y = \(2\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }+4x\frac { 1 }{ \left( \frac { dx }{ dy } \right) } \)
\(y\frac { dy }{ dx } =2\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 }+4x\)
∴ வரிசை=2, படி=3

இரு வேறுபட்ட சூழ்நிலைகளில், வீச்சு வரைபடங்களின் (R) வரம்புகளைக் கணக்கிடுவது.

காரணி மாற்றுச் சோதனை என்பது ஒரு சிறந்த குறியீட்டு எண்ணின் நிலைத்தன்மையை சோதிக்கும் மற்றொரு சோதனை ஆகும். உண்மை மதிப்பு விகிதமானது அடிப்படை ஆண்டு முதல் நடப்பு ஆண்டு வரை உள்ள விலை குறியீட்டு எண் மற்றும் எண் அளவு குறியீட்டு எண்ணின் பெருக்குத் தொகைக்கு சமம் ஆகும். அதாவது, நடப்புக்காலத்தின் மொத்த மதிப்பு மற்றும் அடிப்படை காலத்தின் மொத்த மதிப்பின் விகிதமாக, உண்மை மதிப்பு விகிதம் (true value ratio) கண்டறியப்படுகிறது. காரணி மாற்றுச் சோதனை பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது,
\( P_{01} \times Q_{01}=\frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_0} \)
இங்கே \( P_{01}=\sqrt{\frac{\sum p_1 q_0 \times \sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_0 \times \sum p_0 q_1}} \)
இப்போது, P-க்கு பதிலாக Q-வை பரிமாற்றம் செய்தால், நாம் பெறுவது,
\(Q_{01}=\sqrt{\frac{\sum q_1 p_0 \times \sum q_1 p_1}{\sum q_0 p_0 \times \sum q_0 p_1}}\)
இங்கே, P₀₁ விலை ஒப்பீட்டு மாற்றம் ஆகும் Q₀₁ அளவு ஒப்பீட்டு மாற்றம் ஆகும்.

கூறின் அளவு n = 500
அழுகிய அன்னாசிப் பழங்களின் எண்ணிக்கை \( \mathrm{P}=\frac{65}{500}=0.13 \)
\( \mathrm{Q}=1-\mathrm{P}=1-0.13=0.87 \)
\( \mathrm{~S} . \mathrm{E}=\sqrt{\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{n}}}=\sqrt{\frac{(0.13)(0.87)}{500}}=0.015 \)

சாலை விபத்துகளின் எண்ணிக்கையை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
சராசரி \(=\lambda=4\)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x !}\)
(i) \(\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\frac{e^{-4} 4^0}{0 !}=0.0183\)
விபத்து இல்லாத நாட்கள்
\(=0.0183 \times 100=1.83 \sim 2\) நாட்கள்
(ii) \(P  (X \geq 2)=1-P(X<2)\)
\( =1-[P(X=0)+P(X=1)] \)
\(=1-\left[\frac{e^{-4} 4^0}{0 !}+\frac{e^{-4} 4^1}{1 !}\right] \)
\(=1-e^{-4}[1+4]=1-(0.0183)(5) \)
=1-0.0915=0.9085
குறைந்தபட்சம் 2 விபத்துகள் ஏற்படும் நாள்கள் 
\(=0.9085 \times 100=90.85 \sim 91 \)நாட்கள்
(iii) \(P(X \leq 3)=P(X=0)+P(X=1)  +P(X=2)  +P(X=3) \)
\( =\frac{e^{-4} 4^0}{0 !}+\frac{e^{-4} 4^1}{1 !}+\frac{e^{-4} 4^2}{2 !}+\frac{e^{-4} 4^3}{3 !}\)
\( =e^{-4}\left[1+4+8+\frac{32}{3}\right] \)
=0.0183(23.67)=0.433
அதிகபட்சம் 3 விபத்துகள் ஏற்படும் நாட்கள் \(=0.433 \times 100 \simeq 43\) நாட்கள்

போக்குவரத்து கணக்கில் மொத்த போக்குவரத்துச் செலவை குறைக்கும் வகையில் ஒவ்வொரு ஆதியிலிருந்து ஒவ்வொரு சேரும் இடத்திற்கு அனுப்பக் கூடிய பொருள்களின் அளவை தீர்மானிப்பதாகும். அதே சமயம் ஒதுக்கீட்டு கணக்கில் மொத்த ஒதுக்கீட்டு செலவை குறைக்கும் வகையில் ஒரு வேலையை ஒரு இயந்திரத்திற்கு ஒதுக்கீடு செய்ய ஆகும் செலவு ஆகும்.
ஒதுக்கீட்டு கணக்கில் ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் ஒரே ஒரு ஒதுக்கீடு மட்டுமே செய்யப்பட வேண்டும். ஆனால் போக்குவரத்து கணக்கில் எந்தவொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட ஒதுக்கீடுகள் இருக்கலாம்.

ஒதுக்கீடு கணக்கில் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் போக்குவரத்து கணக்கில் அவ்வாறு இருக்க தேவையில்லை.

ஈருறுப்புப் பரவலைக் காணும் நிபந்தனைகளின்படி நாம் பயன்படுத்துகின்றோம் :
1. முயற்சிகளின் எண்ணிக்கை ‘n’ என்பது ஒரு முடிவுறு எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும்.
2. முயற்சிகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றவையாக இருத்தல் வேண்டும்.
3. வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு p என்பது ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் மாறிலியாக இருக்க வேண்டும்.
4. ஒவ்வொரு முயற்சிக்கும் இரண்டு விளைவுகளே சாத்தியமானது. அவை வெற்றி அல்லது தோல்வி மட்டுமே.

கூறுகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட எந்தவொரு புள்ளிவிவர அளவையும் கூறு பண்பளவை (Statistic) அல்லது மாதிரிப் பண்பளவை என்று அழைக்கப்படும்.

சாத்தியமான மதிப்புகளால்‌ வரையறுக்கப்பட்ட எண்களை ஏற்றுக்கொள்ளக்‌ கூடிய ஒரு மாறி தனித்த சம வாய்ப்பு மாறியாகும்‌.
ஓர்‌ இடைவெளியில்‌ உள்ள அனைத்து மதிப்புகளையும்‌ (முழுக்களாகவோ, பின்னங்களாகவோ) ஏற்கும்‌ ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X ஆனது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறியாகும்‌.

I = \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -mx } } { x }^{ 6 }dx\)
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ n } } { e }^{ -ax }dx=\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } \)
இங்கு n = 6, and a = m
\(\therefore I=\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -mx } } { x }^{ 6 }dx\)
\(=\frac { 6! }{ { m }^{ 6+1 } } =\frac { 6! }{ { m }^{ 7 } } \)

\(\left(2-y^{\prime \prime}\right)^2=y^{\prime\prime 2}+2 y^{\prime} \)
\( 4-4 y^{\prime \prime}+y^{\prime\prime 2}=y^{\prime\prime 2}+2 y^{\prime} \)
\( 4 y^{''}+2 y^{\prime}-4=0 \)
வரிசை =2 ; படி =1

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & y & \Delta y & \Delta^2 y & \Delta^3 y & \Delta^4 y \\ \hline 80 & 5026 & & & & \\ \hline & & 648 & & & \\ \hline 85 & 5674 & & 40 & & \\ \hline & & 688 & & -2 & \\ \hline 90 & 6362 & & 38 & & 4 \\ \hline & & 726 & & 2 & \\ \hline 95 & 7088 & & 40 & & \\ \hline & & 766 & & & \\ \hline 100 & 7854 & & & & \\ \hline \end{array}\)
\( x_0=80, \mathrm{~h}=5, \quad x_0+\mathrm{nh}=82 \)
\(5 \mathrm{n}=2 \Rightarrow \mathrm{n}=\frac{2}{5}=0.4 \)
\( \mathrm{y}=y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0 +\frac{n(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3 !} \Delta^3 y_0 +\frac{n(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)(\mathrm{n}-3)}{4 !} \Delta^4 y_0 \)
\(y=5026+\frac{0.4}{1 !}(648)+\frac{(0.4)(-0.6)}{2 !}(40) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)}{3 !}(-2) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)(-2.6)}{4 !}(4) \)
\(=5026+259.2-4.8-0.128-0.1664 =5280.1056 \)
\( x_{\mathrm{n}}=100, \mathrm{~h}=5, x_{\mathrm{n}}+\mathrm{nh}=91 \)
\( \Rightarrow 5 \mathrm{n}=-9 \Rightarrow \mathrm{n}=-1.8 \)
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n +\frac{n(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)(\mathrm{n}+3)}{4 !} \nabla^4 y_n \)
\( y=7854+\frac{(-1.8)}{1 !}(766)+\frac{(-1.8)(-0.8)}{2 !} 40 +\frac{(-1.8)(-0.8)(0.2)}{3 !}(2) +\frac{(-1.8)(-0.8)(0.2)(1.2)}{4 !}(4) \)
\(=7854-1378.8+28.8+0.096+0.0576 \)
\( =6504.1536=6504 \)

\((x-y) \frac{d y}{d x} =x+3 y \)
\(\frac{d y}{d x} =\frac{x+3 y}{x-y} \)
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என (1) –ல் பிரதியிட,
\(v+x \frac{d v}{d x} =\frac{x+3 v x}{x-v x} \)
\(x \frac{d v}{d x} =\frac{1+3 v}{1-v}-v \)
\(x \frac{d v}{d x} =\frac{1+3 v-v+v^2}{1-v} \)
\(x \frac{d v}{d x} =\frac{1+2 v+v^2}{1-v} \)
\(x \frac{d v}{d x} =\frac{(1+v)^2}{1-v} \)
\( \int \frac{(1-v)}{(1+v)^2} d v=\int \frac{d x}{x} \)
\( \int \frac{d v}{(1+v)^2}-\int \frac{v d v}{(1+v)^2}=\log x+\log c \)
\( \int \frac{d v}{(1+v)^2}-\int \frac{1+v-1}{(1+v)^2} d v=\log c x \)
\( \int \frac{d v}{(1+v)^2}-\int \frac{1+v}{(1+v)^2} d v+\int \frac{d v}{(1+v)^2}=\log c x \)
\( 2 \int(1+v)^{-2} d v-\int \frac{d v}{1+v}=\log c x \)
\( 2\left[\frac{(1+v)^{-1}}{-1}\right]-\log (1+v)=\log c x \)
\( \frac{-2}{1+\frac{y}{x}}=\log c x+\log (1+\mathrm{v}) \)
\( \frac{-2}{\frac{x+y}{x}}=\log \mathrm{c} x\left(1+\frac{y}{x}\right) \)
\( e^{-2 x / x+y}=c x\left(\frac{x+y}{x}\right) \)
\(\mathrm{c}(x+\mathrm{y})=e^{-2 x /(x+y)} \)
\(x+\mathrm{y}=\frac{1}{c} e^{-2 x /(x+y)} \)
\(x+\mathrm{y}=k e^{-2 x(x+y)} \) இங்கு \(k=\frac{1}{c} \)

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு
\(\mathrm{MR} =10+3 x-x^2 \)
\(\frac{d R}{d x} =10+3 x-x^2 \)
\(\int d R =\int\left(10+3 x-\mathrm{x}^2\right) d x \)
\(\mathrm{R} =10 x+\frac{3 x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+k \)
\(x =0, \mathrm{R}=0 \) எனில் \(\mathrm{k}=0 \)
வருவாய் சார்பு: R =10x+\(\frac { 3x^{ 2 } }{ 2 } -\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \),
தேவை சார்பு : P +10+\(\frac { 3x }{ 2 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 3 } \)

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ { e }^{ 2x } } dx\)
\(={ { \left[ \frac { { e }^{ 2x } }{ 2 } \right] }_{ 0 } }^{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { e }^{ 2(1) }-{ e }^{ 2(0) } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { e }^{ 2 }-{ e }^{ 0 } \right] \)  =\(\frac { 1 }{ 2 } \) [e² - 1]

\(\int { \frac { 1 }{ { 2x }^{ 2 }-9 } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-\frac { 9 }{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ \left( \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \right) }^{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2\left( \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \right) } \log { \left| \frac { x-\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } }{ x+\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } } \right| } +c\)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2a } \log { \left| \frac { x-a }{ x+a } \right| } \right] +c\)
\(=\frac { 1 }{ \frac { 12 }{ \sqrt { 2 } } } \log { \left| \frac { \sqrt { 2x } -3 }{ \sqrt { 2x } +3 } \right| } +c\)

\(=\frac { 1 }{ 6\times \sqrt { 2 } } \log { \left| \frac { \sqrt { 2x } -3 }{ \sqrt { 2x } +3 } \right| } +c\)

\(\int { \frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } } dx } =\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { f'\left( x \right) }{ \sqrt { f\left( x \right) } } dx } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } [2\sqrt { f(x) } ]+c\)
\(=\sqrt { { x }^{ 2 }+1+ } c\)
f (x) = x² +1 என்க.
 \(\therefore \) f '(x) = 2x

\(f^{ \prime }(x) =8x^{ 3 }-2x\)
\(f(x)=\int \left( 8x^{ 3 }-2x \right) dx\)
\( =\frac { 8x^{ 4 } }{ 4 } -\frac { 2x^{ 2 } }{ 2 } +c\)
\( f(x)=2x^{ 4 }-x^{ 2 }+c\)
\( f(2)=8\)
\(8=32-4+c\)
\(c=8-28=-20\)
\(f(x)=2x^{ 4 }-x^{ 2 }-20\)

\(\int { \frac { dx }{ { \left( 2x+3 \right) }^{ 2 } } } \) =\(\int { { \left( 2x+3 \right) }^{ -2 }dx } \)
= \(-\frac { 1 }{ 2\left( 2x+3 \right) } +c\)

\(A=\left( \begin{matrix} 1 & -3 & 4 & 7 \\ 9 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} \right) \)
\(\left( \begin{matrix} 1 & -3 & 4 & 7 \\ 0 & 28 & -34 & -63 \end{matrix} \right) { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-9{ R }_{ 1 }\)
அணியின் தரம்  ρ(A)=2

A =\(\\ \left( \begin{matrix} 0 & -1 & 5 \\ 2 & 4 & -6 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix} \right) \)என்க.
A-ன் வரிசை 3 x 3
∴ ρ(A) ≤3
வரிசை மூன்று உடைய சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 0 & -1 & 5 \\ 2 & 4 & -6 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix} \right| \)=6≠0
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 1 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =3