2x + 5y = -2
x + 2y = -3
x = A^-1[B]
\(\left [ \begin{matrix} 2& 5\\ 1& 2\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} -2\\ -3\\ \end{matrix} \right ]\)
\(A=\left [ \begin{matrix} 2& 5\\ 1& 2\\ \end{matrix} \right ]_{2\times 2}\)
|A| = 4 - 5 = -1 \(\neq\) 0
A^-1 exists
Adj (A) = adj \(\left [ \begin{matrix} 2& 5\\ 1& 2\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} 2& -5\\ -1& 2\\ \end{matrix} \right ]\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-1}\left [ \begin{matrix} 2& -5\\ -1& 2\\ \end{matrix} \right ]\)
\(=\left [ \begin{matrix} -2& 5\\ 1& -2\\ \end{matrix} \right ]\)
X=A^-1[B]
\(\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right ] =\left [ \begin{matrix} -2& 5\\ 1& -2\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} -2\\ -3 \end{matrix} \right ]\)
\(\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} -2x-2& + 5x-3\\ 1x-2& + -2x-3\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} -11\\ 4\\ \end{matrix} \right ]\)
x = -11, y = 4

இங்கு மதிப்பிடப்பட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B, இங்கு
A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & -3 & 3 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \) மற்றும் B =\(\left[ \begin{matrix} -9 \\ -18 \\ -27 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்டஅணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகளைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
[A|B]  = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & -3 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ -18 \\ -27 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 },\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
எனவே  ρ(A) = ρ([A|B]) =  1 < 3
ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது x - y + z = - 9, 0 = 0 =, 0 = 0
முரண்பாடான முடிவுகள் கிடைக்கப் பெறாமையினால், தரப்பட்டத் தொகுப்பு  பொருத்தமுடையது. இங்கு ஒரு வெளிப்படையற்ற சமன்பாடு மட்டுமே உள்ளது மற்றும் தொகுப்பிற்கு 3 மாறிகள் உள்ளன
y = s, z = t என தன்னிச்சையாக எடுத்துக்கொள்ள நமக்குக் கிடைப்பது x - s + t = -9; அல்லது x = -9 + s - t.
எனவே தீர்வானது (x = -9 + s - t, y = s, z = t), இங்கு s மற்றும் t என்பன மெய்யெண்  சாராமாறிகள் (parameters).
மேல் உள்ள தீர்வுக்கணம் இரு சாராமாறிக் குடும்பத் தீர்வுகளாக அமைகின்றன.
இங்கு தொகுப்பானது ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றுள்ளது. இத்தீர்வுகள், இரு சாராமாறிக் குடும்பத் தீர்வுகளாக இருக்கின்றன.

A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 0 & 5 \end{matrix} \right] \) என்க. தொடக்க நிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(A\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -2 \\ 0 & -6 & -4 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \)
கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவத்தில் உள்ளது மற்றும் இரண்டு அபூச்சிய நிரைகளைப் பெற்றுள்ளது. எனவே \(\rho \)(A) = 2

2x + 5y = −2, x + 2y = −3
தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(=\left( \begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right) \)
\(\Rightarrow AX=B \) இங்கு 
\(A=\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix} \right) ,B=\left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right) ,\)
\(X=\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \)
⇒ X=A^-1B
\(|A|=\left| \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix} \right| =4-5=-1\neq 0\)
\(\therefore A^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ -1 } \left[ \begin{matrix} 2 & -5 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -2 & 5 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\left[ \begin{matrix} -2 & 5 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 4 & -15 \\ -2 & +6 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -11 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
∴ தீர்வுகணம் {-11,4}

A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right] \)என்க 
காஸ்-ஜோர்டன் முறையை பயன்படுத்த கிடைப்பது.
\([A|{ I }_{ 2 }]=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div 2 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 5 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 2 } \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ -\frac { 5 }{ 2 } & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { R_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\times 2 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} -2 & 1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
∴.A^-1\(\left[ \begin{matrix} -2 & 1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)

A =\(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)பின்பு, A^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
எனவே
AA^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta & cos\theta sin\theta -sin\theta cos\theta \\ sin\theta cos\theta -cos\theta sin\theta & { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \) = I₂
இதேபோல் A^TA = I₂. எனவே AA^T = A^TA = I₂ ⇒ A ஆனது செங்குத்து அணியாகும்.

A என்பது சமச்சீர் அணி என்க. எனவே A^T = A மற்றும் adj a (λ A) = λ^{n −1}adj(A) λ என்பது பூச்சியமற்ற திசையிலி இன் படி கிடைப்பது 
adj(A^T) = (adj A)^T ⇒ adj A = (adj A)^T ⇒ adj A ஆனது சமச்சீராகும்.

நாம் x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ என்ற மிகை முழுக்களை
x₁C₅H₈ + x₂O₂ = x₃CO₂ + x₄H₂O என அமையுமாறு காண விழைகிறோம்.   .....(1)
(1)-ன் இடதுபுறத்திலுள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கை (1)-ன் வலதுபுறத்திலுள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும். எனவே
5x₁ = x₃ ⇒ 5x₁ - x₃ = 0                                                                                             ..........(2)
என்ற நேரியச் சமப்படித்தான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இதேபோல் ஹைட்ரஜன் மற்றும் ஆக்ஸிஜன் அணுக்கள் எண்ணிக்கைகளை ஒப்பிடக் கிடைப்பது,
8x₁ = 2x₄ ⇒ 4x₁-x₄ = 0                                                                                               .......(3)
2x₂ = 2x₃ + x₄ ⇒ 2x₂ - 2x₃ - x₄= 0                                                                             ........(4)
சமன்பாடுகள் (2), (3), மற்றும் (4) என்பன 4 மாறிகளில் ஒரு நேரியச் சமப்படித்தான தொகுப்பை ஏற்படுத்துகின்றன.
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியான [A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையை பயன்படுத்த
[A|B] \(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\uparrow 4{ R }_{ 3 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
எனவே, ρ(A) = ρ([A|B]) = 3 < 4 = மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
தொகுப்பானது ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும்.
ஏறுபடி வடிவத்தில் நமக்குக் கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகள்
4x₁-x₄ = 0, 2x₂ - x₄ = 0, -4x₃ + 5x₄ = 0
எனவே ஒரு மாறியை பூச்சியமற்ற மெய் எண் பெறும் தன்னிச்சை மாறியாக எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்
x₄ = t, t ≠ 0 என்க. பின்னோக்கிப் பிரதியிடல் முறையில் \({ x }_{ 3 }=\frac { 5t }{ 4 } ,{ x }_{ 2 }=\frac { 7t }{ 4 } ,{ x }_{ 1 }=\frac { t }{ 4 } \) எனப் பெறுகிறோம்.
x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ என்பன மிகை முழுக்கள். எனவே t = 4 எனத் தேர்வு செய்கிறோம். எனவே, x₁ = 1, x₂ = 7, x₃ = 5 மற்றும் x₄ = 4 எனக் கிடைக்கிறது. எனவே சமனாமாக்கப்பட்டச் சமன்பாடு,
C₅H₈ + 7O₂ ⟶ 5CO₂ + 4H₂O ஆகும்.

AB = \(\left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -4+4+8 & 4-8+4 & -4-8+12 \\ -7+1+6 & 7-2+3 & -7-2+9 \\ 5-3-2 & -5+6-1 & 5+6-3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix} \right] \)= 8I₃

மற்றும் BA = \( \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -4+7+5 & 4-1-3 & 4-3-1 \\ -4+14-10 & 4-2+6 & 4-6+2 \\ -8-7+15 & 8+1-9 & 8+3-3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix} \right] \)= 8I₃
எனவே நாம் பெறுவது AB = BA = 8I₃ அதாவது \(\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) B = B\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) \) = I₃ எனவே, B^-1 = \(\frac { 1 }{ 8 } \)A.
கொடுத்துள்ள நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை அணி வடிவில் எழுதக் கிடைப்பது.
\(\\ \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] \) அதாவது, B = \(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே, \(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ={ B }^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) \left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} -16+36+4 \\ -28+9+3 \\ 20-27-1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} 24 \\ -16 \\ -8 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
எனவே தீர்வானது (x = 3, y = -2, z = -1)

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது.
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 4 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 4 }{ 5 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & \frac { 33 }{ 5 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்குρ(A)=3 மற்றும் ρ([A|0])=3
∴ ρ(A)=ρ([A|0])=3= மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
ஆகையால் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும்.
ஆகையால் தொகுப்பு வெளிப்படை தீர்வை மட்டும் கொண்டிருக்கும்.

தொகுப்பானது வெளிப்படையற்றத் தீர்வு பெற்றிருப்பதால் கெழுக்களின் அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பு பூச்சியமாகும்.
ஆதலால் நமக்குக் கிடைப்பது
\(\left| \begin{matrix} 3\lambda -8 & 3 & 3 \\ 3 & 3\lambda -8 & 3 \\ 3 & 3 & 3\lambda -8 \end{matrix} \right| \) = 0 அல்லது 
\(\left| \begin{matrix} 3\lambda -2 & 3\lambda -2 & 3\lambda -2 \\ 3 & 3\lambda -8 & 3 \\ 3 & 3 & 3\lambda -8 \end{matrix} \right| \) = 0 (R₁⟶R₁+R₂+R₃ பயன்படுத்த)
அல்லது (3λ-2) \(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3\lambda -8 & 3 \\ 3 & 3 & 3\lambda -8 \end{matrix} \right| \) = 0 (3λ-2) -ஐ பொதுக் காரணியாக R₁ லிருந்து வெளியே எடுக்க)
அல்லது (3λ-2) \(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3\lambda -11 & 0 \\ 0 & 0 & 3\lambda -11 \end{matrix} \right| =0({ R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 },{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 }\) பயன்படுத்த)
அல்லது (3λ-2)) (3λ-11)² = 0 எனவே λ = \(\frac { 2 }{ 3 } \) மற்றும் λ = \(\frac { 11 }{ 3 } \).
இப்பொழுது நாம் நேரியச் சமப்படித்தான சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை வேதியியலில் பயன்படுத்த உள்ளோம். வேதியியல் சமன்பாட்டின் இருபக்கங்களிலும் உள்ள அணுக்களின் எண்ணிக்கையை ஆய்வு செய்வதன் மூலம் வேதியியல் எதிர்வினைச் சமன்பாடுகளைச் சமநிலைப்படுத்துவது பற்றி ஏற்கனவே அறிந்துள்ளோம். இதற்கான ஒரு நேரடி முறையை பின்வரும் எடுத்துக்காட்டு மூலம் விளக்குவோம்.

சமன்பாட்டு தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX=B 
இங்கு 
\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 7 & 3 & -5 \\ 2 & 3 & \lambda \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 9 \\ 8 \\ \mu \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகளில் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 7 & 3 & -5 \\ 2 & 3 & \lambda \end{matrix}|\begin{matrix} 9 \\ 8 \\ \mu \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 7 } { R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & -5 \\ 0 & { -15 } & -45 \\ 0 & 0 & \lambda -5 \end{matrix}|\begin{matrix} -8 \\ 47 \\ \mu-9 \end{matrix} \right] \)
நிலை(i) λ = 5, µ ≠ 9
ρ(A) = 2, ρ([A |B]) = 3
ρ(A) ≠ ρ([A |B])
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு மற்றும் தீர்வுகள் கிடையாது. ஒருங்கமைவற்றது
நிலை (ii) λ ≠ 5, μ ε R எனில்
ρ(A) = 3, ρ([A | B]) = 3
ρ(A) = P([A|B]) = 3 = n
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டது.
நிலை (iii) λ = 5, μ = 9
ρ(A) = 2, ρ([A | B]) = 2
ρ(A) = ρ([A | B]) = 2 < n
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டது

A - ல் A₃₂ ன் இணைக்காரணி =\(-\left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 2 & 0\end{array}\right|\)=-(0+2)=-2 
|A|  =3(2)-1(-2)-1(4+2)
=6+2-6=2
\(\mathrm{A}^{-1}\) - ல் \(\mathrm{a}_{23}\)இணைக்காரணி
\(=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} \mathrm{A}_{32}=\frac{1}{2}(-2)=-1\)

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4