A =\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right) \)என்க.
A-ன் வரிசை 3 x 3 ∴ ρ(A) ≤3
வரிசை மூன்று உடைய சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right| \)=0
∴ மூன்றாம் வரிசைக் கொண்ட சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠ 3 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=7≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =3

A =\(\\ \left( \begin{matrix} 0 & -1 & 5 \\ 2 & 4 & -6 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix} \right) \)என்க.
A-ன் வரிசை 3 x 3
∴ ρ(A) ≤3
வரிசை மூன்று உடைய சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 0 & -1 & 5 \\ 2 & 4 & -6 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix} \right| \)=6≠0
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 1 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =3

A=\(\left( \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right) \) என்க.
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right| \)=0 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠2
ஒன்றாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது |-5| ≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 1 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =1

A=\(\left( \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right) \)என்க
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| \)=-6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) ≤2

5x + 3y = 17,
3x + 7y = 31
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| =35-9= 26 \not = 0\)
கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 17 & 3 \\ 31 & 7 \end{matrix} \right| \) = 119 - 93 = 26
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 5 & 17 \\ 3 & 31 \end{matrix} \right| \)= 155 - 51 = 104

\(\therefore\) தீர்வு (1, 4)
 x = 1, y = 4

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 6 \end{matrix} \right) \) என்க
A -ன் வரிசை  3 x 4 , எனவே ρ(A) ≤ 3
   ∼\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 10 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 10\end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ +2R₁
                                           R₃ ⟶ R₃ + R₁
∼ \(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\5 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃- 2R₂
ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும். ∴ ρ(A)= 2.

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix} \right) \)என்க.
A -ன் வரிசை 3 x 4
∴ ρ(A) ≤3.
மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\)
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & 6 & -7 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \\ 6 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\) ஆகும்.
அனைத்து மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாகும்.
ρ(A)≠3.
ஏதேனும் ஒரு இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)=6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) = 2

x + 4y + 3z = 2,
2x−6y + 6z = −3,
5x− 2y + 3z = −5
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & -6 & 6 \\ 5 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(1\left| \begin{matrix} -6 & 6 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & -6 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 1(-18 + 12) - 4(6 - 30) +3 (- 4 +30)
= 1(- 6) - 4(- 24) + 3(26)
= - 6 + 96 + 78 = 168 \(\neq \) 0
கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 3 \\ -3 & -6 & 6 \\ -5 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(2\left| \begin{matrix} -6 & 6 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} -3 & 6 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} -3 & -6 \\ -5 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 2 (- 18 + 12) - 4(- 9 +30) + 3(6 -30)
= 2(- 6) - 4(21) + 3(- 24)
= -12-84-72 =-168
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 6 \\ 5 & -5 & 3 \end{matrix} \right| =1\left| \begin{matrix} -3 & 6 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & -3 \\ 5 & -5 \end{matrix} \right| \)
= 1 (-9+30)-2(6-30)+3(- 10+ 15)
= 1(21) - 2(- 24) + 3(5)
= 21 + 48 + 15 = 84
\(\Delta z=\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & -6 & -3 \\ 5 & -2 & -5 \end{matrix} \right| \)
= \(1\left| \begin{matrix} -6 & -3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & -3 \\ 5 & -5 \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 2 & -6 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 1(30-6)-4(-10+ 15)+2(-4+30)
= 24 - 4(5) + 2(26)
= 24 - 20 + 52 = 56


தீர்வு  : {x,y,z} = \(\left\{ -1,\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 3 } \right\} \).

x + y + z = 6,
2x + 3y− z =5,
6x−2y− 3z = −7
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 6 & -2 & -3 \end{matrix} \right| \)
= \(1\left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ -2 & -3 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 6 & 3 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 1(-9 -2) -1(-6 +6) + 1(-4 -18)
= 1(-11) -1(0) +1(-22)
= -11 -22 = -33 \(\neq \)0
\(\Delta \neq 0\) 
கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 6 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & -1 \\ -7 & -2 & -3 \end{matrix} \right| \)
= \(6\left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ -2 & -3 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 5 & -1 \\ -7 & -3 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 6 (-9 -2) -1(-15 -7) + 1(-10 +21)
= 6 (-11) -1 (-22) + 1 (11)
= -66 + 22 + 11= - 33
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -7 & -3 \end{matrix} \right| \)
= \(1\left| \begin{matrix} 5 & -1 \\ -7 & -3 \end{matrix} \right| -6\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & -7 \end{matrix} \right| \)
= 1(-15 -7) -6(-6 +6) + 1(-14 -30)
= 1(-22) -6(0) + 1 (-44)
= -22 - 44 = - 66
\(\Delta z=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 5 \\ 6 & -2 & -7 \end{matrix} \right| \)
= \(=1\left| \begin{matrix} 3 & 5 \\ -2 & -7 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & -7 \end{matrix} \right| +6\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right| \)

= 1(-21 +10) -1(-14 -30) +6 (-4 -18)
=1(-11) -1(-44) +6(-22)
= -11 + 44 - 132 = - 99

\(\therefore\)  தீர்வு : {x,y,z} = {1,2,3}

2x + y −z = 3,
x + y + z =1,
x− 2y− 3z = 4
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{matrix} \right| =2\)
= 2 (-3+2) - 1 (-3 -1) -1 (-2-1)
= 2(-1) -1 (-4) -1 (-3)
= -2 + 4 + 3 = 5.
\(\Delta \neq 0\),
கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\(x=\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 3 \end{matrix} \right| =3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ -2 & -3 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -3 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 3(-3 + 2) -1(-3 -4) -1(-2 -4)
= 3 (-1) -1 (-7) -1 (-6)
= -3 + 7 + 6 = 10.
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & -3 \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -3 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| \)
= 2(-3 -4) -3 (-3 -1) -1 (4-1)
= 2 (-7) -3 (-4) -1(3)
= 14 + 12 - 3 = -5
\(\Delta z=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \end{matrix} \right| \)
= \(2\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 2(4 + 2) -1(4 -1) + 3(-2 -1)
= 2(6) -1(3) + 3(-3)
= 12 - 3 - 9
= 0

\(z=\cfrac { \Delta z }{ \Delta } =\cfrac { 0 }{ 5 } =0\)
\(\therefore\) தீர்வு : {x, y, z} = {2, −1, 0}

ஒரு வணிகக் கணித புத்தகத்தின் விலை ரூ.x என்க.
ஒரு கணக்குப்பதிவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.y என்க.
ஒரு வணிகவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களைக் கொண்டு, கீழ்காணும் சமன்பாடுகளை பெறலாம்.
∴ 3x+2y+z=840
2x+y+z=570
x+y+2z=630
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=-2≠0,
Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 840 & 2 & 1 \\ 570 & 1 & 1 \\ 630 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=-240
Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 3 & 840 & 1 \\ 2 & 570 & 1 \\ 1 & 630 & 2 \end{matrix} \right| \)=-300
Δ_z=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 840 \\ 2 & 1 & 570 \\ 1 & 1 & 630 \end{matrix} \right| \)=-360
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -240 }{ -2 } \)=120
y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -300 }{ -2 } \)=150
z=\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { -360 }{ -2 } \)=-180
∴ ஒரு வணிகக் கணித புத்தகத்தின் விலை ரூ.120.
ஒரு கணக்குப்பதிவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.150 மற்றும் ஒரு வணிகவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.180.

இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right| \)=13≠0
∴ கிரேமரின் விதிப்படி, தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்.
Δ_x =\(\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right| \)=-13, Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \)=39, Δ_z =\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=26
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x =\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -13 }{ 13 } \)=-1, y =\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { 39 }{ 13 } \)=3, z =\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { 26 }{ 13 }\)=2
∴ தீர்வு {x,y,z} = {-1,3,2}

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}3 & 1 & λ\\ 2&1&1\\ 1& 2& -λ\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 1\\2\\ -1\end{matrix} \right) \)
  AX =B 
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு  தீர்வு இல்லாமலிருப்பதால்,
ρ(A,B ) = ρ(A) < 3 எனவே  |A | =0
\(\begin{vmatrix} 3 & -1 & \lambda \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix}\) = 0
3(-\(\lambda \)-2) + 1 (-2\(\lambda \)-1)+\(\lambda \)(4-1) = 0
-3\(\lambda \) - 6 - 2\(\lambda \)-1+3\(\lambda \) = 0
-2\(\lambda \) =7
\(\lambda \)=\(\frac { -7 }{ 2 } \)

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 3\\ 4\\ 6\end{matrix} \right) \)
AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) = \(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 9\end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 4 \\6 \end{matrix} \right) \)
~  \(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0\end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1\\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 8\end{matrix}\begin{matrix} 3 \\1 \\3 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ - R₁
                      R₃ ⟶ R₃ - R_1
~  \(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0\end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2\end{matrix}\begin{matrix} 3 \\1 \\0 \end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃ -3 R₂
\(\therefore \quad \)ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
எனவே , கொடுக்கப்பட்ட  தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு  தீர்வைக் கொண்டது .
கடைசி சமான அணியின்  அணிச் சமன்பாடானது 
\(\left( \begin{matrix} 1& 1 & 1 \\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 2\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ 0\end{matrix} \right) \)
2z =0 \(\Rightarrow \)z =0
y +2z =1\(\Rightarrow \)y =1
x +y +z =3\(\Rightarrow \) x =3-1 =2
தீர்வு x =2, y =1,z =0.

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 7 \\ 3& 26& 2\\ 7& 2& 10\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 4\\ 9\\ 5\end{matrix} \right) \)
   AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) = \(\left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 26 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 10\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 9 \\5 \end{matrix} \right) \)
 ~  \(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 121 \\ -11 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -11 \\ 1\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 33 \\-3 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ 5R₂ - 3R₁
                                    R₃ ⟶ 5R₃ - 7R₁
~\(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 11 \\ -11 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 1\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 3\\-3 \end{matrix} \right) \)\({ { R }_{ 2} }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ 11 } \)
~\(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 11 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 3\\0\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶ R₃ + R₂
இதுவே முக்கோண அமைப்பில் உள்ள கடைசி சமான அணியாகும் .
பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
ρ(A,B ) = ρ(A) =2 < 3 (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
எனவே , சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்.
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 7 \\ 0& 11& -1\\ 0& 0& 0\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 4\\ 3\\ 0\end{matrix} \right) \)
5x +3y  +7z  = 4
11y -z =3
z =k என்க ,k \(\epsilon \)R (k ஒரு மெய்யெண் )
(2)ல் பதிலிட \(\Rightarrow \)11y = 3+k 
y = \(\frac { 3+k }{ 11 } \)
(1) ல்  பதிலிட
5x +3\(\frac { k+3 }{ 11 } \) +7k =4
55x +3k +9+77k =44
55x =35 - 80k 
x =\(\frac { 35-80}{ 55 } \)
x =5\(\frac { (7-16k )}{ 55 } \)
= \(\frac {7-16k }{11 } \)
தீர்வுக் கணம் ={\(\frac {7-16k }{11 } \),\(\frac { 3+k }{ 11 } \),k } k \(\epsilon \)R 

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 7 \\ 2 & 1& -1 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 9 \\ 52\\ 0\end{matrix} \right) \)
       AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) = \(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ -1\end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 52 \\0 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5\\ -3\end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 34 \\-18\end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ - 2R₁
                R₃ ⟶ R₃ - 2R₁
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5\\ -4\end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 34 \\-20\end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ 3R₃ - R2
இதுவே ஏறுபடிவ வடிவில் உள்ள கடைசி சமான அணியாகும் .
ρ(A,B ) = ρ(A)=3= (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
எனவே , சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டது .
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5\\ -4\end{matrix}\right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 9 \\ 34\\ -20\end{matrix} \right) \)
x +y +z = 9
3y +5z = 34
-4z = -20
z =5
3y =34-25=9
y =3
x +3+5 = 9
 x =9 - 8 =1
\(\therefore \)  தீர்வு x =1,y =3, z =5.

AB = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 1-2-5 & -2+4-1 & 3-6+1 \\ 2+6+20 & -4-12+4 & 6+18-4 \\ 3+4+15 &-6-8+3 &9+12-3\end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} -6 & 1 & -2 \\ 28 & -12& 20 \\ 22 & -11 & 18 \end{matrix} \right) \)
AB -ன் வரிசை  3 x 3.
எனவே ρ(AB) ≤ 3
AB ∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\-3& 7& 5 \\ -11 & 22 & 18 \end{matrix} \right) \)C₁ ↔️ C₂
∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\0&-11& -1 \\ 0 & -44 & -4 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ + 12R₁
                                             R₃ ⟶ R₃ +11 R₁
∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\0&-11& -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃- R₂
ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
ρ(AB)=2
BA  = \(\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{matrix} \right) \)
     =\(\left( \begin{matrix} 1-4+9 & 1+6-6 &-1-8+9 \\ -2+8-18 & -2-12+12 & 2+16-18 \\ 5+2-3 &-5-3+2 &-5+4-3\end{matrix} \right) \)
BA  = \(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ -12 & -2 & 0\\ 4 & 4 & -1 \end{matrix} \right) \)_{\({ { R }_{ 2} }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ -2 } \)}
BA  = -ன் வரிசை  3 x 3.
எனவே ρ(AB) ≤ 3
      ∼\(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 &0& 0\\ 0 & 5 & -6 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ - R₁
                                              R₃ ⟶ 6R₃ - R₁
         ∼ \(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 &5&-6\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \)R₂ <--> R₃

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
அணியின் தரம் ρ(BA )=2

A = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 8 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -R_1 \)
 

~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right)R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2\)
ρ(A)= 3

சமநிலையில் 
 = (A B)
0.4A + 0.2B = A
0.4A + 0.2(1 - A) = A
0.4A + 0.2-0.2A = A
0.2 = A –0.2A
0.2 = 0.8A
A = 2/8 = 1/4

A ன் வரிசை 1 x 3
A^T - ன் வரிசை 3 x 1
A A^T - ன் வரிசை 1 x 1
∴ A A^T - ன் தரம் = 1