(x - α)² + (y - β)² = r² ...(1)
'x' - ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,
2 (x - α)² + (y - β)\(\frac { dy }{ dx } \) = r²
⇒ (x - α) + (y - β)\(\frac { dy }{ dx } \) = 0....(2)
'x' - ஐப் பொறுத்து மீண்டும் வகைப்படுத்த,
1+(y-β) \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +\frac { dy }{ dx } .\frac { dy }{ dx } \) = 0
⇒ 1+(y-β) \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\)= 0
⇒ y-β = \(\frac { -1\left( 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right) }{ \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } } \) 
(2) ல் பிரதியிட
(x-α) = \(\frac { dy }{ dx } \left( \frac { 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } }{ \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } } \right)= 0 \)  
(x-α) = \(\left( \frac { 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\frac { dy }{ dx } }{ \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } } \right) \)
(1) ல் பிரதியிட 
\(\frac { \left\{ 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right\} }{ \left( \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) ^{ 2 } } +\frac { \left\{ 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right\} ^{ 2 } }{ \left( \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) ^{ 2 } } = r ^ 2\)
⇒ \(\left[ 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] \left[ \left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }+1 \right] ={ r }^{ 2 }\left( \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) \)
⇒ \(\left[ 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] ^{ 3 }\)
= \({ r }^{ 2 }\left( \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) ^{ 2 }\)

ydx - xdy = 0
⇒ y dx = x dy
\(\frac { dx }{ x } =\frac { dy }{ y } \)
\(\int { \frac { dx }{ x } } =\int { \frac { dy }{ y } } \)
log x = log y+ log c
log x = log y
[∵ log m+log n = log mn]
x = cy

\(x\frac { dC }{ dx } =\frac { 3 }{ x } -C\)
\(\frac { dC }{ dx } =\frac { 2 }{ { x }^{ 2 } } -\frac { C }{ x } \)
\(\frac { dC }{ dx } +\frac { C }{ x } =\frac { 3 }{ { x }^{ 2 } } \)
அதாவது, \(\frac { dC }{ dx } +\frac { 1 }{ x } C=\frac { 3 }{ { x }^{ 2 } } \)
இது \(\\ \frac { dC }{ dx } \)+PC=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு, \(P=\frac { 1 }{ x } ,Q=\frac { 3 }{ { x }^{ 2 } } \)
\(\int { P.dx } =\int { \frac { 1 }{ x } } dx\)
I.F=\(e^{ \int { pdx } }=e^{ logx }\)=x
தீர்வு: C(I.F)=\(\int { Q } (I.F)dx+k\), இங்கு k ஒரு மாறிலி
Cx=\(\int { \frac { 3 }{ { x }^{ 2 } } } \)xdx+k
=3\(\int { \frac { 1 }{ x } } \)dx+k
Cx=3logx+k ...(1)
x = 1 மற்றும் C = 2 எனில், k = 2 ஆகும்.
 ∴ C மற்றும் x-க்கான தொடர்பு: Cx = 3log x +2

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } +\frac { 1 }{ cos^{ 2 }x } y=\frac { tanx }{ cos^{ 2 }x } \) என எழுதலாம்.
அதாவது, \(\frac { dy }{ dx } \)+y sec²x=tanxsec²x
இது \(\frac { dy }{ dx } \)+Py=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=sec²x, Q=tanxsec²x
\(\int { P } dx=\int { sec^{ 2 }x } dx=tanx\)
I.F=\(e^{ \int { p.dx } }=e^{ tanx }\)
தேவையான தீர்வு: y(I.F)=\(\int { Q(I.F)dx } +c\)
yetanx=\(\int { \tan x \sec^{ 2 } } xe^{ \tan x }dx+c\)
tanx-=t என்க.
sec²xdx=dt
∴ ye^tanx=\(\int { te^{ t } } dt+c\)
=\(\\ \int { td } (e^{ t })+c\)
=te^t-e^t+c
=tanxe^tanx-e^tanx+c
ye^tanx=e^tanx(tanx-1)+c

\(\left(D^2+D-6\right) y=e^{3 x}+e^{-3 x}\)
துணைச் சமன்பாடு
\(\mathrm{m}^2+\mathrm{m}-6  =0 \)
\((\mathrm{~m}+3)(\mathrm{m}-2)  =0 \)
\(\mathrm{~m}  =-3,2\)
நிரப்புச் சார்பு: \(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x}=\mathrm{Ae}^{-3 x}+\mathrm{Be}^{2 x}\)
சிறப்புத் தொகை 1: P.I \(I_1=\frac{1}{D^2+D-6} e^{3 x}\)
(D -க்கு பதிலாக 3 -ஐ பதிலிட)
\(\text { P.I } I_1=\frac{1}{9+3-6} e^{3 x}=\frac{e^{3 x}}{6}\)
சிறப்புத் தொகை 2:
\(\text { P.I } I_2=\frac{1}{D^2+D-6} e^{-3 x}\)
(D -க்கு பதிலாக -3 -ஐ பதிலிட)
\( \text { P. } I_2=\frac{1}{9-3-6} e^{-3 x} \)
[D = -3 எனில் \(\left(D^2+D-6\right)=0 \text { ] }\)
\( \therefore \text { P.I } I_2=x \frac{1}{2 D+1} e^{-3 x} \)
\( =x\left(\frac{1}{-6+1}\right) e^{-3 x}=\frac{-x}{5} e^{-3 x}\)
தீர்வு : C.F = P.I₁ + P.I₂
y=Ae^-3x+Be^2x+\(\frac { { e }^{ 3x } }{ 6 } -\frac { x }{ 5 } \)e^-3x

P(x,y) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட செங்கோட்டின் சாய்வு=\(\frac { dx }{ dy } \)
Q, (1,0) என்க.
∴ செங்கோடு PQ -ன் சாய்வு =\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
அதாவது, \(\frac { y-0 }{ x-1 } =\frac { y }{ x-1 } \)
∴ \(-\frac { dx }{ dy } =\frac { y }{ x-1 } \Rightarrow \frac { dx }{ dy } =\frac { y }{ 1-x } \)
அதாவது, (1-x)dx=ydy
\(\int { (1-x) } dx=\int { y } dy+c\)
\(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +c\)          .....(1)
இது (1, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(1-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 4 }{ 2 } +c\)
c =\(\frac { 1 }{ 2 } -2=\frac { 3 }{ 2 } \)
c =\(-\frac { 3 }{ 2 } \)  என (1) -ல் பிரதியிட,
\(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 3 }{ 2 } \)
2x-x²=y²-3
⇒ y²=2x-x²+3 என்பது வளைவரையின் சமன்பாடாகும்.

\(\frac { dy }{ dx } \)+2y tanx=sinx 
இது \(\frac{d y}{d x}+P y=\mathrm{Q}\) என்ற அமைப்பில் உள்ளது
இங்கு, \(\mathrm{P} =2 \tan x, \mathrm{Q}=\sin x \)
\(\int P d x =2 \int \tan x d x=2 \log \sec x\)
தொ.கா, \(=e^{\int P d x}=\mathrm{e}^{2 \log \cos x} \)
\(=e^{\log \sec ^2 x}=\sec ^2 x \)
தீர்வு:
\(y e^{\int Pdx } =\int Q e^{\int P d x} d x+c \)
\(y \sec ^2 x =\int \sin x \sec ^2 x d x+c \)
\( =\int \frac{\sin x}{\cos x} \frac{1}{\cos x} d x+c \)
\( =\int \sec x \tan x d x+c \)
\(y \sec ^2 x  =\sec x+c\)
y=0 மற்றும் \(x=\frac{\pi}{3}\) எனில்,
\(0  =2+c \Rightarrow c=-2 \)
\(\therefore y \sec ^2 x  =\sec x-2\)

\(\left(\mathrm{y}^3-2 \mathrm{y} x^2\right) \mathrm{d} x+\left(2 x y^2-x^3\right) \mathrm{dy}=0 \)
\(\left(2 x y^2-x^3\right) \mathrm{dy}=-\left(\mathrm{y}^3-2 \mathrm{y} x^2\right) \mathrm{d} x\)
\(\frac{d y}{d x}=-\frac{\left(y^3-2 y x^2\right)}{2 x y^2-x^3} \)
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என (1) –ல் பிரதியிட,
\( v+x \frac{d v}{d x}=\frac{-\left(v^3 x^3-2 v x^3\right)}{2 v^2 x^3-x^3} \)
\( x \frac{d v}{d x}=\frac{-\left(v^3-2 v\right)}{2 v^2-1}-v \)
\(=\frac{-v^3+2 v-2 v^3+v}{2 v^2-1} \)
\(x \frac{d v}{d x}=\frac{-3 v^3+3 v}{2 v^2-1}=\frac{-3\left(v^3-v\right)}{2 v^2-1} \)
\(\int \frac{\left(2 v^2-1\right) d v}{v^3-v}=-3 \int \frac{d x}{x} \) ...(2)
\( \frac{2 v^2-1}{v^3-v}=\frac{2 v^2-1}{v\left(v^2-1\right)} \) எனக் கருதுக 
\( \frac{2 v^2-1}{v(v+1)(v-1)}=\frac{A}{v}+\frac{B}{v+1}+\frac{C}{v-1} \)
\( 2 \mathrm{v}^2-1=\mathrm{A}(\mathrm{v}+1)(\mathrm{v}-1) +B v(v-1)+C v(v+1) \)
\( \mathrm{v}=1 \) எனில் \(1=2 C \Rightarrow C=1 / 2 \)
\( v=-1 \) எனில் \(1=2 B \Rightarrow B=1 / 2 \)
v = 0 எனில் \( -1=-A \Rightarrow A=1 \)
\(\frac{2 v^2-1}{v^3-v}=\frac{1}{v}+\frac{1}{2(v+1)}+\frac{1}{2(v-1)}\)
(2) - ல் பிரதியிட,
\( \int \frac{d v}{v}+\frac{1}{2} \int \frac{d v}{v+1}+\frac{1}{2} \int \frac{d v}{v-1}=-3 \int \frac{d x}{x} \)
\( \log \mathrm{v}+\frac{1}{2}[\log (\mathrm{v}+1)+\log (\mathrm{v}-1)] \)
\(=-3 \log x+\log c \)
\( \log \mathrm{v}+\log \left(\mathrm{v}^2-1\right)^{1 / 2}=\log \frac{1}{x^3}+\log \mathrm{c} \)
\( \log v \sqrt{v^2-1}=\log \frac{c}{x^3} \)
\( \frac{y}{x} \sqrt{\frac{y^2}{x^2}-1}=\frac{c}{x^3} \)
\( \frac{y \sqrt{y^2-x^2}}{x^2}=\frac{c}{x^3} \)
\( x y \sqrt{y^2-x^2}=\mathrm{c}\)
இது (1,2) வழிச் செல்வதால் 
\(2 \sqrt{4-1} = c \)
\(c = 2 \sqrt{3} \)
தேவையான சமன்பாடு \( x y \sqrt{y^2-x^2}=2 \sqrt{3} \)

\(\frac { dy }{ dx } \)=cosx
\(\int dy = \int cosx \ dx \)
y=sinx+c, c என்பது மாறத்தக்க மாறிலி

தொகையீட்டுக் காரணி 
\(\text { I.F } =\sec ^2 x \)
\(e^{\int P d x} =\sec ^2 x \)
\(\int \mathrm{P} d x =\log \sec ^2 x \)
\(\mathrm{P} =\frac{d}{d x}\left(\log \sec ^2 x\right)\)
\(=\frac{1}{\sec ^2 x}(2 \sec x \cdot \sec x \tan x) \)
\(\mathrm{P} =2 \tan x \)