Question Set B

12ஆம் வகுப்பு Business Maths and Statistics / வணிகக் கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் தமிழ் மீடியம் | மாதிரி வினாத்தாள்கள் | முக்கிய வினாக்கள் | கேள்வி விடை தொகுப்பு | வினாத்தாள்கள் | பொதுத்தேர்வு மாதிரி வினாத்தாள்கள் , Business Maths and Statistics / வணிகக் கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் பாடத்திற்கான மாதிரி வினாத்தாள்கள், முக்கிய கேள்வி-விடைகள், ஒருமார்க் கேள்விகள், காலாண்டு & பொதுத்தேர்வு கேள்வித் தொகுப்புகள்

Questions:

Generic 2

2 x 2 = 4

3 அலகுகள் தொழிலாளரின் சம்பளம் மற்றும் 2 அலகுகள் மூலதனம் கொண்டு தயாரிக்கப்படும் உற்பத்தி பொருள்களுக்கான செலவு ரூ.62 ஆகும். 4 அலகுகள் தொழிலாளரின் சம்பளம் மற்றும் 1 அலகு மூலதனம் கொண்டு பொருள்கள் உற்பத்தி செய்யப்பட்டிருந்தால் அதன் மொத்த செலவு ரூ.56 எனில், அணிக்கோவை முறையில் தொழிலாளர் மற்றும் மூலதனத்தின் ஒரு அலகுக்கு ஆகும் செலவினைக் காண்க.

\(\left( \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right) \) என்ற அணியின் தரத்தினைக் காண்க.

Generic 3

3 x 3 = 9

பரிதி என்பவர் ஒவ்வொரு நாளும் சோகமாகவோ (S) அல்லது மகிழ்ச்சியாகவோ (H) உள்ளார். ஒரு நாள் மகிழ்ச்சியாக இருந்தால், அடுத்த நாள் 5-ல் 4-பங்கு சோகமாக இருப்பார். ஒரு நாள் சோகமாக இருந்தால், அடுத்த நாள் 3-ல் 2 பங்கு மகிழ்ச்சியாக இருப்பார் எனில், நீண்டகால அடிப்படையில் ஏதாவது ஒரு குறிப்பிட்ட நாளில் மகிழ்ச்சியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு காண்க

11 பென்சில்கள் மற்றும் 3 அழிப்பான்களின் மொத்த விலை ரூ.64. மேலும் 8 பென்சில்கள் மற்றும் 3 அழிப்பான்களின் மொத்த விலை ரூ.49. கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தி ஒரு பென்சில் மற்றும் ஒரு அழிப்பான் விலையைக் காண்க .

\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix} \right) \)என்ற அணியின் தரத்தினைக் காண்க .

Generic 5

7 x 5 = 35

ஒரு பாடவேளையில், கணிதம் பயிலும் மாணவர்களில் 80% பேர் அடுத்த பாடவேளையில் கணிதம் பயில்கின்றனர். ஒரு பாடவேளையில், ஆங்கிலம் பயிலும் மாணவர்களில் 30% பேர் அடுத்த பாடவேளையில் ஆங்கிலம் பயில்கின்றனர்.ஆரம்பத்தில் 60 மாணவர்கள் கணிதமும், 40 மாணவர்கள் ஆங்கிலமும் பயில்கின்றனர் எனில்,
(i) மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி
(ii) தொடர்ச்சியாக அடுத்த 2 பாட வேளையிலும் கணிதம் மற்றும் ஆங்கிலம் பயிலும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

ஒரு வாரப்பத்திரிக்கைக்குச் சந்தா கட்டுமாறு கேட்டுக்கொள்ளப்படும் கடிதம் அந்த பத்திரிக்கை அலுவலகத்திலிருந்து ஏராளமானவர்களுக்கு அனுப்புகிறது. கடிதம் பெற்றவர்களில், சந்தாதாரர்களாக இருந்து மீண்டும் சந்தா கட்டுபவர் 45% ஆகும். சந்தாதாரர்களாக இல்லாமல் இருந்து புதியதாக சந்தா கட்டுபவர்கள் 30% ஆகும். இதே போல் முன்னர் கடிதம் அனுப்பப்பட்ட போது, கடிதம் பெற்றவர்களில் 40% பேர் சந்தாதாரர்களாகச் சேர்ந்தனர் எனத் தெரிகிறது தற்போது கடிதத்தைப் பெறுபவர்களில் எத்தனை சதவீதம் பேர் சந்தாதாரர்களாவர் என எதிர்பார்க்கலாம்?

ஒரு வாகன தயாரிப்பு நிறுவனமானது S₁, S₂ மற்றும் S₃ என்ற மூன்று வகையான எஃகு இரும்புகளையும் பயன்படுத்தி C₁, C₂ மற்றும் C₃ என்ற மூன்று வகையான மகிழுந்து வாகனங்களை உற்பத்தி செய்கிறது. ஒவ்வொரு வகையான வாகனங்களுக்கு தேவையான எஃகு இரும்பு R டன்களில் மற்றும் மூன்று வகையான மகிழுந்து வாகனங்களுக்கும் தேவையான மொத்த எஃகு இரும்பு விவரம் பின்வரும் அட்டவணையில் தொகுத்து வழங்கப்பட்டுள்ளது.

எஃகு வகைகள்	வாகனங்களின் வகைகள்			இருப்பிலுள்ள மொத்த எஃகு
எஃகு வகைகள்	C₁	C₂	C₃	இருப்பிலுள்ள மொத்த எஃகு
S₁	3	2	4	28
S₂	1	1	2	13
S₃	2	2	1	14

நிறுவனம் தயாரிக்கும் ஒவ்வொரு வகையான வாகனங்களின் எண்ணிக்கையை காண்க.

ஒரு தொகை ரூ.5,000 ஆனது ஆண்டிற்கு 6%, 7% மற்றும் 8% தரக்கூடிய மூன்று பங்குகளில் பிரித்து முதலீடு செய்யப்பட்டு, ஆண்டு மொத்த வருமானமாக ரூ358 பெறப்படுகிறது. முதல் இரண்டு முதலீடுகளிலிருந்து கிடைக்கும் வருமானம், மூன்றாவது முதலீட்டிலிருந்து கிடைக்கும் வருமானத்தை விட ரூ.70 அதிகம் எனில், அம்மூன்று பங்குகளில் செலுத்தப்படும் முதலீடுகளை தரமுறையில் காண்க.

10.

பின்வரும் சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்கு தர முறையில் ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு எனக் காட்டுக:
x+y+z=3, x+2y+3z=4, x+4y+9z=6.

11.

5x+3y+7z=4, 3x+26y+2z=9, 7x+2y+10z=5 என்ற சமன்பாடுகளை தர முறையில் ஒருங்கமைவுடையது எனக் காட்டுக. மேலும் அவற்றை தீர்க்க.

12.

பின்வரும் சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவு உடையது எனில் k-ன் மதிப்பைக் காண்க. x + 2y − 3z = −2, 3x − y − 2z = 1, மற்றும் 2x + 3y − 5z = k.

Multiple Choice Question

5 x 1 = 5

13.

பின்வருவனவற்றில் எது ஒரு அணிக்கான அடிப்படை உருமாற்றம் ஆகாது?

(a)

R_i ↔️ R₁

(b)

R_i ⟶ 2R_i + 2C_j

(c)

R_i ⟶ 2R_i-4R_j

(d)

C_i ⟶ C_i+5C_j

14.

\(\\ \left( \begin{matrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -1 & 0 & \lambda \end{matrix} \right) \)என்ற அணியின் தரம் 2 எனில், λ-ன் மதிப்பு _____.

(a)

(b)

(c)

(d)

மெய்யெண் மட்டும்

15.

ρ(A) = r எனில், பின்வருவனவற்றில் எது சரி?

(a)

r வரிசையுடைய அனைத்து சிற்றணிக்கோவைகளின் மதிப்பும் பூச்சியங்களாக இருக்காது

(b)

A ஆனது குறைந்தபட்சம் ஒரு r வரிசை பூச்சிமற்ற சிற்றணிக்கோவையாவது பெற்றிருக்கும்

(c)

A ஆனது குறைந்தபட்சம் (r+1) வரிசை யுடைய சிற்றணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்கும்படியாக பெற்றிருக்கும்.

(d)

அனைத்து (r+1) வரிசை மற்றும் அதைவிட அதிகமான வரிசை கொண்ட பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவைகள் இருக்கும்

16.

என்பது ஒரு மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி எனில்,சமநிலையில் A-ன் மதிப்பு _____.

(a)

\(\frac{1}{4}\)

(b)

\(\frac{1}{5}\)

(c)

\(\frac{1}{6}\)

(d)

\(\frac{1}{8}\)

17.

A=(1 2 3) எனில், AAT -ன் தரம் ________.

(a)

(b)

(c)

(d)

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

Generic 2

2 x 2 = 4

x,y அலகுகள் தொழிலாளர் அலகு, மூலதனம் அலகு ஆகியவற்றின் விலையைக் குறிக்கட்டும்.
3x + 2y = 62
4x +y = 56
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| =3(1)-4(2)=3-8=-5\not =0\)
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 62 & 2 \\ 56 & 1 \end{matrix} \right| =62(1)-56(2)=62-112=-50\)

\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 3 & 62 \\ 4 & 56 \end{matrix} \right| =3(56)-4(62)\)
= 168 - 248 = -80

\(\therefore\) தொழிலாளருக்கான ஒரு அலகு செலவு ரூ.10 மற்றும் முதலீட்டிற்கான ஒரு அலகு செலவு ரூ.16

A=\(\left( \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right) \)என்க
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| \)=-6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும். ∴ ρ(A) ≤2

Generic 3

3 x 3 = 9

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி T =\(\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 4 }{ 5 } & \frac { 1 }{ 5 } \end{matrix} \right) \)
சமநிலையில், (S H)\(\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 4 }{ 5 } & \frac { 1 }{ 5 } \end{matrix} \right) \) (S H)
இங்கு S + H = 1
\(\frac { 1 }{ 3 } S+\frac { 4 }{ 5 } H\)=S
\(\frac { 1 }{ 3 } (1-H)+\frac { 4 }{ 5 } H\)=1-H
இதைத் தீர்க்க, நாம் பெறுவது S =\(\frac { 6 }{ 11 } \) மற்றும் H =\(\frac { 5 }{ 11 } \)
நீண்ட கால அடிப்படையில், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நாளில் மகிழ்ச்சியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac { 5 }{ 11 } \) ஆகும்.

ஒரு பென்சிலின் விலை ரூ.x என்க
ஒரு அழிப்பானின் விலை ரூ.y என்க
∴ கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களின் படி பின்வரும் சமன்பாடுகளைக் காணலாம்.
11x + 3y = 64
8x + 3y = 49
Δ=\(\left| \begin{matrix} 11 & 3 \\ 8 & 3 \end{matrix} \right| \)=9≠0. (தொகுப்பு ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்)
Δx =\(\left| \begin{matrix} 64 & 3 \\ 49 & 3 \end{matrix} \right| \)=45, Δy =\(\left| \begin{matrix} 11 & 64 \\ 8 & 49 \end{matrix} \right| \)=27
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x =\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { 45 }{ 9 } \)=5
y =\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { 27 }{ 9 } \)=3
∴ ஒரு பென்சிலின் விலை ரூ.5 மற்றும் ஒரு அழிப்பானின் விலை ரூ.3 ஆகும்.

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix} \right) \)என்க.
A -ன் வரிசை 3 x 4
∴ ρ(A) ≤3.
மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\)
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & 6 & -7 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \\ 6 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\) ஆகும்.
அனைத்து மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாகும்.
ρ(A)≠3.
ஏதேனும் ஒரு இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)=6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும். ∴ ρ(A) = 2

Generic 5

7 x 5 = 35

(i) மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி

எனவே முதல் பாடவேளைக்குப் பின், கணிதம் பயிலும் மாணவர்கள் 76 பேர்களும் ஆங்கிலம் பயிலும் மாணவர்கள் 24 பேர்களும் இருப்பார்கள்.
இரு பாடவேளைகளுக்குப் பின்

=(77.6 22.4)
இரு பாட வேளைகளுக்குப் பின், கணிதம் பயிலும் மாணவர்கள் 78 பேர்களும் (தோராயமாக) மற்றும் ஆங்கிலம் பயிலும் மாணவர்கள் 22 பேர்களும் (தோராயமாக) இருப்பர்.
மாற்றுமுறை:

=(46.8+30.8, 13.2+9.2)
(77.6 22.4)

தீர்வு : மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி
S N
T =\(\underset { { { N } } }{ S } \begin{pmatrix} .45 & .55 \\ .30 & .70 \end{pmatrix}\)
(S N ) =(.4.6)
(S N ) =(0.4 0.6)\(\begin{pmatrix} .45 & .55 \\ .30 & .70 \end{pmatrix}\)
= (0.18+0.18 0.22+0.42)
S N
=(0.36 0.64)
தற்போதைய கடிதத்தைப் பெறுபவர்களில் 36% சதவீதம் பேர் சந்தாதாரர்களாவர் என எதிர்பார்க்கலாம்.

C₁ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை x என்க.
C₂ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை y என்க.
C₃ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை z என்க.
∴ 3x+2y+4z=28
x+y+2z=13
2x+2y+z=14
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=-3≠0
Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 8 & 2 & 4 \\ 13 & 1 & 2 \\ 14 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=-6
Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 3 & 28 & 4 \\ 1 & 13 & 2 \\ 2 & 14 & 1 \end{matrix} \right| \)=-9
Δ_z=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 28 \\ 1 & 1 & 13 \\ 2 & 2 & 14 \end{matrix} \right| \)=-12
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -6 }{ -3 } \)=2
y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -9 }{ -3 } \)=3
z=\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { -12 }{ -3 } \)=4
∴ உற்பத்தி செய்யப்படும் ஒவ்வொரு வகையான வாகனங்களின் எண்ணிக்கை முறையே 2, 3 மற்றும் 4 ஆகும்.

x ,y மற்றும் z என்பன முறையே 6% ,7% மற்றும் 8% பத்திரங்களில் இடப்பட்ட தொகை என்க.
x +y +z = 5000
\(\frac { 6x }{ 100 } +\frac { 7y }{ 100 }+\frac { 8z }{ 100 } = 358\)
6x +7y +8z = 35800
\(\frac { 6x }{ 100 } +\frac { 7y }{ 100 }-\frac { 8z }{ 100 } = 70\)
6x +7y -8z = 7000
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix}1 & 1& 1\\ 6&7&8\\ 6&7& -8\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\35800\\ 7000\end{matrix} \right) \)
AX = B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி
(A,B) = \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\6&7&8&35800 \\ 6& 7& -8 &7000\end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\0&1&2&5800 \\0& 1& -14 &-23000\end{matrix} \right) \) R₂ ⟶ R₂ - 6R₁
R₃ ⟶ R₃ - 6R_1

~\(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\0&1&2&5800 \\0& 1& -16 &-28800\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶ R₃ - R₂
ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
சமன்பாட்டு தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு தீர்வைக் கொண்டது.
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix}1 & 1& 1\\0&1&2\\ 0&0& -16\end{matrix} \right) \) \(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\5800\\ -28800\end{matrix} \right) \)
-16z = -28800
z = 1800
y +2z = 5800
y = 5800-3600
y = 2200
x +y +z = 5000
x +2200+1800 = 5000
x =1000
\(\therefore \quad \)6% , 7% மற்றும் 8% பத்திரங்களில் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை முறையே ரூ. 1000, ரூ. 2200 மற்றும் ரூ. 1800 ஆகும் .

10.

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 3\\ 4\\ 6\end{matrix} \right) \)
AX =B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி
(A ,B ) = \(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 9\end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 4 \\6 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0\end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1\\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 8\end{matrix}\begin{matrix} 3 \\1 \\3 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ - R₁
R₃ ⟶ R₃ - R_1

~\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0\end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2\end{matrix}\begin{matrix} 3 \\1 \\0 \end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃ -3 R₂
\(\therefore \quad \)ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = மாறிகளின் எண்ணிக்கை
எனவே , கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு தீர்வைக் கொண்டது .
கடைசி சமான அணியின் அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1& 1 & 1 \\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 2\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ 0\end{matrix} \right) \)
2z =0 \(\Rightarrow \)z =0
y +2z =1\(\Rightarrow \)y =1
x +y +z =3\(\Rightarrow \) x =3-1 =2
தீர்வு x =2, y =1,z =0.

11.

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 7 \\ 3& 26& 2\\ 7& 2& 10\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 4\\ 9\\ 5\end{matrix} \right) \)
AX =B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி
(A ,B ) = \(\left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 26 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 10\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 9 \\5 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 121 \\ -11 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -11 \\ 1\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 33 \\-3 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ 5R₂ - 3R₁
R₃ ⟶ 5R₃ - 7R₁
~\(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 11 \\ -11 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 1\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 3\\-3 \end{matrix} \right) \)\({ { R }_{ 2} }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ 11 } \)
~\(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 11 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 3\\0\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶ R₃ + R₂
இதுவே முக்கோண அமைப்பில் உள்ள கடைசி சமான அணியாகும் .
பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை = 2
ρ(A,B ) = ρ(A) =2 < 3 (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
எனவே , சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்.
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 7 \\ 0& 11& -1\\ 0& 0& 0\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 4\\ 3\\ 0\end{matrix} \right) \)
5x +3y +7z = 4
11y -z =3
z =k என்க ,k \(\epsilon \)R (k ஒரு மெய்யெண் )
(2)ல் பதிலிட \(\Rightarrow \)11y = 3+k
y = \(\frac { 3+k }{ 11 } \)
(1) ல் பதிலிட
5x +3\(\frac { k+3 }{ 11 } \) +7k =4
55x +3k +9+77k =44
55x =35 - 80k
x =\(\frac { 35-80}{ 55 } \)
x =5\(\frac { (7-16k )}{ 55 } \)
= \(\frac {7-16k }{11 } \)
தீர்வுக் கணம் ={\(\frac {7-16k }{11 } \),\(\frac { 3+k }{ 11 } \),k } k \(\epsilon \)R

12.

தரப்பட்ட தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ k \end{matrix} \right) \)
A X = B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} - \\ -2 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ k \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -7 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 7 \\ 4+k \end{matrix} \right) \)	R₂ ⟶ R₂ - 3R₁ R₃ ⟶ R₃ - 2R₁
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 7 \\ 21+7k \end{matrix} \right) \)	R₃ ⟶ 7R₃ - 2R₂
ρ(A)=2, ρ([A,B])=2 (அல்லது) 3