\(\left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 20 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 2 }{ 3 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \frac { 22 }{ 3 } \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 16 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { 3R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 22 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 48 \end{matrix} \right] \)

\(\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ -6 & 2 & 4 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \)

|adj(A)| = \(\left| \begin{matrix} 7 & 7 & -7 \\ -1 & 11 & 7 \\ 11 & 5 & 7 \end{matrix} \right| \)=7(77-35)-7(-7-77)-7(-5-121) = 1764 > 0
எனவே
A =  \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adjA| } } adj(adjA)=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 1764 } } \left[ \begin{matrix} +(77-35) & -(-7-77) & +(-5-121) \\ -(49+35) & +(49+77) & -(35-77) \\ +(49+77) & -(49-7) & +(77+7) \end{matrix} \right] ^{ T }\)
\(=\pm \frac { 1 }{ 42 } \left[ \begin{matrix} 42 & 84 & -126 \\ -84 & 126 & 42 \\ 126 & -42 & 84 \end{matrix} \right] ^{ T }=\pm \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \).

A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{matrix} \right] \) என்க.
|A| = \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{matrix} \right| \) = 2(7) + (-12) + 3(-1) = -1 ≠ 0 
எனவே , A⁻¹ காண இயலும்.
adj A = \(\left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} -5 & 1 \\ -3 & 3 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} -5 & 3 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ -3 & 3 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ -5 & 1 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} 7 & 12 & -1 \\ 9 & 15 & -1 \\ -10 & -17 & 1 \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} 7 & 9 & -10 \\ 12 & 15 & -17 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே,  A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } (adj\quad A)=\frac { 1 }{ (-1) } \left[ \begin{matrix} 7 & 9 & -10 \\ 12 & 15 & -7 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -7 & -9 & 10 \\ -12 & -15 & 17 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \)

|A| = \(\left[ \begin{matrix} 8 & -6 & 2 \\ -6 & 7 & -4 \\ 2 & -4 & 3 \end{matrix} \right] \)= 8(21-16)+6(-18+8)+2(24-14) = 40 - 60 + 20 = 0
சேர்ப்பு அணியின் வரையறைப்படி கிடைப்பது
adj A = \(\left| \begin{matrix} (21-16) & -(18+8) & (24-14) \\ -(-18+8) & (24-4) & -(32+12) \\ (24-14) & -(32+12) & (56-36) \end{matrix} \right| ^{ T }=\left| \begin{matrix} 5 & 10 & 10 \\ 10 & 20 & 20 \\ 10 & 20 & 20 \end{matrix} \right| \)
எனவே,
A(adj A) =\(\left[ \begin{matrix} 8 & -6 & 2 \\ -6 & 7 & -4 \\ 2 & -4 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 5 & 10 & 10 \\ 10 & 20 & 20 \\ 10 & 20 & 20 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 40-60+20 & 80-120+40 & 80-120+40 \\ -30+70-40 & -60+140-80 & -60+140-80 \\ 10-40+30 & 20-80+60 & 20-80+60 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \) = 0I₃ = |A|I₃.
இதேபோல், நமக்குக் கிடைப்பது
(adj A)A =\(\left[ \begin{matrix} 5 & 10 & 10 \\ 10 & 20 & 20 \\ 10 & 20 & 20 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 8 & -6 & 2 \\ -6 & 7 & -4 \\ 2 & -4 & 3 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} 40-60+20 & -30+70-40 & 10-40+30 \\ 80-120+40 & -60+140-80 & 20-80+60 \\ 80-120+40 & -60+140-80 & 20-80+60 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \) = 0I₃ = |A|I₃.
எனவே, A(adj A) = (adj A)A = |A| I₃ என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

2x + 5y = -2
x + 2y = -3
x = A^-1[B]
\(\left [ \begin{matrix} 2& 5\\ 1& 2\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} -2\\ -3\\ \end{matrix} \right ]\)
\(A=\left [ \begin{matrix} 2& 5\\ 1& 2\\ \end{matrix} \right ]_{2\times 2}\)
|A| = 4 - 5 = -1 \(\neq\) 0
A^-1 exists
Adj (A) = adj \(\left [ \begin{matrix} 2& 5\\ 1& 2\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} 2& -5\\ -1& 2\\ \end{matrix} \right ]\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-1}\left [ \begin{matrix} 2& -5\\ -1& 2\\ \end{matrix} \right ]\)
\(=\left [ \begin{matrix} -2& 5\\ 1& -2\\ \end{matrix} \right ]\)
X=A^-1[B]
\(\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right ] =\left [ \begin{matrix} -2& 5\\ 1& -2\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} -2\\ -3 \end{matrix} \right ]\)
\(\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} -2x-2& + 5x-3\\ 1x-2& + -2x-3\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} -11\\ 4\\ \end{matrix} \right ]\)
x = -11, y = 4

\(\left [ \begin{matrix} 2& 3\\ 1& 6\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} x \\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} 10\\ 4\\ \end{matrix} \right ]\)
\(\Delta =\left|\begin{matrix} 2& 3\\ 1& 6\\ \end{matrix} \right|\) = 12 - 3 = 9
\(\Delta_{x} =\left|\begin{matrix} 10& 3\\ 4& 6\\ \end{matrix} \right|\) = 60 - 12 = 48
\(\Delta_{y} =\left|\begin{matrix} 2& 10\\ 1& 4\\ \end{matrix} \right|\) = 8 - 10 = -2
\(x \Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}\)
\(y\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta }=\frac{-2}{9}\)

A என்பது 2m+1 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. இங்கு m = 0,1,2, .... எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் தேற்றம் |adj A| = |A|^{n - 1}இன் படி கிடைப்பது |adj A| = |A|^(2m+1)-1 = |A|^2m
|A|^2m என்பது எப்பொழுதும் மிகை, எனவே |adj A| ஆனது மிகை.

முதலில் சேர்ப்பு அணி காண்போம்.
வரையறைப்படி, adj A = \(\left[ \begin{matrix} +M_{ 11 } & { -M }_{ 12 } \\ -{ M }_{ 21 } & +{ M }_{ 22 } \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -c \\ -b & a \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)
A ஆனது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி, எனவே |A| = ad-bc ≠ 0.
A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } \) adj A, என்பதால் A^-1 = \(\frac { 1 }{ ad-bc } \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)

கொடுக்கப்பட்ட \(A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) மற்றும் \(C=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\)மேலும்,  AXB = C
A^-1 ஆல் முன்புறம் பெருக்க கிடைப்பது.
\(\Rightarrow B={ A }^{ -1 }C.\ \quad \left[ \therefore \ { A }^{ -1 }A=1 \right] \)
B^-1 ஆல் பின்புறம் பெருக்க கிடைப்பது.
\(\left( XB \right) { B }^{ -1 }=\left( { A }^{ -1 }C \right) { B }^{ -1 }\)
\(\Rightarrow X=\left( { A }^{ -1 }C \right) { B }^{ -1 }\)
\(\left| A \right| =\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}=0+2\neq 0\)
\(\therefore { A }^{ -1 }\frac { 1 }{ |A| } adjA=\frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\)
\(|B|=\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=3+2=5\neq 0\)
\(\therefore { B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| B \right| } adj\quad B=\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\)
\({ A }^{ -1 }C=\frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 0 & +2 \\ -2 & +2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 & +2 \\ -2 & +2 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 2 } \left( 2 \right) \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(\therefore X=Z\left( { A }^{ -1 }C \right) .{ B }^{ -1 }\)
\(=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & +0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 & +3 \\ 0 & +0 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 5 } \left( 5 \right) \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(\therefore X=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

\(A=\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 14 & 7 \\ 7 & 7 \end{bmatrix}\)
A ன் வரிசை 2 x 2
\(A =\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) என்க.

கொடுக்கப்பட்ட \(A=\begin{bmatrix} 1 & tanx \\ -tanx & 1 \end{bmatrix}\)
\(\left| A \right| =1+{ tan }^{ 2 }x\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adjA\)
\(\frac { 1 }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \begin{bmatrix} 1 & -tanx \\ tanx & 1 \end{bmatrix}\)
[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்ற மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்ற)
\({ A }^{ T }=\begin{bmatrix} 1 & -tanx \\ tanx & 1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore { A }^{ T }{ A }^{ -1 }=\begin{bmatrix} 1 & -tanx \\ tanx & 1 \end{bmatrix}.\cfrac { 1 }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \begin{bmatrix} 1 & -tanx \\ tanx & 1 \end{bmatrix}\)
\(\cfrac { 1 }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \begin{bmatrix} 1 & -tanx \\ tanx & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -tanx \\ tanx & 1 \end{bmatrix}\)
\(\cfrac { 1 }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \begin{bmatrix} 1 & -{ tan }^{ 2 }x \\ tanx & +tanx \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -tanx & -tanx \\ { -tan }^{ 2 }x & +1 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} \cfrac { 1-{ tan }^{ 2 }x }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } & \frac { -2tanx }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \\ \frac { 2tanx }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } & \frac { 1-{ tan }^{ 2 }x }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \end{bmatrix}\)
\({ A }^{ T }{ A }^{ -1 }=\begin{bmatrix} cos2x & -sin2x \\ sin2x & cos2x \end{bmatrix}\)
[\(\because \sin { 2x=\frac { 2tanx }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } } \) மற்றும் \(cos2x=\frac { 1-{ tan }^{ 2 }x }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

|A| = 14 - 12 = 2 ≠ 0
\( \text { adj } A=\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] \)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A\)
\(A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right]=2 A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right]\)
\(\begin{aligned} & 9I-A=9\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 7 & 3 \\ -4 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 7 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}\right] \end{aligned}\)
\(=\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] = 2A^{-1}\)

A ன் வரிசை 2 x 2 \(A\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \) என்க.
\(\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \)
a + b = 6
c + d = 0
-2a + 4b = 0
-2c + 4d = 6
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கக் கிடைப்பது, 
a = 4, b = 2 c = -1, d = 1
\(A = \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)

\(\frac { |adjB| }{ |C| } = \frac {adj |adjA| }{ |3A| } = \frac{|A|^{(n-1)^2}}{3^n|A|}\)
\(= \frac{|A|^{1}}{3^2|A|} = \frac{1}{9} \ \ \ (∵ n = 2)\)

AA^T = A^TA மற்றும் B=A^-1A^T
B^T = (A^-1A^T)^T = (A^T)^T (A^-1)^T=A (A^-1)^T
BB^T = (A^-1A^T) (A(A^-1)^T) = A^-1(A^TA)(A^-1)^T
= A^-1(AA^T) (A^-1)^T = (A^-1A) (A^T(A^T)^-1) = I₃

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4