இப்பொழுது, \(\frac { z-1 }{ z+1 } =\frac { x+iy-1 }{ x+iy+1 } =\frac { [(x-1)+iy][(x+1)-iy] }{ [(x+1)iy][(x+1)-iy] } \)
⇒ \(\frac { z-1 }{ z+1 } =\frac { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1)+i(2y) }{ ({ x+1) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
கொள்கை arg\(\left( \frac { z-1 }{ z+1 } \right) =\frac { \pi }{ 2 } \Rightarrow { \tan }^{ -1 }\left( \frac { 2y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1 } \right) =\frac { \pi }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { 2y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 } =\tan\frac { \pi }{ 2 } \)
⇒ x² + y² = 1.

கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α மற்றும் β என்பதால் α+β=\(\frac { 7 }{ 2 } \) மற்றும் αβ=\(\frac { 13 }{ 2 } \) ஆகும்.
எனவே, தேவையான இருபடிச் சமன்பாட்டை பெற,
மூலங்களின் கூடுதல் =α²+β² =(α+β)² -2αβ=\(\frac { -3 }{ 4 } \)
மூலங்களின் பெருக்கல்=α²β² =(αβ)²=\(\frac { 169 }{ 4 } \)
எனவே, தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு \({ x }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } x+\frac { 169 }{ 4 } \)=0 எனக் கிடைக்கிறது.
4x²+3x+169=0
இதுவே α² மற்றும் β² ஆகியவற்றை மூலங்களாகக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாடாகும்.

மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவமானது AX =B, இங்கு A =\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 3 & -5 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 7 \\ \mu \\ 5 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
[A|B] =\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 3 & -5 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ \mu \\ 5 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & -5 \\ 1 & 1 & \lambda \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ \mu \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-R_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & -1 & \lambda -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ -2 \\ \mu -7 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & \lambda -7 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ -2 \\ \mu -9 \end{matrix} \right] \)
(i) \(λ\) = 7 மற்றும் μ ≠ 9, எனில் ρ(A) = 2 மற்றும் ρ([A|B]) = 3 எனவே ρ(A) ≠ ρ([A|B]) தொகுப்பானது ஒருங்கமைவற்றது. மேலும் தொகுப்பிற்கு தீர்வு கிடையாது.
(ii) ⋋≠ 7 மற்றும் μ ஆனது ஏதாவது ஒரு மெய்யெண் எனில்  ρ(A) = 3 மற்றும் ρ([A|B])=  3 எனவே ρ(A) = ρ([A|B]) = 3 = மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
எனவே கொடுத்துள்ள தொகுப்பானது ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வினைப் பெற்றிருக்கும்.
(iii) \(λ\) = 7 மற்றும் μ = 9, எனில் ρ(A) = 2 மற்றும் ρ([A|B]) = 2
எனவே ρ(A) = ρ([A|B]) = 2 < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
எனவே தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும். இத்தீர்வுகள் ஒரு சாராமாறிக் குடும்பத் தீர்வுகளாக அமைகின்றன.

|adj A| = \(\left| \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) = 9
எனவே A^-1 = \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adj(A)| } } adj(A)=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 9 } } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] =\pm \frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \).

A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{matrix} \right] \) என்க.
|A| = \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{matrix} \right| \) = 2(7) + (-12) + 3(-1) = -1 ≠ 0 
எனவே , A⁻¹ காண இயலும்.
adj A = \(\left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} -5 & 1 \\ -3 & 3 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} -5 & 3 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ -3 & 3 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ -5 & 1 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} 7 & 12 & -1 \\ 9 & 15 & -1 \\ -10 & -17 & 1 \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} 7 & 9 & -10 \\ 12 & 15 & -17 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே,  A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } (adj\quad A)=\frac { 1 }{ (-1) } \left[ \begin{matrix} 7 & 9 & -10 \\ 12 & 15 & -7 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -7 & -9 & 10 \\ -12 & -15 & 17 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \)

p(x) = x⁹ − 5x⁵ + 4x⁴ + 2x² +1 = 0 என்க
குறிகள் +,-,+,+,+
p(x)- ல் இரண்டு குறிமாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது.
மேலும் p(-x)=(-x)⁹-5(-x)⁵+4(-x)⁴+2(-x)²+1 =0
p(-x)=x⁹+5x⁵+4x⁴+2x²+1 =0
p(-x) க்கு ஒரே ஒரு மாற்றம்.
∴ p(x) க்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மிகை மூலம் மற்றும் 1 குறை மூலம் உள்ளது.
 p(x) -ன் படி 9, ஆதலால் p(x) க்கு குறைந்தபட்சம் 6 கற்பனை தீர்வுகள் உள்ளன.

இது இரட்டைப்படை முதல் வகை தலைகீழ் சமன்பாடாகும். எனவே இதனை,
\( { x }^{ 2 }[ \left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) -10\left( x+\frac { 1 }{ x } \right) \)+26\(] \)=0 x ≠ 0 எனவே \(\left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) -10\left( x+\frac { 1 }{ x } \right)+26 = 0 \)
என மாற்றி எழுதலாம் y=\(\left( x+\frac { 1 }{ x } \right) \) என்க.
[(y²-2)-10y+26]=0 ⇒ (y²-10y+24)=0 ⇒ (y-6)(y-4)=0
நிலை (i)
y = 6 எனில், x+\(\frac { 1 }{ x } \)=6 ⇒ x=3+\(2\sqrt { 2 } \), x=3-\(2\sqrt { 2 } \)
நிலை (ii)
y=4, எனில், x+\(\frac { 1 }{ x } \)=4 ⇒ x=2+\(\sqrt { 3 } \), x=2-\(\sqrt { 3 } \)
எனவே, மூலங்கள் \(3\pm 2\sqrt { 2 } ,2\pm \sqrt { 3 } \) ஆகும்.

இந்நாற்படி சமன்பாட்டை பொருத்தமாக மாற்றி எழுதி பிரதியிடல் முறையைக் கடைபிடிப்பதன் மூலம் இதனைத் தீர்க்கலாம்.
(x − 2) (x − 3) (x − 7) (x + 2) +19 = 0 .
எனச் சமன்பாட்டை மாற்றி எழுதலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு,
(x² - 5x + 6)(x² - 5x - 14) + 19 = 0 என்றாகிறது.
x² - 5x-ஐ y எனப் பிரதியிட, சமன்பாடு (y+6)(y-14)+19=0 என மாறுகிறது. அதாவது,
y²-8y-65=0
இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க y =13மற்றும் y=−5எனக் கிடைக்கும். இவற்றைப் பிரதியிட நமக்கு x²-5x-13=0 மற்றும் x²-5x+5=0 என இரு இருபடி சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன. அவற்றை வழக்கமான முறைகளில் தீர்க்க இயலும். இவ்விரு சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட தீர்வுகள் அனைத்தையும் ஒன்று சேர்த்து \(\frac { 5\pm \sqrt { 77 } }{ 2 } ,\frac { 5\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } \) என எழுதலாம்.

ஆய அச்சுகளை பொருத்தமாக தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் நேர்க்கோட்டுக்கான சமன்பாட்டை
y = mx + c  ........(1)
மற்றும் பரவளையத்திற்கான சமன்பாட்டை y² = 4 ax என எடுத்துக் கொள்ளலாம்.  .....(2)
(1) ஐ (2) -ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
(mx + c)² = 4 ax
⇒ m²x² + c² + 2mcx = 4ax
⇒ m² x² + x(2mc - 4a) + c² = 0
இது x ல் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடு.
இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. எனவே ஒரு நேர்க்கோடும் ஒரு பரவளையமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேற்பட்டு வெட்டிக் கொள்ளாது.

i) z = \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) என்க.
இதிலிருந்து, \(\bar { z } =\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)
= \(\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } +\overline { { (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)  \(\overline { (\because { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } =\bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } )\)
= \({\overline { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ \overline { (2-i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\)  \((\because \bar { { (z }^{ n }) } ={ (\bar { z } ) }^{ n })\)
= \({ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\) = z
\(\bar { z } \)= z ⇒ z ஒரு மெய்யெண் ஆகும்.
ii)  \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்க.
இங்கு, \(\frac { 19+9i }{ 5-3i } =\frac { (19+9i)(5+3i) }{ (5-3i)(5+3i) } \)
= \(\frac { (95-27)+i(45+57) }{ { 5 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\frac { 68+102i }{ 34 } \)
= 2 + 3i    ....(1)
மற்றும், \(\frac { 8+i }{ 1+2i } =\frac { (8+i)(1-2i) }{ (1+2i)(1-2i) } \)
= \(\frac { (8+2)+i(1-16) }{ { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\frac { 10-15i }{ 5 } \)
= 2 - 3i     ...(2)
இப்பொழுது, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\)
⇒ z = (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ ((1) மற்றும் (2)லிருந்து)
வரையறையிலிருந்து, \(\bar { z } \) = \(\overline { { (2+3i) }^{ 15 }-{ (2-3i) }^{ 15 } } \)
= \({ \overline{ (2+3i) } }^{ 15 }-{ \overline { (2-3i) } }^{ 15 }\) (இணை எண் பண்புகளின்படி)
= (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ = - ((2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ )
⇒ \(\bar { z } \) = −z.
ஆகவே, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்பது முழுவதும் கற்பனை எண் ஆகும்.

y = ax² + bx + c என்ற பாதையானது (10,8), (20,16), (40,22) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்கிறது ஆதலால் 100a + 10b + c = 8, 400a + 20b + c = 16, 1600a + 40b + c = 22 என்ற  சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன. கிராமரின் விதியை பயன்படுத்த பின்வருவனவற்றைக் காண்போம்.
\(\ \triangle =\left| \begin{matrix} 100 & 10 & 1 \\ 400 & 20 & 1 \\ 1600 & 40 & 1 \end{matrix} \right| =1000\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \)= 1000 [-2 + 12 - 16] = -6000
\({ \triangle }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 8 & 10 & 1 \\ 16 & 20 & 1 \\ 22 & 40 & 1 \end{matrix} \right| =20\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ 11 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \) = 20[-8 + 3 + 10] = 100,
\({ \triangle }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 100 & 8 & 1 \\ 400 & 16 & 1 \\ 1600 & 22 & 1 \end{matrix} \right| =200\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 8 & 1 \\ 16 & 11 & 1 \end{matrix} \right| \) = 200 [-3 + 48 - 84] = -7800,
\({ \triangle }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 100 & 10 & 8 \\ 400 & 20 & 16 \\ 1600 & 40 & 22 \end{matrix} \right| =2000\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 8 \\ 16 & 4 & 11 \end{matrix} \right| \)= 2000 [-10 + 84 - 64] = 20000.
கிராமரின் விதிப்படி, a = \(\frac { { \triangle }_{ 1 } }{ \triangle } =-\frac { 1 }{ 60 } ,b=\frac { { \triangle }_{ 2 } }{ \triangle } =\frac { 7800 }{ 6000 } =\frac { 78 }{ 60 } =\frac { 13 }{ 10 } ,c=\frac { { \triangle }_{ 3 } }{ \triangle } =\frac { 20000 }{ 6000 } =-\frac { 20 }{ 6 } =\frac { 10 }{ 3 } \)
எனவே பாதையின் சமன்பாடு \(y =-\frac { 1 }{ 60 } { x }^{ 2 }+\frac { 13 }{ 10 } x-\frac { 10 }{ 3 } \)
x = 70 எனில் y = 6எனக் கிடைக்கிறது. எனவே பந்தானது எல்லைக்கோட்டிற்கு நேர் மேலாக 6 மீ உயரத்தில் செல்கிறது மற்றும் எல்லைக் கோட்டின் அருகில் உள்ள ஆட்டக்காரர் எகிறிக் குதித்துப் பிடிக்க முயன்றாலும் அவரால் அப்பந்தினைப் பிடிக்க இயலாது. எனவே அப்பந்து மிகப்பெரிய 6 ஆகச் சென்றது மற்றும் அவ்வணி ஆட்டத்தினை வென்றது.

\(A=\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 14 & 7 \\ 7 & 7 \end{bmatrix}\)
A ன் வரிசை 2 x 2
\(A =\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) என்க.

\(\sum _{ n=1 }^{ 102 }{ { i }^{ n } } \) = (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i⁷ + i⁸)+ ..........+ (i⁹⁷ + i⁹⁸ + i⁹⁹ + i¹⁰⁰) + i¹⁰¹ + i¹⁰²
= (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i¹ + i² + i³ + i⁴) + ............(i¹ + i² + i³ + i⁴) + i¹ + i²
= {i + (-1) + (-i) + 1} + {i + (-1) + (-i) + 1} + .........+ {i + (-1) + (-i) + 1} + i + (-1)
= 0 + 0 + .........0 + i −1
= −1 + i (இது என்ன எண்?)

இங்கு மூலங்கள் சமம் என்பதால் Δ =b² - 4ac = 0 ஆகும். இதிலிருந்து 4(k+2)² = 4(9)k எனக் கிடைக்கும். இதிலிருந்து k-ன் மதிப்பு 4 அல்லது 1 ஆகும்.

 \(\sqrt3\) + i
மட்டு = \(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { (\sqrt { 3 } ) }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 3+1 } \) = 2
\(\alpha ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| { =\tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\sqrt3\) + i என்ற கலப்பெண்ணானது முதல் கால் பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு
θ = α = \(\frac { \pi }{ 6 } \)
ஆகவே \(\sqrt3\) + i ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் \(\frac { \pi }{ 6 } \) ஆகும்.

\(z=\left| 4+3i \right| \) என்க.
\(=\sqrt { { 4 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 16+9 } =\sqrt { 25 } =5\)
\(\sqrt { a+ib } =\pm \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { b }{ \left| b \right| } \sqrt { \frac { \left| z \right| -a }{ 2 } } \) [இங்கு \(\left| z \right| =5,a=4,b=3\)]
\(\sqrt { 4+3i } =\pm \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { 3 }{ \left| 3 \right| } \sqrt { \frac { 5-4 }{ 2 } } \)
\(=\pm \sqrt { \frac { 9 }{ 2 } } +i\frac { 3 }{ 3 } \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } \)
\(=\pm \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } +i.\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

\(z={ (\sqrt { 3 } +i) }^{ n }\) என்க.
\(z={ (\sqrt { 3 } +i) }^{ n }={ \left[ 2\left( \frac { \sqrt { 3 } +i }{ 2 } \right) \right] }^{ n }\)
\(={ 2 }^{ n }{ \left[ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right] }^{ n }\) [2 ஆல் பெருக்கி வகுக்க]
\(={ 2 }^{ n }{ \left[ cos\frac { \pi }{ 6 } +i \ sin\frac { \pi }{ 6 } \right] }^{ n }\)
\(={ 2 }^{ n }\left[ cos \ n\frac { \pi }{ 6 } +i\ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)  ...(1)
\(\bar { z } ={ 2 }^{ n }\left[ cos \ n\frac { \pi }{ 6 } -i \ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \) ...(2)
ஆதலால் z என்பது மெய், z = \(\bar { z } \)
⇒ \({ 2 }^{ n }\left[ cos\ n\frac { \pi }{ 6 } +isin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
= \({ 2 }^{ n }\left[ cos\ n\frac { \pi }{ 6 } -i \ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)[(1) மற்றும் (2) லிருந்து]
\(\Rightarrow 2i \ sin\ n\frac { \pi }{ 6 } =0\Rightarrow sin \ n\frac { \pi }{ 6 } =0\)
\(\Rightarrow sin \ n\frac { \pi }{ 6 } =sin \ \pi \)
\(\Rightarrow \frac { n\pi }{ 6 } =\pi \Rightarrow \frac { n }{ 6 } =1\Rightarrow n=6\)

கொடுக்கப்பட்ட adj \(A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
இங்கு \(adj(adj\quad A)={ \left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(2-0) \\ -(0) \\ +(0-2) \end{matrix}\begin{matrix} -(0) \\ +(1+1) \\ -(0) \end{matrix}\begin{matrix} +(0+2) \\ -(0) \\ +(2-0) \end{matrix} \right] }^{ T }={ \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
adj(adj) A \(=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] \)

\(\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10} =\left[\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right] ^{10}\)
\( =\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right] ^{10}\)
\( =\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{10}=\cos \frac{20 \pi}{3}+i \sin \frac{20 \pi}{3} \)
\( =\cos \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right) \)
\( =\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \)

\((1+\omega)^7  =A+B \omega \Rightarrow\left(-\omega^2\right)^7=A+B \omega \)
\(-\omega^{14}  =A+B \omega \Rightarrow-\omega^2=A+B \omega \)
\(1+\omega  =A+B \omega\)
ஒப்பிடக் கிடைப்பது \(\mathrm{A}=1, \mathrm{~B}=1\).

\(\sum_{r=0}^n{ }^n C_r(-1)^r \dot{x}^r=1-{ }^n C_1 x+{ }^n C_2 x^2-{ }^n C_3 x^3+\ldots(-1)^n x^n\)
P(x) என்பது 'n' மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது.எனவே, இது 'n' மிகை மூலங்களைக் கொண்டிருக்கும்.
P(-x)ல் குறிமாற்றங்கள் இல்லை, எனவே குறையெண் மூலங்கள் கிடையாது.

\(x^3 =-64 \)
\(x^3 =-4 \times-4 \times-4=(-4)^3 \)
\(x =-4\)

\(|| z|-|-2+i|| \leq|z-2+i| \leq|z|+|-2+i| \)
\(|| z|-\sqrt{5}| \leq|z-2+i| \leq|z|+\sqrt{5}\)
கொடுக்கப்பட்டது : \(|z-2+i| \leq 2\)
\(|z-2+i|=2\) ஐக் கருதுக.
\(\therefore|z|+\sqrt{5} \geq 2 \Rightarrow|z| \geq 2-\sqrt{5}\) ...(1)
மற்றும் \(||z|-\sqrt{5}| \leq 2\)
\(|z|-\sqrt{5} \leq 2 \Rightarrow|z| \leq 2+\sqrt{5} \) ...(2)
\( \sqrt{5}-|z| \leq 2 \Rightarrow|z| \geq \sqrt{5}-2\) ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
|z| ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(=\sqrt{5}+2\)

\(\mathrm{i}^n+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}  =\mathrm{i}^n\left[1+i+i^2+i^3\right] \)
\( =i^n[1+i-1-i] =i^n(0)=0\)

(A^TA^-1)^T = A^TA^-1
(A^-1)^T (A^T)^T =  A^TA^-1
(A^T)^-1 A = A^TA^-1
A^T(A^T)^-1AA = (A^T) A^T A^-1 A
(A^T மற்றும் A ஆல் முறையே முன்பெருக்கம் மற்றும் பின்பெருக்கம் செய்ய) A² = (A^T)²

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4