alpha +isinm\alpha )(cosn\beta +isinn\beta )\)
\(=cos(m\alpha +n\beta )+isin(m\alpha +n\beta )\)
\(\frac { 1 }{ { x }^{ m }{ y }^{ n } } =cos(m\alpha +n\beta )+isin(m\alpha +n\beta )\)

LHS = \(\frac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ b+c\omega +a{ \omega }^{ 2 } } +\frac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ c+a\omega +b{ \omega }^{ 2 } } \)
\(\frac { { a\omega }^{ 3 }+{ b\omega +c\omega }^{ 2 } }{ b+c\omega +a{ \omega }^{ 2 } } +\frac { a{ \omega }^{ 3 }+b\omega { (\omega ) }^{ 2 }+c{ \omega }^{ 2 } }{ c+a\omega +b{ \omega }^{ 2 } } [\because { \omega }^{ 2 }=1]\)

= \(\omega +{ \omega }^{ 2 }=-1\)  \([\because 1+\omega +{ \omega }^{ 2 }=0]\)

z = cos 2θ + isin 2θ என்க.
|z| = |z|² = z\(\overline { z } \) = 1 என்பதிலிருந்து \(\overline { z } \) = \(\frac1{z}\) cos 2θ + isin 2θ என பெறலாம்.
ஆகவே, \(\frac { 1+cos2\theta +isin2\theta }{ 1+cos2\theta -isin2\theta } =\frac { 1+z }{ 1+\frac { 1 }{ z } } =\frac { (1+z)z }{ z+1 } \) = z
எனவே, \({ \left( \frac { 1+cos2\theta +isin2\theta }{ 1+cos2\theta -isin2\theta } \right) }^{ 30 }=\)  z³⁰ = (cos 2θ + isin 2θ)³⁰
= cos 60θ + i sin 60θ

z = (cos θ + i sin θ) என்க.
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி
zⁿ = (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
\(\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = z^-n =  cos nθ + i sin nθ
ஆகவே, \({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = (cos nθ + i sin nθ) + (cos nθ - i sin nθ)
\({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = 2 cos nθ.
இதுபோலவே,
\({ z }^{ n }-\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = (cos nθ + i sin nθ) - (cos nθ - i sin nθ)
\({ z }^{ n }-\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = 2i sin nθ.

\(\left| 3z-5+i \right| =4\) என்ற சமன்பாட்டை \(3\left| z-\frac { 5-i }{ 3 } \right| \) = 4 ⇒ \(\left| z-\left( \frac { 5 }{ 3 } -\frac { i }{ 3 } \right) \right| =\frac { 4 }{ 3 } \) என எழுதலாம்.
இது \(\left| z-{ z }_{ \circ } \right| \) = r என்ற வடிவில் உள்ளது. ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது. இதன் மையம் மற்றும் ஆரம் ஆகியவை முறையே \(\left( \frac { 5 }{ 3 } ,-\frac { 1 }{ 3 } \right) \) மற்றும் \(\frac { 4 }{ 3 } \) ஆகும்.

\(\left| z+3+4i \right| \le \left| z|+|3+4i \right| \) = 2 + 5 =7
\(\left| z+3+4i \right| \le 7\)     (1)
\(\left| z+3+4i \right| \ge \left| z \right| -\left| 3+4i \right| \) = \(\left| 2-5 \right| \) = 3
\(\left| z+3+4i \right| \ge 3\)   (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து \(3\le \left| z+3+4i \right| \le 7\)

\(\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10} =\left[\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right] ^{10}\)
\( =\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right] ^{10}\)
\( =\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{10}=\cos \frac{20 \pi}{3}+i \sin \frac{20 \pi}{3} \)
\( =\cos \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right) \)
\( =\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \)

\( \left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)^{\frac{3}{4}}=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)\right]^{3/4}\)
\( =\cos \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}+i \sin \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}, k=0,1,2,3 \)
\(\mathrm{k}=0 \) எனில் \(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4} \)
k = 1 எனில்  \(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4} \)
k = 2 எனில்  \(\cos \frac{5 \pi}{4}+i \sin \frac{5 \pi}{4}\)
k = 3 எனில் \(\cos \frac{7 \pi}{4}+i \sin \frac{7 \pi}{4} \)
எல்லா மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகை 
\(=\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right) \)
\(=\cos 4 \pi+i \sin 4 \pi=1+0=1\)

x² + x + 1 = 0 
தீர்க்கக் கிடைப்பது \(x = {-1 \pm i \sqrt{3} \over 2}\)
\( \omega=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2} \) மற்றும் \(\omega^2=\frac{-1-i \sqrt{3}}{2} \)
\( \therefore \alpha^{2020}+\beta^{2020}=(\omega)^{2020}+\left(\omega^2\right)^{2020} \)
\( =\left(\omega^3\right)^{673} \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^{1346} \cdot \omega^2 \)
\( =1 \cdot \omega+1 . \omega^2=\omega+\omega^2=-1 \)

\( \text { Let } z=\frac{(1+i \sqrt{3})^2}{4 i(1-i \sqrt{3})}=\frac{(1+i \sqrt{3})^2}{4(\sqrt{3}+i)} \)
\( \arg (z)=\arg (1+i \sqrt{3})^2-\arg (4)-\arg (\sqrt{3}+i) \)
\( =2 \times \arg (1+i \sqrt{3})-\arg (4)-\arg (\sqrt{3}+i) \)
\( =2 \times \frac{\pi}{3}-0-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2} \)

 (1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i) .... (1 + ni) = x + iy இருபுறமும் மட்டு மதிப்பை கண்டு வர்க்கப்படுத்த 
2.5.10 .... (1 + n²) = x² + y²

\(\frac{3}{-1+i}=\frac{3}{-1+i} \times \frac{-1-i}{-1-i}=\frac{3}{2}(-1-i) \)
\(\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right)=\frac{\pi}{4}\)
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகள் குறை மதிப்புகள் என்பதால் 'θ' ஆனது 3 ஆம் கால் வட்டப் பகுதியில் அமைகிறது.
முதன்மை வீச்சு \(=-\frac{3 \pi}{4} \quad\left[\because \frac{\pi}{4}-\pi\right]\)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left|z_1\right|=1,\left|z_2\right|=2,\left|z_3\right|  =3 \)
மற்றும் \(\left|9 z_1 z_2+4 z_1 z_3+z_2 z_3\right|  =12 \)
\(\left|z_1\right|\left|z_2\right|\left|z_3\right|\left|\frac{9}{z_3}+\frac{4}{z_2}+\frac{1}{z_1}\right| =12 \)
\(\text { (1) (2) (3) }\left|\frac{9 \bar{z}_3}{\left|z_3\right|^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{\left|z_2\right|^2}+\frac{\overline{z_1}}{\left|z_1\right|^2}\right|  =12\left[\because|z|^2=z \bar{z}\right] \)
\(6\left|\frac{9 \bar{z}_3}{(3)^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{(2)^2}+\frac{\overline{z_1}}{(1)^2}\right|  =12 \)
\(\left|\bar{z}_3+\bar{z}_2+\bar{z}_1\right|  =\frac{12}{6}=2 \)
\(\left|\overline{z_3+z_2+z_1 \mid}\right|  =2 \)
\(\therefore\left|z_1+z_2+z_3\right|  =2\)

\(|| z|-|-2+i|| \leq|z-2+i| \leq|z|+|-2+i| \)
\(|| z|-\sqrt{5}| \leq|z-2+i| \leq|z|+\sqrt{5}\)
கொடுக்கப்பட்டது : \(|z-2+i| \leq 2\)
\(|z-2+i|=2\) ஐக் கருதுக.
\(\therefore|z|+\sqrt{5} \geq 2 \Rightarrow|z| \geq 2-\sqrt{5}\) ...(1)
மற்றும் \(||z|-\sqrt{5}| \leq 2\)
\(|z|-\sqrt{5} \leq 2 \Rightarrow|z| \leq 2+\sqrt{5} \) ...(2)
\( \sqrt{5}-|z| \leq 2 \Rightarrow|z| \geq \sqrt{5}-2\) ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
|z| ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(=\sqrt{5}+2\)

\(\mathrm{i}^n+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}  =\mathrm{i}^n\left[1+i+i^2+i^3\right] \)
\( =i^n[1+i-1-i] =i^n(0)=0\)