வட்டத்தின் சமன்பாடு 
2x² + 2y² - 6x + 4y + 2 = 0
2 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது 
x² + y² - 3x + 2y + 1 = 0
இங்கு \(2g=-3\Rightarrow g=\cfrac { -3 }{ 2 } \)
\(2f=2\Rightarrow f=1\)
மற்றும் c = 1
\(\therefore\) மையம் \(\left( -g,-f \right) =\left( \cfrac { 3 }{ 2 } ,-1 \right) \)
மற்றும் \(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } =\sqrt { \left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }-1 } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 9 }{ 4 } } =\sqrt { \cfrac { 3 }{ 2 } } \) அலகுகள்

வட்டத்தின் சமன்பாடு 
x²+y²+6x-4y+4 = 0
இங்கு 2g = 6 \(\Rightarrow\) g = 3
2f = -4
\(\Rightarrow\) f = -2 மற்றும் c = 4
மற்றும் (-g, -f) \(\Rightarrow\) (-3, 2)
\(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ \left( -2 \right) }^{ 2 }-4 } \)
= \(\sqrt { 9+4-4 } \)
= \(\sqrt { 9 } \)
= 3 அலகுகள் 

இங்கு A = 0, C = 1, D = 4, E = 3, F = 4
B = 0 மற்றும் A அல்லது C ஆனது 0 ஆகும்.
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு பரவளையத்தை குறிக்கிறது.

இங்கு A = 3, C = 3, D = -4, E = 3 மற்றும் F = 10
இங்கு A = C மற்றும் xy உறுப்பு இல்லை ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு வட்டத்தை குறிக்கிறது.

SS' = 2c மற்றும் 2c = 4; A'A = 2a = 6
\(\Rightarrow \) c = 2 மற்றும் a = 3,
\(\Rightarrow \) b² = a² - c² = 9 - 4 = 5.
நெட்டச்சு x-அச்சு, a > b 
மையம் (0, 0) மற்றும் குவியம் (±2, 0).
எனவே நீள் வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 9 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 5 } =1.\)

பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax 
செவ்வகலம் LL' குவியம் (a, 0) வழிச் செல்கின்றது.
எனவே L என்பது (a, y₁)ஆகும்.
அதனால் y₁² = 4a².
எனவே y₁ = ±2a 
செவ்வகலத்தின் முனைப்புள்ளிகள் (a, 2a) மற்றும் (a, -2a) ஆகும்.
எனவே செவ்வகலத்தின் நீளம் LL' = 4a.

வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+(y+2)² = 0
(x-h)²+(y-k)² = r²
h = 0, k = -2, r² = 0
மையம்(0, -2) மற்றும் ஆரம் 0

கொடுக்கப்பட்ட விட்டத்தின் முனைகள் (3, 4) (2, -7) 
\(\therefore\) வட்டத்தின் சமன்பாடு
\(\Rightarrow\) (x-x¹)(x-x²)+(y-y¹)(y-y²) = 0
\(\Rightarrow\) (x-3)(x-2)+(y+4)(y+7) = 0
\(\Rightarrow\) x²-2x-3x+6+y²+7y-4y-28 = 0
\(\Rightarrow\) x²+y²-5x+3y-22 = 0

கொடுக்கப்பட்ட (2, -1) மையம் மற்றும்(3,6) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
\(\therefore\) r = இடைப்பட்ட தோற்றம் (2, -1) மற்றும் (3, 6) புள்ளி வழிச் செல்கிறது
= \(\sqrt { \left( 2-3 \right) ^{ 2 }+\left( -1-6 \right) ^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { \left( -1 \right) ^{ 2 }+\left( -7 \right) ^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 1+49 } =\sqrt { 50 } \)
\(\therefore\) வட்டத்தின் சமன்பாடு
(x - h)² + (y - k)² = r²
\(\left( x-2 \right) ^{ 2 }+\left( y+1 \right) ^{ 2 }=\left( \sqrt { 50 } \right) ^{ 2 }\)
\(\Rightarrow\) (x - 2)² + (y + 1)² = 50

y = mx + c என்ற நேர்க்கோடு x² + y² = a² என்ற வட்டத்தின் தொடுகோடாக இருக்கக் கட்டுப்பாடு c² = a²(1 + m²).
எனவே, \(c=\pm \sqrt { 9(1+16 } \) அல்லது \(c=\pm 3\sqrt { 17 } \)

x²-ன் கெழு = y²-ன் கெழு (இருபடிச் சமன்பாட்டின் பண்பு (ii)-ன் படி) ஆதலால் 3 = a+1, a = 2 எனக்கிடைக்கின்றது. எனவே வட்டத்தின் சமன்பாடு
3x² + 3y² + 6x − 9y + 6 = 0
x² + y² + 2x − 3y + 2 = 0
மையம் \(\left( -1,\frac { 3 }{ 2 } \right) \) மற்றும் ஆரம் \(r=\sqrt { 1+\frac { 9 }{ 4 } -2 } =\frac { \sqrt { 5 } }{ 2 } .\)

தேற்றம் - ன் படி : ஒரு வட்டத்தின் விட்டத்தின் முனைப்புள்ளிகள் (x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) எனில் அந்த வட்டத்தின் சமன்பாடு (x − x₁ )(x − x₂ ) + ( y − y₁ )( y − y₂ ) = 0 ஆகும்
(x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) என்ற புள்ளிகளை விட்டத்தின் முனைகளாகக் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு (x − x₁) (x − x₂) + (y − y₁) (y − y₂) = 0
\(\Rightarrow \) (x + 4)(x −1) + ( y + 2)( y −1) = 0
எனவே தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² + 3x + y − 6 = 0

9x²-y²-36x-6y+18 = 0
\(\Rightarrow\) 9x²-36x(y²-6y) = -18
\(\Rightarrow\) 9(x²-4x)(y²+6y) = -18
\(\Rightarrow\) 9(x²-4x+4-4)-(y²+6y+9-9) = -18
\(\Rightarrow\) 9(x-2)²-36-(y+3)²+9 = -18
\(\Rightarrow\) 9(x-2)²-(y+3)² = -18+36-9
\(\Rightarrow\) 9(x-2)²-(y+3)² = 9
9 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது 
துணை அச்சு x-அச்சுக்கு இணையான அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு  
a² = 1, b² = 9
\(\therefore { c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }=1+9=10\Rightarrow c=\sqrt { 10 } \)
\(e=\sqrt { 1+\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\cfrac { 9 }{ 1 } } =\sqrt { 10 } \)
(a) மையம் (2, -3)
\(\Rightarrow h=2,k=-3\)
(b) குவியங்கள் (h+c, k), (h-c, k)
\(\Rightarrow \left( 2+\sqrt { 10 } ,-3 \right) ,\left( 2-\sqrt { 10 } ,-3 \right) \)
(c) முனைகள் (h+a, k) (h-a, k)
\(\Rightarrow \left( 2+1,-3 \right) ,\left( 2-1,3 \right) \)
\(\Rightarrow \left( 3,3 \right) \left( 1,-3 \right) \)
(d) இயக்குவரையின் சமன்பாடுகள் \(x-2=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow x-2=\pm \cfrac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \)
\(x=2\pm \cfrac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \)
\(\Rightarrow x=2+\cfrac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \)
\(x=2-{ \cfrac { 1 }{ \sqrt { 10 } } }\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு  \(\frac { { (x+3) }^{ 2 } }{ 225 } -\frac { { (y-4) }^{ 2 } }{ 64 } =1\)
இது அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
\(\therefore\) a² = 225, b² = 64
\(\Rightarrow\) c² = a² + b² = 225 + 64 = 289
\(\Rightarrow\) c = 17
\(e\sqrt { 1+\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\cfrac { 64 }{ 225 } } =\sqrt { \cfrac { 225+64 }{ 225 } } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 289 }{ 225 } } =\cfrac { 17 }{ 15 } \)
(a) மையம் (-3, 4)
\(\Rightarrow\) h = -3, k = 4
(b) குவியங்கள் (h+c, k), (h-c, k)
\(\Rightarrow (-3+17),\left( -3,-17,4 \right) \)
\(\Rightarrow ((14,4),(-20,4)\)
(c) முனைகள் (h+a, k) 
\(\Rightarrow (-3+15,4),\left( -3,-15,4 \right) \)
\(\Rightarrow (12,4)(-18,4)\)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள் 
\(x+3=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow x+3=\pm \cfrac { 15 }{ \frac { 17 }{ 15 } } \Rightarrow x+3=\cfrac { \pm 225 }{ 17 } \)
\(\Rightarrow x+3=\cfrac { 225 }{ 17 } \) மற்றும் \(x+3\cfrac { -225 }{ 17 } \)
\(​​\)\(\Rightarrow x=\cfrac { 225-51 }{ 17 } \) மற்றும் \(x=\cfrac { -276 }{ 17 } \)

\(\therefore\) a² = 100, b² = 64
\(\Rightarrow\) c² = a² - b²
\(\Rightarrow\) c² = 100 - 64 = 36 
\(\therefore\) c = 6
\(e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 64 }{ 100 } } =\sqrt { \cfrac { 100-64 }{ 100 } } \)

\(\therefore c=\cfrac { 3 }{ 5 } \)
(a) மையம் (1, -2) \(\Rightarrow\) h = -1, k = 2
(b) குவியங்கள் (h-c, k), (h+c, k)
\(\Rightarrow \left( -1-6 \right) ,\left( -1+6,-2 \right) \Rightarrow (-7,2),(5,2)\)
(c) முனைகள் (h-a,k) மற்றும் (h+a,k)
\(\Rightarrow (-1-10),\left( -1+10,2 \right) \Rightarrow \left( -11,2 \right) \left( 9,2 \right) \)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள் 
\(x+1=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow x+1=\pm \cfrac { 10 }{ 3 } \Rightarrow x+1=-\cfrac { 50 }{ 3 } \)
\(\Rightarrow x=\cfrac { 50 }{ 3 } -1\) மற்றும் \(x+1=-\cfrac { 50 }{ 3 } \)
\(\Rightarrow x=\cfrac { 50 }{ 3 } -1\) மற்றும் \(x=-\cfrac { 50 }{ 3 } -1\)
\(\Rightarrow x=\cfrac { 47 }{ 3 } \) மற்றும் \(x=\cfrac { -53 }{ 3 } \)

y² - 4y - 8x + 12 = 0
y²-4y = 8x-12
இருபுறமும் 4ஐ கூட்ட கிடைப்பது
y - 4y + 4 = 8x - 12 + 4 = 8x - 8
⇒ (y - 2)² = 8(x - 1)
இது கீழ்நோக்கி திறப்புடைய பரவளையம்,
செவ்வகலம் 4a = 8 ⇒ a = 2.
(a) முனை (1, 2) ⇒ h = 1, k = 2
(b) குவியம் (h + a, 0 + k)
⇒ (1 + 2, 0 + 2)
⇒ (3, 2)
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = h - a
⇒ x = 1-2
⇒ x = -1
(d) செவ்வகலத்தின் நீளம் 4a = 8 அலகுகள்.

முனை (1, 2)
குவியம் (3, 2)
இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = -1
செவ்வகலத்தின் நீளம் = 8

ஆதியில் முனையை கொண்டால் பரவளையம் கீழ் நோக்கிய திறப்புடையது.

அதனுடைய சமன்பாடு x² = -4ay
இது(6, -4) வழிச் செல்கிறது 
\(\therefore 36=-4a\left( -4 \right) \Rightarrow 4a=\cfrac { 36 }{ 4 } =9\) 
\(\therefore\) (1) லிருந்து x² = -9y
(-6, -4) ல் சாய்வைக் காண 
(1) ஐ 'x' பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது 
\(2x=-9\cfrac { dy }{ dx } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { -2x }{ 9 } \) 
(-6, -4) ல் \(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { 2(-6) }{ -9 } =\cfrac { 12 }{ 9 } =\cfrac { 4 }{ 3 } \) 
\(\therefore \tan\theta =\cfrac { 4 }{ 3 } \Rightarrow \theta= { \tan }^{ -1 }\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) \) 
\(\therefore\) தரையுடன் ஏற்படுத்தும் எறிகோணம் 
=\(\tan^{ -1 }\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) \)

கொடுக்கப்பட்ட தகவலை கொண்டு பரவளையம் கீழ் நோக்கி திறப்புடையது என எடுத்துக் கொள்ளலாம் 

\(\therefore\) அதனுடைய சமன்பாடு x² = 4ay ..(1)

பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² = 4ay
P(3, -2.5) என்பது பரவளையத்தின் மீது அமைகிறது என்க.
\( 3^2 =-4(a)(-2.5) \\ 9 =10 a \Rightarrow a=\frac{9}{10} \\ \therefore x^2 =-4\left(\frac{9}{10}\right) y\)
மேலும் Q(x₁, -7.5) என்பதும் பரவளையத்தின் மீது அமைகிறது என்க.
\( x_1^2 =-4\left(\frac{9}{10}\right)(-7.5)\)
\(x_1^2=4 \times \frac{9}{10} \times 7.5 =27 \Rightarrow x_1=3 \sqrt{3} \) மீ
நீரானது \(3 \sqrt{3} \) மீட்டருக்கு அப்பால் தரையில் விழும். 

அணு உலை குளிரூட்டும் தூணின் குறுக்கு வெட்டு அதிபரவளைய வடிவில் உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட \(OC=\cfrac { 1 }{ 2 } OD\) மற்றும் CD = 150மீ அதனுடைய சமன்பாடு OC = 50மீ மற்றும் OD = 100 மீ \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 30 }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { 44 }^{ 2 } } =1\)
OC = 50 மீ மற்றும் OD = 100 மீ அணு உலையின் மேற்புற ஆரம் x₁ எனவும், கீழ்புற ஆரம் x₂ எனவும் கொள்க.
ஃபுள்ளிகள் A(x₁, 50) மற்றும் B(x₂, -100) அதிபரவளையம் A(x₁, 50) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
\( \therefore \frac{x_1^2}{30^2}-\frac{50^2}{44^2} =1+\frac{2500}{1936}=\frac{1936+2500}{1936} \\ x_1^2 =\frac{30^2}{44^2}(4436) \\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times \sqrt{4436} \)
\(\\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times(66.6)=45.41 \ \)மீ
மேற்புற ஆரம் = 45.41 மீ
மேற்புற விட்டம் = 90.82 மீ
மேலும், அதிபரவளையம் B(x₂, -100) வழிச் செல்கிறது.
\( \frac{x_2^2}{30^2}-\frac{100^2}{44^2} =1 \\ \frac{x_2^2}{30^2} =1+\frac{100^2}{44^2}=\frac{44^2+100^2}{44^2} \\ x_2^2 =\frac{30^2}{44^2}(11936) \\ x_2 =\frac{30}{44} \times \sqrt{11936} \\ =\frac{30}{44}(109.25)=74.48 \)
கீழ்ப்புற ஆரம் = 74.48 மீ
கீழ்ப்புற விட்டம் = 148.96 மீ
ஃ தூணின் மேற்பகுதி மற்றும் அடிப்பகுதியின் விட்டங்கள் முறையே 90.82 மீ மற்றும் 148.96 மீ.

பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² = 4ay என்க

படத்திலிருந்து சமன்பாடு x² = 4ay என்றும் அது C(30, 13) வழிச் செல்கிறது எனவும் அறியலாம்.
\( \therefore 30^2 =4 a \times 13 \\ 4 a =\frac{30^2}{13} \)
ஃ பரவளையத்தின் சமன்பாடு \(x^2=\frac{30^2}{13} y\)
(i) VG = 6 மற்றும் GE = y என்க.
ஃ E(6, y) பரவளையத்தின் மீதுள்ளது.
\(36=\frac{30^2}{13} y \Rightarrow y=0.52\)
சாலையிலிருந்து கம்பி வடத்தின் நீளம் 3 + 0.52 = 3.52 மீ
(ii) VH = 12 மற்றும் HF = y
ஃ F(12, y) பரவளையத்தின் மீதுள்ளது.
\(12^2=\frac{30^2}{13} y \Rightarrow y=\frac{144 \times 13}{900}=\frac{208}{100}=2.08\)
சாலையிலிருந்து கம்பி தம்பி வடத்தின் நீளம் = 3 + 2.08 = 5.08 மீ
முனையிலிருந்து முதலில் உள்ள இரு கம்பி வடங்களின் உயரங்கள் 3.52 மீ மற்றும் 5.08 மீ

சுரங்க பாதையின் குறுக்கு வெட்டு நீள்வட்ட வடிவில் உள்ளது என்க.

கொடுக்கப்பட்ட AA' = 16மீ \(\Rightarrow\) OA = 8 மீ மற்றும் OB = 5மீ 
\(\therefore\) \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 5 }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { 8 }^{ 2 } } =1\) 
சாலையின் அகலம் BB' மற்றும் AA' சுரங்கப் பாதை திறப்பின் முனைகள் என்க.
CB = 8 மற்றும் BD = 4
D(8, 4) என்ற புள்ளி நீள்வட்டத்தில் உள்ளது.
\( \frac{8^2}{a^2}+\frac{4^2}{5^2} =1 \\ \Rightarrow a^2 =\frac{25}{9} \times 64 \\ \Rightarrow a =\frac{40}{3} \) 
\( \mathrm{AA}^{\prime} =2 a=\frac{80}{3} \\ =26.66 \) 
சுரங்கப்பாதையின் திறப்பின் அகலம் = 26.66 மீ 

AS = 94.5 × 10⁶ கி.மீ, SA' = 152 × 10⁶ கி.மீ
a+c = 152 × 10⁶
a-c = 94.5 × 10⁶
கழிக்க 2c = 57.5 × 10⁶ = 575 × 10⁵ கி.மீ
மற்றொரு குவியத்திலிருந்து சூரியனுக்கு உள்ள தூரம் SS' = 575 × 10⁵ கி.மீ.

சரக்கு வாகனத்தின் அகலம் 3மீ என்பதால் அது வளைவு வழிச் செல்ல சாலையின் மையத்திலிருந்து 1.5மீ தூரத்தில் வளைவின் உயரம் கணக்கிட வேண்டும். இந்த உயரம் 2.7மீ அல்லது குறைவாக இருந்தால் சரக்கு வாகனம் வளைவு வழிச் செல்லாது.
படத்திலிருந்து a = 6 மற்றும் b = 3 என்பது \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { 6 }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { 3 }^{ 2 } } =1\) என்ற நீள்வட்டச் சமன்பாட்டை அளிக்கின்றது.
3மீ அகல வாகனத்தின் விளிம்பு மையத்திலிருந்து x = 1.5மீ-இல் இருக்கும். மையத்திலிருந்து 1.5மீ தூரத்தில் வளைவின் உயரம் காண x = 1.5 எனச் சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு y-இன் தீர்வு காண
\(\frac { { \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ 36 } \frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\)
 \({ y }^{ 2 }=9\left( 1-\frac { 9 }{ 144 } \right) \)
\(\frac { 9\left( 135 \right) }{ 144 } =\frac { 135 }{ 16 } \)
\(y=\frac { \sqrt { 135 } }{ 4 } \)
= 11.62/4
= 2.90
இதனால் வளைவின் மையத்திலிருந்து 1.5மீ தூரத்தில் வளைவின் உயரம் 2.90மீ, சரக்கு வாகனத்தின் உயரம் 2.7மீ என்பதால் அது நீள்வட்ட வளைவு வழியேச் செல்லும்.

y² = 4ax என்ற பரவளையத்திற்கு 't₁' ல் தொடுகோட்டிற்கான துணையலகுச் சமன்பாடு
\({ yt }_{ 1 }=x+{ at }_{ 1 }^{ 2 }\)
மேலும் y² = 4ax என்ற பரவளையத்திற்கு 't₂' ல் தொடுகோட்டிற்கான துணையலகுச் சமன்பாடு  
\({ yt }_{ 2 }=x+{ at }_{ 2 }^{ 2 }\) 

\((1)-\left( 2 \right) y\left( { t }_{ 1 }-{ t }_{ 2 } \right) =a\left( { t }_{ 1 }^{ 2 }-{ t }_{ 2 }^{ 2 } \right) \)

\(\Rightarrow y=a\left( { t }_{ 1 }-{ t }_{ 2 } \right) \)
y = a(t₁ + t₂) என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\(a\left( { t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 } \right) =x+{ at }_{ 1 }^{ 2 }\) 

இரண்டு நீளங்களின் வெட்டும் புள்ளி 
[at₁, t₂, a(t₁ + t₂)]

நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 2x² + 7y² = 14
\(\div \) 14 நமக்கு கிடைப்பது \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 7 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 2 } =1\)
y = mx + c என்ற நேர்கோடு நீள்வட்டத்தின் தொடுகோடாக இருக்க கட்டுப்பாடு 
\(y=mx\pm \sqrt { { a }^{ 2 }{ m }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \)
(5, 2), (1)-ன் மீதுள்ள a² = 7, b² = 2
\(\therefore 2=m(5)\pm \sqrt { { 7m }^{ 2 }+2 } \)
\(\therefore 2-5m=\pm \sqrt { 7{ m }^{ 2 }+2 } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது 
(2, -5m)² = 7m²+2
4+25m²-20m = 7m²+2
18m²-2m+2 = 0
9m²-10m+1 = 0(\(\div \)2)
காரணிப்படுத்த கிடைப்பது 
(m-1)(9m-1)=0
\(\therefore\) m-1 = 0 (அ)

9m-1 = 0
\(\Rightarrow m=1\) (அ) \(\cfrac { 1 }{ 9 } \)
m = 1 எனில் (1) லிருந்து
\(y=1(x)\pm \sqrt { { 7m }^{ 2 }+2 } \)
\(\Rightarrow y=x\pm \sqrt { 7+2 } \Rightarrow y=x\pm 3\)
 \(y=x+3\Rightarrow x-y+3=0\)
\(m=\cfrac { 1 }{ 9 } \) எனில் (1) லிருந்து
\(y=\cfrac { 1 }{ 9 } \left( x \right) \pm \sqrt { 7\left( \cfrac { 1 }{ 81 } \right) } +2\)
\(\Rightarrow y=\cfrac { x }{ 9 } +\sqrt { \cfrac { 7+162 }{ 81 } } \)
\(y=\cfrac { x }{ 9 } +\cfrac { 13 }{ 9 } \)
\(\Rightarrow 9y=x+13\Rightarrow x-9y+13=0\)
ஆகையால் தொடுகோட்டின் சமன்பாடுகள் 
x-y-3 = 0 மற்றும் x - 9y + 13 = 0

அதிபரவளையத்தின் செவ்வகலம் LL'S (ae, 0) வழிச் செல்கிறது.

\(\therefore L=\left( ae,y_1 \right) \)
L ஐ \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\(\cfrac { { a }^{ 2 }{ e }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\cfrac { { y }_{ 1 }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\Rightarrow { e }^{ 2 }-\cfrac { { y }_{ 1 }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow { e }^{ 2 }-1=\cfrac { { y }_{ 1 }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } \) \([{ b }^{ 2 }\Rightarrow { a }^{ 2 }\left( { e }^{ 2 }-1 \right) \cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } ={ e }^{ 2 }-1]\)
\(\Rightarrow { { y }_{ 1 }^{ 2 } }={ b }^{ 2 }\left( { e }^{ 2 }-1 \right) \ \) 
\({ y }_{ 1 }^{ 2 }={ b }^{ 2 }\left( \cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \right) \Rightarrow { y }_{ 1 }^{ 2 }=\cfrac { { b }^{ 4 } }{ { a }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow { y }_{ 1 }=\pm \cfrac { { b }^{ 2 } }{ a } \)
 \(\therefore\) செவ்வகலத்தின் முடிவுப் புள்ளிகள் L மற்றும் 
\({ L }^{ ' }\left( ae,\cfrac { { b }^{ 2 } }{ a } \right) \) மற்றும் \(\left( ae,\cfrac { { b }^{ 2 } }{ a } \right) \)
ஆகையால் செவ்வகலத்தின் நீளம் \({ LL }^{ ' }=\cfrac { b^{ 2 } }{ a } +\cfrac { { b }^{ 2 } }{ a } \)
= \(\cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } \) அலகுகள்

(i) கொடுக்கப்பட்ட குவியம் (4, 0) மற்றும் இயக்குவரை x = -4 (4, 0) குவியம் மற்றும் இயக்குநரை இயக்குவரை x = -4, ஆதலால் பரவளையத்தின் வடிவம் y² = 4ax

மேலும் a = 4
\(\therefore\) பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4(4)x
\(\therefore\) y² = 16x
(ii) பரவளையம் (2, -3) வழி செல்கிறது மற்றும் சமச்சீர் அச்சு y-அச்சு ஆகும்.

பரவளையம் (2, -3) வழிச் செல்வதன் காரணமாக அது கீழ்நோக்கி திறப்புடையது.
\(\therefore\)  அதனுடைய சமன்பாடு x² = -4ay
(2,-3) என்ற புள்ளியை பிரதியிட கிடைப்பது
2²= -4z(-3)
\(\Rightarrow\) 4 = -12a

(1)  லிருந்து 
\(\therefore { x }^{ 2 }=-4\left( \cfrac { 1 }{ 3 } \right) y\)
\(\Rightarrow\) 3x² = -4y
(iii) முனை (1, -2) மற்றும் குவியம் (4, -2) பரவளையம் வலது புறம் திறப்புடையது.

a =(1, -2) மற்றும் (4, 2) க்கு இடைப்பட்ட தூரம்
\(a=\sqrt { \left( 1-4 \right) ^{ 2 }+\left( -2+2 \right) ^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow a=\sqrt { \left( -3 \right) ^{ 2 }+\left( -2+2 \right) ^{ 2 } } \)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு 
(y-k)² = 4a(x-h)
(y+2)² = 4(3)(x-1)
[\(\therefore\) (h, k)(1, -2)]
\(\therefore\) (y+2)² = 12(x-1)
(iv) செவ்வகலத்தின் முனை புள்ளிகள் (4, -8) மற்றும் (4, 8)
குவியம்(4, -8) மற்றும் (4, 8)ன் மையப்புள்ளி 

\(\therefore\) குவியம் = \(\left( \cfrac { 4+4 }{ 2 } ,\cfrac { -8+8 }{ 2 } \right) =(4,0)\)
\(\therefore\) a = 4 மற்றும் உச்சிப்புள்ளி (0, 0)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
\(\therefore\) y² = 4(4)x
\(\therefore\) y² = 16x

சமன்பாட்டின் உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தி அதிபரவளையத்தின் திட்டவடிவமாக மாற்ற
11(x² - 4x) - 25( y² - 2y) - 256 = 0
11(x-2)²-25(y-1)² = 256 - 44 + 25
11(x-2)²-25y(-1)² = 275
\(\frac { { (x-2) }^{ 2 } }{ 25 } -\frac { { (y-1) }^{ 2 } }{ 11 } =1\)
மையம் (2,1), a² = 25, b² = 11
c² = a² + b²
= 25 + 11 = 36
எனவே c = ±6
\(e=\frac { c }{ a } =\frac { 6 }{ 5 } \) மற்றும் குவியங்கள் (8, 1) மற்றும் (-4, 1)

x மற்றும் y மதிப்புகளை முழுவர்க்கமாக்க 4x² + 36y² + 40x − 288y + 532 = 0,
4(x²+10x+25-25) + 36(y²-8y+16-16)+532 = 0 இலிருந்து 
4(x²+10x-25) + 36(y²-8y-16) = -532 + 100 + 576
4(x+5)² + 36(y-4)² = 144.
இருபுறமும் 144-ஆல் வகுக்கச் சமன்பாடு 
\(\frac { { (x+5) }^{ 2 } }{ 36 } +\frac { { (y-4) }^{ 2 } }{ 4 } =1\)
இது மையம் (-5,4), மற்றும் நெட்டச்சு x-அச்சுக்கு இணையான நீள்வட்டம். இதன் அரை நெட்டச்சின் நீளம் 12 மற்றும் குற்றச்சின் நீளம் 4. முனைகள் (1, 4) மற்றும் (-11, 4).
தற்போது, c² = a² - b² = 36 - 4 = 32
மற்றும் c = ±4\(\sqrt 2\).
எனில் குவியங்கள் (-5 - 4\(\sqrt 2\), 4) மற்றும் (−5 + 4\(\sqrt 2\),4)
நெட்டச்சின் நீளம் = 2a = 12 அலகுகள் மற்றும் 
குற்றச்சின் நீளம் = 2b = 4 அலகுகள்.

கூம்பு வளைவின் வரையறைப்படி \(\frac{SP}{PM}=e \) அல்லது SP² = e²PM².
இதனால், (x-2)² + (y-3)² = \(\frac {1}{4}\)(x-7)²
\(\Rightarrow \) 3x² + 4y² − 2x − 24y + 3 = 0, இதை பின்வருமாறு எழுதலாம்
\(\Rightarrow 3{ \left( x-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+4{ (y-3) }^{ 2 }=3\left( \frac { 1 }{ 9 } \right) +4\times 9-3=\frac { 100 }{ 3 } \)
\(\Rightarrow \frac { { \left( x-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 } }{ \frac { 100 }{ 9 } } +\frac { { (y-3) }^{ 2 } }{ \frac { 100 }{ 12 } } =1\) இது திட்ட வடிவம் ஆகும்.
எனவே நெட்டச்சின் நீளம் = 2a = 2\(\\ \sqrt { \frac { 100 }{ 9 } } =\frac { 20 }{ 3 } \) மற்றும் 
குற்றச்சின் நீளம் = 2b = 2\(\\ \sqrt { \frac { 100 }{ 12 } } =\frac { 10 }{ \sqrt { 3 } } \)

வட்டத்தின் சமன்பாடானது 
x²+y²+2gx+2fy+c = 0
(1, 0) வழி (1) செல்கிறது 
\(\Rightarrow\) 1+0+2g(1) + 2f(0) +c = 0
2g + c = -1  ... (2)
(-1, 0) வழி (1) செல்கிறது 
\(\Rightarrow\) (-1)² + 0 +2g(-1) + 2f(0) + c = 0
\(\Rightarrow\)-2g + c = -1  ...(3)
மேலும்(0, 1) வழி (1) செல்கிறது 
\(\Rightarrow\) 0 + 1² + 2g(0) + 2f(1) + c = 0
\(\Rightarrow\) 2f + c = -1..(4)
\(\Rightarrow\) (2) + (3) 2c = -2
c = -1
c-1 என (2)-ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
2g-1 = -1
\(\Rightarrow\) 2g = 0
\(\Rightarrow\) g = 0
c = -1 என (2) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\(\Rightarrow\) 2g = 0
\(\Rightarrow\) g = 0
c = -1 என(4) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
2f-1 = -1
\(\Rightarrow\) 2f = 0
\(\Rightarrow\) f = 0
\(\therefore\) (1) லிருந்து 
x² + y² + 0 + 0 - 1 = 0
\(\Rightarrow\) x² + y² = 1

அரைவட்ட வளைவு வழிகளின் மையப்புள்ளிகள் O₁ மற்றும் O₂ என்க.
முதல் வளைவு வழியின் மையம் O₁(12, 0) மற்றும் r =10. இதிலிருந்து அந்த அரைவட்டத்தைக் குறிக்கும் சமன்பாடு 
(x −12)² + ( y − 0)² = 10²
\(\Rightarrow \) x² + y² − 24x + 44 = 0 , y > 0 .
இரண்டாம் வளைவு வழியின் மையம் O₂ (34, 0) மற்றும் ஆரம் r = 10. முதல் வளைவு போல இரண்டாம் வளைவு வழியின் சமன்பாடு 
(x − 34)² + y² = 10²
\(\Rightarrow \) x² + y² − 68x +1056 = 0, y > 0 .

அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 12x²-9y² = 108
\(\div 18\) கிடைப்பது \(\cfrac { { 12x }^{ 2 } }{ 108 } -\cfrac { { 9y }^{ 2 } }{ 108 } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 9 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 12 } =1\)
\(\therefore\) a² = 9, b² = 12
அதிபரவளையத்திற்கான தொடுகோட்டின் துணையலகு \(\cfrac { xsec\theta }{ a } -\cfrac { ytan\theta }{ b } =1\) 
\(\theta =\cfrac { \pi }{ 3 } \) எனில், சமன்பாடு 
\(\cfrac { xsec\cfrac { \pi }{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { ytan\frac { \pi }{ 3 } }{ 2\sqrt { 3 } } =1\) 

\(\Rightarrow \cfrac { 4x-3y }{ 6 } =1\Rightarrow 4x-3y-6=0\) தேவையான தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
பரவளையத்திற்கான செங்கோட்டின் துணையலகுச் சமன்பாடு 
\(\cfrac { ax }{ sec\theta } +\cfrac { by }{ tan\theta } ={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\) 
\(\theta =\cfrac { \pi }{ 3 } \quad \cfrac { 3x }{ sec\cfrac { \pi }{ 3 } } +\cfrac { 2\sqrt { 3 } y }{ tan\cfrac { \pi }{ 3 } } =9+12\) 

\(\Rightarrow \cfrac { 3x }{ 2 } +2y=21\Rightarrow 3x+4y=42\)
\(\Rightarrow 3x+4y-42=0\) தேவையான செங்கோட்டின் சமன்பாடாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு 
x² + y² − 5x + 2y − 5 = 0
(-2, 1) (1) ஆனது 
(-2)²+12+5(-2)+2(1)-5
= 4+1+10+2+2-5
= 17 - 5 = 12 > 0
\(\therefore\) (-2, 1) வட்டத்திற்கு வெளியே உள்ளது 
(0, 0)- (1) ஆனது -5 < 0
\(\therefore\) (0, 0) 
(-4, -3)
(-4)2+(-3)2-5(-4)+2(-3)-5
= 16+9+20-6-5
= 45-11 = 34 > 0
\(\therefore\) (-4, -3) வட்டத்தின் வெளியே அமைந்துள்ளது 

கொடுக்கப்பட்ட கோடு \(y=\mathrm{m} x+2 \sqrt{5}\)
இங்கு 
\( m=m ; c=2 \sqrt{5} \\  a^2=9 \quad b^2=16 \\  a=3 \quad b=4 \\  c^2=a^2 m^2-b^2 \\  (2 \sqrt{5})^2=9 m^2-16 \\  20+16=9 m^2 \Rightarrow m^2=\frac{36}{9}=4 \)
\(\therefore m= \pm 2 \) என்பது \(x^2-(a+b) x-4=0\)
\(2^2-(a+b) 2-4=0 \Rightarrow a+b=0\)

\( P(h, k) \\ x=-\frac{9}{2} \Rightarrow 2 x+9=0 \\ P Q=\frac{2}{3} \mathrm{PM} \\ \sqrt{(h+2)^2+k^2}=\frac{2}{3}\left|\frac{2 h+9}{2}\right| \\ (h+2)^2+k^2=\frac{1}{9}(2 h+9)^2 \\ h^2+4+4 h+k^2=\frac{1}{9}\left(4 h^2+36 h+81\right) \\ 9 h^2+36+36 h+9 k^2=4 h^2+36 h+81 \\ 5 h^2+9 k^2=45 \\ \frac{h^2}{9}+\frac{k^2}{5}=1\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \) 
நீள்வட்டமாகும்.

P-ன் நியமப்பாதை = y²-ன் இயக்குவரை = 4x
4a = 4
a = 1
இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = -a = -1
x = -1

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

x = a cos \(\theta\); y = b sin \(\theta\)
நீளம் = 2acos\(\theta\); அகலம் = 2bsin\(\theta\)
பரப்பு A = l \(\times\) b = 4absin\(\theta\)cos\(\theta\)
A = 2ab sin 2\(\theta\)
\(\frac{dA}{d \theta}\)= 2ab cos2\(\theta\) (2) = 4ab cos2\(\theta\)
மீப்பெரும பரப்பிற்கு
\(\frac{dA}{d \theta}\) = 0 \(\Rightarrow\) cos2\(\theta\) = 0
\(\begin{aligned} 2 \theta & =\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore A = 2 a b \sin 2\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 a b \sin \frac{\pi}{2} \end{aligned}\)
A = 2ab

\( e =\frac{3}{5} \\ 2 a e =6 \Rightarrow 2 a\left(\frac{3}{5}\right)=6 \Rightarrow a=5 \\ b^2 =a^2-a^2 e^2 \\ b^2 =25-19=16 \Rightarrow \mathrm{b}=4 \\ =4 \times \frac{1}{2} \times a b=2 a b \\ =2 \times 5 \times 4=40 \)

\(\triangle O O^{\prime} A ,\\ (1+y)^2  =(1-y)^2+1 \\ 1+y^2+2 y  =1+y^2-2 y+1 \\ 4 y  =1 \Rightarrow y=\frac{1}{4} \)

\( a^2=16 b^2 =9 \\ (h, k) =(0,3) \\ e =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4} \)
\(a e=4 \frac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{7} (x-h)^2+(y-k)^2  =r^2 \\ (\sqrt{7}-0)^2+(0-3)^2  =r^2 \Rightarrow \sqrt{7}^2+3^2=r^2 \\ 7+9  =r^2 \Rightarrow r^2=16 \\ \therefore(x-0)^2+(y-3)^2  =16 \\ x^2+y^2-6 y+9  =16 \\ x^2+y^2-6 y-7  =0\)

\(a^2=9, \quad b^2=4 \\  2 x-y=1 \Rightarrow y=2 x-1 \\  m=2 \\  c=\sqrt{a^2 m^2-b^2}=\sqrt{9(4)-4} \\  =\sqrt{36-4}=\sqrt{32} \\  c= \pm 4 \sqrt{2} \\ =\left(\frac{-a^2 m}{c}, \frac{-b^2}{c}\right) \\  =\left(\frac{-9 \times 2}{-4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{-4 \sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9 \times 2}{4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{4 \sqrt{2}}\right) \\  =\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9}{2 \sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right) \\ \)

E₂ என்ற நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
இது (0, 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
a² = 16 
மேலும் இது (3, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(\frac{9}{b^2}+\frac{4}{16}=1 \Rightarrow \frac{9}{b^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\( b^2=12 \\ e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{12}{16}}=\frac{1}{2} \)

\( y^2=12 x \quad \Rightarrow 4 a =12 \Rightarrow a=3 \\ x+y =k \Rightarrow y=-x+k \\ \therefore m =-1, c=k \\ c=-2 a m-a m^2 \Rightarrow k =-2 a(-1)-a(-1)^3 \\ k =-6(-1)-3(-1)=6+3=9 \)

y² = 4x
4a = 4
a = 1
செவ்வகலத்தின் முனைப்புள்ளிகள் 
\( =(a, \pm 2 a) \\ =(1, \pm 2) \)
செங்கோட்டின் சமன்பாடு
\(x y_1+2 a y=x_1 y_1+2 a y_1\)
(1, \(\pm2\)) புள்ளியில் செங்கோட்டின் சமன்பாடு
y = - x + 3
x + y - 3 = 0
y = x + 3
x - y + 3 = 0
\( \left|\frac{a x_1+b y_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|=\left|\frac{3-2-3}{\sqrt{1+1}}\right| =r \Rightarrow\left|\frac{-2}{\sqrt{2}}\right|=r \\ \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{2}} =r \\ r =\sqrt{2} \Rightarrow r^2=2 \)

 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\ (\pm a e, 0 )\\ e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\\ (\pm b e, 0 )\\ e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
நாற்கரத்தின் பரப்பு \( =\frac{1}{2} A C \times B D \)
\( =\frac{1}{2} 2 a e \times 2 b e \\ =a \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} \times 2 b \sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}} \\ =a \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} \times 2 b \frac{\sqrt{b^2+a^2}}{b} \\ =2\left(a^2+b^2\right) \)

\( 16 x^2+25 y^2 =400 \\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16} =1 \\ a^2 =25 \Rightarrow a= \pm 5 \\ P F_1+P F_2 = 2 a \\ =2 \times 5=10 \)

\(x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 2y + 1 = 0 \)
2g = - 2
g = - 1
2f = - 2
f = - 1
இணையான கோடு 2x + 4y + \(\lambda\) = 0 என்க. மையம் (-g, -f) = (1, 1) என்பது இக்கோட்டின் மேல் அமைவதால்,
2 + 4 + 2 = 0 ⇒\(\lambda\) = -6
2x + 4y - 6 = 0
x + 2y = 3

\( 3 x^2+b \mathrm{y}^2+4 b x-6 b \mathrm{y}+b^2 =0 \\ a=\mathrm{b} \ \Rightarrow \ b =3=\mathrm{a} \)
\( 3 x^2+3 y^2+12 x-18 y+9=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2+4 x-6 y+3=0 \\ 2 g=4 ; 2 f=-6 ; c=3 \\ g=2 ; f=-3 \\ r=\sqrt{g^2+f^2-c} \\ =\sqrt{4+9-3}=\sqrt{10} \)

\( C A =C B \Rightarrow C A^2=C B^2 \\ (1-1)^2+(0-h)^2 =(2-1)^2+(3-h)^2 \\ h^2 =1+h^2+9-6 h \\ 6 h =10 \Rightarrow h=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \\ =2 h =2\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{10}{3} \)

செவ்வகல நீளம்
\( \frac{2 b^2}{a} =8 \\ b^2 =4 a ........ (1) \) 
துணையச்சின் நீளம் 
\( 2 b =\frac{1}{2}(2 a e) \\ b =\frac{a e}{2} \\ b^2 =\frac{a^2 e^2}{4} \)
\( \frac{a^2 e^2}{4} =a^2\left(e^2-1\right) \\ \mathrm{e}^2\left(e^2-1\right) =4 \mathrm{e}^2-4 \\ 3 \mathrm{e}^2 =4 \Rightarrow \mathrm{e}^2=\frac{4}{3} \\ \therefore \mathrm{e} =\frac{2}{\sqrt{3}}\)

x = 0 என்ற கோட்டிற்கும் மையம் (- g, - f) -க்கும் உள்ள தூரம் வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.
\(\pm\left(\frac{-g}{1^2}\right)=\sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow f^2=c\) ............ (1)
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து,
\( 2 f =-6+3 \lambda, c=9-19 \lambda \\ \left(\frac{-6+3 \lambda}{2}\right)^2 =9-19 \lambda \Rightarrow \lambda=0, \frac{-40}{9} \)