\(\left| \frac { i(2+{ i })^{ 3 } }{ { (1+i) }^{ 2 } } \right| \) = \(\frac { \left| i \right| \left| { (2+i) }^{ 3 } \right| }{ \left| { (1+i) }^{ 3 } \right| } =\frac { 1{ \left| 2+i \right| }^{ 3 } }{ { \left| 1+i \right| }^{ 2 } } =\frac { { (\sqrt { 4+1 } })^{ 3 } }{ { (\sqrt { 2 } ) }^{ 2 } } \) = \(\left( \because \left| \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right| =\frac { \left| { z }_{ 1 } \right| }{ \left| z_{ 2 } \right| } ,{ z }_{ 2 }\neq 0 \right) \)
= \(\frac { { (\sqrt { 5 } })^{ 3 } }{ 2 } =\frac { 5\sqrt { 5 } }{ 2 } \)

z = i, -2 + i,  மற்றும் 3 ஆகியவற்றிற்கும் ஆதிக்கும் உள்ள தொலைவுகள்
\(\left| z \right| =\left| i \right| =1\)
\(\left| z \right| =\left| -2+i \right| =\sqrt { { (-2) }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 5 } \)
\(\left| z \right| =\left| 3 \right| =3\) ஆகும்.
1 < \(\sqrt { 5 } \) < 3 எனவே, ஆதியிலிருந்து அதிக தொலைவில் உள்ள கலப்பெண் 3 ஆகும்.

A என்பது 2m+1 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. இங்கு m = 0,1,2, .... எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் தேற்றம் |adj A| = |A|^{n - 1}இன் படி கிடைப்பது |adj A| = |A|^(2m+1)-1 = |A|^2m
|A|^2m என்பது எப்பொழுதும் மிகை, எனவே |adj A| ஆனது மிகை.

முதலில் சேர்ப்பு அணி காண்போம்.
வரையறைப்படி, adj A = \(\left[ \begin{matrix} +M_{ 11 } & { -M }_{ 12 } \\ -{ M }_{ 21 } & +{ M }_{ 22 } \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -c \\ -b & a \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)
A ஆனது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி, எனவே |A| = ad-bc ≠ 0.
A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } \) adj A, என்பதால் A^-1 = \(\frac { 1 }{ ad-bc } \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)

LHS = (1 + ω)(1 + ω2)(1 + ω4)(1 + ω8) ...(1 + \({ { \omega }^{ 2 } }^{ 11 }\))
= (1 + ω20)6(1 + ω21)(1 + ω22)(1 + ω23) ...(1 + \({ { \omega }^{ 2 } }^{ 11 }\))
[∵  ω4 =  ω3. ω ω8 =  ω6. ω2]
12 உறுப்புகள் உள்ளன.
= (1 + ω)(1 + ω2)(1 + ω)(1 + ω21) .... 12 உறுப்புகள்
= (1 + ω)6(1 + ω2)6(-ω)6(-ω2)6
=(ω3)6 = 1.1 ....6 = 1 RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

z³ +8i = 0 என்க.
⇒ z³ = -8i
= 8(-i) = 8\(\left( cos\left( -\frac { \pi }{ 2 } +2k\pi \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 2 } +2k\pi \right) \right) \), k \(∈\) Z எனவே,
z = \(\sqrt [ 3 ]{ 8 } \left( cos\left( \frac { -\pi +4k\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { -\pi +4k\pi }{ 6 } \right) \right) \), k = 0,1,2.
k = 0, 1, 2 எனப் பிரதியிட
k = 0, z = 2\((cos\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) )=2\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -i\frac { 1 }{ 2 } \right) \) = \(\sqrt { 3 } \) - i
k=1, z = \(2\left( cos\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) \right) \) = 2 = 2(0 + i) = 0 + 2i = 2i
k = 2, z = \(2\left( cos\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) \right) \) = \(2\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
= \(2\left( -cos\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \) = \(2\left( -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -i\frac { 1 }{ 2 } \right) \)  = \(-\sqrt { 3 } \) - i 
z-ன் மதிப்புகள் = \(\sqrt { 3 } \) - i , 2i, மற்றும் -\(\sqrt { 3 } \) - i

(1 + i)¹⁸
1 + i = r (cos θ + isin θ) என்க.
r = \(\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } ;\alpha ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 1 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\theta =\alpha =\frac { \pi }{ 4 } \)  (\(\because \) 1+i ஆனது முதலாம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்)
ஆகவே, 1+ i = \(\sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
இருபுறமும் 18-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
(1 + i)¹⁸ = \({ \left[ \sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ 18 }\)\(= { \left[ \sqrt { 2 } ^{ 18 }\left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \right]^{18}} \)
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
(1 + i)¹⁸ = \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\frac { 18\pi }{ 4 } +isin\frac { 18\pi }{ 4 } \right) \)
= \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\left( 4\pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( 4\pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) \right) \) = \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\frac { \pi }{ 2 } +isin\frac { \pi }{ 2 } \right) \)
(1 + i)¹⁸ = 2⁹(i) = 512i

px + by + cz = 0, ax + qy + cz = 0, ax + by + rz = 0 என்ற தொகுப்பின் சமன்பாடுகள் வெளிப்படையற்றத் தீர்வு பெற்றுள்ளது என்க.
எனவே \(\left| \begin{matrix} p & b & c \\ a & q & c \\ a & b & r \end{matrix} \right| \) = 0, R₂ ⟶ R₂-R₁ மற்றும் R₃⟶R₃-R₁ மேல் உள்ள சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(\left| \begin{matrix} p & b & c \\ a-p & q-b & 0 \\ a-p & 0 & r-c \end{matrix} \right| \) = 0, அதாவது, \(\left| \begin{matrix} p & b & c \\ -(p-a) & q-b & 0 \\ -(p-a) & 0 & r-c \end{matrix} \right| \) = 0
p ≠ a, q ≠ b, r ≠ c ஆதலால் நாம் பெறுவது (p-a)(q-b)(r-c)\(\left| \begin{matrix} \frac { p }{ p-a } & \frac { b }{ q-a } & \frac { c }{ r-c } \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \) = 0
எனவே  \(\left| \begin{matrix} \frac { p }{ p-a } & \frac { b }{ q-a } & \frac { c }{ r-c } \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \) = 0
அணிக்கோவையை விரிவுபடுத்தக் கிடைப்பது, \(\frac { p }{ p-a } +\frac { q }{ q-b } +\frac { r }{ r-c } \) = 0
அதாவது, \(\frac { p }{ p-a } +\frac { q-(q-b) }{ q-b } +\frac { r-(r-c) }{ r-c } 0\) ⇒ \(\frac { p }{ p-a } +\frac { q }{ q-b } +\frac { r }{ r-c } \) = 2

x கேள்விகளுக்கு சரியாக பதில் அளித்திருப்பார் மற்றும் y கேள்விகளுக்கு தவறான பதில் அளித்திருப்பார் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, x+y =100 மற்றும் 
\(x-\frac { 1 }{ 4 } y=80...(1)\)
4ஆல் பெருக்க கிடைப்பது 
4x-y=320      ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து 
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -1/4 \end{matrix} \right| =-1/4-1=-5/4 \not = 0\)
\({ \Delta }_{ x }=\left| \begin{matrix} 100 & 1 \\ 80 & -1/4 \end{matrix} \right| =-25-80=-105\)
\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 1 & 100 \\ 1 & 80 \end{matrix} \right| =80-100=-20\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } =\frac { -105 }{ -5/4 } =21 \times 4 =+84\)
மற்றும் \(y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } =\frac { -20 }{ -5/4 } =4 \times 4 = 16\)
\(\therefore\) 84 கேள்விகளுக்குச் சரியான பதில் அளித்திருப்பார்.
16 கேள்விகளுக்கு தவறான பதில் அளித்திருப்பார்.

\(\frac{1}{x}\) = z 
3z+2y=12, 2z+3z=13
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| =9-4=5\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 12 & 2 \\ 13 & 3 \end{matrix} \right| =36-26=10\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 3 & 12 \\ 2 & 13 \end{matrix} \right| =39-24=15\)
\(\therefore z=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 10 }{ 5 } =2\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 2 } \)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 15 }{ 5 } =3\)
∴ தீர்வுக் கணம் {\(\frac{1}{2}\),3}

\(z^3+27=0\)
\(z^3=-27=27(-1) \)
\(=27[\cos (\pi+2 k \pi)+i \sin (\pi+2 k \pi)], k \in \mathrm{Z} \)
\(\therefore z=(27)^{\frac{1}{3}}[\cos (2 k+1) \pi+i \sin (2 k+1) \pi]^{\frac{1}{3}}, k \in \mathrm{Z}\)
\(=3\left[\cos \frac{(2 k+1) \pi}{3}+i \sin \frac{(2 k+1) \pi}{3}\right], k=0,1,2\)
k = 0 எனில், \(\mathrm{z}=3\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)\)
k = 1 எனில், = 3[cos π + i sin π]= 3 (- 1 + 0) = - 3
k = 2 எனில், \(\mathrm{z}=3\left(\cos \frac{5 \pi}{3}+i \sin \frac{5 \pi}{3}\right)\)

i)  கொடுக்கப்பட்டது: \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(\frac { x }{ y } =\frac { cos\alpha +isin\alpha }{ cos\beta +isin\beta } \)
\(=cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )\) ...(1)
மற்றும் \(\frac { y }{ x } =\frac { 1 }{ \frac { x }{ y } } =cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )\) ...(2)
\((1)+(2)\rightarrow =\frac { x }{ y } +\frac { y }{ x } \)
\(=cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )+cos(\alpha -\beta )-isin(\alpha -\beta )\)
\(=2cos(\alpha -\beta )\)
ii)  கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(xy-\frac { 1 }{ xy } =2isin(\alpha +\beta )\)
xy = (cos α + sin α)(cos β - sin β)
= cos(α + β) + i sin(α + β)
\(\frac { 1 }{ xy } =cos(\alpha +\beta )-isin(\alpha +\beta )\)

= 2i sin (α + β)
iii) கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(\frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } -\frac { { y }^{ n } }{ { x }^{ m } } =2isin(m\alpha -n\beta )\)
x^m =(cos α +sin α)^m=cos mα + i sin mα [டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
\(\therefore \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } =\frac { cosm\alpha +isinm\alpha }{ cosn\beta +isinn\beta } \)
= cos(m α - n β) + i sin(mα - nβ)
மற்றும் \(\therefore \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } =\frac { 1 }{ \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } } \)
= cos(m α - n β) + i sin(m α - nβ)

iv) கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }+\frac { 1 }{ { x }^{ m }y^{ n } } =2cos(m\alpha +n\beta )\)
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }=(cos\alpha +isinm\alpha )(cosn\beta +isinn\beta )\)
\(=cos(m\alpha +n\beta )+isin(m\alpha +n\beta )\)
\(\frac { 1 }{ { x }^{ m }{ y }^{ n } } =cos(m\alpha +n\beta )+isin(m\alpha +n\beta )\)

(i) \(\left| z \right| =\left| z-i \right| \)
⇒ \(\left| x+iy \right| =\left| x+iy-i \right| \)
⇒ \(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { x }^{ 2 }+({ y-1) }^{ 2 } } \)
⇒ x² + y² = x² + y² - 2y + 1
⇒ 2y - 1 = 0
(ii) |2z−3−i|=3
|2(x+iy)−3−i|=3
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
|(2x−3)+(2y−1)i|²= 9
⇒ (2x−3)²+(2y−1)² = 9
⇒ 4x² + 4y² - 12x - 4y + 1 = 0, என்பது கார்ட்டீசியன் வடிவில் z-ன் நியமப்பாதை ஆகும்

இங்கு மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B, இங்கு A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 7 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
[A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 7 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b-a \\ c-3a \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2R_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b-a \\ (c-3a)-2(b-a) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b-a \\ (c-2b-a) \end{matrix} \right] \)
தொகுப்பின் தீர்வுகள் ஒரு சாராமாறிக் குடும்பமாக இருக்க வேண்டுமாயின், ρ(A) = ρ[(A,B]) = 2. எனவே ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள மூன்றாவது நிரையானது பூச்சிய நிரையாக இருக்க வேண்டும்.
எனவே, c-2b-a = 0 ⇒ c = a +2b

(i) \(\left| \frac { 2+i }{ -1+2i } \right| =\frac { \left| 2+i \right| }{ \left| -1+2i \right| } =\frac { \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } }{ \sqrt { { (-1) }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } } =1\)   \(\left( \because \left| \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right| =\frac { \left| { z }_{ 1 } \right| }{ \left| z_{ 2 } \right| } ,{ z }_{ 2 }\neq 0 \right) \).
(ii) \(\left| \overline { (1+i) } (2+3i)(4i-3) \right| =\left| \overline { (1+i) } \right| \left| (2+3i) \right| \left| (4i-3) \right| \)  \(\left( \because \left| { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| \left| { z }_{ 2 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| \right) \)
= \(\left| (1+i) \right| \left| (2+3i) \right| \left| (-3+4i) \right| \) \(\left( \because \left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { \bar z } \right| \right) \)
= \(\left( \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } \right) \left( \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \right) \left( \sqrt { { (-3) }^{ 2 }+4^{ 2 } } \right) \)
= \(\left( \sqrt { 2 } \right) \left( \sqrt { 13 } \right) \left( \sqrt { 25 } \right) =5\sqrt { 26 } \)
(iii)  \(\left| \frac { i(2+{ i })^{ 3 } }{ { (1+i) }^{ 2 } } \right| \) = \(\frac { \left| i \right| \left| { (2+i) }^{ 3 } \right| }{ \left| { (1+i) }^{ 2 } \right| } =\frac { 1{ \left| 2+i \right| }^{ 3 } }{ { \left| 1+i \right| }^{ 2 } } =\frac { { (\sqrt { 4+1 } })^{ 3 } }{ { (\sqrt { 2 } ) }^{ 2 } } \) = \(\left( \because \left| \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right| =\frac { \left| { z }_{ 1 } \right| }{ \left| z_{ 2 } \right| } ,{ z }_{ 2 }\neq 0 \right) \)
= \(\frac { { (\sqrt { 5 } })^{ 3 } }{ 2 } =\frac { 5\sqrt { 5 } }{ 2 } \)

A =\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \) என்க. |A| = 3(0+2)-1(2+5)+4(4-0) = 6-7+16 = 15 ≠ 0. எனவே, A ஆனது பூச்சியமற்ற அணிக்கோவை அணியாகும்.
\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow \frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 4 }{ 3 } \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 },{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 4 }{ 3 } \\ 0 & -\frac { 2 }{ 3 } & -\frac { 11 }{ 3 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } & -\frac { 17 }{ 3 } \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow \left( -\frac { 3 }{ 2 } \right) { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 4 }{ 3 } \\ 0 & 1 & \frac { 11 }{ 2 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } & -\frac { 17 }{ 3 } \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-\frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 2 },{ R }_{ 3 }\rightarrow \frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 & \frac { 11 }{ 2 } \\ 0 & 0 & -\frac { 15 }{ 2 } \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow \left( -\frac { 2 }{ 15 } \right) { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 & \frac { 11 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 3 },{ R }_{ 2 }\rightarrow- \frac { 11 }{ 2 } { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

\(\mathrm{z}  =\left(\sin 40^{\circ}+i \cos 40^{\circ}\right)^{5}=\left(\cos 50^{\circ}+i \sin 50^{\circ}\right)^5 \)
\(=\cos 250^{\circ}+i \sin 250^{\circ} \)
\( =\cos \left(360^{\circ}-110^{\circ}\right)+i \sin \left(360^{\circ}-110^{\circ}\right) \)
\( =\cos 110^{\circ}-i \sin 110^{\circ} \)
\( =\cos \left(-110^{\circ}\right)+i \sin \left(-110^{\circ}\right)\)
முதன்மை வீச்சு = 110^o

\(|z+2| =|z-2| \)
\(z  =x+\mathrm{iy} \)
\(|(x+2)+\mathrm{iy}|  =|(x-2)+\mathrm{iy}| \)
\((x+2)^2+y^2  =(x-2)^2+\mathrm{y}^2 \)
\(x^2+4 x+4  =x^2-4 x+4 \)
\(\Rightarrow x  =0\)

\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை 
\(\mathrm{z}=x+\mathrm{iy}\) என்க.
\(\frac{z-1}{z+1}=\frac{x+i y-1}{x+i y+1}=\frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2}+i \frac{2 y}{(x+1)^2+y^2}\)
\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை என்பதால்,
\(\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right) =0 \)
\(\therefore \frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2} =0 \Rightarrow x^2+y^2=1\)
அதாவது \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left|z_1\right|=1,\left|z_2\right|=2,\left|z_3\right|  =3 \)
மற்றும் \(\left|9 z_1 z_2+4 z_1 z_3+z_2 z_3\right|  =12 \)
\(\left|z_1\right|\left|z_2\right|\left|z_3\right|\left|\frac{9}{z_3}+\frac{4}{z_2}+\frac{1}{z_1}\right| =12 \)
\(\text { (1) (2) (3) }\left|\frac{9 \bar{z}_3}{\left|z_3\right|^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{\left|z_2\right|^2}+\frac{\overline{z_1}}{\left|z_1\right|^2}\right|  =12\left[\because|z|^2=z \bar{z}\right] \)
\(6\left|\frac{9 \bar{z}_3}{(3)^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{(2)^2}+\frac{\overline{z_1}}{(1)^2}\right|  =12 \)
\(\left|\bar{z}_3+\bar{z}_2+\bar{z}_1\right|  =\frac{12}{6}=2 \)
\(\left|\overline{z_3+z_2+z_1 \mid}\right|  =2 \)
\(\therefore\left|z_1+z_2+z_3\right|  =2\)

\(|| z|-|-2+i|| \leq|z-2+i| \leq|z|+|-2+i| \)
\(|| z|-\sqrt{5}| \leq|z-2+i| \leq|z|+\sqrt{5}\)
கொடுக்கப்பட்டது : \(|z-2+i| \leq 2\)
\(|z-2+i|=2\) ஐக் கருதுக.
\(\therefore|z|+\sqrt{5} \geq 2 \Rightarrow|z| \geq 2-\sqrt{5}\) ...(1)
மற்றும் \(||z|-\sqrt{5}| \leq 2\)
\(|z|-\sqrt{5} \leq 2 \Rightarrow|z| \leq 2+\sqrt{5} \) ...(2)
\( \sqrt{5}-|z| \leq 2 \Rightarrow|z| \geq \sqrt{5}-2\) ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
|z| ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(=\sqrt{5}+2\)

ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac { 1 }{ i-2 } \) 
கலப்பெண் \(z = \frac { 1 }{ -i-2 } = \frac { 1 }{-( i-2) } = \frac { -1 }{( i+2) } \)

\(\lambda A^{-1} =A \)
\(\lambda I=A^2 =\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 4+15 & 6-6 \\ 10-10 & 15+4 \end{array}\right] \)
\(\lambda\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{array}\right] \Rightarrow \lambda=19 \)

\(\mathrm{AB} =\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 8 \\ 11 & 4 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj} \mathrm{AB} =\left[\begin{array}{cc} 4 & -8 \\ -11 & 2 \end{array}\right] \)
\(\therefore|\operatorname{adj} \mathrm{AB}| =8-88=-80\)

A ன் வரிசை 2 x 2 \(A\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \) என்க.
\(\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \)
a + b = 6
c + d = 0
-2a + 4b = 0
-2c + 4d = 6
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கக் கிடைப்பது, 
a = 4, b = 2 c = -1, d = 1
\(A = \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4