கண்ணாடிப்பட்டகம் ஒன்றை கருதுக. அதன் தடிமன் 't' ஒளிவிலகல் எண்'n' ஆகும். இப்பட்டகம் காற்று ஊடகத்தில் வைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒளியின் பாதையை ABCD எனக் கருதுக. படுகோணம் i மற்றும் விலகுகோணம் (r) இரண்டும் செங்குத்துக்கோடுகள் N₁ மற்றும் N₂ ஐ படுகதிர் இவற்றிற்கிடையே வரையப்பட்ட செங்குத்துக்கோடு CE பக்கவாட்டு இடப்பெயர்ச்சி L ஐ கொடுக்கும்.
செங்கோண முக்கோணம் \(\Delta ABCE\) யில் 
\(\sin\left( i-r \right) =\cfrac { L }{ BC } =\cfrac { L }{ \sin\left( i-r \right) } \) 
செங்கோண முக்கோணம் \(\Delta BCF\) -யில் 
\(\cos\left( r \right) =\cfrac { t }{ BC } ;BC=\cfrac { t }{ \cos(r) } \)  எனக் கருதுக.
லென்ஸ் முனை வழியே செல்லும் OP கதிர் எவ்வித விலகலும் அடையாமல் நேர்கோட்டுப்பாதையில் செல்கிறது. முதன்மை அச்சுக்கு இணையாக வரும் கதிர். இரண்டாவது குவியம் வழியாகச் செல்கிறது. இவ்விரண்டு கதிர்களும் சந்திக்கும் புள்ளியில் h₂ உயரமுள்ள பிம்பத்தின் உயரத்திற்கும், பொருளின் உயரத்திற்கும் உள்ள விகிதம் பக்கவாட்டு அல்லது குறுக்குவெட்டு உருப்பெருக்கம் (m) என வரையறுக்கப்படுகிறது.
\(m=\cfrac { { II }^{ ' } }{ OO^{ ' } } \) 
ஒத்த முக்கோணங்கள் \(\Delta POO'\) மற்றும் \( \Delta PH'\) யிலிருந்து 
\(\cfrac { { II }^{ ' } }{ { OO }^{ ' } } =\cfrac { PI }{ PO } \) 
குறியீட்டுப் மரபினைப் பயன்படுத்தும்போது 
\(\cfrac { -{ h }_{ 2 } }{ { h }_{ 1 } } =\cfrac { v }{ -u } \) 
இதனைச் சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட்டால் உருப்பெருக்கம் 
\(m=\cfrac { -{ h }_{ 2 } }{ { h }_{ 1 } } =\cfrac { v }{ -u } \) உருப்பெருக்கம் மெய்ப்பிம்பங்களுக்கு எதிர் குறியாகவும்,மாய பிம்பங்களுக்கு நேர்க்குறியாகவும் இருக்கும்.
குழிலென்ஸ்களுக்கு உருப்பெருக்கம் எப்போதும் நேர்க்குறியாகவும். மேலும் ஒன்றை விட குறைவாகவும் லென்ஸ் சமன்பாட்டினையும், உருப்பெருக்கச் சமன்பாட்டினையும் ஒன்றிணைத்துப் பின்வரும் சமன்பாட்டினைப் பெறலாம்.
\(m=\cfrac { { h }_{ 2 } }{ { h }_{ 1 } } =\cfrac { f }{ f+u } \) (அல்லது) \(m=\cfrac { { h }_{ 2 } }{ { h }_{ 1 } } =\cfrac { f-v }{ f } \)

ஒளி இழையின்‌ உட்பகுதியில்‌, உள்ளகம்‌ வெளிப்பூச்சு சந்திக்கும்‌. பரப்பில்‌ விழும்‌ ஒளிக்கதிரின்‌ படுகோணம்‌, மாறுநிலைக்கோணத்தில்‌ இருக்கவேண்டுமெனில்‌, ஒளி இழையின்‌ முனையில்‌ ஒரு குறிப்பிட்ட படுகோணத்தின்‌ ஒளிக்கதிரை செலுத்த வேண்டும்‌. இப்படுகோணத்திற்கு ஒளி இழையின்‌ ஏற்புக்கோணம்‌ என்று பெயர்‌. ஏற்புக்கோணம்‌ உள்ளகத்தின்‌ ஒளிவிலகல்‌ எண்‌ ॥, வெளிப்பூச்சின்‌ ஒளிவிலகல்‌ எண்‌ n₁ மற்றும்‌ வெளிப்புற ஊடகத்தின்‌ ஒளிவிலகல்‌ எண்‌  n₂ ஆகியவற்றைச்‌ சார்ந்துள்ளது. வெளிப்புற ஊடகம்‌, உள்ளகம்‌. சந்திக்கும்‌ பரப்பில்‌ A புள்ளியில்‌ ஒளி ஏற்புக்கோணத்தில்‌ i_a விழுகிறது எனக்‌ கருதுக. படத்தில்‌ காட்டியுள்ளவாறு A புள்ளியில்‌ ஏற்படும்‌ ஒளிவிலகலுக்கான ஸ்னெல்‌ விதியின்‌ பெருக்கல்‌ வடிவம்‌ பின்வருமாறு.
\({ n }_{ 3 }\sin{ i }_{ c }={ n }_{ 1 }{\sin r }_{ a }\)   ...(1)
ஒளி இழையின்‌ உட்புறம்‌ முழுஅக எதிரொளிப்பு நடைபெற வேண்டுமென்றால்‌, உள்ளகம்‌ வெளிப்பூச்சு சந்திக்கும்‌ பரப்பில்‌ B புள்ளியில்‌ விழும்‌ ஒளியின்‌ படுகோணம்‌ குறைந்தபட்சம்‌ மாறுநிலைக்‌ கோணமாக i_c இருக்க வேண்டும்‌. ஸ்னெல்‌ விதியின்‌ பெருக்கல்‌ வடிவம்‌ பின்வருமாறு.
\({ n }_{ 1 }{ \sin i }_{ a }={ n }_{ 2 }{ \sin 90 }^{ 0 }\) 
\({ n }_{ 1 }{ \sin i }_{ c }={ n }_{ 2 }\).
\(\therefore { \sin i }_{ c }=\frac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \quad \therefore { \sin 90 }^{ o }=1\)..(2) 
செங்கோண முக்கோணம் \(\Delta ABC\) யிலிருந்து 
\({ i }_{ c }={ 90 }^{ o }-{ r }_{ a }\)    ...(3)
சமன்பாடு (3) பின்வருமாறு மாற்றமடைகிறது 
\(sin\left( { 90 }^{ o }-{ r }_{ a } \right) =\cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \) 
திரிகோணமிதி சார்புகளைப் பயன்படுத்தி \(cos{ r }_{ a }=\cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \)    ..(4)
\(sin{ r }_{ a }=\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }{ r }_{ a } } \) 
\({ cosr }_{ a }\) வின் மதிப்பை பிரதியிட 
\({ sinr }_{ a }=\sqrt { 1-\left[ \cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \right] ^{ 2 } } =\sqrt { \cfrac { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }^{ 2 } } } \) 
இதனை சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட 
\({ n }_{ 3 }sin{ i }_{ a }={ n }_{ 1 }\sqrt { \cfrac { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }^{ 2 } } } =\sqrt { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } \) 
மேலும் இதனைச் சுருங்கும்போது 
\({ sini }_{ a }=\cfrac { \sqrt { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } }{ { n }_{ 2 } } \) (அல்லது) \(sin{ i }_{ a }=\sqrt { \cfrac { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 3 } }{ { n }_{ 3 }^{ 2 } } } \) 
\({ i }_{ a }={ sin }^{ -1 }\left[ \sqrt { \cfrac { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 3 } } } \right] \)

வெளிப்புற ஊடகம் காற்று எனக்கருதினால் n₃ = 1. எனவே ஏற்புக்கோணம் i_a பின்வருமாறு மாற்றமடையும்.
\({ i }_{ a }={ sin }^{ -1 }\left( \sqrt { { n }_{ 1 }^{ 2 }- } { n }_{ 2 }^{ 2 } \right) \) 
இந்த ஏற்புக்கோணம் (ia) ஒளி இழையின் முனையின் மீது ஒரு கூம்புவடிவ ஏற்படுத்தும், இக்கூம்பிற்கு ஏற்புக்கூம்பு என்று பெயர். இக்கூம்பினுள் ஒளி எந்தத் திசையிலும் ஒளி இழையின் உள்ளே நுழையலாம். இதற்கு ஒளி இழையின் எண்ணியல் துளை NA என்று பெயர். 
\(NA={ n }_{ 3 }sin{ i }_{ a }=\sqrt { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } \) வெளிப்புற ஊடகம் காற்று எனில் \({ n }_{ 3 }=1\). எனவே எண்ணியல் துளை (NA) பின்வருமாறு மாற்றமடையும்.
\(NA=sin{ i }_{ a }=\sqrt { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } \)

1. ஒளியானது d ஆழத்திலுள்ள, A-என்ற புள்ளியிலிருந்து பார்க்கப்படுகிறது.
2. இரண்டு ஊடகங்களையும்‌ பிரிக்கும்‌ தளத்தில்‌ B புள்ளியில்‌ ஏற்படும்‌ ஒளிவிலகலுக்கு ஸ்னெல்‌ விதியின்‌ பெருக்கல்‌ வடிவினைப்‌ பயன்படுத்தும்போது
\({ n }_{ i }{ \sin i }_{ c }={ n }_{ 2 }\sin{ 90 }^{ o }\)
\( { sini }_{ c }=\cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \) ..(1)  
செங்கோண முக்கோணம் \(\Delta ABC\) யிலிருந்து,
\({ sini }_{ c }=\cfrac { CB }{ AB } =\cfrac { R }{ \sqrt { { d }^{ 2 }+{ R }^{ 2 } } } \) ..(2) 
சமன்பாடுகள்‌ (2) மற்றும்‌ (4) ஐ ஒப்பிடும்போது, \(\cfrac { R }{ \sqrt { { d }^{ 2 }+{ R }^{ 2 } } } =\cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \) ..(3) 
இரண்டு பக்கமும்‌ வர்க்கப்படுத்தி, மாற்றி அமைக்கும்போது \(\cfrac { { R }_{ 2 } }{ { R }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } =\left[ \cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \right] ^{ 2 }\) 
தலைகீழாக்கும்போது\(\cfrac { { R }_{ 2 } +{ d }^{ 2 }}{ { R }^{ 2 } } =\left[ \cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \right] ^{ 2 }\) 
மேலும்‌ சுருக்கும்போது,
\(1+\cfrac { { d }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } =\left[ \cfrac { { n }_{ 1 } }{ { n }_{ 2 } } \right] ^{ 2 };\cfrac { { d }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } =\left[ \cfrac { { n }_{ 1 } }{ { n }_{ 2 } } \right] ^{ 2 }-1;\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } =\cfrac { { n }_{ 2 }^{ 2 } }{ n_{ 2 }^{ 2 } } -1=\cfrac { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 }^{ 2 } } \) 
மீண்டும் வர்க்கப்படுத்தி, மாற்றியமைக்கும்போது 
\(\cfrac { { R }^{ 2 } }{ { d }^{ 2 } } =\cfrac { { n }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } ;{ R }^{ 2 }-{ d }^{ 2 }\left( \cfrac { { n }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } \right) \) 
ஒளியூட்டப்பட்டப்‌ பரப்பின்‌ ஆரம்‌ 
\(R=d\sqrt { \cfrac { { n }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } } \) ...(4) 
வெளிப்புறம்‌ உள்ள அடர்குறை ஊடகம்‌ காற்று எனில்‌, n₂ = 1, மேலும்‌ n₁= n  எனக்‌ கருதினால்‌
\(R=d\left( \cfrac { 1 }{ \sqrt { { n }^{ 2 }-1 } } \right) \quad R=\cfrac { d }{ \sqrt { { n }^{ 2 }-1 } } \) ..(5)

ஒளிமூலம்‌ (S) இலிருந்து வரும்‌ ஒளியானது முதலில்‌ பாதி வெள்ளி பூசப்பட்ட கண்ணாடித்‌ தகட்டின்‌ மீது (G) விழுகிறது. இக்கண்ணாடித்‌ தகடு, ஒளி மூலத்திலிருந்து வரும்‌ ஒளியைப் பொருத்து 45° கோணத்தில்‌ சாய்ந்துள்ளது. (N) பற்களும்‌, சமஅகலமுடைய (N) வெட்டுகளும்‌ கொண்ட சுழலும்‌ பற்சக்கரத்தின்‌ வழியே ஒளிக்கதிர்‌ செலுத்தப்படுகிறது. பற்சக்கரத்தின்‌ சுழற்சி வேகம்‌ புற இயந்திர அமைப்பின்‌ மூலம்‌ கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது. (இவ்வமைப்பு படத்தில்‌ காட்டப்படவில்லை) பற்சக்கரத்தின்‌ ஒரு வெட்டு வழியே செல்லும்‌ ஒளி பற்சக்கரத்திலிருந்து மிக நீண்ட தொலைவில்‌ (d) வைக்கப்பட்டுள்ள சமதள ஆடி (M) ஒன்றினால்‌ எதிரொளிக்கப்படுகிறது. பற்சக்கரம்‌ சுழலவில்லையெனில்‌, எதிரொளிக்கப்பட்ட ஒளி அதே வெட்டு வழியே மீண்டும்‌ சென்று, பாதி வெள்ளி பூசப்பட்ட ஆடியின்‌ வழியாகப்‌ பயணித்து உற்று நோக்குபவரின்‌ கண்களை அடைகிறது.
வேலை செய்யும் முறை:
ஒரு வெட்டில் இருந்து கடந்து செல்லும் ஒளி, அதன் அருகிலுள்ள பல்லால் முற்றிலுமாக தடுக்கப்படும் வரை பல் சக்கரத்தின் சுழற்சி, கோண வேகத்தில் அதிகரிக்கும்.
சமன்பாட்டினை வருவித்தல்‌:
காற்றில்‌ ஒளியின்‌ வேகம்‌ (v) ஒளி பற்சக்கரத்திலிருந்து ஆடிக்குச்‌ சென்று, மீண்டும்‌ பற்சக்கரத்தை அடையும்‌ தொலைவிற்கும்‌ (2d), எடுத்துக்கொண்ட நேரத்திற்குமான விகிதமாகும்.
\(v=\cfrac { 2d }{ t } \) 
அமைப்பிலிருந்து d தூரத்தை நாம் அறிவோம். தூரத்திற்கு பயணிக்க நேரம் எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது மற்றும் பல் சக்கரத்தின் கோண வேகத்திலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. முதன்முதலில் காணாமல் போகும்போது பல் சக்கரத்தின் கோண வேகம்,
\(\omega =\cfrac { \theta }{ t } \) 
இங்கு \(\theta \) என்பது, t நேர இடைவெளியில்‌ பற்சக்கரம்‌ சுழலும்போது, பற்சக்கரத்தின்‌ ஒரு பல்லிற்கும்‌, ஒரு வெட்டிற்கும்‌ இடையே உள்ள கோணமாகும்.

\(\theta =\cfrac { 2\pi }{ 2N } =\cfrac { \pi }{ N } \) 
\(\theta \) வின் மதிப்பை (2) ல் பிரதியிடும் போது,
\(\omega =\cfrac { \pi /N }{ t } =\cfrac { \pi }{ Nt } \) 
மேற்கண்ட சமன்பாடு t க்கு எழுதும் போது 
\(t=\cfrac { \pi }{ N\omega } \) 
சமன்பாடு (3) ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட 
\(v=\cfrac { 2d }{ \pi /N\omega } \) 
சமன்பாட்டைச் சீரமைத்து பின்னர் 
\(v=\cfrac { 2dN\omega }{ \pi } \) 
அடுத்த உள்ள பற்களினால்‌ ஒளி மறைக்கப்படும்போது தோன்றும்‌ குறைந்தபட்ச ஒளிச்செறிவினைக்‌ காண்பதில்‌ ஃபிஸீயுவிற்கு சில இடர்பாடுகள்‌ தோன்றின. எனினும்‌ இவர்‌ கண்டறிந்த ஒளியின்‌ வேகம்‌, உண்மையான ஒளியின்‌ வேகத்திற்கு மிக நெருக்கமாக இருந்தது; இதற்குப்‌ பின்பு ஃபிஸீயுவின்‌ அதே ஆய்வு அமைப்பின்‌ அடிப்படையில்‌ மற்றும்‌ சில நுட்பமான கருவிகளைப்‌ பயன்படுத்தி காற்றில்‌ ஒளியின்‌ வேகம்‌ v = 2.997 x 10⁸m/s எனக்‌ கண்டறியப்பட்டது.

AB என்ற பொருளைக்‌ கருதுக, இப்பொருள்‌, குழி ஆடி ஒன்றின்‌ முதன்மை அச்சில்‌, வளைவு மையம்‌ C க்கு அப்பால்‌ வைக்கப்பட்டுள்ளது என்க. இப்பொருளினால்‌ ஏற்படும்‌ பிம்பம்‌ படத்தில்‌ காட்டப்பட்டுள்ளது. பொருளின்‌ B  புள்ளியிலிருந்து, புறப்படும்‌ மூன்று அண்மை அச்சுக்‌ கதிர்களைக்‌ கருதுக. முதல்‌ அண்மை அச்சுக்கதிர்‌ BD முதன்மை அச்சுக்கு இணையாகச்‌ சென்று ஆடிமுனை P க்கு அருகே உள்ள D என்ற புள்ளியில்‌ விழுகிறது. எதிரொளிப்புக்குப்‌ பின்பு இக்கதிர்‌ முதன்மைக்‌ குவியம்‌ F வழியாகச்‌ செல்கிறது. இரண்டாவது அண்மை அச்சுக்கதிர்‌ BP  ஆடிமுனையில்‌ பட்டு PB' வழியே எதிரொளிக்கிறது. மூன்றாவது அண்மை அச்சுக்கதிர்‌ BC வளைவு மையம்‌ C வழியே சென்று ஆடியின்‌ E புள்ளியில்‌ எதிரொளித்து வளைவு மையம்‌ B வழியாகவே வெளியேறும்‌. இம்மூன்று எதிரொளிப்புக்‌ கதிர்களும்‌ B என்ற புள்ளியில்‌ ஒன்றை ஒன்று வெட்டும்‌. முதன்மை அச்சுக்குச்‌ செங்குத்தாகக்‌ வரையப்படும்‌ A'B 'என்பது பொருள்‌களின்  மெய்‌ மற்றும்‌ தலைகீழான பிம்பமாகும்‌.
எதிரொளிப்பு விதியின்படி, படுகோணம்‌ \(\angle BPA\) ,எதிரொளிப்புக்‌ கோணம்‌ \(\angle B'PA''\)‌ சமம்‌. முக்கோணங்கள்‌ \(\Delta BPA\) மற்றும்‌ \(\Delta B'P'A\)' இரண்டும்‌ ஒத்த முக்கோணங்களாகும்‌. எனவே
\(\cfrac { A'B' }{ Ab } =\cfrac { PA' }{ PA } \)   ...(1)
மற்ற ஒத்த முக்கோண இணை \(\\ \Delta DPF\) மற்றும் \(\Delta B'A'F\) குச் சமம். (இங்கு PD கிட்டத்தட்ட நேரான செங்குத்துக் கோடாகும்)
\(\cfrac { A'B' }{ PD } =\cfrac { A'F }{ PF } \)    
தூரங்கள் PD = AB. எனவே, மேற்கண்ட சமன்பாடு பின்வருமாறு மாற்றமடையும்.
\(\cfrac { A'B' }{ AB } =\cfrac { A'F }{ PF } \)   ..(2) 
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) லிருந்து  
\(\cfrac { PA' }{ PA } =\cfrac { A'F }{ PF } \) ...(2)
\(A'F=PA'-PF\) .எனவே, மேற்கண்ட சமன்பாடு பின்வருமாறு மாற்றமடையும்.
\(\cfrac { PA' }{ PA } =\cfrac { PA'-PF }{ PF } \) 
மேற்கண்ட சமன்பாட்டின் வெவ்வேறு தூரங்களுக்குச் கார்டீசியன் குறியீட்டு மரபைப் பின்பற்றும்போது 
\(PA=-u,PA'=-v,PF=-f\) 
கார்ட்டீசியன் குறியீட்டு மரபின் அடிப்படையில் மூன்று தூரங்களுக்கு எதிர்க்குறி மதிப்பைப் பெற்றுள்ளன. ஏனெனில் இவை அனைத்தும் ஆடிமுனைக்கும் இடப்புறமாக அளக்கப்பட்டவைகளாகும். எனவே, சமன்பாடு (3) ல் பின்வருமாறு மாற்றமடையும்.
\(\cfrac { -v }{ -u } =\cfrac { -v-(-f) }{ -f } \) 
மேலும்‌ இதனைச்‌ சுருக்கும்போது,
\(\cfrac { v }{ u } =\cfrac { 1 }{ f } -\cfrac { 1 }{ v } \) 
முறைப்படுத்தப்பட்ட பின்னர்,
\(\cfrac { 1 }{ v } +\cfrac { 1 }{ u } =\cfrac { 1 }{ f } \) 
கோளக ஆடுகளில் ஏற்படும் பக்கவாட்டு உருப்பெருக்கம்
பிம்பத்தின் உயரத்திற்கும் உள்ள விகிதம், பக்கவாட்டு அல்லது குறுக்கு உருப்பெருக்கம் என வரையறுக்கப்படுகிறது. பொருளின் உயரம் மற்றும் பிம்பத்தின் உயரம் இரண்டும் முதன்மை அச்சுக்கு செங்குத்தாக, முதன்மை அச்சிலிருந்து அளக்கப்பட வேண்டும்.