சமன்பாட்டின் இடப்பக்கம் இருப்பது பல்லுறுப்புக்கோவை அல்ல. ஆனால் பல்லுறுப்புக்கோவை போல் தோற்றமளிக்கிறது. உண்மையில், இதனை cosx -ல் இருக்கும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை எனலாம். எனினும் (1) –ல் உள்ள சமன்பாட்டைத் தீர்க்க பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளைப் பற்றி நாம் அறிந்தவற்றைப் பயன்படுத்தலாம். cosx-ஐ y எனப் பிரதியிட 2y^{2 -}9y+4=0 எனும் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது. 4 மற்றும் \(\frac{1}{2}\) ஆகியவை இதன் தீர்வுகளாகும். 
இதிலிருந்து cosx=4 அல்லது cosx=\(\frac{1}{2}\) -க்கு ஏற்றதாக x அமையவேண்டும். ஆனால் cosx=4 என்பது சாத்தியமில்லாதது cosx=\(\frac{1}{2}\)- எனும்போது எண்ணற்ற பல மெய்யெண் மதிப்புள்ள x அமைகின்றது. உண்மையில் அனைத்து n ∈ Z-க்கும் x=\(2n\pi \pm \frac { \pi }{ 3 } \)என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (1) க்கு தீர்வாகும்.
cos²x-9cosx+20=0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு இதே வழிமுறைகளை கடைபிடித்தால் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வே இல்லை என்பது புலனாகிறது.

மூலங்களின் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியம் ஆதலால் மூலங்கள் α, -α மற்றும் β என்க.
α - α + β =\(\frac { -b }{ a } =\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ β = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
αβ\(\gamma \)=\(\frac { -d }{ a } \)
⇒ \(\alpha (-\alpha )\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =\frac { -9 }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { { \alpha }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { 9 }{ 2 } \) ⇒ α²=9 ⇒ α=±3
⇒ α=3
∴ மூலங்கள் 3, -3 மற்றும் \(\frac { 1 }{ 2 } \).

\(\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \) என்பது ஒரு மூலம் என்பதால் x-\(\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \) என்பது ஒரு காரணியாகும். வெளிப்புறமுள்ள வர்க்கமூலத்தை நீக்க x+\(\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \)  என்பதை மற்றொரு காரணியாக எடுத்துக்கொண்டு இவை இரண்டையும் பெருக்க \(\left( x+\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \right) \left( x-\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \right) ={ x }^{ 2 }-\frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } \)எனப் பெறுகிறோம்.
இருப்பினும் நாம் இன்னும் இலக்கை அடையவில்லை. எனவே x²+\(\frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } \) என்பதை மற்றொரு காரணியாகக் கொண்டு இரண்டையும் பெருக்கினால் \(\left( x^2-\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \right) \left( x^2+\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \right) ={ x }^{ 4 }-\frac { 2 }{ 3 } \) எனக் கிடைக்கிறது. எனவே, தேவையானப் பண்புகளுடைய பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடு 3x⁴-2=0 ஆகும்.

மூலங்கள் p:q:r எனும் விகிதத்தில் இருப்பதால், மூலங்களை pλ, qλ மற்றும் rλ எனக் கொள்க. இனி,
Σ₁ =pλ+qλ+rλ =-a      .......(1)
Σ₂=(pλ)(qλ)+(qλ)(rλ)+(rλ)(pλ)=b    .....(2)
Σ₃=(pλ)(qλ)(rλ)=-c,     .....(3)
(1) ⇒ λ = -\(\frac { a }{ p+q+r } \)    .....(4)
(3) ⇒ λ³=-\(\frac { c }{ pqr } \)     ........(5)
(4)-ஐ (5)-ல் பிரதியிட, நமக்கு கிடைப்பது
\(\left(- \frac { a }{ p+q+r } \right) ^{ 3 }=-\frac { c }{ pqr } \) ⇒ pqra³ =c(p+q+r)³

x³+px²+qx+r=0 எனும் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α, β, மற்றும் γ என்பதால்
Σ₁ α+β+γ=-p மற்றும் Σ₃ αβγ =-r
எனவே,
\(\Sigma \frac { 1 }{ \beta \gamma } =\frac { 1 }{ \beta \gamma } +\frac { 1 }{ \gamma \alpha } +\frac { 1 }{ \alpha \beta } =\frac { \alpha +\beta +\gamma }{ \alpha \beta \gamma } =\frac { -p }{ -r } =\frac { p }{ r } \).

x³+2x²+3x+4=0 மூலங்கள் α,β,\(\gamma \)
∴ α+β+\(\gamma \)=-x²-ன் கெழு =-2   ......(1)
αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α=x-ன் கெழு =3   ......(2)
-α β \(\gamma \) =+4 ⇒ α β \(\gamma \)=-4         ........(3)
-α -β -\(\gamma \) வை மூலங்களாக உடைய சமன்பாடு
-α -β -\(\gamma \)=-(α+β+\(\gamma \))
=-(-2)=2
αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α=3
(-α) (-β) (-\(\gamma \)) =-(αβ\(\gamma \))=-(-4)=4
தேவையான முப்படி சமன்பாடு
x³-(-α-β-\(\gamma \))x²+(αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α)
x-[(-α) (-β) (-\(\gamma \))]=0
⇒ x³-(2)x²+3x-4=0
⇒ x³-2x²+3x - 4 = 0

கருதப்படும் பல்லுறுப்புக்கோவையை p(x) என்க.
p(x) மற்றும் P(-x)-ல் குறிமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை பூச்சியம் என்பதால் மிகை எண் மூலங்களோ குறையெண் மூலங்களோ இல்லை. தெளிவாகவே பூச்சியம் மூலம் இல்லை. எனவே பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மெய்யெண் மூலங்கள் இல்லை. ஆகையால் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து மூலங்களும் மெய்யற்ற கலப்பெண் மூலங்களாகும்.

மூலங்கள் கூட்டுத்தொடரில் உள்ளன என்க. பின்னர் அம்மூலங்கள் α-d, α, α+d ஆகும். வியட்டாவின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த, நாம் பெறுவது
(α-d)+α+(α+d) =-\(\frac { p }{ 1 } \) =p ⇒ 3α=-p ⇒ α=-\(\frac { p }{ 3 } \)
ஆனால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு α ஒரு மூலம் என்பதால்,
\(\left( -\frac { p }{ 3 } \right) ^{ 3 }+p\left( -\frac { p }{ 3 } \right) ^{ 2 }+q\left( -\frac { p }{ 3 } \right) \)+r =0 ⇒ 9pq=2p³+27r இதுவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலங்கள் கூட்டுத் தொடர் அமையத் தேவையான நிபந்தனையாகும்.

2-\(\sqrt { 3 } \) என்பது ஒரு மூலம் என்பதாலும் மற்றும் கெழுக்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருப்பதாலும் 2+\(\sqrt { 3 } \) என்பதும் ஒரு மூலமாகும்.
x²−(மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கல்தொகை = 0 என்பது நமக்குத் தேவையான பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடாகும். எனவே
x²-4x+1=0
என்பது நமக்குத் தேவையானப் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும்.

x³+2x²+3x+4=0 மூலங்கள் α,β,\(\gamma \)
∴ α+β+\(\gamma \)=-x²-ன் கெழு =-2    ........(1)
αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α=x-ன் கெழு =3     ......(2)
-α β \(\gamma \) =+4 ⇒ α β \(\gamma \)=-4         ........(3)
2α,2β,2\(\gamma \) வை மூலங்களாக உடைய முப்படி சமன்பாட்டை உருவாக்குக
2α+2β+2\(\gamma \)=2(α,β,\(\gamma \))=2(-2)=-4 [(1) லிருந்து]
4αβ+4β\(\gamma \)+4\(\gamma \)α=4(αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α)=4(3)=12 [(2) லிருந்து]
(2α) (2β) (2\(\gamma \)) =8(αβ\(\gamma \)) =8(-4)=-32 [(3) லிருந்து]
∴ தேவையான முப்படி சமன்பாடு
x³-(2α+2β+2\(\gamma \))x²+(2αβ+2β\(\gamma \)+2\(\gamma \)α)x-(2α) (2β) (2\(\gamma \))=0
⇒ x³-(4)x²+12x+32=0
⇒ x³+4x²+12x+32=0

இது இரட்டைப்படை முதல் வகை தலைகீழ் சமன்பாடாகும்.
எனவே பின்வருமாறு எழுதலாம்.
6\(\left( x^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \right) -35\left( x+\frac { 1 }{ x } \right) +62=0\)
பிரதியிடு \(x+\frac { 1 }{ x } \)=y
⇒ \(x^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \)+2=y²
⇒ \(x^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \)=y²-2
∴ (1) ஆனது,
⇒ 6(y²-2)-35y+62 = 0
⇒ 6y²-12-35y+62 = 0
⇒ 6y² - 35y + 50 = 0
⇒ (3y-10)(2y- 5) = 0
⇒ y=\(\frac { 10 }{ 3 } \),\(\frac { 5 }{ 2 } \)
நிலை (i) y =\(\frac { 10 }{ 3 } \) எனில், \(x+\frac { 1 }{ x } =\frac { 10 }{ 3 } \)
⇒ \(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { 10 }{ 3 } \)
⇒ 3x²+3=10x
⇒ 3x²-10x+3=0
⇒ (x-3)(3x-1)=0
⇒ x=3, \(\frac { 1 }{ 3 } \)
நிலை (ii) y= \(\frac { 5 }{ 2 } \) எனில்,
\(x+\frac { 1 }{ x } =\frac { 5 }{ 2 } \Rightarrow \frac { x^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { 5 }{ 2 } \)
⇒ 2x²+2=5x
⇒ 2x²-5x+2=0
⇒ (x-2)(2x-1)=0
⇒ x=2, \(\frac { 1 }{ 2 }\).
எனவே மூலங்கள் 2,\(\frac { 1 }{ 2 } ,3,\frac { 1 }{ 3 } \).

இந்நாற்படி சமன்பாட்டை பொருத்தமாக மாற்றி எழுதி பிரதியிடல் முறையைக் கடைபிடிப்பதன் மூலம் இதனைத் தீர்க்கலாம்.
(x − 2) (x − 3) (x − 7) (x + 2) +19 = 0 .
எனச் சமன்பாட்டை மாற்றி எழுதலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு,
(x² - 5x + 6)(x² - 5x - 14) + 19 = 0 என்றாகிறது.
x² - 5x-ஐ y எனப் பிரதியிட, சமன்பாடு (y+6)(y-14)+19=0 என மாறுகிறது. அதாவது,
y²-8y-65=0
இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க y =13மற்றும் y=−5எனக் கிடைக்கும். இவற்றைப் பிரதியிட நமக்கு x²-5x-13=0 மற்றும் x²-5x+5=0 என இரு இருபடி சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன. அவற்றை வழக்கமான முறைகளில் தீர்க்க இயலும். இவ்விரு சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட தீர்வுகள் அனைத்தையும் ஒன்று சேர்த்து \(\frac { 5\pm \sqrt { 77 } }{ 2 } ,\frac { 5\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } \) என எழுதலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x²+px+q=0  .....(1)
மற்றும் x²+p'x+q'=0    .....(2)
α என்பது (1) மற்றும் (2)-ன் பொது மூலம்
∴ α²+pα+q=0       ........(3)
மற்றும் α²+p'α+q'=0          .........(4)
(3) மற்றும் (4) ஐ குறுக்கு பெருக்கல் முறையில் தீர்க்க கிடைப்பது
⇒ \(\frac { { \alpha }^{ 2 } }{ pq'-p'q } =\frac { \alpha }{ q-q' } =\frac { 1 }{ p'-p } \)
\( \Rightarrow \alpha^2=\frac{p q^{\prime}-p^{\prime} q}{p^{\prime}-p} \& \alpha=\frac{q-q^{\prime}}{p^{\prime}-p} \)
⇒ \( \alpha=\frac{\alpha^2}{\alpha}=\frac{\frac {p q^{\prime}-p^{\prime} q}{p'-q }}{\frac{q-q^{\prime}}{p^{\prime}-p}}=\frac{p q^{\prime}-p^{\prime} q}{q-q^{\prime}} \)
எனவே மூலங்கள் \(\frac { pq'-p'q }{ q-q' } \) அல்லது \(\frac { q-q' }{ p'-p } \).

சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் அனைத்தும் விகிதமுறு எண்கள் என்பதாலும் 2+i மற்றும் 3-\(\sqrt { 2 } \)  ஆகியவை மூலங்கள் என்பதாலும் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு 2-i மற்றும் 3+\(\sqrt { 2 } \) ஆகியவையும் மூலங்களாக அமையும். எனவே (x − (2 + i)) (x − (2 − i)) (x − (3− \(\sqrt { 2 } \))) மற்றும் (x − (3 + \(\sqrt { 2 } \))) ஆகியவையும் காரணிகளாகும். ஆகையால் இவற்றின் பெருக்கல்
((x − (2 + i)) (x − (2 − i)) (x − (3− \(\sqrt { 2 } \))) (x − (3 + \(\sqrt { 2 } \))) என்பதும் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கு ஒரு காரணியாகும். அதாவது (x²-4x+5)(x²-6x+7)
என்பது ஒரு காரணி. கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டை இக்காரணியால் வகுக்க, மற்றொரு காரணியாக (x²-3x-4) பெறப்படுகிறது. இதிலிருந்து 4 மற்றும் −1ஆகியவை மற்ற இரு மூலங்களாகும். எனவே 2+i, 2-i, 3+\(\sqrt { 2 } \), 3-\(\sqrt { 2 } \), -1, மற்றும் 4 ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்களாகும்.

\(\sum_{r=0}^n{ }^n C_r(-1)^r \dot{x}^r=1-{ }^n C_1 x+{ }^n C_2 x^2-{ }^n C_3 x^3+\ldots(-1)^n x^n\)
P(x) என்பது 'n' மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது.எனவே, இது 'n' மிகை மூலங்களைக் கொண்டிருக்கும்.
P(-x)ல் குறிமாற்றங்கள் இல்லை, எனவே குறையெண் மூலங்கள் கிடையாது.

a < 0 எனில், ஒரே ஒரு குறிமாற்றம் மட்டுமே கிடைக்கும்.

\(\mathrm{f}(x)=x^{\mathrm{m}}\) மற்றும் \(g(x)=x^n \) என்க.
படி = m படி = n 
\( (\mathrm{f} \circ \mathrm{g})(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{g}(x))=\mathrm{f}\left(x^{\mathrm{n}}\right)=\left(x^{\mathrm{n}}\right)^{\mathrm{m}}=x^{\mathrm{mn }} \)
படி = mn 

\(x^3 =-64 \)
\(x^3 =-4 \times-4 \times-4=(-4)^3 \)
\(x =-4\)