ABCD என்பது ஒரு இணைகரம் மற்றும் அதன் பக்கங்கள் \(\overrightarrow{A B}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{A D}=\vec{b}\) மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் \(\overrightarrow{A C}\) மற்றும் \(\overrightarrow{B D}\)
\( \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\vec{a}+\vec{b} \\ \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}=\vec{b}-\vec{a} \)
மூலைவிட்டங்கள் சமம் என்பதால்....
\(|\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{B D}|\)
\( |\vec{a}+\vec{b}| =|\vec{b}-\vec{a}| \\ (\vec{a}+\vec{b})^2 =(\vec{b}-\vec{a})^2 \\ \vec{a}^2+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^2 =\vec{b}^2-2 \vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{a}^2 \\ 4 \vec{a} \cdot \vec{b} =0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \)
\(​​​​​​​\vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \angle A=90^{\circ}\) என்பதால்,
ABCD என்பது ஒரு செவ்வகம்.

\(\vec { r } .(2\hat { i } -\hat { j } -2\hat { k } )=6\) என்ற தளத்தின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியின் நிலைவெக்டர் \(\vec { u } \) என்க. பின்னர்,
\(\vec { u } .(2\hat { i } -\hat { j } -2\hat { k } )=6\)      .....(1)
கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு δ எனில் δ என்பது \(\vec { u } \) என்ற புள்ளியிலிருந்து \(\vec { r } .(6\hat { i } -3\hat { j } -6\hat { k } )=27\) என்ற தளத்திற்குள்ள செங்குத்துத் தொலைவாகும்.
எனவே, \(\delta=\frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}-p|}{|\vec{n}|}=\left|\frac{\vec{u} \cdot(6 \hat{i}-3 \hat{j}-6 \hat{k})-27}{\sqrt{6^2+(-3)^2+(-6)^2}}\right|=\left|\frac{3(\vec{u} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}))-27}{9}\right|=\left|\frac{(3(6)-27}{9}\right|=1\) அலகு.

A (4, 1, 2) மற்றும் B(7, 5, 4) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac { x-4 }{ 3 } =\frac { y-1 }{ 4 } =\frac { z-2 }{ 2 } \) = t (என்க)
இக்கோட்டின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி (3t + 4, 4t +1, 2t + 2) ஆகும். கோடும் தளமும் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளியைக் காண x = 3t + 4, y = 4t + 1,  z = 2t + 2 என x - y + z = 5-ல் பிரதியிட்டு t = 0 எனப் பெறுகிறோம். எனவே, நேர்கோடும் தளமும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி (4, 1, 2) ஆகும். ஆகவே , (4, 1, 2) மற்றும் (5,−5,−10) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு
\(\sqrt { (4-5)^{ 2 }+(1+5)^{ 2 }+(2+10)^{ 2 } } = \sqrt { 181 }\) அலகுகள்.

\(\frac { x-1 }{ 4 } =\frac { 2-y }{ 6 } =\frac { z-4 }{ 12 } \) என்ற கோடு \(4\hat { i } -6\hat { j } +12\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாக இருக்கும் மற்றும் \(\frac { x-3 }{ -2 } =\frac { y-3 }{ 3 } =\frac { 5-z }{ 6 } \) என்ற கோடு \(-2\hat { i } +3\hat { j } -6\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாக இருக்கும்.
\(4\hat { i } -6\hat { j } +12\hat { k } =-2(-2\hat { i } +3\hat { j } -6\hat { k } )\) என்பதால், இரு வெக்டர்களும் இணையாகும். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட இரு நேர்க்கோடுகளும் இணையாகும்.

வரையறைப்படி, \(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -2 & 3 & -2 \\ 3 & -1 & 3 \end{matrix} \right| =7\hat { i } -7\hat { k } \)
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 7 & 0 & -7 \\ 2 & -5 & 1 \end{matrix} \right| =-35\hat { i } -21\hat { j } -35\hat { k } \)     ...(1)
\(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & -1 & 3 \\ 2 & -5 & 1 \end{matrix} \right| =14\hat { i } +3\hat { j } -13\hat { k } \)
\(\vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -2 & 3 & -2 \\ 14 & 3 & -13 \end{matrix} \right| =-33\hat { i } -54\hat { j } -48\hat { k } \)   ...(2)
எனவே,சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றிலிருந்து \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \vec { c } \neq \vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \) எனக் காண்கிறோம்.

\(\left| \vec { c } \right| =1\) மற்றும் \(\vec { c } \bot \vec { a } \)  மற்றும் \(\vec { b } \) 
மேலும் \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \)  க்கு இடையேயான கோணம்  \(\cfrac { \pi }{ 6 } \) கருதுக. 
\(\left[ \vec { a } \quad \vec { b } \vec { c } \right] =\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\vec { c } \) 
[\(\therefore \) \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) க்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\cfrac { \pi }{ 6 } \) \(\vec { c } \bot \alpha \) மற்றும் b இரண்டும் ]
= \(\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| sin\cfrac { \pi }{ 6 } .\vec { c } .\vec { c } =\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| .\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
= \(\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| .\cfrac { 1 }{ 2 } \)  \(\left[ \because \vec { c } .\vec { c } \right] \)
\(\therefore \left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] ^{ 2 }=\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }\left| \vec { b } \right| .\cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 1 }{ 4 } \left| \vec { a } \right| ^{ 2 }\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }\)

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { F } =3\hat { i } +4\hat { j } -5\hat { k } \) 
\(\vec { r } \) = (விசை செயல்படுகிற புள்ளி)-(புள்ளியை பொறுத்து செயல்படுகிற விசை)
= \(\left( 4\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \right) -\left( -2\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } \right) \) 
= \(2\hat { i } +5\hat { j } -7\hat { k } \) 
திருப்புவிசை  = \(\vec { c } =\vec { r } \times \vec { F } \) 
= \(\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 5 & -7 \\ 3 & 4 & -5 \end{matrix} \right| =\hat { i } \left| \begin{matrix} 5 & -7 \\ 4 & -5 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -7 \\ 3 & -5 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| \) 
\(C=\hat { i } \left( -25+28 \right) -\hat { j } \left( -10+21 \right) +\hat { k } \left( 8-15 \right) \) 
= \(3\hat { i } -11\hat { j } -7\hat { k } \) 
\(\therefore\) திருப்புவிசையின் எண்ணளவு 
= \(\sqrt { { 3 }^{ 2 }+\left( -11 \right) ^{ 2 }+\left( -7 \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 9+121+49 } =\sqrt { 179 } \) 
ஆகையால், திசைக் கொசைன்கள் 
\(\left( \cfrac { 3 }{ \sqrt { 179 } } ,\cfrac { -11 }{ \sqrt { 179 } } ,\cfrac { -7 }{ \sqrt { 179 } } \right) \)

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு கோடுகளின் சமன்பாட்டை \(\vec { r } =\vec { a } +t\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { r } =\vec { c } +s \vec { d } \) உடன் ஒப்பிட நமக்குக் கிடைப்பது
\(\vec { a } =-\hat { i } -3\hat { j } -5\hat { k } ,\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } +7\hat { k } ,\) \(\vec { c } =2\hat { i } +4\hat { j } +6\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { d } =\hat { i } +4\hat { j } +7\hat { k } \) ஆகும்.
இரண்டு கோடுகள் ஒரே தளம் அமையும் கோடுகளாக இருக்கக் கட்டுப்பாடு \(\left( \vec { c } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =0\)
இங்கு, \(\vec { b } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{matrix} \right| =7\hat { i } -14\hat { j } +7\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { c } -\vec { a } =3\hat { i } +7\hat { j } +11\hat { k } \)
இப்பொழுது \(\left( \vec { c } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =(3\hat { i } +7\hat { j } +11\hat { k } ).(7\hat { i } -14\hat { j } +7\hat { k } )\) = 0 ஆகும்.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு கோடுகளும் ஒரே தளத்தில் அமையும். இப்பொழுது, இவ்விரு கோடுகளும் அமையும் தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாட்டைக் காண்போம். ஒரே தளத்தில் அமையும் இரண்டு கோடுகளைக் கொண்ட தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாடு
\((\vec { r } -\vec { a } ).(\vec { b } \times \vec { d } )=0\) ஆகும் என நாமறிவோம்.
இச்சமன்பாட்டில் \(\vec { a } =-\hat { i } -3\hat { j } -5\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } \times \vec { d } =7\hat { i } -14\hat { j } +7\hat { k } \) எனப்பிரதியிட, நாம் பெறுவது \((\vec { r } -(-\hat { i } -3\hat { j } -\hat { k } )).(7\hat { i } -14\hat { j } +7\hat { k } )=0\) என்ற சமன்பாடாகும். அதாவது \(\vec { r } .(\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } )=0\) ஆகும். இதுவே, தேவையான தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு x + 2y + 3z = 2
(4, 3, 2) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் நீளம் 
\(d=\cfrac { 4+2(3)+3(2) }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } } =\cfrac { 4+6+6 }{ \sqrt { 14 } } \) 
= \(\cfrac { 14 }{ \sqrt { 14 } } =\cfrac { \sqrt { 14 } .\sqrt { 14 } }{ \sqrt { 14 } } =\sqrt { 14 } \) 
தளம் x + 2y + 3z = 2 யில் (4, 3, 2) க்கான பிம்பம் காண்போம்.
இங்கு \(\vec { u } =4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \), \(\vec { n } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \) மற்றும் p = 38 
பிறகு பிம்பம் \(\vec { v } =\vec { u } +\cfrac { 2\left[ p-\left( \vec { u } .\vec { n } \right) \right] }{ \left| \vec { n } \right| ^{ 2 } } \vec { n } \) 
\(\vec { v } =\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2\left[ 2-\left( 4+6+6 \right) \right] }{ \left( \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \right) } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2(2-16) }{ 14 } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2(-14) }{ 14 } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) -2\left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } -2\hat { i } -4\hat { j } -6\hat { k } =2\hat { i } -\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\therefore\) (4, 3, 2) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் அடிப்பகுதி 
\(=\cfrac { \left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\left( 2\hat { i } -\hat { j } -4\hat { k } \right) }{ 2 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { 6\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } }{ 2 } =3\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \)
எனவே செங்குத்தின் அடிப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவு (3, 1, -1)

(x₁, y₁, z₁) லிருந்து தளம் ax + by + cz - p = 0
செங்குத்தின் நீளம் \(\left| \cfrac { { { ax }_{ 1 }+{ { by }_{ 1 }+{ cz }_{ 1 }-p } } }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } } } \right| \) 
\(\therefore\) (1, -2, 3) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் நீளம் 
\(x-y+z-5=0,\delta =\left| \cfrac { 1-(-2)+3(-5) }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+\left( -1 \right) ^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } } \right| \) 
= \(\left| \cfrac { 1+2+3-5 }{ \sqrt { 1+1+1 } } \right| =\left| \cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right| \) 
= \(\cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) அலகுகள் 

முக்கோணம் ABC-ல், \(\vec { AD } ,\vec { BE } \) என்ற செங்குத்துக் கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி O என்க. AB-ஐ F-ல் சந்திக்குமாறு COவை நீட்டுக. ஆதிப்புள்ளி O என்க. \(\vec { OA } =\vec { a } \), \(\vec { OB } =\vec { b} \)  மற்றும் \(\vec { OC } =\vec { c } \) என்க.
\(\vec { AD } \) என்பது \(\vec { BC } \) க்குச் செங்குத்து என்பதால், \(\vec { OA } \) என்பது \(\vec { BC } \)-க்குச் செங்குத்தாகும். எனவே, \(\vec { OA } \).\(\vec { BC } \) = 0
அதாவது, \(\vec { a } .(\vec { c } -\vec { b } )=0\)
\(\Rightarrow \vec { a } .\vec { c } -\vec { a } .\vec { b } =0\) .....(1)
இதேபோன்று, \(\vec { BE } \) என்பது \(\vec { CA } \)-க்குச் செங்குத்து என்பதால், \(\vec { OB } \) என்பது \(\vec { CA } \) க்குச் செங்குத்தாகும். எனவே, \(\vec { OB } .\vec { CA } \) = 0.
அதாவது \(\vec { b } .(\vec { a } -\vec { c } )=0\), 
\(\Rightarrow \vec { a } .\vec { b } -\vec { b } \vec {​​c } =0\) ....(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றின் கூடுதல் காண, நாம் பெறுவது 
\( \vec { a } .\vec { c } -\vec { b } .\vec {​​c } =0\)
\(\Rightarrow \vec { c } .(\vec { a } -\vec { b } )=0\)
அதாவது, \(\vec { OC } .\vec { BA } =0\). ஆகவே, \(\vec { OC } \) என்பது \(\vec { BA } \)-க்குச் செங்குத்து என்பதால், \(\vec { CF } \) என்பது \(\vec { AB } \) க்குச் செங்குத்தாகும். அதாவது, C-யிலிருந்து பக்கம் AB-க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்துக் கோடு O வழியாகச் செல்கிறது. எனவே, ஒரு முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிச் செல்லும் கோடுகளாகும். 

\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்கள் ⇒ [\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \)] = 0. திசையிலி முப்பெருக்கலின் பண்புகளைப் பயன்படுத்த,
\([\vec{a}+\vec{b}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{a}]=[\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{a}]+[\vec{b}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{a}]\)
\( =[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}+\vec{a}]+[\vec{a}, \vec{c}, \vec{c}+\vec{a}]+[\vec{b}, \vec{b}, \vec{c}+\vec{a}]+[\vec{b}, \vec{c}, \vec{c}+\vec{a}] \\ =[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]+[\vec{a}, \vec{b}, \vec{a}]+[\vec{a}, \vec{c}, \vec{c}]+[\vec{a}, \vec{c}, \vec{a}]+[\vec{b}, \vec{b}, \vec{c}]+[\vec{b}, \vec{b}, \vec{a}]+[\vec{b}, \vec{c}, \vec{c}]+[\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}] \\ =[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]+[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=2[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=0 . \)
எனவே, \(\vec { a } +\vec { b } ,\vec { b } +\vec { c } ,\vec { c } +\vec { a } \) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாகும்.

A = (6, -7, 0), B = (16, -19, -4), c = (0, 3, -6) D = (2, -5, 10) என்க. A, B, C, D என்ற நான்கு புள்ளிகளும் ஒரே தளத்தில் அமையும் என நிரூபிக்க, \(\vec { AB } ,\vec { AC } ,\vec { AD } \) என்ற மூன்று வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாகும் என நிரூபிக்க வேண்டும்.
\(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } =(16\hat { i } -19\hat { j } -4\hat { k } )-(6\hat { i } -7\hat { j } )=10\hat { i } -12\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { AC } =\vec { OC } -\vec { OA } =-6\hat { i } +10\hat { j } -6\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { AD } =\vec { OD } -\vec { OA } =-4\hat { i } +2\hat { j } +10\hat { k } \)
\([\vec { AB } ,\vec { AC } ,\vec { AD } ]=\left| \begin{matrix} 10 & -12 & -4 \\ -6 & 10 & -6 \\ -4 & 2 & 10 \end{matrix} \right| =0\)
எனவே, \(\vec { AB } ,\vec { AC } ,\vec { AD } \)  என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாகும். ஆகவே, A, B, C மற்றும் D என்ற நான்கு புள்ளிகளும் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன.

\(\hat { a } =\vec { OA } \) மற்றும் \(\hat { b } =\vec { OB } \) என்ற அலகு வெக்டர்கள் x-அச்சின் மிகை திசையுடன் முறையே α , β என்ற கோணங்களை ஏற்படுத்துகிறது என்க. இங்கு A, B என்பன படம் -ல் காட்டப்பட்டுள்ளன.
AL மற்றும் BM என்பவற்றை x-அச்சுக்கு செங்குத்தாக வரைக.
ஆகவே, \(\left| \vec { OL } \right| =\left| \vec { OA } \right| \) cos α = cos α, \(\left| \vec { LA } \right| =\left| \vec { OA } \right| \) sin α = sin α.
\(\vec { OL } =\left| \vec { OL } \right| \)\(\hat { i } \) =  cos α \(\hat { i } \), \(\overrightarrow { LA } \) = sin α (-\(\hat { j } \))
எனவே, \(\hat { a } =\overrightarrow {OA}=\overrightarrow { OL } +\overrightarrow { LA } \) = cosα\(\hat { i } \) - sinα\(\hat { j } \) .....(1)
இதேபோல்,  \(\hat { b } \) = cos β \(\hat { i } \)+ sin β \(\hat { j } \)                          .......(2)
 \(\hat { a } \), \(\hat{b}\) வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்டக் கோணம் α + β என்பதால்,
\(\hat { a } .\hat { b } =\left| \hat { a } \right| \left| \hat { b } \right| \)cos (α + β) = cos (α + β) ..... (3)
மாறாக, சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2)-லிருந்து
\(\hat { a } .\hat { b } =(cos\alpha \hat { i } -sina\hat { j } )(cos\beta \hat { i } -sin\beta \hat { j } )\) = cos α cos β - sin α sin β .......(4)
சமன்பாடுகள் (3) மற்றும் (4)லிருந்து, cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

முதல் தளம் \(\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}-\lambda \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=3\)
இரண்டாவது தளத்தை மாற்றி எழுத,
\(\vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}-\frac{\mu}{2} \hat{k}\right)=\frac{5}{2}\)
இரு தளங்களும் இணையானவை எனவே,
\(-\lambda=\frac{1}{2} \\ \frac{-\mu}{2}=1\\ \therefore \lambda=-\frac{1}{2} ; \mu=-2\)

\(x+2 y+3 z+7=0\)          ...(1)
\(2 x+4 y+6 z+7=0\)
\(\Rightarrow x+2 y+3 z+\frac{7}{2}=0\)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) என்பன இணையான தளங்கள்
\( \delta=\frac{d_1-d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} =\frac{7-\frac{7}{2}}{\sqrt{1+4+9}}=\frac{\frac{14-7}{2}}{\sqrt{14}}=\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{14}} \\ =\frac{7}{2 \sqrt{7} \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}} \)

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})\)
\( \vec{b} \times \vec{c} =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & -1 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(-2+25)-\hat{j}(-1+15)+\hat{k}(5-6) \\ =23 \hat{i}-14 \hat{j}-\hat{k} \\ \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}) =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 23 & -14 & -1 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(-3-14)-\hat{j}(-2+23)+\hat{k}(-28-69) \\ =-17 \hat{i}-21 \hat{j}-97 \hat{k} \)

கொடுக்கப்பட்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு \([\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]=8\)
இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு
\({[(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}),(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a}),(\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})] }   =8^2 \\ =64\)