\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \mathbf{u}_x & 560 & 556 & 520 & - & 385 \\ \hline \end{array}\)
நான்கு மதிப்புகள் மட்டும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் 
\( \Delta^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{u}_0=0 \)
\( \mathrm{u}_4-4 \mathrm{u}_3+6 \mathrm{u}_2-4 \mathrm{u}_1+\mathrm{u}_0=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+6(520)-4(556)+560=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+3120-2224+560=0 \)
\( 4 \mathrm{u}_3=1841 \Rightarrow \mathrm{u}_3=460.25 \)

y=f(x) = x³+2x+1, x=1,2,3,4,5

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
1	4
		9
2	13		12
		21		6
3	34		18		0
		39		6
4	73		24
		63
5	136

\( \nabla f(x)= \mathrm{f}(x)-\mathrm{f}(x-\mathrm{h}) \)
\(E^{\prime}(\nabla f(x))=\mathrm{E}[\mathrm{f}(x)-\mathrm{f}(x-\mathrm{h})] \)
\(=\mathrm{E}[\mathrm{f}(x)]-\mathrm{E}[\mathrm{f}(x-\mathrm{h})] \)
\(=\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x) \)
\(=\nabla f(x+h)=\nabla E f(x) \)
\( \therefore E \nabla=\nabla E \)
\( \nabla=\frac{E-1}{E} \)
\( E \nabla=\mathrm{E}-1 \)
\(E \nabla=\Delta \)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(E \nabla=\Delta=\nabla E\) எனவே நிறுவப்பட்டது 

f(x) -ல் நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், f(x) ஒரு மூன்றாம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே நான்காம் நிலை வேறுபாடுகள் பூச்சியமாகும்.
(ie) Δ⁴y₀=0, ∴ (E-1)⁴y₀=0
(E₄-4E³+6E²-4E+1)y₀=0
E⁴y₀-4E³y₀+6E²y₀-4Ey₀+y₀=0
y₄-4y₃+6y₂-4y₁+y₀=0
67.4-4y₃+6(54.1)-4(49.2)+45=0
240.2=4y₃ 
∴ y₃=60.05

Δ\(\left[ \frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } \right] \)
பகுதிப் பின்ன முறையைப் பயன்படுத்த 
\(\frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } =\frac { A }{ x+1 } +\frac { B }{ x+2 } \)
⇒ 1 = A (x + 2) + B (x + 1)
x = -1, எனில்  1 = A
x = -2, எனில் 1 = - B ⇒ B = -1.
∴ \(\frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } =\frac { 1 }{ x+1 } +\frac { 1 }{ x+2 } \)
\(\therefore \triangle \left[ \frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } \right] =\triangle \left[ \frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 1 }{ x+2 } \right] \)
∴ \(\left( \frac { 1 }{ x+2 } -\frac { 1 }{ x+1 } \right) -\left( \frac { 1 }{ x+3 } -\frac { 1 }{ x+2 } \right) \) 
\( =\frac{x+3-x-2}{(x+2)(x+3)}-\left[\frac{x+2-x-1}{(x+1)(x+2)}\right] \)
\(=\frac{1}{(x+2)(x+3)}-\frac{1}{(x+1)(x+2)} \)
\( =\frac{(x+1)-(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)} \)
\(=\frac{-2}{(x+1)(x+2)(x+3)} \)

\(\Delta \log (a x) =\log a(x+h)-\log a x \)
\( =\log \left(\frac{a x+a h}{a x}\right)=\log \left(\frac{a x}{a x}+\frac{a h}{a x}\right)\)
\( =\log \left(1+\frac{h}{x}\right) \)

y₃=2, y₄=-6, y₅=8, y₆=9 மற்றும் y₇=17 கொடுக்கப்பட்டவை.
Δ⁴y₃=(E-1)⁴y₃
=(E⁴-4E³+6E²-4E+1)y₃
=E⁴y₃-4E³y₃+6E²y₃-4y₃+y₃
=y₇-4y₆+6y₅-4y₄+y₃
=17-4(9)+6(8)-4(-6)+2
=17-36+48+24+2=55

 Δ\(\left[ \frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }+5x+6 } \right] \)
பகுதி பின்னமாக பிரித்தல் முறைப்படி
\(\frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }5x+6 } =\frac { A }{ x+3 } +\frac { B }{ x+2 } \)
A=\(\frac { 5x+12 }{ x+2 } [x=-3]=\frac { -15+12 }{ -1 } =\frac { -3 }{ -1 } \)=3
B=\(\frac { 5x+12 }{ x+3 } [x=-2]=\frac { 2 }{ 1 } \)=2
\(\therefore \frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }5x+6 } =\left[ \frac { 3 }{ x+3 } +\frac { 2 }{ x+2 } \right] \)
\(\triangle \left[ \frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }5x+6 } \right] =\triangle \left[ \frac { 3 }{ x+3 } +\frac { 2 }{ x+2 } \right] \)
=\(\left[ \frac { 3 }{ x+1+3 } -\frac { 3 }{ x+3 } \right] +\left\{ \frac { 2 }{ x+1+2 } -\frac { 2 }{ x+2 } \right\} \)
=\(3\left[ \frac { 3 }{ x+1+3 } -\frac { 3 }{ x+3 } \right] +2\left[ \frac { 1 }{ x+3 } -\frac { 1 }{ x+2 } \right] \)
=\(\left[ \frac { -3 }{ (x+4)(x+3) } -\frac { 2 }{ (x+3)(x+2) } \right] \)
=\(\frac { -5x-14 }{ (x+2)(x+3)(x+4) } \)

இங்கு x -ன் மதிப்புகள் சம பிரிவற்றவை. எனவே இலெக்ராஞ்சியின் சூத்திரத்தை பயன்படுத்தவும்.
x₀=5, x₁=6, x₂=9, x₃=11
y₀=12, y₁=13, y₂=14, y₃=16
y=f(x)=\(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times y_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ (x_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
=\(\frac { (x-6)(x-9)(x-11) }{ (5-6)(5-6)(5-11) } (12)+\frac { (x-5)(x-9)(x-11) }{ (6-5)(6-9)(6-9) } (13)+\frac { (x-5)(x-6)(x-11) }{ (9-5)(9-6)(9-11) } (14)+\frac { (x-5)(x-6)(x-9) }{ (11-5)(11-6)(11-9) } (16)\)
x = 10 என்க.
y(10)=f(10)=\(\frac { 4(1)(-1) }{ (-1)(-4)(-6) } (12)+\frac { (5)(1)(-1) }{ (1)(-3)(-5) } (13)+\frac { 5(4)(-1) }{ 4(3)(-2) } (14)+\frac { (5)(4)(1) }{ 6(5)(2) } (16)\)
=\(\frac { 1 }{ 6 } (12)-\frac { 13 }{ 3 } +\frac { 5(14) }{ 3\times 2 } +\frac { 4\times 16 }{ 12 } \)
=14.6663

நியுட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகலின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக் கோவையைக் காண்போம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ n }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ n }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ n }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ n }+....\)

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y
0	1
		1
1	2		1
		2		0
2	4		1
		3		0
3	7		1
		4		0
4	11		1
		5		0
5	16		1
		6		0
6	22		1
		7
7	29

x -ன் வாயிலாக y -ஐ காண, ∴ x_n+nh=x, x_n=7, h=1 ⇒ n=x-7
y_(x)=29+(x-7)(7)+\(\frac { (x-7)(x-6) }{ 2 } \)(1)
=29+7x-49+\(\frac { 1 }{ 2 } \)(x²-13x+42)
=\(\frac { 1 }{ 2 } \)[58+14x-98+x²-13x+42]
=\(\frac { 1 }{ 2 } \)[x²+x+2]

தேவையான நீராவியின் மதிப்பு அட்டவணையின் இறுதிப் புள்ளிக்கு அருகில் உள்ளதால், நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=xn+nh)=\({ y }_{ n }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ n }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ n }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ n }y_{ n }+....\)
x=175
∴ x_n+nh=175, x_n=180, h=10 ⇒ n=-0.5

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
140	3.685
		1.169
150	4.854		0.279
		1.448		0.047
160	6.032		0.326		0.002
		1.774		0.049
170	8.076		0.375
		2.149
180	10.225

 ∴ y_(x=175)=10.225+(-0.5)(2.149)+\(\frac { (-0.5)(0-5) }{ 2! } (0.375)+\frac { (-0.5)(0-5)(1.5) }{ 3! } (0.049)+\frac { (-0-5)(0.5)(1.5)(2.5) }{ 4! } (0.002)\)
=10.225-1.0745-0.046875-0.0030625-0.000078125
=9.10048438
=9.1

x என்பது மதிப்பெண் மற்றும் y என்பது மாணவர்களின் எண்ணிக்கை என்க.
கூட்டு நிகழ்வெண் பரவலில் மாற்றம் செய்த பிறகு கிடைக்கும் வேறுபாட்டு அட்டவணை.

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
40-க்குக் குறைவான	31
		42
50	73		9
		51		-25
60	124		-16		37
		35		12
70	159		-4
		31
80	190

 y_(x=x0+nh)= \({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x = 45 இடத்து y-ஐக் காண் வேண்டும். 
∴ x₀+nh=45, x₀=40, h=10 ⇒ \(\frac{1}{2}\)
y_(x=45)=31+\(\frac { 1 }{ 2 } \times 42+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) }{ 2 } (9)+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \left( \frac { -3 }{ 2 } \right) }{ 6 } \times 25+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \left( \frac { -3 }{ 2 } \right) \left( \frac { -5 }{ 2 } \right) }{ 24 } \times (37)\)
= 31+21-\(\frac { 9 }{ 8 } -\frac { 25 }{ 16 } -\frac { 37\times 15 }{ 128 } \)
=47.867 ≅48

x	y = f(x)	Δy	Δ2y	Δ3y
0	1
		1
1	2		-2
		-1		12
2	1		10
		9
3	10

x₀ + nh = x ⇒ x₀ = 0, h = 1
\({ y }_{ (n=x) }={ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } =\triangle { y }_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 3 }{ y }_{ 0 }+...\)
\(f (x)=1+\frac { n }{ 1! } (1)+\frac { n(n-1) }{ 2! } (-2)+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 6 } (12)\)
⇒  1 + x + (x² - x)(-1) + x(x² - 3x + 2) (2)
⇒ 1 + x - x² + x + 2x³ - 6x² + 4x
⇒  1+ 6x - 7x² + 2x³
= 2x³ - 7x²+ 6x + 1.

f(x) -ல் ஐந்து மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், f(x) ஒரு நான்காம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே ஐந்தாம்நிலை வேறுபாடு பூச்சியமாகும்.
Δ⁵y_k=0 (ie) (E-1)⁵y_k=0
i.e., (E⁵-5E⁴+10E³-10E²+5E-1)yk=0
E⁵y_k-5E⁴y_k+10E³y_k-10E²y_k+5Ey_k-y_k=0   ....(1)
k = 0 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₀-5E⁴y₀-10E²y₀+5Ey₀-y₀=0
y₅-5y₄+10y₃-10y₂+5y₁-y₀=0
y₅-5(350)+10y₃-10(260)+5(220)-200=0
y₅+10y₃=3450      .....(2)
k = 1 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₁-5E⁴y₁-10E³y₁+5Ey³y₁-y₁=0
y₆-5y₅+10y₄-10y₃-y₁=0
430+5y₅+10(350)-10y₃+5(260)-220=0
5y₅+10y₃=5010     (3)
(3)-(2) ⇒ 4y₅=1560
y₅=390
(2)-ன் படி 390+10y₃=3450
10y₃=3450-390
y₃=306

\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x)=\mathrm{f}(x+1)-\mathrm{f}(x) \quad[\because \mathrm{h}=1] \)
\( =(x+1)^2+2(x+1)+2-x^2-2 x-2 \)
\( =x^2+2 x+1+2 x+2+2-x^2-2 x-2 =2 x+3 \)

\(\Delta^2 y_0=(E-1)^2 y_0=\left(E^2-2 E+1\right) y_0=y_2-2 y_1+y_0\)