\(1+i\sqrt { 3 } \)
\(r=|z|=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 } } \)
\(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)
ஆகவே \(arg(z)=\frac { \pi }{ 3 } \)
எனவே, \(1+i\sqrt { 3 } \)  -ன் துருவ வடிவம்
\(1+i\sqrt { 3 } =2\left( cos\cfrac { \pi }{ 3 } +isin\cfrac { \pi }{ 3 } \right) \)
= \(2\left( \cos\left( \frac { \pi }{ 3 } +2k\pi \right) +i \sin\left( \cfrac { \pi }{ 3 } +2k\pi \right) \right) ,k\in z\).

\(\theta =\frac { 3\pi }{ 2 } \) எனில்,
z  ஐ சுற்றினால், \({ ze }^{ i\theta }=2{ e }^{ -iz \frac { 3\pi }{ 2 } }\)
\({ ze }^{ i\theta }=2\sqrt { 2 } { e }^{ -i\frac { \pi }{ 4 } }.{ e }^{ -i\frac { 3\pi }{ 2 } }=2\sqrt { 2 } { e }^{ \left( i\frac { \pi }{ 3 } -\frac { \pi }{ 4 } \right) }\)
\(=2\sqrt { 2 } { e }^{ -i5\frac { \pi }{ 4 } }\)

\(\theta =2\frac { \pi }{ 3 } \) எனில்
z ஐ சுற்றினால், \({ ze }^{ i\theta }=2{ e }^{ -i2\frac { \pi }{ 3 } }\)
\({ ze }^{ i\theta }=2{ e }^{ -i2\frac { \pi }{ 4 } }.{ e }^{ -i\frac { \pi }{ 3 } }\) [(1) ஐ பயன்படுத்தி]
\(=2\sqrt { 2 } { e }^{ \left( i\frac { \pi }{ 3 } -\frac { \pi }{ 4 } \right) }=2{ e }^{ -i5\frac { \pi }{ 12 } }\)

\(\frac { cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } }{ 2\left( cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { cos\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) }{ cos\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) } \right) \)
\(\left[ \because cos(-\theta )=cos\theta \ and \ sin(-\theta )=sin\theta \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 6 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 6 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { -\pi -2\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { -\pi -2\pi }{ 6 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { -3\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { -3\pi }{ 6 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) -isin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } [0-i(1)]=\frac { -i }{ 2 } \)

|x+ iy - 4|²- |x+ iy - 1|²= 16
⇒ I(x - 4) + iy|² - I(x -1) + iyl² = 16
⇒ [(x-4)² + y²] - [(x-1)² + y²] = 16
⇒ x² - 8x + 16 + y³ - [x² - 2x + 1 + y²] = 16

⇒ -6x + 15 - 16 = 0
⇒ -6x - 1 = 0
⇒ 6x + 1 = 0 என்பது தேவையான கார்டீசியன் சமன்பாடு  ஆகும்.

⇒ 3|z - 2 + 4i| = 8
⇒ |z - (2 + 4i)| = \(\frac 83\)
இது |z - z₀| = r என்ற வடிவம். உள்ளது ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (2 - 4i) மற்றும் ஆரம் \(\frac 83\) ஆகும்.

|2z + 2 - 4i| = 2
2|z + 1 - 2i| = 2
⇒ |z -(- 1 - 2i)| = 1
இது |z -z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.

LHS = (z₁ + z₂) z₃
= (3 - 7i)(5 + 4i)
= 15 + 12i - 35i - 28i²
= 15 - 23i + 28 = 43 - 23i
RHS = z₁ z₃ + z₂ z₃
3 (5 + 4i) + (-7i) (5 + 4i)
15 + 12i - 35i - 28i²
= 15 - 23i + 28 = 43 - 23i
LHS = RHS
∴ (z₁ + z₂) z₃ = z₁ z₃ +z₂ z₃

LHS = (z₁ z₂) z₃
= [(1 - 3i) (- 4i)] + 5
= [- 4i + 12i²] 5
= (-4i-12)5= -20i - 60
RHS = z₁ (z₂ z₃)
= (1-3i) [(-4i) 5]
= (1- 3i)(- 20i)
= - 20i + 60i²
= - 20i - 60
LHS=RHS
∴ (z₁ z₂) z₃= z₁(z₂ z₃)

z = 2 + 3i, (2, 3) எனக் குறிக்கலாம்.
-iz = -i (2 + 3i) = -2i -3i² = -2i -3 (-1)
= 3 -2i
z -iz = 2 + 3i + 3 -2i = 5 + i (5, 1) எனக் ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்கலாம்.

நாம் \({ \left( { \sqrt { 3 } +i } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) - ன் மதிப்புகளை காண வேண்டும். z = \({ \left( { \sqrt { 3 } +i } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) எனில்
z³ = \( { \sqrt { 3 } +i } \) = r(cos θ + isin θ) ஆகும்.
r = \( \sqrt {3 + 1}\) = 2, மற்றும் α = θ = \(\frac { \pi }{ 6 } \) (∵ \( { \sqrt { 3 } +i } \) I கால்பகுதியில் அமைவதால்)
ஆகவே, z³ = \( { \sqrt { 3 } +i } \) = \(2\left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
⇒ z =  \(\sqrt [ 3 ]{ 2 } \left( cos\left( \frac { \pi +12k\pi }{ 18 } \right) +isin\left( \frac { \pi +12k\pi }{ 18 } \right) \right) \), k=0,1,2.
k=0,1,2, எனப்பிரதியிட,
k = 0, z \(={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\left( cos\frac { \pi }{ 18 } +isin\frac { \pi }{ 18 } \right) \)
k = 1, z  \(={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\left( cos\frac { 13\pi }{ 18 } +isin\frac { 13\pi }{ 18 } \right) \)
k = 2, \(={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\left( cos\frac { 25\pi }{ 18 } +isin\frac { 25\pi }{ 18 } \right) ={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\left( −cos\frac { 7\pi }{ 18 } +isin\frac { 7\pi }{ 18 } \right) \)

\(\theta =\frac { \pi }{ 3 } \)
கொடுக்கப்பட்டது z = 2 - 2i
\(\theta =\frac { \pi }{ 3 } \)
z = 2 - 2i r (cos θ + i sin θ) என்க.
\(r=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ (-2) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } =\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -2 }{ 2 } \right| \)
\(={ tan }^{ -1 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
2 - 2i என்ற கலப்பெண் IV -ம் காலப்பகுதியில் அமைவதால்.
\(\therefore \theta =-\alpha =-\frac { \pi }{ 4 } \) [∵ x மிகை, y குறை]
\(\therefore 2-2i=2\sqrt { 2 } \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \)
\(Z=2\sqrt { 2 } { e }^{ -i\frac { \pi }{ 4 } }\) ...(1) [ஆய்லரின் சூத்திரப்படி]
z e^iθ என்பது z ஆதியை பொறுத்து θ கோணம் கடிகார எதிர்திசையில் சுற்றுவது ஆகும்.
∴ z ஐ சுற்றுவதால், z \({ e }^{ -i\frac { \pi }{ 3 } }\)
\(=2\sqrt { 2 } { e }^{ -i\frac { \pi }{ 4 } }.{ e }^{ -i\frac { \pi }{ 3 } }\) [(1) ஐ பயன்படுத்தி]
= \(2\sqrt { 2 } \left[ { e }^{ \left( i\frac { \pi }{ 3 } -\frac { \pi }{ 4 } \right) } \right] =2\sqrt { 2 } { e }^{ -i\frac { \pi }{ 12 } }\)
(ii) \(\theta =2\frac { \pi }{ 3 } \) எனில்
z ஐ சுற்றினால், \({ ze }^{ i\theta }=2{ e }^{ -i2\frac { \pi }{ 3 } }\)
\({ ze }^{ i\theta }=2{ e }^{ -i2\frac { \pi }{ 4 } }.{ e }^{ -i\frac { \pi }{ 3 } }\) [(1) ஐ பயன்படுத்தி]
\(=2\sqrt { 2 } { e }^{ \left( i\frac { \pi }{ 3 } -\frac { \pi }{ 4 } \right) }=2{ e }^{ -i5\frac { \pi }{ 12 } }\)
(iii) \(\theta =\frac { 3\pi }{ 2 } \) எனில்,
z  ஐ சுற்றினால், \({ ze }^{ i\theta }=2{ e }^{ -iz \frac { 3\pi }{ 2 } }\)
\({ ze }^{ i\theta }=2\sqrt { 2 } { e }^{ -i\frac { \pi }{ 4 } }.{ e }^{ -i\frac { 3\pi }{ 2 } }=2\sqrt { 2 } { e }^{ \left( i\frac { \pi }{ 3 } -\frac { \pi }{ 4 } \right) }\)
\(=2\sqrt { 2 } { e }^{ -i5\frac { \pi }{ 4 } }\)

\(\sum _{ k=1 }^{ 8 }{ \left( cos\frac { 2k\pi }{ 9 } +isin\frac { 2k\pi }{ 9 } \right) } \)
n-ஆம் படி மூலங்களின் கூட்டுத் தொகை
\(1+\omega+\omega^2+\ldots+\omega^ {n -1} =0 \)
கொடுக்கப்பட்ட துருவ வடிவத்திலிருந்து, கலப்பெண் 1 + i0 என்பது தெளிவாகிறது.​​​​​​
\(\sum_{k=1}^i\left(\cos \frac{2 k \pi}{9}+i \sin \frac{2 k \pi}{9}\right) =0 \)
\(\text { i.e . } 1+\omega+\omega^2+\ldots+\omega^ 8 =0 \)
\(1+\sum_{k=1}^8\left(\cos \frac{2 k \pi}{9}+i \sin \frac{2 k \pi}{9}\right) =0 \)
\(\therefore \quad \sum_{i=1}^5\left(\cos \frac{2 k \pi}{9}+i \sin \frac{2 k \pi}{9}\right) =-1\)

\(z^3+27=0\)
\(z^3=-27=27(-1) \)
\(=27[\cos (\pi+2 k \pi)+i \sin (\pi+2 k \pi)], k \in \mathrm{Z} \)
\(\therefore z=(27)^{\frac{1}{3}}[\cos (2 k+1) \pi+i \sin (2 k+1) \pi]^{\frac{1}{3}}, k \in \mathrm{Z}\)
\(=3\left[\cos \frac{(2 k+1) \pi}{3}+i \sin \frac{(2 k+1) \pi}{3}\right], k=0,1,2\)
k = 0 எனில், \(\mathrm{z}=3\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)\)
k = 1 எனில், = 3[cos π + i sin π]= 3 (- 1 + 0) = - 3
k = 2 எனில், \(\mathrm{z}=3\left(\cos \frac{5 \pi}{3}+i \sin \frac{5 \pi}{3}\right)\)

i)  கொடுக்கப்பட்டது: \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(\frac { x }{ y } =\frac { cos\alpha +isin\alpha }{ cos\beta +isin\beta } \)
\(=cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )\) ...(1)
மற்றும் \(\frac { y }{ x } =\frac { 1 }{ \frac { x }{ y } } =cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )\) ...(2)
\((1)+(2)\rightarrow =\frac { x }{ y } +\frac { y }{ x } \)
\(=cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )+cos(\alpha -\beta )-isin(\alpha -\beta )\)
\(=2cos(\alpha -\beta )\)
ii)  கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(xy-\frac { 1 }{ xy } =2isin(\alpha +\beta )\)
xy = (cos α + sin α)(cos β - sin β)
= cos(α + β) + i sin(α + β)
\(\frac { 1 }{ xy } =cos(\alpha +\beta )-isin(\alpha +\beta )\)

= 2i sin (α + β)
iii) கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(\frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } -\frac { { y }^{ n } }{ { x }^{ m } } =2isin(m\alpha -n\beta )\)
x^m =(cos α +sin α)^m=cos mα + i sin mα [டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
\(\therefore \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } =\frac { cosm\alpha +isinm\alpha }{ cosn\beta +isinn\beta } \)
= cos(m α - n β) + i sin(mα - nβ)
மற்றும் \(\therefore \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } =\frac { 1 }{ \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } } \)
= cos(m α - n β) + i sin(m α - nβ)

iv) கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }+\frac { 1 }{ { x }^{ m }y^{ n } } =2cos(m\alpha +n\beta )\)
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }=(cos\alpha +isinm\alpha )(cosn\beta +isinn\beta )\)
\(=cos(m\alpha +n\beta )+isin(m\alpha +n\beta )\)
\(\frac { 1 }{ { x }^{ m }{ y }^{ n } } =cos(m\alpha +n\beta )+isin(m\alpha +n\beta )\)

\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } =r(cos\theta +isin\theta )\)
\(r=\sqrt { { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } } =\sqrt { \frac { 4 }{ 4 } } =1\)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } } \right| ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \) முதலாம் கால்பகுதியில் அமைவதால், θ = α
\(\therefore \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } =1\left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\therefore { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }={ 1 }^{ 2 }{ \left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 5 }\)
\(=cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \) ...(1) [டி மாய்வரின் தேற்றம்]
அதைப் போல \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } =1\left( cos\frac { \pi }{ 6 } -isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\therefore { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }={ 1 }^{ 2 }{ \left( cos\frac { \pi }{ 6 } -isin\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 5 }\)
\(=cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ கூட்ட கிடைப்பது,
\({ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }{ +\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }\)

\(=2cos\frac { 5\pi }{ 6 } =2cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(=-2cos\frac { \pi }{ 6 } \)[\(\therefore \frac { 5\pi }{ 6 } \) இரண்டாம் காலப்பகுதியில் அமைவதால்]
\({ -2\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }=\sqrt { 3 } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

LHS = \(\frac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ b+c\omega +a{ \omega }^{ 2 } } +\frac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ c+a\omega +b{ \omega }^{ 2 } } \)
\(\frac { { a\omega }^{ 3 }+{ b\omega +c\omega }^{ 2 } }{ b+c\omega +a{ \omega }^{ 2 } } +\frac { a{ \omega }^{ 3 }+b\omega { (\omega ) }^{ 2 }+c{ \omega }^{ 2 } }{ c+a\omega +b{ \omega }^{ 2 } } [\because { \omega }^{ 2 }=1]\)

= \(\omega +{ \omega }^{ 2 }=-1\)  \([\because 1+\omega +{ \omega }^{ 2 }=0]\)

z = cos 2θ + isin 2θ என்க.
|z| = |z|² = z\(\overline { z } \) = 1 என்பதிலிருந்து \(\overline { z } \) = \(\frac1{z}\) cos 2θ + isin 2θ என பெறலாம்.
ஆகவே, \(\frac { 1+cos2\theta +isin2\theta }{ 1+cos2\theta -isin2\theta } =\frac { 1+z }{ 1+\frac { 1 }{ z } } =\frac { (1+z)z }{ z+1 } \) = z
எனவே, \({ \left( \frac { 1+cos2\theta +isin2\theta }{ 1+cos2\theta -isin2\theta } \right) }^{ 30 }=\)  z³⁰ = (cos 2θ + isin 2θ)³⁰
= cos 60θ + i sin 60θ

\(\sin\frac { \pi }{ 6 } +i \cos\frac { \pi }{ 6 } =i\left( \cos \frac { \pi }{ 6 } -i\sin \frac { \pi }{ 6 } \right) \) ஆக எழுதலாம்.
இருபுறமும் 18-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
\({ \left( sin\frac { \pi }{ 6 } +icos\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 18 }={ \left( i \right) }^{ 18 }{ \left( \cos \frac { \pi }{ 6 } - i\sin \frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 18 }\)
= \((-1)\left( cos\frac { 18\pi }{ 6 } -isin\frac { 18\pi }{ 6 } \right) \)
= -(cos 3π - isin 3π) = 1 + 0i
ஆகவே, \({ \left( sin\frac { \pi }{ 6 } +icos\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 18 }\)  = 1

z = (cos θ + i sin θ) என்க.
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி
zⁿ = (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
\(\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = z^-n =  cos nθ + i sin nθ
ஆகவே, \({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = (cos nθ + i sin nθ) + (cos nθ - i sin nθ)
\({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = 2 cos nθ.
இதுபோலவே,
\({ z }^{ n }-\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = (cos nθ + i sin nθ) - (cos nθ - i sin nθ)
\({ z }^{ n }-\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = 2i sin nθ.

i) (x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²)(x₃² + y₃²).........(x_n² + y_n²) = a² + b².
இருபுறமும் மட்டு மதிப்பு காண கிடைப்பது
⇒ l(x₁ + iy₁) (x₂ + iy₂) (x_n + iy_n)| = |a + ib|
⇒ lx₁ + iy₁| |x₂ + iy₂| ... |x_n + iy_n| = |a + ib|
\(\Rightarrow \sqrt { { { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } } \sqrt { { { x }_{ 2 } }^{ 2 }+{ { y }_{ 2 } }^{ 2 } } ...\sqrt { { { x }_{ n } }^{ 2 }+{ { y }_{ n } }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது.
(x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²)(x₃² + y₃²).........(x_n² + y_n²) = a² + b².
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
ii) (x₁+ iy₁) (x₂ + iy₂) ... (x_n + iy_n) = a + ib
arg ((x₁+ iy₁) (x₂ + iy₂) ... (x_n + iy_n)) = arg(a + ib)
⇒ arg (x₁+ iy₁) + arg (x₂ + iy₂) + ...  + arg (x_n + iy_n)) = arg(a + ib)
(∵ arg (z₁z₂...z₃) = arg z₁ + arg z₂ + ... + arg z_n)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 } } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { { y }_{ 2 } }{ { x }_{ 2 } } \right) +...+{ tan }^{ -1 }\left( \frac { { y }_{ n } }{ { x }_{ n } } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { { b } }{ a } \right) +2k\pi \)
\(\Rightarrow \sum _{ r=1 }^{ n }{ tan\left( \frac { { y }_{ r } }{ { x }_{ r } } \right) } ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { b }{ a } \right) +2k\pi, k\epsilon Z\)

\(\left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \left( cos\frac { \pi }{ 12 } +isin\frac { \pi }{ 12 } \right) \)
\([\therefore (cos{ \theta }_{ 1 }+isin{ \theta }_{ 2 })+(cos{ \theta }_{ 1 }+isin{ \theta }_{ 2 }]\)
\(=cos\left( \frac { 2\pi +\pi }{ 12 } \right) +isin\left( \frac { 2\pi +\pi }{ 12 } \right) \)
\(=cos\left( \frac { 3\pi }{ 12 } \right) +isin\left( \frac { 3\pi }{ 12 } \right) \)
\(=cos\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \)
\(=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +i\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1+i)\)

இப்பொழுது, \(\frac { z-1 }{ z+1 } =\frac { x+iy-1 }{ x+iy+1 } =\frac { [(x-1)+iy][(x+1)-iy] }{ [(x+1)iy][(x+1)-iy] } \)
⇒ \(\frac { z-1 }{ z+1 } =\frac { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1)+i(2y) }{ ({ x+1) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
கொள்கை arg\(\left( \frac { z-1 }{ z+1 } \right) =\frac { \pi }{ 2 } \Rightarrow { \tan }^{ -1 }\left( \frac { 2y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1 } \right) =\frac { \pi }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { 2y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 } =\tan\frac { \pi }{ 2 } \)
⇒ x² + y² = 1.

\(\frac { 3 }{ 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) .6\left( cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \right) \)
\(=\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \left( 6 \right) \left( cos\left( \frac { \pi }{ 3 } +\frac { 5\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 3 } +\frac { 5\pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left( cos\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left(- cos\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) -isin\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left( -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) =-\frac { 9\sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 9i }{ 2 } \)
இது செவ்வக வடிவில் உள்ளது

arg z = arg\(\frac { -2 }{ 1+i\sqrt { 3 } } \)
= arg(-2) - arg\((1+i\sqrt { 3 } )\) \((\because arg\left( \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right) =arg{ z }_{ 1 }-arg{ z }_{ 2 })\)
= \(\left( \pi -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 0 }{ 2 } \right) \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 1 } \right) \)
= \(\pi -\frac { \pi }{ 3 } =\frac { 2\pi }{ 3 } \)
இதிலிருந்து \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) என்பது arg z-ன் மதிப்புகளில் ஒன்று. \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) ஆனது −\(\pi\) மற்றும் \(\pi\)-க்கு இடையில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு Arg z = \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) ஆகும்.

-1 - i = r(cos θ + isin θ) என்க.
r  \(=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 1+1 } =\sqrt { 2 } \) மற்றும்
\(\alpha ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ \tan }^{ -1 }1=\frac { \pi }{ 4 } \) என கிடைக்கிறது.
-1 - i என்ற கலப்பெண் மூன்றாம் கால்பகுதியில் அமைவதால் அதன் முதன்மை வீச்சு
θ = α - π = \(\frac { \pi }{ 4 } -π=-\frac { 3\pi }{ 4 } \)
எனவே, -1 - i = \(\sqrt { 2 } \left( \cos\left( -\frac { 3\pi }{ 4 } \right) +i \sin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right) \)
= \(\sqrt { 2 } \left( \cos\frac { 3\pi }{ 4 } -i \sin\frac { 3\pi }{ 4 } \right) \)
-1 - i  \(=\sqrt { 2 } \left( \cos\left( \frac { 3\pi }{ 4 } +2k\pi \right) -i \sin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } +2k\pi \right) \right) \), k\(∈\)Z. 

(i) |z - 2 - i| = 3
⇒ |z - 2 - i| = 3
இது |z - z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது.
(ii) |2z + 2 - 4i| = 2
2|z + 1 - 2i| = 2
⇒ |z -(- 1 - 2i)| = 1
இது |z -z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது.
(iii) ⇒ 3|z - 2 + 4i| = 8
⇒ |z - (2 + 4i)| = \(\frac 83\)
இது |z - z₀| = r என்ற வடிவம். உள்ளது ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (2 - 4i) மற்றும் ஆரம் \(\frac 83\) ஆகும்.

(i) \(\left| z \right| =\left| z-i \right| \)
⇒ \(\left| x+iy \right| =\left| x+iy-i \right| \)
⇒ \(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { x }^{ 2 }+({ y-1) }^{ 2 } } \)
⇒ x² + y² = x² + y² - 2y + 1
⇒ 2y - 1 = 0
(ii) |2z−3−i|=3
|2(x+iy)−3−i|=3
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
|(2x−3)+(2y−1)i|²= 9
⇒ (2x−3)²+(2y−1)² = 9
⇒ 4x² + 4y² - 12x - 4y + 1 = 0, என்பது கார்ட்டீசியன் வடிவில் z-ன் நியமப்பாதை ஆகும்

\(\left| z+2-i \right| =2\) என்ற சமன்பாட்டை கருதுக. இதனை
\(\left| z-(-2+i) \right| =2\) என எழுதலாம்
இச்சமன்பாடு z₀ = -2 + i மற்றும் ஆரம் r = 2 உள்ள வட்டத்தைக் குறிக்கிறது. ஆகவே \(\left| z+2-i \right| <2\) என்பது மையம் −2 + i மற்றும் ஆரம் 2 உள்ள வட்டத்தின் உள்பகுதியில் உள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்கிறது.

\(\left| 3z-5+i \right| =4\) என்ற சமன்பாட்டை \(3\left| z-\frac { 5-i }{ 3 } \right| \) = 4 ⇒ \(\left| z-\left( \frac { 5 }{ 3 } -\frac { i }{ 3 } \right) \right| =\frac { 4 }{ 3 } \) என எழுதலாம்.
இது \(\left| z-{ z }_{ \circ } \right| \) = r என்ற வடிவில் உள்ளது. ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது. இதன் மையம் மற்றும் ஆரம் ஆகியவை முறையே \(\left( \frac { 5 }{ 3 } ,-\frac { 1 }{ 3 } \right) \) மற்றும் \(\frac { 4 }{ 3 } \) ஆகும்.

கொள்கை: z = 3 + 2i
ஆகவே, iz = i(3 + 2i) = -2 + 3i
z + iz = (3 + 2i) + i(3 + 2i) = 1 + 5i
z, z + iz, மற்றும் izஆகியவை முறையே A, B மற்றும் C என்க.
\({ AB }^{ 2 }={ \left| (z+iz)-z \right| }^{ 2 }={ \left| -2+3i \right| }^{ 2 }=13\)
\({ BC }^{ 2 }{ =\left| iz-(z+iz) \right| }^{ 2 }={ \left| -3-2i \right| }^{ 2 }=13\)
\({ CA }^{ 2 }={ \left| z-iz \right| }^{ 2 }={ \left| 5-i \right| }^{ 2 }=26\)
AB² + BC² = CA² மற்றும் AB = BC, எனவே,
ΔABC ஓர் இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணமாகும்.

கொடுக்கப்பட்டது z³ + 2\(\bar { z } \) = 0
\(\Rightarrow { z }^{ 3 }=-2\bar { z } \)
இருபுறமும் மட்டுப்படுத்த, \(\left| { z }^{ 3 } \right| =\left| -2\bar { z } \right| \)
\(\Rightarrow { \left| z \right| }^{ 3 }=2\left| z \right| \)
\(\Rightarrow \left| z \right| \left[ { \left| z \right| }^{ 2 }-2 \right] =0\)
\(\left| z \right| =0\) அல்லது \({ \left| z \right| }^{ 2 }-2=0\)
\(\Rightarrow z =0\) ஒரு தீர்வு ...(1)
\(\left| { z }^{ 2 } \right| =2\)
\(\Rightarrow { \left| z \right| }^{ 2 }=2\Rightarrow (z{ \bar { z } ) }^{ 2 }=2\)
\(\Rightarrow z\bar { z } =\sqrt { 2 } \Rightarrow \bar { z } =\frac { \sqrt { 2 } }{ z } \)
கொடுக்கப்பட்ட z³ + 2\(\bar { z } \) = 0
\(\Rightarrow { z }^{ 3 }+2.\frac { \sqrt { 2 } }{ z } =0\)
\(\Rightarrow { z }^{ 4 }+2\sqrt { 2 } =0\) ...(2)
z⁴ = -4
இது 4 பூஜ்யமற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும்.
எனவே (1) மற்றும் (2) லிருந்து, z³ + 2\(\bar { z } \) க்கு 5 தீர்வுகள்.

கொடுக்கப்பட்ட \(\left| z-\frac { 2 }{ z } \right| =2\)
\(\left| z \right| =\left| z-\frac { 2 }{ z } +\frac { 2 }{ z } \right| \) கருது
\(\le \left| z-\frac { 2 }{ z } \right| +\left| \frac { 2 }{ z } \right| \)  [முக்கோணச் சமனிலி]
\(\left| z \right| \le 2+\frac { 2 }{ \left| z \right| } [\because \left| z-\frac { 2 }{ z } \right| =2]\)
\(\le \frac { 2\left| z \right| +2 }{ \left| z \right| } \Rightarrow { \left| z \right| }^{ 2 }\le 2\left| z \right| +2\Rightarrow { \left| 2 \right| }^{ 2 }-2\left| z \right| \le 2\)
இருபுறமும் 1 ஐ கூட்ட கிடைப்பது,
\({ \left| 2 \right| }^{ 2 }-2\left| z \right| \le 2+1\)
\(\Rightarrow { \left[ \left| z \right| -1 \right] }^{ 2 }\le 3\Rightarrow \left| z \right| -1\le \pm \sqrt { 3 } \)
\(\Rightarrow \left| z \right| \le \pm \sqrt { 3 } +1\)
\(\therefore \left| z \right| \) -ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(\sqrt { 3 } +1\) மற்றும் \(\left| z \right| \) - ன் மீச்சிறு மதிப்பு \(1-\sqrt { 3 } \)

கொடுக்கப்பட்ட \(\left| z \right| =1\)
\(\left| { z }^{ 2 }-3 \right| \le \left| { z }^{ 2 } \right| +\left| -3 \right| \)  [முக்கோணச் சமனிலை]
\(\le { \left| z \right| }^{ 2 }+3\le 1+3\) [∵ \(\left| z \right| \) = 1]
\(\left| { z }^{ 2 }-3 \right| \le 4\)   ...(1)
மேலும், \(\left| { z }^{ 2 }-3 \right| \ge \left| { z }^{ 2 } \right| -\left| -3 \right| \)
\(\ge \left| { \left| z \right| }^{ 2 }-3 \right| \)  [∵ \(\left| -3 \right| \) = 3]
\(\ge \left| { \left| z \right| }^{ 2 }-3 \right| \) [∵ \(\left| z \right| \) = 1]
\(\ge \left| -2 \right| \)
\(\left| { z }^{ 2 }-3 \right| \ge 2\)  ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து கிடைப்பது \(\ge 2\left| { z }^{ 2 }-3 \right| \le 4\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

அந்த புள்ளிகள் A(10 - 8i), B(11 + 6i) மற்றும் C(1+i)
A மற்றும் C என்பது இடைப்பட்ட தூரம்
\(\left| (10-8i)-(1+i) \right| =\left| 10-8i-1-i \right| =\left| 9-9i \right| \)
\(=\sqrt { { 9 }^{ 2 }+({ -9) }^{ 2 } } =\sqrt { 81+81 } =\sqrt { 2\times 81 } =\sqrt { 162 } \)
\(=9\sqrt { 2 } \)
B மற்றும் C என்பது \(=\left| (11+6i)-(1+i) \right| \)
\(=\left| 11+6i-1-i \right| =\left| 10+5i \right| \)
\(=\sqrt { { 10 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 } } =\sqrt { 100+25 } =\sqrt { 125 } \)
\(=\sqrt { 25\times 5 } =5\sqrt { 5 } \)
ஆகையால் \(\sqrt { 125 } <\sqrt { 162 } \), B, C-க்கு அருகாமையில் இருக்கும்.
∴ 11 + 6i, 1 + i க்கு அருகாமையில் இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட \(\left| { { z }_{ 1 } } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =1\)
⇒ \({ z }_{ 1 }\overline { z } =1\Rightarrow { z }_{ 1 }=\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } \)
மற்றும் \({ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }\neq -1\) மேலும் \({ z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 2 } } =1\)
⇒ \({ z }_{ 2 }=\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } \)
கருதுக \(\frac { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } }{ 1+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \)
\(\therefore \frac { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } }{ 1+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } =\frac { \frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } }{ 1+\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } } =\frac { \frac { \overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 2 } } }{ \overline { z_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } } }{ \frac { \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } +1 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } } } \)
\(=\frac { \overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 1 } } }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } +1 } =\frac { \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } }{ 1+\overline { { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } } \)
\(=\left( \frac { \overline { { z }_{ 1 }+{ 1 }_{ 2 } } }{ 1+{ z }_{ 2 }{ z }_{ 2 } } \right) \)
\(\therefore \frac { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } }{ 1+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \) மெய் [∵ z = \(\overline { z } \)  ⇒ என்பது மெய்]

இதற்கு நாம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் என நிறுவினால் போதும்.
z₁ = 1, z₂ = \(\frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \)மற்றும் z₃ = \(\frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) என்க .
முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்களை காண்போம்
\(\left| { { z }_{ 1 }-z }_{ 2 } \right| =\left| 1-\left( \frac { -1 }{ 2 } +i \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right| =\left| \frac { 3 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i \right | =\sqrt { \frac { 9 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } =\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 2 } =\sqrt { 3 } \)
\(\left| { { z }_{ 2 }-z }_{ 3 } \right| =\left| \left( \frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) -\left( \frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right| =\sqrt { { \left( \sqrt { 3 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 3 } \)
\(\left| { { z }_{ 3 }-z }_{ 1 } \right| =\left| \left( \frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right)-1 \right| =\left| \frac { -3 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i \right| =\sqrt { \frac { 9 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } =\sqrt { 3 } \)
பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

\(\left| z+3+4i \right| \le \left| z|+|3+4i \right| \) = 2 + 5 =7
\(\left| z+3+4i \right| \le 7\)     (1)
\(\left| z+3+4i \right| \ge \left| z \right| -\left| 3+4i \right| \) = \(\left| 2-5 \right| \) = 3
\(\left| z+3+4i \right| \ge 3\)   (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து \(3\le \left| z+3+4i \right| \le 7\)

(i) \(\left| \frac { 2+i }{ -1+2i } \right| =\frac { \left| 2+i \right| }{ \left| -1+2i \right| } =\frac { \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } }{ \sqrt { { (-1) }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } } =1\)   \(\left( \because \left| \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right| =\frac { \left| { z }_{ 1 } \right| }{ \left| z_{ 2 } \right| } ,{ z }_{ 2 }\neq 0 \right) \).
(ii) \(\left| \overline { (1+i) } (2+3i)(4i-3) \right| =\left| \overline { (1+i) } \right| \left| (2+3i) \right| \left| (4i-3) \right| \)  \(\left( \because \left| { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| \left| { z }_{ 2 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| \right) \)
= \(\left| (1+i) \right| \left| (2+3i) \right| \left| (-3+4i) \right| \) \(\left( \because \left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { \bar z } \right| \right) \)
= \(\left( \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } \right) \left( \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \right) \left( \sqrt { { (-3) }^{ 2 }+4^{ 2 } } \right) \)
= \(\left( \sqrt { 2 } \right) \left( \sqrt { 13 } \right) \left( \sqrt { 25 } \right) =5\sqrt { 26 } \)
(iii)  \(\left| \frac { i(2+{ i })^{ 3 } }{ { (1+i) }^{ 2 } } \right| \) = \(\frac { \left| i \right| \left| { (2+i) }^{ 3 } \right| }{ \left| { (1+i) }^{ 2 } \right| } =\frac { 1{ \left| 2+i \right| }^{ 3 } }{ { \left| 1+i \right| }^{ 2 } } =\frac { { (\sqrt { 4+1 } })^{ 3 } }{ { (\sqrt { 2 } ) }^{ 2 } } \) = \(\left( \because \left| \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right| =\frac { \left| { z }_{ 1 } \right| }{ \left| z_{ 2 } \right| } ,{ z }_{ 2 }\neq 0 \right) \)
= \(\frac { { (\sqrt { 5 } })^{ 3 } }{ 2 } =\frac { 5\sqrt { 5 } }{ 2 } \)

\(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| 3+4i \right| =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } =5\)
\(\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| 5-12i \right| =\sqrt { { 5 }^{ 2 }+(-{ 12 })^{ 2 } } =13\)
\(\left| { z }_{ 3 } \right| =\left| 6+8i \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ 8 }^{ 2 } } =10\)
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } \right| =\left| (3+4i)+(5-12i) \right| =\left| 8-8i \right| =\sqrt { 128 } =8\sqrt { 2 } \)
\(\left| { z }_{ 2 }-{ z }_{ 3 } \right| =\left| (5-12i)-(6+8i) \right| =\left| -1-20i \right| =\sqrt { 401 } \)
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 3 } \right| =\left| (3+4i)+(6+8i) \right| =\left| 9+12i \right| =\sqrt { 225 } =15\)
எல்லா வகைகளிலும் முக்கோணச் சமனிலி நிறைவு செய்யப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காண்க
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| +\left| { z }_{ 2 } \right|\) = 15 (ஏன்?)

கொடுக்கப்பட்டது  v =3 - 4i
w = 4 + 3i மற்றும் w = 3i + 4 = i (3 - 4i) = iv 
கொடுக்கப்பட்டது \(\frac { 1 }{ u } +\frac { 1 }{ v } +\frac { 1 }{ w } \)
∴ \(\frac { 1 }{ u } =\frac { 1 }{ 3-4i } +\frac { 1 }{ 4+3i } \)
\(=\frac { 3+4i }{ (3-4i)(3+4i) } +\frac { 4-3i }{ (4+3i)(4-3i) } \)
\(=\frac { 3+4i }{ 9-({ 4i })^{ 2 } } +\frac { 4-3i }{ 16-{ (3i) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 3+4i }{ 9+16 } +\frac { 4-3i }{ 16+9 } \)
\(=\frac { 3+4i }{ 25 } +\frac { 4-3i }{ 25 } =\frac { 3+4i+4-3i }{ 25 } \)
\(\frac { 1 }{ u } =\frac { 7+i }{ 25 } \)
\(\therefore u=\frac { 25 }{ 7+i } \times \frac { 7-i }{ 7-i } =\frac { 25(7-i) }{ { 7 }^{ 2 }-{ (i) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 25(7-i) }{ 49+1 } =\frac { 25(7-i) }{ 50 } =\frac { 1 }{ 2 } (7-i)\)
\(\therefore u=\frac { 1 }{ 2 } (7-i)\)

z₁ மற்றும் z₂ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளை பிரதியிட,
\(\frac { { { z }_{ 1 } } }{ { z }_{ 2 } } \) = \(\frac { 3-2i }{ 6+4i } =\frac { 3-2i }{ 6+4i } \times \frac { 6-4i }{ 6-4i } \)
= \(\frac { (18-8)+i(-12-12) }{ { 6 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } =\frac { 10-24i }{ 52 } =\frac { 10 }{ 52 } -\frac { 24i }{ 52 } \)
= \(\frac { 5 }{ 6 } -\frac { 6 }{ 13 } i\)

\(\frac { z+3 }{ z-5i } =\frac { 1+4i }{ 2 } \) என்பதால்
⇒2(z + 3) = (1 + 4i)(z - 5i)
⇒ 2z + 6= (1 + 4i)z + 20 - 5i
⇒ (2 - 1 - 4i)z = 20 - 5i - 6
⇒ z = \(\frac { 14-5i }{ 1-4i } =\frac { (14-5i)(1+4i) }{ (1-4i)(1+4i) } =\frac { 34+51i }{ 17 } \) = 2 + 3i

\(\frac { 1+i }{ 1-i } =\frac { \left( 1+i \right) \left( 1+i \right) }{ \left( 1-i \right) \left( 1+i \right) } =\frac { 1-2i-1 }{ 1+1 } =\frac { 2i }{ 2 } =i\)
மேலும் \(\frac { 1-i }{ 1+i } ={ \left( \frac { 1+1 }{ 1-i } \right) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ i } =-i\)
எனவே, \({ \left( \frac { 1+i }{ 1-i } \right) }^{ 3 }-{ \left( \frac { 1-i }{ 1+i } \right) }^{ 3 }\) = \({ i }^{ 3 }-{ (-i) }^{ 3 }\) = -i - i =- 2i 

\(\frac { 3+4i }{ 5-12i } \) - ன் மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளைக் காண இதனை x + iy என செவ்வக வடிவில் எழுத வேண்டும். இந்த பின்னத்தினை சுருக்க தொகுதி மற்றும் பகுதிகளை பகுதியிலுள்ள  கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண்ணால் பெருக்கி பகுதியில் உள்ள i-ஐ நீக்கலாம்.
\(\frac { 3+4i }{ 5-12i } \) = \(\frac { (3+4i)(5+12i) }{ (5-12i)(5+12i) } \)
= \(\frac { (15-48)+(20+36)i }{ { 5 }^{ 2 }+{ 12 }^{ 2 } } \)
\(=\frac { -33+56i }{ 169 } =-\frac { 33 }{ 169 } +i\frac { 56 }{ 169 } \)
\(\frac { 3+4i }{ 5-12i } \) = \(-\frac { 33 }{ 169 } +i\frac { 56 }{ 169 } \) என்பது x  +iy வடிவில் உள்ளது.
ஆகவே மெய்பகுதி \(-\frac { 33 }{ 169 } \) மற்றும் கற்பனை பகுதி \(\frac { 56 }{ 169 } \)

கொடுக்கப்பட்டது : z₁ = 3, z₂ = -7i, z₃ = 5 + 4i
z₂ z₃ = -7i + 5 + 4i = 5 - 3i
z₁ (z₂ z₃) = 3(5 - 3i) = 15 - 9i  ...(1)
z₁ z₂ = 3(-7i) = -21i 
z₁ z₂ + z₁ z₃ = -21i + 15 + 12i 
= 15 - 9i  ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ (z₁ + z₂) z₃ = z₁ z₃ + z₂ z₃ எனவே நிறுவப்பட்டது.

(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 1 - 3i, z₂= - 4i மற்றும் z₃ = 5
LHS = (z₁ + z₂) + z₃
= [1 - 3i + (- 4i)] + 5
= [1 -7i] + 5 = 6 - 7i
RHS = z₁ + (z₂ + z₃)
1 - 3i + (-4i + 5) = 6 - 7i
LHS = RHS
∴ (z₁ +z₂)+z₃ = z₁ + (z₂+z₃)

z, iz மற்றும் z + iz  ஐ ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்க.
z = 2 + 3i (2,3) எனக் குறிக்கலாம்.
iz = i (2 + 3i) = 2i + 3i² = 2i -3 = -3 + 2i (-3, 2) எனக் குறிக்கலாம்.
z + iz = 2 + 3i; -3 + 2i = -1 + 5i (-1, 5) என ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்கலாம்.

z₁ =(2 + i)x + (1 - i)y + 2i - 3 = (2x + y - 3) + i(x - y + 2) மற்றும்
z₂ = x + ( -1 + 2i)y + 1 + i = (x - y  + 1) i(2y + 1) என்க.
z₁ = z₂ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, (2x + y - 3) + i(x - y + 2) = (x - y  + 1) + i(2y + 1)
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த
2x + y - 3 = x - y + 1 ⇒ x + 2y = 4
x - y + 2 = 2y + 1 ⇒ x - 3y = -1
மேற்கண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க
x = 2 மற்றும் y = 1 எனப்பெறலாம்.

(i) (i)⁷ = (i)⁴⁺³ = (i)³ = -i
(ii) i¹⁷²⁹ = i¹⁷²⁸ i¹ = i
(iii) (i)^-1924 + (i)²⁰¹⁸ = (i)^-1924+0 + (i)²⁰¹⁶⁺² = (i)⁰ + (i)² = 1 - 1 = 0
(iv) \(\sum _{ n=1 }^{ 102 }{ { i }^{ n } } \) = (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i⁷ + i⁸)+ ..........+ (i⁹⁷ + i⁹⁸ + i⁹⁹ + i¹⁰⁰) + i¹⁰¹ + i¹⁰²
= (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i¹ + i² + i³ + i⁴) + ............(i¹ + i² + i³ + i⁴) + i¹ + i²
= {i + (-1) + (-i) + 1} + {i + (-1) + (-i) + 1} + .........+ {i + (-1) + (-i) + 1} + i + (-1)
= 0 + 0 + .........0 + i −1
= −1 + i (இது என்ன எண்?)
(v) i i²i³ ..... i⁴⁰ = i ^{1+2+3+....+40} = i^{\(\frac { 40\times 41 }{ 2 } \)} = i⁸²⁰ = i⁰ = 1
i- ன் நான்கு தொடர்ச்சியான அடுக்குகளின் கூடுதல் பூச்சியமாகும். iⁿ+ iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² + iⁿ⁺³ = 0

z முழுவதும் கற்பனை எண் ஆதலால்
z = - \(\bar { z } \)
\(\therefore { 2 }^{ n }\left[ cos\frac { n\pi }{ 6 } +isin\frac { n\pi }{ 6 } \right] =-{ 2 }^{ n }\left[ cos\frac { n\pi }{ 6 } -isin\frac { n\pi }{ 6 } \right] \) [(1) மற்றும் (2) லிருந்து]

\(2cos\frac { n\pi }{ 6 } =0\)
\(cosn\frac { \pi }{ 6 } =0=cos\frac { \pi }{ 2 } [\because cos\frac { \pi }{ 2 } =0]\)
⇒ n = \(\frac62\) ⇒ n = 3

\(\sqrt3\) - i
r = 2 மற்றும் α = \(\frac { \pi }{ 6 } \).
\(\sqrt3\) - i என்ற கலப்பெண்ணானது நான்காம் கால்பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு
θ = -α = - \(\frac { \pi }{ 6 } \)
ஆகவே, \(\sqrt3\) - i-ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் -\(\frac { \pi }{ 6 } \) ஆகும்.
இந்த நான்கிலும் மட்டு மதிப்புகள் சமம் ஆனால் அதன் வீச்சானது அக்கலப்பெண் அமையும் கால்பகுதியை பொருத்து அமைகின்றது.

- \(\sqrt3\) - i
r = 2 மற்றும்  α = \(\frac { \pi }{ 6 } \)
 - \(\sqrt3\) - i என்ற கலப்பெண்ணானது மூன்றாம் கால்பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு
\(\theta=\alpha-\pi=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5 \pi}{6} .\)
ஆகவே,  - \(\sqrt3\) - i - ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் \(-\frac { 5\pi }{ 6 } \) ஆகும்.

- \(\sqrt3\) + i
மட்டு = 2 மற்றும்
\(\alpha ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| { =\tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { \pi }{ 6 } \)
- \(\sqrt3\) + i என்ற கலப்பெண்ணானது இரண்டாம் கால்பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு
θ = π - α = π - \(\frac { \pi }{ 6 } =\frac { 5\pi }{ 6 } \)
ஆகவே - \(\sqrt3\) + i - ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் 5π/6 ஆகும்.

 \(\left| \frac { i(2+{ i })^{ 3 } }{ { (1+i) }^{ 2 } } \right| \) = \(\frac { \left| i \right| \left| { (2+i) }^{ 3 } \right| }{ \left| { (1+i) }^{ 3 } \right| } =\frac { 1{ \left| 2+i \right| }^{ 3 } }{ { \left| 1+i \right| }^{ 2 } } =\frac { { (\sqrt { 4+1 } })^{ 3 } }{ { (\sqrt { 2 } ) }^{ 2 } } \) = \(\left( \because \left| \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right| =\frac { \left| { z }_{ 1 } \right| }{ \left| z_{ 2 } \right| } ,{ z }_{ 2 }\neq 0 \right) \)
= \(\frac { { (\sqrt { 5 } })^{ 3 } }{ 2 } =\frac { 5\sqrt { 5 } }{ 2 } \)

\(\left| \bar { (1+i) } (2+3i)(4i-3) \right| =\left| \bar { (1+i) } \right| \left| (2+3i) \right| \left| (4i-3) \right| \)  \(\left( \because \left| { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| \left| { z }_{ 2 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| \right) \)
= \(\left| (1+i) \right| \left| (2+3i) \right| \left| (4i-3) \right| \) \(\left( \because \left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z } \right| \right) \)
= \(\left( \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } \right) \left( \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \right) \left( \sqrt { { (-3) }^{ 2 }+4^{ 2 } } \right) \)
= \(\left( \sqrt { 2 } \right) \left( \sqrt { 13 } \right) \left( \sqrt { 25 } \right) =5\sqrt { 26 } \)

|2z−3−i|=3
|2(x+iy)−3−i|=3
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
|(2x−3)+(2y−1)i|²|= 9
⇒ (2x−3)2+(2y−1)² = 9
⇒ 4x² + 4y² - 12x - 4y + 1 = 0, என்பது கார்ட்டீசியன் வடிவில் z-ன் நியமப்பாதை ஆகும்

i i²i³ ..... i⁴⁰ = i ^{1+2+3+....+40} = i^{\(\frac { 40\times 41 }{ 2 } \)} = i⁸²⁰ = i⁰ = 1
i- ன் நான்கு தொடர்ச்சியான அடுக்குகளின் கூடுதல் பூச்சியமாகும். iⁿ+ iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² + iⁿ⁺³ = 0

\(\sum _{ n=1 }^{ 102 }{ { i }^{ n } } \) = (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i⁷ + i⁸)+ ..........+ (i⁹⁷ + i⁹⁸ + i⁹⁹ + i¹⁰⁰) + i¹⁰¹ + i¹⁰²
= (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i¹ + i² + i³ + i⁴) + ............(i¹ + i² + i³ + i⁴) + i¹ + i²
= {i + (-1) + (-i) + 1} + {i + (-1) + (-i) + 1} + .........+ {i + (-1) + (-i) + 1} + i + (-1)
= 0 + 0 + .........0 + i −1
= −1 + i (இது என்ன எண்?)

(i)^-1924 + (i)²⁰¹⁸ = (i)^-1924+0 + (i)²⁰¹⁶⁺² = (i)⁰ + (i)² = 1 - 1 = 0

i¹⁷²⁹ = i¹⁷²⁸ i¹ = i

x + iy= \(\frac { i-1 }{ cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } } \) என்க.
கருதுக x + iy = -2 - 2i = r (cos θ + i sin θ)
\(r=\sqrt { 1^{ 2 }+(1{ ) }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } \)
\(\alpha ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { -1 }{ -1 } \right| ={ \tan }^{ -2 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
(-1 + i) என்ற கலப்பெண் II -ம் கால் பகுதியில் அமைவதால் [x ➝ குறை y ➝ மிகை]
அதன் முதன்மை வீச்சு \(\theta =\pi -\frac { \pi }{ 4 } =\frac { 3\pi }{ 4 } \)
\(\therefore i-1=\sqrt { 2 } \left[ cos\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right] \)
\(\therefore x+iy=\frac { \sqrt { 2 } \left[ cos\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right] }{ cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } } \)
\([\because \frac { cos{ \theta }_{ 1 }+isin{ \theta }_{ 1 } }{ cos{ \theta }_{ 2 }+isin{ \theta }_{ 2 } } =cos({ \theta }_{ 1 }-{ \theta }_{ 2 })+isin({ \theta }_{ 1 }-{ \theta }_{ 2 })]\)
\(=\sqrt { 2 } \left[ cos\left( \frac { 3\pi }{ 4 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right] \)
\(=\sqrt { 2 } \left[ cos\frac { 5\pi }{ 12 } +isin\frac { 5\pi }{ 12 } \right] \)
எனவே துருவ வடிவம்
\(z =\sqrt { 2 } \left( cos\left( 2k\pi +\frac { 5\pi }{ 12 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { 5\pi }{ 12 } \right) \right) \)
இங்கு k ∈ Z 

\(x+iy=2-i2=r(cos\theta +isin\theta )\) என்க.
r = எண் மதிப்பு = \(r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { 2^{ 2 }+(2{ ) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } \)
\(=\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -2 }{ -2 } \right| ={ tan }^{ -2 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
-2-2i என்ற கலப்பெண் மூன்றாம் காலப்பகுதியின் அமைவதால் [x குறை y குறை]
அதன் துருவ வடிவம்
\(-2-2i=2\sqrt { 2 } \)
\(2\sqrt { 2 } \left( cos\left( 2k\pi +\frac { 3\pi }{ 4 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right) \), k ∈ Z

\(x+iy=3-i\sqrt { 3 } \) என்க.
\(=r(cos\theta +isin\theta )\)
\(r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+(-{ \sqrt { 3 } ) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+3 } \)
\(=\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -\sqrt { 3 } }{ 3 } \right| ={ tan }^{ -2 }\left| \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right| =\frac { \pi }{ 6 } \) 
\(3-i\sqrt { 3 } \) என்ற கலப்பெண்கள் நான்காம் கால்பகுதியில் அமைவதால்,
\([\because x\rightarrow +ve,y\rightarrow -ve]\)
அதன் முதன்மைவீச்சு \(\theta =\alpha \)
⇒ \(\theta =-\frac { \pi }{ 6 } \)
∴ துருவ வடிவம் 
\(3-i\sqrt { 3 } =2\sqrt { 3 } \)
\(2\sqrt { 3 } \left( cos\left( 2k\pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) ,K ∈ Z\)

 \(\bar { z } \) = z^-1
\(\Rightarrow \bar { z } =\frac { 1 }{ z } \Rightarrow z\bar { z } =1\)
\(\Rightarrow { \left| z \right| }^{ 2 }={ 1 }\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1\) தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு.

⇒ |z + i| = |z - 1|
\(\Rightarrow \left| x+iy+i \right| =\left| x+iy-1 \right| \)
\(\Rightarrow \left| x+i(y+1) \right| =\left| (x-1)+iy \right| \)
\(\Rightarrow \sqrt { { x }^{ 2 }+{ (y+1) }^{ 2 } } =\sqrt { { (x-1) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+{ (y+1) }^{ 2 }=(x-{ 1) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\) [இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது]

⇒ \(2y+2x=0\Rightarrow x+y=0\)
எனவே கார்டீசியன் சமன்பாடானது x - y = 0.

கொடுக்கப்பட்டது: z = x + iy
(1 - i) z + 1 = (1 - i) (x + iy) + 1
= x + iy - ix + y + 1
= (x + y + 1) + i(y - x)
கொடுக்கப்பட்டது:
Im [(1 - i) z + 1] = 0
\(\therefore\) y - x = 0 \(\Rightarrow\) x - y = 0

z = -5 -12i என்க.
\(\Rightarrow \left| z \right| =\sqrt { { (-5) }^{ 2 }+({ -12) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 25+144 } =\sqrt { 169 } =13\)
\(\sqrt { a+ib } =\pm \left( \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { b }{ \left| b \right| } \sqrt { \frac { \left| z \right| -a }{ 2 } } \right) \)
\(\sqrt { -5-12i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 13-5 }{ 2 } } +i\frac { (12) }{ \left| -12 \right| } \sqrt { \frac { 13+5 }{ 2 } } \right) \)
\(=\pm \left( \sqrt { \frac { 8 }{ 2 } } -i\sqrt { 9 } \right) \)  \([\because \left| -12 \right| =12]\)
\(=\pm \left( \sqrt { 4 } -i3 \right) =\pm (2-3i)\)

z = -6 + 8i என்க
\(\left| z \right| =\sqrt { ({ -6) }^{ 2 }+{ 8 }^{ 2 } } \)
\(\sqrt { 36+64 } =\sqrt { 100 } =10\)
\(\sqrt { a+ib } =\pm \left( \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { b }{ \left| b \right| } \sqrt { \frac { \left| z \right| -a }{ 2 } } \right) \) [இங்கு \(\left| z \right| =10,a=-6,b=8\)]
\(\sqrt { -6+8i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 10-6 }{ 2 } } +\frac { 8 }{ \left| 8 \right| } \sqrt { \frac { 10+6 }{ 2 } } \right) \)
\(=\pm \left( \sqrt { \frac { 4 }{ 2 } } +i\sqrt { \frac { 16 }{ 2 } } \right) \)
\(=\pm (\sqrt { 2 } +i\sqrt { 8 } )\)
\(=\pm (\sqrt { 2 } +i2\sqrt { 2 } )\)

z = 2i (3 - 4i)(4 - 3i) என்க.
\(\therefore \left| z \right| =\left| 2i(3-4i)(4-3i) \right| \)
\(\left| z \right| =\left| 2i \right| \left| 3-4i \right| \left| 4-3i \right| \)
= \(\sqrt { { 2 }^{ 2 } } \sqrt { { 3 }^{ 2 }+(-{ 4 })^{ 2 } } \sqrt { { 4 }^{ 2 }+(-{ 3) }^{ 2 } } \)
= \(2.\sqrt { 9+16 } \sqrt { 16+9 } =2.\sqrt { 25 } .\sqrt { 25 } \)
= 2 (5) (5) = 50.

\(z={ (1-i) }^{ 10 }\) என்க
\(\left| z \right| ={ \left| 1-i \right| }^{ 10 }={ \left[ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+({ -1) }^{ 2 } } \right] }^{ 10 }\)
\(={ \left[ \sqrt { 2 } \right] }^{ 10 }={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 } \times 10 }={ 2 }^{ 5 }=32\)

\(z=\frac { 2-i }{ 1+i } +\frac { 1-2i }{ 1-i } \) என்க.
\(=\frac { (2-i)(1-i)+(1-2i)(1+i) }{ (1+i)(1-i) } \)
\(=\frac { 2-2i-i+{ i }^{ 2 }+1+i-2i-{ 2i }^{ 2 } }{ { 1 }^{ 2 }-{ i }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 2-3i-1+1-i+2 }{ 2 } =\frac { 4-4i }{ 2 } \)
\(=\frac { 2(2-2i) }{ 2 } =2-2i\)
\(\therefore \left| z \right| =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-{ 2 })^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } =\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)

z = x + iy என்க. இங்கு x என்பது Re (z) மற்றும் y என்பது Im (z).
பிறகு \(\bar { z } \) = x - iy
z  + \(\bar { z } \) = x + iy + x - iy = 2x
\(\therefore \frac { z+\bar { z } }{ 2 } =x\)
\( \frac { z+\bar { z } }{ 2 } =Re(z)\)
மேலும் z- z = x + iy-(x-iy)
= x + iy - x + iy = 2iy
\(\frac { z-\bar { z } }{ 2i } =y\)
\(\therefore \frac { z-\bar { z } }{ 2i } =Im(z)\)

Im(3z + 4\(\bar { z } \) - 4i)
= Im (3(x + iy) + 4 (x - iy) - 4i)
= Im (3x + i3y + 4x - i4y - 4i)
= Im (3x + 4x + i (3y - 4y - 4)
= 7x + iy - 4i
= Im (7x + i (- y - 4))
∴ கற்பனை பகுதி என்பது - y - 4

\(\begin{array}{r} i \bar{z}=\mathrm{i}(x-\mathrm{iy}) \end{array}\)=ix - i²y = ix + y = y + ix
\(\begin{array}{r} \operatorname{Re}(i \bar{z}) \end{array}\)= y

\(\bar { 3i } +\frac { 1 }{ 2-i } \)\(=\frac { 60-20i-30i+10{ i }^{ 2 } }{ { 6 }^{ 2 }-({ 2i) }^{ 2 } } =\frac { 60-50i-10 }{ 36+4 } \)  \([\because \) 3i ன் இணை கலப்பெண் -3i]
= \(3i+\frac { 2+1 }{ { 2 }^{ 2 }-{ i }^{ 2 } } =-3i+\frac { 2+i }{ 4+1 } =-3i+\frac { 2+i }{ 5 } \)
\(\frac { -15i+2+1 }{ 5 } =\frac { -14i+2 }{ 5 } =\frac { 2 }{ 5 } -\frac { 14i }{ 5 } \)
\(=\frac { 2 }{ 5 } +i\left( \frac { -14 }{ 5 } \right) \)

\(\frac { 10-5i }{ 6+2i } =\frac { 10-5i }{ 6+2i } \times \frac { 6-2i }{ 6-2i } \)
[தொகுதி மற்றும் பகுதிகளை பகுதியிலுள்ள கலப்பெண்ணால் பெருக்க]
\(=\frac { 60-20i-30i+10{ i }^{ 2 } }{ { 6 }^{ 2 }-({ 2i) }^{ 2 } } =\frac { 60-50i-10 }{ 36+4 } \)
\(=\frac { 50-50i }{ 40 } =\frac { 50(1-i) }{ 40 } =\frac { 5 }{ 4 } (1-i)\) 

= [(5 -2i) + (-1 + 3i)]² = (4 + i)²
= 16 +i² + 8i = 16 -1 + 8i
= 15 + 8i

= (5 - 2i)² + 2 (5 - 2i) ( -1 + 3i) + (-1 + 3i)²
= 25 + 4i² -20i + 2[-5 + 15i + 2i -6i²] + 1+ 9i²-6i
= 25 -4 -20i + 2 (-5 + 17i + 6) + 1 -9-6i [∵ 2=-1]
= 21 -20i + 2 (1 + 17i) -8-6i
= 21 -20i + 2 + 34i -8 -6i = 15 + 8i

= (5 - 2i)(-1 + 3i)
= -5 + 15i + 2i - 6i²
=-5+ 17i-6(-1)
= -5 + 17i + 6 = 1 + 17i

= (5 - 2i) -i (-1 + 3i)
= (5 - 2i) + (+i - 3i²) (∵ i² = -1)
= 5 -2i + i -3 (-1) = 5 -i + 3 = 8-i

\(2+i2\sqrt { 3 } \)
\(2+i2\sqrt { 3 } \) = \(x+iy=r(cos\theta +isin\theta )\) என்க.
r = எண் மதிப்பு = \(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(2{ \sqrt { 3 } ) }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 4+12 } =\sqrt { 16 } =4\)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { 2\sqrt { 3 } }{ 2 } \right| \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \sqrt { 3 } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \) 
\(2+i2\sqrt { 3 } \) என்ற கலப்பெண் முதலாம் கால்பகுதியில் அமைவதால் [x, y இரண்டும் மிகை அதன் முதன்மை வீச்சு
\(\theta =\alpha =\frac { \pi }{ 3 } \)
∴ அதன் துருவ வடிவம் \(2+i2\sqrt { 3 } \)
\(=4\left[ cos\left( 2k\pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right] \) k ∈ Z

 \(\sqrt3\) + i
மட்டு = \(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { (\sqrt { 3 } ) }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 3+1 } \) = 2
\(\alpha ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| { =\tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\sqrt3\) + i என்ற கலப்பெண்ணானது முதல் கால் பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு
θ = α = \(\frac { \pi }{ 6 } \)
ஆகவே \(\sqrt3\) + i ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் \(\frac { \pi }{ 6 } \) ஆகும்.

|z - 4| = 16
கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
|z - 4| = 16
\(\Rightarrow \left| x+iy-4 \right| =16\)
\(\Rightarrow \left| (x-4)+iy \right| =16\)
\(\Rightarrow \sqrt { { (x-4) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =16\)
\(\Rightarrow { (x-4) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }={ 16 }^{ 2 }\) [இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த]
⇒ x² - 8x + 16 + y² = 256
⇒ x² - 8x + y²+ 16 - 256 = 0
⇒ x² - 8x + y² - 240 = 0 என்பது தேவையான கார்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது: z = x + iy
iz = i (x + iy)
= ix - y = -y + ix
கொடுக்கப்பட்டது: [Re(iz)]² = 3
(-y)² = 3 \(\Rightarrow\) y² = 3

கொடுக்கப்பட்டது: z = x + iy
கருதுக \(\left|\frac{z-4 i}{z+4 i}\right|=1 \Rightarrow\left|\frac{x+i y-4 i}{x+i y+4 i}\right|=1\)
\(\begin{aligned} & \Rightarrow\left|\frac{x+i(y-4)}{x+i(y+4)}\right|=1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \Rightarrow \frac{\sqrt{x^2+(y-4)^2}}{\sqrt{x^2+(y+4)^2}}=1 \end{aligned}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-4)^2}=\sqrt{x^2+(y+4)^2}\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,
x² + (y - 4)² = x² + (y + 4)²

\(\Rightarrow\)   8y + 8y = 0
\(\Rightarrow\)   16y = 0
\(\Rightarrow\)     y = 0     [\(\because\) 16 \(\neq\) 0]
y = 0 என்பது மெய் அச்சின் சமன்பாடு
\(\therefore\) z - ன் நியமப்பாதை மெய் அச்சு ஆகும்.

\(z=\left| 4+3i \right| \) என்க.
\(=\sqrt { { 4 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 16+9 } =\sqrt { 25 } =5\)
\(\sqrt { a+ib } =\pm \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { b }{ \left| b \right| } \sqrt { \frac { \left| z \right| -a }{ 2 } } \) [இங்கு \(\left| z \right| =5,a=4,b=3\)]
\(\sqrt { 4+3i } =\pm \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { 3 }{ \left| 3 \right| } \sqrt { \frac { 5-4 }{ 2 } } \)
\(=\pm \sqrt { \frac { 9 }{ 2 } } +i\frac { 3 }{ 3 } \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } \)
\(=\pm \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } +i.\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

\(7\le \left|z +6-8i \right| \le 13\) எனக் கொடுக்கப்பட்டது 
\(\left| z+6-8i \right| \le \left| z \right| +\left| 6-8i \right| \) [முக்கோணச் சமனிலி]
\(\le 3\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-8) }^{ 2 } } \le 3+\sqrt { 36+64 } \le 3\sqrt { 1w } \)
\(\left| z+6-8i \right| \le 3+10\le 13\) ...(1)
மேலும் \(\left| z+6-8i \right| \ge \left| z \right| -\left| 6-8i \right| \ge \left| 3\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-8) }^{ 2 } } \right| \)
\(\ge \left| 3-\sqrt { 36+84 } \right| \ge \left| 3-10 \right| \ge \left| -7 \right| \ge 7\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து கிடைப்பது,
\(7\le \left| z+6-8i \right| \le 13\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

z = \(\frac { 2i }{ 3+4i } \) என்க
\(\left| z \right| =\left| \frac { 2i }{ 3+4i } \right| =\frac { \left| 2i \right| }{ \left| 3+4i \right| } =\frac { \sqrt { { 2 }^{ 2 } } }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 9+16 } } \)
\(=\frac { 2 }{ \sqrt { 25 } } =\frac { 2 }{ 5 } \)

\(\left| 6-8i \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+({ -8) }^{ 2 } } =10\) மற்றும் வர்க்கமூலம் காண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\sqrt { 6-8i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 10+6 }{ 2 } } -i\sqrt { \frac { 10-6 }{ 2 } } \right) \) \((\because \) b குறை, \(\frac { b }{ \left| b \right| } =-1\))
 \(=\pm (\sqrt { 8 } -i\sqrt { 2 } )\)
\(=\pm (2\sqrt { 2 } -i\sqrt { 2 } )\).

கொள்கை z² = \(\bar { z } \).
⇒ \({ \bar { \left| z \right| } }^{ 2 }=\left| z \right| \)
⇒  \(\left| z \right| (\left| z \right| -1)\) = 0
⇒ \(\left| z \right| \) = 0, அல்லது \(\left| z \right| \) = 1
\(\left| z \right| \) = 0 ⇒ z = 0 என்பது ஒரு தீர்வு \(\left| z \right| \) = 1 ⇒ z\(\bar { z } \) = 1 ⇒ \(\bar { z } \) = \(\frac12\)
கொள்கையிலிருந்து z² = \(\bar { z } \) ⇒ \({ z }^{ 2 }=\frac 1z \) ⇒ z³ = 1
இதற்கு 3 பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள் இருக்கும். ஆகவே பூஜ்ஜியத்தையும் சேர்த்து இதற்கு நான்கு தீர்வுகள் இருக்கும்.

\(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 3 } \right|\) = 1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, \({ \left| { z }_{ 1 } \right| }^{ 2 }=1\Rightarrow { z }_{ 1 }\bar { { z }_{ 1 } } =1,{ \left| { z }_{ 2 } \right| }^{ 2 }=1\Rightarrow { z }_{ 2 }\bar { { z }_{ 2 } } =1\),  மற்றும் \({ \left| { z }_{ 3 } \right| }^{ 3 }=1\Rightarrow { z }_{ 3 }\bar { { z }_{ 3 } } =1\)
 ஆகவே, \(\bar { { z }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } ,\bar { { z }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } \), மற்றும் \(\bar { { z }_{ 3 } } =\frac { 1 }{ { z }_{ 3 } } \)
மேலும், \(\left| \frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 3 } } \right| =\left| \bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } +\bar { { z }_{ 3 } } \right| \) 
\(=\left| \overline { { { z }_{ 1 } } +{ { z }_{ 2 } } + { { z }_{ 3 } } }\right| =\left| { { z }_{ 1 } } + { { z }_{ 2 } } + { { z }_{ 3 } } \right| \) = 1

z = i, -2 + i,  மற்றும் 3 ஆகியவற்றிற்கும் ஆதிக்கும் உள்ள தொலைவுகள்
\(\left| z \right| =\left| i \right| =1\)
\(\left| z \right| =\left| -2+i \right| =\sqrt { { (-2) }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 5 } \)
\(\left| z \right| =\left| 3 \right| =3\) ஆகும்.
1 < \(\sqrt { 5 } \) < 3 எனவே, ஆதியிலிருந்து அதிக தொலைவில் உள்ள கலப்பெண் 3 ஆகும்.

\(z={ (\sqrt { 3 } +i) }^{ n }\) என்க.
\(z={ (\sqrt { 3 } +i) }^{ n }={ \left[ 2\left( \frac { \sqrt { 3 } +i }{ 2 } \right) \right] }^{ n }\)
\(={ 2 }^{ n }{ \left[ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right] }^{ n }\) [2 ஆல் பெருக்கி வகுக்க]
\(={ 2 }^{ n }{ \left[ cos\frac { \pi }{ 6 } +i \ sin\frac { \pi }{ 6 } \right] }^{ n }\)
\(={ 2 }^{ n }\left[ cos \ n\frac { \pi }{ 6 } +i\ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)  ...(1)
\(\bar { z } ={ 2 }^{ n }\left[ cos \ n\frac { \pi }{ 6 } -i \ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \) ...(2)
ஆதலால் z என்பது மெய், z = \(\bar { z } \)
⇒ \({ 2 }^{ n }\left[ cos\ n\frac { \pi }{ 6 } +isin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
= \({ 2 }^{ n }\left[ cos\ n\frac { \pi }{ 6 } -i \ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)[(1) மற்றும் (2) லிருந்து]
\(\Rightarrow 2i \ sin\ n\frac { \pi }{ 6 } =0\Rightarrow sin \ n\frac { \pi }{ 6 } =0\)
\(\Rightarrow sin \ n\frac { \pi }{ 6 } =sin \ \pi \)
\(\Rightarrow \frac { n\pi }{ 6 } =\pi \Rightarrow \frac { n }{ 6 } =1\Rightarrow n=6\)

z ஒரு மெய் எண் என இருந்தால், மட்டுமே \(z=\bar { z } \)
z = x + iy என்க.
பிறகு \(\bar { z } \) = x- iy
z = \(\bar { z } \) 
⇔ x + iy = x-iy
⇔ x + iy - x + iy = 0
⇔ 2iy = 0
⇔ y = 0
[∵ 2 மற்றும் i மாறிலிகள்]
y = 0, எனில் z = x இது மெய்
∴ z முழுவதும் மெய் ⇔ \(z=\bar { z } \)

கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 2 - i மற்றும் z₂ = - 4 + 3i
z₁ z₂ = (2 + i)(- 4 + 3i)
= - 8 + 6i + 4i - 3i²
= -8 + 10i - 3(-1)
= -8 + 10i + 3 = - 5 + 10i
z₁ z₂ -ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \)
= \(\frac { 1 }{ -5+10i } \times \frac { -5-10i }{ -5-10i } \)
= \(\frac { -5-10i }{ { (-5) }^{ 2 }-({ 10i })^{ 2 } } \)
= \(\frac { -5-10i }{ { 25-{ 100i }^{ 2 } } } \)
= \(\frac { -5-10i }{ 25+100 } \)  [∵ i²=1]

∴ z₁z₂ - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ 25 } (-1-2i)\)
\(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \) - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } } =\frac { { z }_{ 2 } }{ { z }_{ 1 } } \)
∴ நேர்மாறு \(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } =\frac { { z }_{ 2 } }{ { z }_{ 1 } } =\frac { -4+3i }{ 2-i } \times \frac { 2+i }{ 2+i } \)
\(=\frac { -4+3i }{ 2-i } \times \frac { 2+i }{ 2+i } \)
\(=\frac { -8-4i+6i+{ 3 }i^{ 2 } }{ { 2 }^{ 2 }-{ (i }^{ 2 }) } \)
\(=\frac { -8+2i-3 }{ 4+1 } =\frac { -11+2i }{ 5 } =\frac { 1 }{ 5 } (-11+2i)\)
∴ \(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \) - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ 5 } (-11+2i)\)

Re\(\left( \frac { 1 }{ z } \right) = \left( \frac { 1 }{ x+iy } \right) \times \frac { x-iy }{ x^2+y^ 2 }\)
\(=Re\left( \frac { 1 }{ x+iy } \right) +Re\left( \frac { 1 }{ x+iy } \times \frac { x-iy }{ x-iy } \right) \)
\(=Re\left( \frac { x-iy }{ { x }^{ 2 }-({ i }^{ 2 }{ y }^{ 2 }) } \right) =Re\left( \frac { x-iy }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) \)
Re\(\left( \frac { 1 }{ z } \right) = \frac { x }{ x^2+y^ 2 }\)

\(\overline { (5+9i)+(2-4i) } \)
= \(\overline { (5+2)+(9i-4i) } =\overline { 7+5i } =7-5i\)
\([\because \) 7 + 5i - ன் இணை கலப்பெண் 7 - 5i]

z = (2 +3i)(1 - i) = (2 + 3)+ (3 - 2)i = 5 + i
⇒ z⁻¹ = \(\frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ 5+i } \)
தொகுதி மற்றும் பகுதியை பகுதியின் இணை எண்ணால் பெருக்க
z⁻¹ = \(\frac { (5-i) }{ (5+i)(5-i) } =\frac { 5-i }{ { 5 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 26 } -i\frac { 1 }{ 26 } \)
⇒ z⁻¹ = \(\frac { 5 }{ 26 } -i\frac { 1 }{ 26 } \)

z + w
= (5 - 2i) + (-1 + 3i)
= (5 -1) + i (-2 + 3)
=4 + i(1)
= 4 + i

i¹⁺⁵⁰ + i²⁺⁵⁰ + ... + i¹⁰⁺⁵⁰
= i⁵¹ + i⁵² + ..... + i⁶⁰
i⁵⁰ ஐ பொதுவாக எடுக்க கிடைப்பது.
i⁵⁰[(i + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i + i⁸) + i⁹ + i¹⁰]
= i⁵⁰ [0 + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + i⁴⁺⁴) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺²)]
= i⁵⁰ [0 + 0 + i + i²] [∵ i + i² + i³ + i⁴ = 0]
= i⁵⁰ [i - 1] = i⁴⁸⁺²(i-1)
= i²(i-1) [∵ i⁴⁸ = 1]
= -1 (i-1) = -i + 1 = 1 - i

= i . i ²i³ ...... i²⁰⁰⁰ = i^{1+2+3+ +2000}
= \({ i }^{ \frac { 2000\times 2001 }{ 2 } }[∵ 1+2+3+...n=\frac { n(n+1) }{ 2 } ]\)
= i^1000x2001 = i^2001000 = 1
[ \(\because\) 2001000 என்பது 4 ஆல் வகுப்படும் அதன் கடைசி இரண்டு எண்களும் 4 ஆல் வகுப்படும்]

\({ i }^{ 59 }+\frac { 1 }{ { i }^{ 59 } } = (-i) + \frac {1}{-i}\)
i^4x14+3 + i^-(4x14+3)
= (ⁱ⁴)¹⁴ . i³ + (i⁴)^-14 . i^-3
= 1. i³ + 1.i^-3 [∵ i⁴ = 1]
=-i+ i =0  [∵ i³ = -i மற்றும் i^-3 = i]

\(\sum _{ n=1 }^{ 12 }{ { i }^{ n } } \) = (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i-⁶+ i⁷ + i⁸) + (i⁹ + i¹⁰ + i¹¹ + i¹²)
= (i - 1-i + 1) + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + (i⁴)²) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺² + i⁸⁺³ + (i⁴)³)
= 0 + (i +i² + i³ +i⁴) + (i¹ + i² + i³ + i⁴) [∵ i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1]
= 0 + (i -1 -i + 1) + (i -1 -i + 1)
=0+0+0=0

= (i⁴)⁴⁸⁷ _ [i^-1868 . i^-1]
= i¹⁴⁸⁷ - \([{ (i }^{ 4 }).\frac { 1 }{ i } ][{ i }^{ 4 }=1]\)
= 1-[1.(-i) [∵ i-1 = \(\frac { 1 }{ i } \) = -i] [1 -ன் அடுக்கும் 1 ஆகும்]
= 1 + i

i¹⁹⁴⁷ + i¹⁹⁵⁰ = i¹⁹⁴⁴. i³ + i¹⁹⁴⁸. i² 
[ ∵ என்பது 4 -ன் பெருக்கல், 1948 என்பது மேலும் 4-ன் பெருக்கல்]
= (i⁴)⁴⁸⁶ . i² . i¹ + (i⁴)⁴⁸⁷ . i²  [i⁴ = 1]
= (i¹⁴⁸⁶) (-1) (i) + (1)⁴⁸⁷ (-1) [i²  = -1]
= -i - 1 = -1 -i

\({ \left( -\sqrt { 3 } +3i \right) }^{ 31 }\)
\(-\sqrt { 3 } +3i\) = r(cos θ + isin θ) என்க.
r = \(\sqrt { { (-\sqrt { 3 } ) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { 3 }{ -\sqrt { 3 } } \right| ={ tan }^{ -1 }\sqrt { 3 } =\frac { \pi }{ 3 } \)
θ = π - a = π - \(\frac { \pi }{ 3 } =\frac { 2\pi }{ 3 } \) (∵ \(-\sqrt { 3 } +3i \) ஆனது II-ஆம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்)
ஆகவே, \(-\sqrt { 3 } +3i \) = \(2\sqrt { 3 } \) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
இருபுறமும் 31-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
\({ (-\sqrt { 3 } +3i) }^{ 31 }={ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) ^{31}\)
=\({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\left( 20\pi +\frac {2 \pi }{ 3 } \right) +isin\left( 20\pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac {2 \pi }{ 3 } \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( -cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) \) = \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( -\frac { 1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)

LHS = (1 + ω)(1 + ω2)(1 + ω4)(1 + ω8) ...(1 + \({ { \omega }^{ 2 } }^{ 11 }\))
= (1 + ω20)6(1 + ω21)(1 + ω22)(1 + ω23) ...(1 + \({ { \omega }^{ 2 } }^{ 11 }\))
[∵  ω4 =  ω3. ω ω8 =  ω6. ω2]
12 உறுப்புகள் உள்ளன.
= (1 + ω)(1 + ω2)(1 + ω)(1 + ω21) .... 12 உறுப்புகள்
= (1 + ω)6(1 + ω2)6(-ω)6(-ω2)6
=(ω3)6 = 1.1 ....6 = 1 RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(\frac { 19-7i }{ 9+i } =\frac { 19-7i }{ 9+i } \times \frac { 9-i }{ 9-i } \)
\(=\frac { 171-19i-63i+{ 7i }^{ 2 } }{ { (9) }^{ 2 }-{ i }^{ 2 } } =\frac { 171-82i-7 }{ 81+1 } \)
\(=\frac { 164-82i }{ 82 } =\frac { 82(2-i) }{ 82 } =2-i\)
மேலும் \(\frac { 20-5i }{ 7-6i } =\frac { 20-5i }{ 7-6i } \times \frac { 7+6i }{ 7+6i } \)
\(=\frac { 140+85i+30 }{ 49+36 } =\frac { 170+85i }{ 85 } \)
\(=\frac { 140-120i-35i+{ 30i }^{ 2 } }{ { 7 }^{ 2 }-{6 i }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 140+85i+30 }{ 49+36 } =\frac { 170+85i }{ 85 } \)
 = 2 + i
\(\therefore { \left( \frac { 19-7i }{ 9+i } \right) }^{ 12 }+{ \left( \frac { 20-5i }{ 7-6i } \right) }^{ 12 }={ (2-i) }^{ 12 }+({ 2+i) }^{ 12 }\)
\(z={ (2-i) }^{ 12 }+(2+{ i })^{ 12 }\)
\(\therefore \overline { z } =\overline { { (2-i) }^{ 12 }+{ (2+i) }^{ 12 } } =\overline { (2-{ i) }^{ 12 } } +\overline { (2+{ i })^{ 12 } } [\because \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { z }_{ 2 } } ]\)
= \({ (2-i) }^{ 12 }+(2+{ i })^{ 12 }\) = z
\(\therefore \overline { z } =z\) \(\Rightarrow \) z முழுவதும் மெய்
\(\therefore { \left( \frac { 19-7i }{ 9+i } \right) }^{ 12 }+{ \left( \frac { 20-5i }{ 7-6i } \right) }^{ 12 }\) என்பது மெய்.

|z| = 2 என்பது (0, 0) -வை மையமாகவும். 2 ஐ ஆரமாகவும் கொண்ட வட்டத்தைக் குறிக்கும். A, B, மற்றும் C ஆகியவை முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள் என்க. z₁, z₂, மற்றும் z₃ ஆகியவை |z| = 2 என்ற வட்டத்தின் மீதமைந்த சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிப்புள்ளிகள். எனவே, AB, BC, மற்றும் CA என்ற பக்கங்கள் ஆதியை பொருத்து (முக்கோணத்தின் சுற்று வட்ட மையம்) \(\frac { 2\pi }{ 3 } \)ரேடியன்கள் (120°) கோண இடைவெளி விட்டு அமையும். (ze^iθ என்பது z-ஐ ஆதியைப் பொருத்து θ கோணம் கடிகார எதிர்திசையில் சுற்றுவது ஆகும்).
ஆகவே, z₁-ஐ முறையே \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) மற்றும் \(\frac { 4\pi }{ 3 } \) கோணங்கள் சுற்றுவதால் z₂ மற்றும் z₃ ஆகியவற்றை பெறலாம்.

\(\overline { OA } \) = z₁  = 1 + i\(\sqrt { 3 } \) என்க.
\(\overline { OB } \) = z₁\({ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } }(1+i\sqrt { 3 } ){ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } }\)
= \((1+i\sqrt { 3 } )\left( cos\frac { 2\pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
= \((1+i\sqrt { 3 } )\left( -\frac { 1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) = -2
\(\overline { OC } \) = z₁\({ e }^{ i\frac { 4\pi }{ 3 } }\) = z₂\({ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } }\) = -2\({ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } }\)
=\(-2\left( cos\frac { 2\pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
= -2\(\left( -\frac { 1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) = \(1-i\sqrt { 3 } \)
ஆகவே, z₂ = -2 மற்றும் z₃ =\(1-i\sqrt { 3 } \)

z³ +8i = 0 என்க.
⇒ z³ = -8i
= 8(-i) = 8\(\left( cos\left( -\frac { \pi }{ 2 } +2k\pi \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 2 } +2k\pi \right) \right) \), k \(∈\) Z எனவே,
z = \(\sqrt [ 3 ]{ 8 } \left( cos\left( \frac { -\pi +4k\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { -\pi +4k\pi }{ 6 } \right) \right) \), k = 0,1,2.
k = 0, 1, 2 எனப் பிரதியிட
k = 0, z = 2\((cos\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) )=2\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -i\frac { 1 }{ 2 } \right) \) = \(\sqrt { 3 } \) - i
k=1, z = \(2\left( cos\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) \right) \) = 2 = 2(0 + i) = 0 + 2i = 2i
k = 2, z = \(2\left( cos\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) \right) \) = \(2\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
= \(2\left( -cos\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \) = \(2\left( -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -i\frac { 1 }{ 2 } \right) \)  = \(-\sqrt { 3 } \) - i 
z-ன் மதிப்புகள் = \(\sqrt { 3 } \) - i , 2i, மற்றும் -\(\sqrt { 3 } \) - i

நாம் \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\) ஐ காண வேண்டும். z = \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\) எனில் z⁴ = 1 ஆகும்.
z⁴ = 1  என்ற சமன்பாட்டை துருவ வடிவில் எழுத,
z = cos (0 + 2kㅠ) + isin (0 + 2kㅠ) = e^i2kㅠ, k = 0,1,2,.....
எனவே, z = \(cos\left( \frac { 2k\pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { 2k\pi }{ 4 } \right) ={ e }^{ i\frac { 2k\pi }{ 4 } }\) k = 0,1,2,3
k = 0,1,2,3 எனப்பிரதியிட
k = 0, z = cos0 + isin0=1
k = 1, \(z = cos\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) =i\),
k = 2, z = cosㅠ + isinㅠ = -1
k=3, z = \(cos\frac { 3\pi }{ 2 } +isin\frac { 3\pi }{ 2 } \) = - \(cos\frac { \pi }{ 2 } -isin\frac { \pi }{ 2 } =-i\)
ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்கள் 1, i, -1, -i ⇒ 1, ω, ω²மற்றும் ω³ இங்கு \(ω ={ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 4 } }=i\)

நாம் \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) ஐ காணவேண்டும் z = \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) எனில, z³ = 1 ஆகும்.
z³= 1 என்ற சமன்பாட்டை துருவ வடிவில் எழுத
z³ = cos(0 + 2kπ) + isin(0 + 2kπ) = e^i2kπ, k = 0,1,2...,
எனவே, z \(=cos\left( \frac { 2k\pi }{ 3 } \right) +isin\left( \frac { 2k\pi }{ 3 } \right) ={ e }^{ i\frac { 2k\pi }{ 3 } }\),  k = 0,1,2.
k=0,1,2, எனப்பிரதியிட
k=0, z =cos 0 + i sin 0 = 1
k=1, \(z=cos\frac { 2\pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } =cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) \)
\(=-cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } =-\frac { 1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
k=2, z \(=cos\frac { 4\pi }{ 3 } +isin\frac { 4\pi }{ 3 } =cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \)
\(=-cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } =-\frac { 1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
ஆகவே, ஒன்றின் மூன்றாம் படிமூலங்கள்
1, \(\frac { -i+i\sqrt { 3 } }{ 2 } ,\frac { -1-i\sqrt { 3 } }{ 2 } \Rightarrow 1,\omega \), மற்றும் \({ \omega }^{ 2 }\), இங்கு \(\omega ={ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } }\)=\(\frac { -i+i\sqrt { 3 } }{ 2 } \)

(1 + i)¹⁸
1 + i = r (cos θ + isin θ) என்க.
r = \(\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } ;\alpha ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 1 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\theta =\alpha =\frac { \pi }{ 4 } \)  (\(\because \) 1+i ஆனது முதலாம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்)
ஆகவே, 1+ i = \(\sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
இருபுறமும் 18-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
(1 + i)¹⁸ = \({ \left[ \sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ 18 }\)\(= { \left[ \sqrt { 2 } ^{ 18 }\left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \right]^{18}} \)
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
(1 + i)¹⁸ = \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\frac { 18\pi }{ 4 } +isin\frac { 18\pi }{ 4 } \right) \)
= \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\left( 4\pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( 4\pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) \right) \) = \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\frac { \pi }{ 2 } +isin\frac { \pi }{ 2 } \right) \)
(1 + i)¹⁸ = 2⁹(i) = 512i

\(z={ (-1) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\) என்க.
\(z={ (cos\pi +isin\pi ) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\)
[∵ cosπ = -1 மற்றும் sin π = 0]
\(\Rightarrow z=cos\frac { 1 }{ 4 } (2k\pi +\pi )+isin\frac { 1 }{ 4 } (2k\pi +\pi )\)
k = 0, 1, 2, 3
k = 0 எனில்
\(z=cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1+i)\)
k = 1 எனில்
\(z=cos\frac { 3\pi }{ 4 } +isin\frac { 3\pi }{ 4 } =cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
\(=-cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵ \(\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \) II -ம் கால்பகுதியில் அமைகிறது cos θ குறை மற்றும் sin θ மிகை]
\(=-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1+i)\)
k = 2 எனில்
\(z=cos5\frac { \pi }{ 4 } +isin5\frac { \pi }{ 4 } \)
\(=cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= -\(cos\frac { \pi }{ 4 } -isin\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵ \(\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \) III - கால்பகுதியில் அமைகிறது இங்கு cos θ மற்றும் sin θ குறை]
= - \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1-i)\)
k = 3 எனில்
\(z=cos7\frac { \pi }{ 4 } +isin7\frac { \pi }{ 4 } \)
\(=cos\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) -isin2\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= \(cos\frac { \pi }{ 4 } -isin\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵\(\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \) IV  -ம் கால்பகுதியில் அமைகிறது இங்கு cos θ மிகை மற்றும் sin θ குறை]
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1-i)\)
எனவே நான்கு மூலங்கள்
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1+i),\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1+i),\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1-i),\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1-i)\)
∵ மூலங்கள் \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1\pm i)\)

LHS = (1 - ω + ω²)⁶ + (1 + ω - ω²)⁶ 
=(1 - ω + ω²)⁶ + (- ω - ω²)⁶ [∵ 1 +  ω + ω²=0]
⇒ 1 + ω = -ω²
1 + ω = -ω
= (-ω - ω)⁶ + (-2ω²)⁶
=(-2ω)⁶+(-2 ω²)⁶
=2⁶.ω⁶ + 2⁶. ω¹²
=2⁶[(ω³)² + (ω³)⁴]
=2⁶[1+1] [∵ ω³ = 1]
= 2⁶ x 2¹= 2⁷ = 128 = RHS

கொடுக்கப்பட்டது (z -1)3 = - 8 = - 1 x 2³
⇒ z-1 = \({ (-1) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) x 2
⇒ z-1 =2 [cos π + sin π]^\(\frac13\)
z-1 = 2
[cos \(\frac13\) (2kπ + π) + i sin \(\frac13\) (2kπ + π)], k = 0,1,2
k = 0 எனில்,
\(z-1=2\left[ cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right] \)
\(=2\left[ \frac { 1 }{ 2 } +\frac { i\sqrt { 3 } }{ 2 } \right] =1+i\sqrt { 3 } c\)
\(=-2{ \omega }^{ 2 }\) ...(1)
[\(\because { \omega }^{ 2 }=\left[ \frac { -1i-\sqrt { 3 } }{ 2 } \right] \Rightarrow 2{ \omega }^{ 2 }=-1-i\sqrt { 3 } \)
\(\Rightarrow { -2\omega }^{ 2 }=1+i\sqrt { 3 } \)
\(\Rightarrow z=1-2{ \omega }^{ 2 }\) ....(2)
k =1 எனில் \(z-1=2=2\left[ cos\frac { 3\pi }{ 3 } +isin\frac { 3\pi }{ 3 } \right] \)
= \(2[cos\pi +isin\pi ]=-2\)....(2)
⇒z = -2+1= -1
\(z-1=2\left[ cos\frac { 5\pi }{ 3 } +isin\frac { 5\pi }{ 3 } \right] \)
\(=2\left[ cos\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right] \)
\(2\left[ cos\frac { \pi }{ 3 } -isin\frac { \pi }{ 3 } \right] =2\left[ \frac { 1 }{ 2 } -\frac { i\sqrt { 3 } }{ 2 } \right] \)
\(=1-i\sqrt { 3 } =-2\omega \)
[\(\because \omega =\frac { -1+i\sqrt { 3 } }{ 2 } \Rightarrow 2\omega =-1+i\sqrt { 3 } \)
⇒ -2ω = 1-i\(\sqrt { 3 } \)
⇒ z = -2ω ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து, மூலங்கள் -1, 1 -2ω² மற்றும் 1 - 2ω² ஆகும்.

LHS = \(​​​​​​\left[ \frac { 1+sin\frac { \pi }{ 10 } +icos\frac { \pi }{ 10 } }{ 1+sin\frac { \pi }{ 10 } -icos\frac { \pi }{ 10 } } \right] ^{10}\)
\(=\left(\frac{1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10}\right)}{1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10}\right)-i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10}\right)}\right)^ {10} \)
\(=\left(\frac{1+\cos \frac{2 \pi}{5}+i \sin \frac{2 \pi}{5}}{1+\cos \frac{2 \pi}{5}-i \sin \frac{2 \pi}{5}}\right)^{10}\)
\(=\left(\frac{2 \cos ^2\left(\frac{2 \pi / 5}{2}\right)+i 2 \sin \frac{2 \pi / 5}{2} \cdot \cos \frac{2 \pi / 5}{2}}{2 \cos ^2 \frac{2 \pi / 5}{2}-i 2 \sin \frac{2 \pi / 5}{2}, \cos \frac{2 \pi / 5}{2}}\right)^{10} \)
\(=\left(\frac{\cos \frac{\pi}{5}+i \sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}-i \sin \frac{\pi}{5}}\right)^{10}=\left(\frac{\cos \frac{\pi}{5}+i \sin \frac{\pi}{5}}{\cos \left(\frac{-\pi}{5}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{5}\right)}\right)^{10} \)
\(=\left(\cos \left(\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{5}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{5}\right)\right)^{10} \)
\(=\left(\cos \frac{2 \pi}{5}+i \sin \frac{2 \pi}{5}\right)^{10} \)
\(=\cos 10\left(\frac{2 \pi}{5}\right)+i \sin 10\left(\frac{2 \pi}{5}\right) \)
[டி மாய்வரின் தேற்றம்]
\(=\cos 4 \pi+i \sin 4 \pi=1+i(0)=1 \)

கொடுக்கப்பட்ட z = x + iy
\(\left( \frac { z-i }{ z+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow arg(z-i)-arg(z+2)=\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ arg (x + iy - i) - arg(x + iy + 2) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ arg (x + iy- 1) - arg(x + 2) + iy) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { \tan }^{ -1 }\left( \frac { y-1 }{ x } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { y }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { y-1 }{ x } -\frac { y }{ x+2 } }{ 1+\frac { y-1 }{ x } .\frac { y }{ x+2 } } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\([\because { tan }^{ -1 }x-{ tan }^{ -1 }y={ tan }^{ -1 }\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) ]\)

\(\Rightarrow \frac { (x+2)(y-1)-xy }{ x(x+2)+y(y-1) } =1\)
⇒ x + 2y - 2 = x² + 2x + y² - y
⇒ x²+ 2x + y - y + x - 2y + 2 = 0
⇒ x² + y² + 3x - 3y + 2 = 0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

(i) cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎) 
கொடுக்கப்பட்ட cos α + cos β + cos ⋎ = sin α + sin β + sin ⋎ = 0 
ஃ (cos α + cos β + cos ⋎) +  (cos α + cos β + cos ⋎)
⇒ (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos ⋎ + i sin ⋎) = 0
⇒ a + b + c = 0 இங்கு a = cos α + i sin α, b = cos β + i sin β, c = cos ⋎ + i sin ⋎
a + b + c = 0 எனில் a³ + b³ + c³ = 3abc.
∴ (cos α+ i sin α)³ + (cos β + i sin β)³ + (cos ⋎ + i sin ⋎)³ = 3[(cos α+ i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos ⋎ + i sin ⋎)]
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
⇒ cos 3α + i sin 3α + cos 3β + i sin 3β + cos 3⋎ + i sin 3⋎
= 3[(cos (α + β + ⋎) i sin (α + β + ⋎)]
⇒ (cos 3α + cos 3β + cos 3⋎) +i [sin 3α + sin 3β + sin 3⋎)]
= 3[(cos (α + β + ⋎) i sin (α + β + ⋎)]
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த கிடைப்பது.
cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎)
மற்றும் sin3 α + sin3 β + sin3 ⋎ = 3 sin (α+ β + ⋎)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

z = x + iy என்க.
அதாவது \(\frac { 1+z }{ 1-z } =cos2\theta +isin2\theta \)
\(\Rightarrow \frac { 1+x+iy }{ 1-x-iy } =cos2\theta +isin2\theta \)  ...(1)
மட்டு மதிப்பு காண கிடைப்பது
\(\left| \frac { 1+x+iy }{ 1-x-iy } \right| =\left| cos2\theta +isin2\theta \right| \Rightarrow \left| \frac { 1+x+iy }{ 1-x-iy } \right| \)
\(=\sqrt { { cos }^{ 2 }2\theta +{ sin }^{ 2 }\theta } =1\)
\(\Rightarrow \left| 1+x+iy \right| =\left| 1-x-iy \right| \)
\(\Rightarrow \sqrt { { (1+x) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { (1-x) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow (1+{ x })^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=(1-{ x) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\)

⇒ 4x = 0 ⇒ x = 0
(1) லிருந்து \(\frac { (1+x)+iy }{ (1-x)-iy } \times \frac { (1-x)+iy }{ (1-x)+iy } =cos2\theta +isin2\theta \)
கற்பனை பகுதியை தனியாக எடுக்க கிடைப்பது.
\(\frac { y(1+x)+y(1+x) }{ { (1+x) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =sin2\theta \)

\(\frac { 2y }{ 1+{ y }^{ 2 } } =sin2\theta \)  [∵ x = 0]
\(\Rightarrow \frac { 2tan\theta }{ 1+{ tan }^{ 2 }\theta } =sin2\theta \)
∴ y ஆனது tan θ ற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
y = \( tan \theta \)
∴ z = 0 + i tan θ ⇒ z = tan θ

\(\frac { 2\left( cos\frac { 9\pi }{ 4 } +isin\frac { 9\pi }{ 4 } \right) }{ 4\left( cos\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) \right) } \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left( \left( cos\frac { 9\pi }{ 4 } -\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) \right) +isin\left(\frac { 9\pi }{ 4 } -\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) \right) \right) \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left( cos\left( \frac { 9\pi }{ 4 } +\frac { 3\pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { 9\pi }{ 4 } +\frac { 3\pi }{ 2 } \right) \right) \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left( cos\left( \frac { 15\pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { 15\pi }{ 4 } \right) \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( cos\left( 4\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( 4\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right) \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left( cos\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -i\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
\(\frac { 2\left( cos\frac { 9\pi }{ 4 } +isin\frac { 9\pi }{ 4 } \right) }{ 4\left( cos\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) \right) } \) = \(​​\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } -i\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 4 } -i\frac { \sqrt { 2 } }{ 4 } \)
இது செவ்வக வடிவில் உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
\(Im\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { 2(x+iy)+1 }{ i(x+iy)+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix+{ i }^{ 2 }y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix-y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+iy }{ (1-y)+ix } \right) =0\)
பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது.
\(Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ (1-y)+ix } \times \frac { (1-y)-ix }{ (1-y)-ix } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy\times (1-y)-ix }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } \right) =0\)
கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac { (2x+1)+(-x)\times 2y(1-y) }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } =0\)
⇒ (2x+ 1)-x+2y(1-y) = 0
⇒ -2x² - x + 2y - 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x - 2y = 0
எனவே z - ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x - 2y = 0

z, iz மற்றும் z + iz ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்டு அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு 50 சதுர அலகுகள்.
z = x + iy
எனில் iz = i ( x + iy) = ix + i²y = - y + ix
z + iz = x + iy - y + ix
= (x - y) + i (x + y)
z,iz மற்றும் z + iz ஆகியவற்றைக்  முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பு A எனில் \(A=\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} x & y & 1 \\ x-y & x+y & 1 \\ -y & x & 1 \end{matrix} \right| \)
\({ R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }-{ R }_{ 3 }\), நமக்கு கிடைப்பது.
\(A=\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} x & y & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ -y & x & 1 \end{matrix} \right| \)
R2 மூலம் விரிவுபடுத்த கிடைப்பது
\(A=\frac { 1 }{ 2 } \left[ +1\left| \begin{matrix} x & y \\ -y & x \end{matrix} \right| \right] =\frac { 1 }{ 2 } ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })\)
கொடுக்கப்பட்ட A = 50 ச.அலகுகள்
\(\therefore 50=\frac { 1 }{ 2 } ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })\Rightarrow 100={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\)
எனில் \(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { 100 } =10\)
\(\therefore \left| z \right| =10[\because \left| z \right| =\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)

கொடுக்கப்பட்டது \(\left| { z }_{ 1 } \right| =1,\left| { z }_{ 2 } \right| =2,\left| z_{ 3 } \right| =3\),
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| =1\)
\({ \left| { z }_{ 1 } \right| }^{ 2 }={ 1 }^{ 2 }\Rightarrow { z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 1 } } \Rightarrow { z }_{ 1 }=\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } \)
\({ \left| { z }_{ 2 } \right| }^{ 2 }=4\Rightarrow { z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 2 } } =4\Rightarrow { z }_{ 2 }=\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } \)
\({ \left| { z }_{ 3 } \right| }^{ 2 }=9\Rightarrow { z }_{ 3 }\overline { { z }_{ 3 } } =9\Rightarrow { z }_{ 3 }=\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } \)
\(\therefore \left| 9{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }+4{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| \)
\(=\left| 9.\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } +4.\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } +\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } .\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } \right| \)
\(\left| \frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } } +\frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 3 } } } +\frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 2 } } \overline { { z }_{ 3 } } } \right| =\left| \left( \frac { \overline { { z }_{ 3 } } +\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 1 } } }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } \overline { { z }_{ 3 } } } \right) \right| \)
\([\therefore \left| \overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 3 } } = \right| =\overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } ]\)
\(\frac { 36\left| \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| }{ \left| \overline { { z }_{ 1 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 2 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 3 } } \right| } =36\frac { 36\left| \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| }{ \left| \overline { { z }_{ 1 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 2 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 3 } } \right| } \)

\([\because \left| { \overline { z } }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| ,\left| { \overline { z } }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| ,\left| { \overline { z } }_{ 3 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| ]\)

கொள்கை \(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 3 } \right| =r\Rightarrow { z }_{ 1 }\bar { { z }_{ 1 } } ={ z }_{ 2 }\bar { { z }_{ 2 } } ={ z }_{ 3 }\bar { { z }_{ 3 } } ={ r }^{ 2 }\)
⇒ \({ z }_{ 1 }=\frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 1 } } } ,{ z }_{ 2 }=\frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 2 } } } ,{ z }_{ 3 }=\frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 3 } } } \)
ஆகவே, z₁ + z₂ + z₃ = \(\frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 1 } } } + \frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 2 } } }+ \frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 3 } } } \)
\(={ r }^{ 2 }\left( \frac { \bar { { z }_{ 2 } } \bar { { z }_{ 3 } } +\bar { { z }_{ 1 } } \bar { { z }_{ 3 } } +\bar { { z }_{ 1 } } \bar { { z }_{ 2 } } }{ \bar { { z }_{ 1 } } \bar { { z }_{ 2 } } \bar { { z }_{ 3 } } } \right) \)
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| =\left| { r }^{ 2 } \right| \left| \frac { \overline { z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } }{ { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| \) \((\because \bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } )\)
= \(={ r }^{ 2 }\frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ \left| { z }_{ 1 } \right| \left| { z }_{ 2 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| } \) \((\because \left| z \right| \left| \bar { z } \right| \) மற்றும் \(\left| { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| \left| { z }_{ 2 } \right| \left| { { z }_{ 3 } } \right| )\)
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| ={ r }^{ 2 }\frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ { r }^{ 3 } } =\frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ r } \)
⇒ \(\frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ \left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| } \) = r  (கொள்கையின் படி z₁ + z₂ + z₃ ≠ 0 )
எனவே, \(\left| \frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| \) = r

\({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } })^{ 10 }\)
இப்பொழுது \(\overline { z } =\overline { (2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)
\(\overline { z } =\overline { (2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } -(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) \([\because \overline { { z }_{ 1 }-{ z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 } } -\overline { { z }_{ 2 } } ]\)
\(=(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\)
\(=-[(2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }]=-z\)
\(\therefore \overline { z } =-\overline { z } \Rightarrow z\) முழுவதும் கற்பனை எண்
எனவே \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } })^{ 10 }\) முழுவதும் கற்பனை எண்.

i) z = \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) என்க.
இதிலிருந்து, \(\bar { z } =\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)
= \(\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } +\overline { { (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)  \(\overline { (\because { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } =\bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } )\)
= \({\overline { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ \overline { (2-i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\)  \((\because \bar { { (z }^{ n }) } ={ (\bar { z } ) }^{ n })\)
= \({ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\) = z
\(\bar { z } \)= z ⇒ z ஒரு மெய்யெண் ஆகும்.
ii)  \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்க.
இங்கு, \(\frac { 19+9i }{ 5-3i } =\frac { (19+9i)(5+3i) }{ (5-3i)(5+3i) } \)
= \(\frac { (95-27)+i(45+57) }{ { 5 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\frac { 68+102i }{ 34 } \)
= 2 + 3i    ....(1)
மற்றும், \(\frac { 8+i }{ 1+2i } =\frac { (8+i)(1-2i) }{ (1+2i)(1-2i) } \)
= \(\frac { (8+2)+i(1-16) }{ { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\frac { 10-15i }{ 5 } \)
= 2 - 3i     ...(2)
இப்பொழுது, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\)
⇒ z = (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ ((1) மற்றும் (2)லிருந்து)
வரையறையிலிருந்து, \(\bar { z } \) = \(\overline { { (2+3i) }^{ 15 }-{ (2-3i) }^{ 15 } } \)
= \({ \overline{ (2+3i) } }^{ 15 }-{ \overline { (2-3i) } }^{ 15 }\) (இணை எண் பண்புகளின்படி)
= (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ = - ((2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ )
⇒ \(\bar { z } \) = −z.
ஆகவே, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்பது முழுவதும் கற்பனை எண் ஆகும்.

a) z ன் கூட்டல் நேர்மாறு = -z 
b) z ன் பெருக்கல் நேர்மாறு  \(=z^{-1}=\frac{1}{z}\)
\(z \bar{z}=|z|^2\) என நாம் அறிந்த 
\(\Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}\) i.e.) \(z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}\)
கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 2 + 5i, z₂ = - 3 - 4i மற்றும் z₃ = 1 + i
z₁ - ன் கூட்டல் நேர்மாறு -z₁ = - (2 + 5i) = - 2 - 5i
z₂ - ன் கூட்டல் நேர்மாறு -z₂ = - (- 3 - 4i) = 3 + 4i
z₃ - ன் கூட்டல் நேர்மாறு  -z₃ = - (1 - i) = -1 - i
z₁ - ன் பெருக்கல் நேர்மாறு
\(\frac { 1 }{ { z }_{ i } } =\frac { 1 }{ 2\times 5i } \times \frac { 2-5i }{ 2-5i } \)
[தொகுதி மாற்றும் பகுதிகளை பகுதியிலுள்ள கலப்பெண்ணால் பெருக்க]
= \(\frac { 2-5i }{ { 2 }^{ 2 }-({ 5i) }^{ 2 } } =\frac { 2-5i }{ 4-{ 25i }^{ 2 } } =\frac { 2-5i }{ 4+25 } \)
= \(\frac { 1 }{ 29 } (2-5i)[\therefore { i }^{ 2 }=-1]\)
z₂ - பெருக்கல் நேர்மாறு
\(\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ -3-4i } \times \frac { -3+4i }{ -3+4i } \)
\(=\frac { -3+4i }{ { (-3) }^{ 2 }-({ 4i) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { -3+4i }{ 9-16{ i }^{ 2 } } =\frac { -3+4i }{ 9+16 } \)
\(=\frac { 1 }{ 25 } (-3+4i)\)
z₃ - ன் பெருக்கல் நேர்மாறு
\(\frac { 1 }{ { z }_{ 3 } } =\frac { 1 }{ 1+i } \times \frac { i-i }{ 1-i } =\frac { 1-i }{ { 1 }^{ 2 }-({ i }^{ 2 }) } \)
\(=\frac { 1-i }{ 1+i } =\frac { 1 }{ 2 } (1-i)\)

கொடுக்கப்பட்டது : கலப்பெண்கள் சமம். எனவே  (3 -i) x - (2 - i) y + 2i + 5
= 2x + (-1 + 2i) y + 3 + 2i
⇒ 3x - ix - 2y + iy + 2i + 5 = 2x - y + 2iy + 3 + 2i
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை தேர்ந்தெடுக்க
(3x-2y + 5) + i (-x + y + 2) = 2x - y + 3 + i (2y+ 2)
இருபுறமும் மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளை ஒப்பிட கிடைப்பது.
3x- 2y+ 5 = 2x-y+3
⇒ 3x - 2y + 5 - 2x + y - 3 = 0
⇒ x-y = -2  ...(1)
⇒ -x + y + 2 = 2y + 2
⇒ -x + y + 2 - 2y - 2 = 0
⇒ -x - y = 0 = x + y = 0 ... (2)
(1) - (2) கிடைப்பது,
x - y =   -2
(-) x+y = 0
_____________
-2y + 2 = 0
⇒ y = 1 என (2) ல் பிரதியிட கிடைப்பது.
x + 1 = 0 ⇒ 0 - x = -1
∴ x = - 1 மற்றும் y = 1