\(\left| \frac { i(2+{ i })^{ 3 } }{ { (1+i) }^{ 2 } } \right| \) = \(\frac { \left| i \right| \left| { (2+i) }^{ 3 } \right| }{ \left| { (1+i) }^{ 3 } \right| } =\frac { 1{ \left| 2+i \right| }^{ 3 } }{ { \left| 1+i \right| }^{ 2 } } =\frac { { (\sqrt { 4+1 } })^{ 3 } }{ { (\sqrt { 2 } ) }^{ 2 } } \) = \(\left( \because \left| \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right| =\frac { \left| { z }_{ 1 } \right| }{ \left| z_{ 2 } \right| } ,{ z }_{ 2 }\neq 0 \right) \)
= \(\frac { { (\sqrt { 5 } })^{ 3 } }{ 2 } =\frac { 5\sqrt { 5 } }{ 2 } \)

கொடுக்கப்பட்டது: z = x + iy
கருதுக \(\left|\frac{z-4 i}{z+4 i}\right|=1 \Rightarrow\left|\frac{x+i y-4 i}{x+i y+4 i}\right|=1\)
\(\begin{aligned} & \Rightarrow\left|\frac{x+i(y-4)}{x+i(y+4)}\right|=1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \Rightarrow \frac{\sqrt{x^2+(y-4)^2}}{\sqrt{x^2+(y+4)^2}}=1 \end{aligned}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-4)^2}=\sqrt{x^2+(y+4)^2}\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,
x² + (y - 4)² = x² + (y + 4)²

\(\Rightarrow\)   8y + 8y = 0
\(\Rightarrow\)   16y = 0
\(\Rightarrow\)     y = 0     [\(\because\) 16 \(\neq\) 0]
y = 0 என்பது மெய் அச்சின் சமன்பாடு
\(\therefore\) z - ன் நியமப்பாதை மெய் அச்சு ஆகும்.

\(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 3 } \right|\) = 1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, \({ \left| { z }_{ 1 } \right| }^{ 2 }=1\Rightarrow { z }_{ 1 }\bar { { z }_{ 1 } } =1,{ \left| { z }_{ 2 } \right| }^{ 2 }=1\Rightarrow { z }_{ 2 }\bar { { z }_{ 2 } } =1\),  மற்றும் \({ \left| { z }_{ 3 } \right| }^{ 3 }=1\Rightarrow { z }_{ 3 }\bar { { z }_{ 3 } } =1\)
 ஆகவே, \(\bar { { z }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } ,\bar { { z }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } \), மற்றும் \(\bar { { z }_{ 3 } } =\frac { 1 }{ { z }_{ 3 } } \)
மேலும், \(\left| \frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } +\frac { 1 }{ { z }_{ 3 } } \right| =\left| \bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } +\bar { { z }_{ 3 } } \right| \) 
\(=\left| \overline { { { z }_{ 1 } } +{ { z }_{ 2 } } + { { z }_{ 3 } } }\right| =\left| { { z }_{ 1 } } + { { z }_{ 2 } } + { { z }_{ 3 } } \right| \) = 1

z + w
= (5 - 2i) + (-1 + 3i)
= (5 -1) + i (-2 + 3)
=4 + i(1)
= 4 + i

i¹⁹⁴⁷ + i¹⁹⁵⁰ = i¹⁹⁴⁴. i³ + i¹⁹⁴⁸. i² 
[ ∵ என்பது 4 -ன் பெருக்கல், 1948 என்பது மேலும் 4-ன் பெருக்கல்]
= (i⁴)⁴⁸⁶ . i² . i¹ + (i⁴)⁴⁸⁷ . i²  [i⁴ = 1]
= (i¹⁴⁸⁶) (-1) (i) + (1)⁴⁸⁷ (-1) [i²  = -1]
= -i - 1 = -1 -i

\(1+i\sqrt { 3 } \)
\(r=|z|=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 } } \)
\(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)
ஆகவே \(arg(z)=\frac { \pi }{ 3 } \)
எனவே, \(1+i\sqrt { 3 } \)  -ன் துருவ வடிவம்
\(1+i\sqrt { 3 } =2\left( cos\cfrac { \pi }{ 3 } +isin\cfrac { \pi }{ 3 } \right) \)
= \(2\left( \cos\left( \frac { \pi }{ 3 } +2k\pi \right) +i \sin\left( \cfrac { \pi }{ 3 } +2k\pi \right) \right) ,k\in z\).

\(\frac { 3 }{ 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) .6\left( cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \right) \)
\(=\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \left( 6 \right) \left( cos\left( \frac { \pi }{ 3 } +\frac { 5\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 3 } +\frac { 5\pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left( cos\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left(- cos\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) -isin\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left( -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) =-\frac { 9\sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 9i }{ 2 } \)
இது செவ்வக வடிவில் உள்ளது

\(\left| z+2-i \right| =2\) என்ற சமன்பாட்டை கருதுக. இதனை
\(\left| z-(-2+i) \right| =2\) என எழுதலாம்
இச்சமன்பாடு z₀ = -2 + i மற்றும் ஆரம் r = 2 உள்ள வட்டத்தைக் குறிக்கிறது. ஆகவே \(\left| z+2-i \right| <2\) என்பது மையம் −2 + i மற்றும் ஆரம் 2 உள்ள வட்டத்தின் உள்பகுதியில் உள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்கிறது.

கொள்கை: z = 3 + 2i
ஆகவே, iz = i(3 + 2i) = -2 + 3i
z + iz = (3 + 2i) + i(3 + 2i) = 1 + 5i
z, z + iz, மற்றும் izஆகியவை முறையே A, B மற்றும் C என்க.
\({ AB }^{ 2 }={ \left| (z+iz)-z \right| }^{ 2 }={ \left| -2+3i \right| }^{ 2 }=13\)
\({ BC }^{ 2 }{ =\left| iz-(z+iz) \right| }^{ 2 }={ \left| -3-2i \right| }^{ 2 }=13\)
\({ CA }^{ 2 }={ \left| z-iz \right| }^{ 2 }={ \left| 5-i \right| }^{ 2 }=26\)
AB² + BC² = CA² மற்றும் AB = BC, எனவே,
ΔABC ஓர் இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணமாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட \(\left| z \right| =1\)
\(\left| { z }^{ 2 }-3 \right| \le \left| { z }^{ 2 } \right| +\left| -3 \right| \)  [முக்கோணச் சமனிலை]
\(\le { \left| z \right| }^{ 2 }+3\le 1+3\) [∵ \(\left| z \right| \) = 1]
\(\left| { z }^{ 2 }-3 \right| \le 4\)   ...(1)
மேலும், \(\left| { z }^{ 2 }-3 \right| \ge \left| { z }^{ 2 } \right| -\left| -3 \right| \)
\(\ge \left| { \left| z \right| }^{ 2 }-3 \right| \)  [∵ \(\left| -3 \right| \) = 3]
\(\ge \left| { \left| z \right| }^{ 2 }-3 \right| \) [∵ \(\left| z \right| \) = 1]
\(\ge \left| -2 \right| \)
\(\left| { z }^{ 2 }-3 \right| \ge 2\)  ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து கிடைப்பது \(\ge 2\left| { z }^{ 2 }-3 \right| \le 4\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

அந்த புள்ளிகள் A(10 - 8i), B(11 + 6i) மற்றும் C(1+i)
A மற்றும் C என்பது இடைப்பட்ட தூரம்
\(\left| (10-8i)-(1+i) \right| =\left| 10-8i-1-i \right| =\left| 9-9i \right| \)
\(=\sqrt { { 9 }^{ 2 }+({ -9) }^{ 2 } } =\sqrt { 81+81 } =\sqrt { 2\times 81 } =\sqrt { 162 } \)
\(=9\sqrt { 2 } \)
B மற்றும் C என்பது \(=\left| (11+6i)-(1+i) \right| \)
\(=\left| 11+6i-1-i \right| =\left| 10+5i \right| \)
\(=\sqrt { { 10 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 } } =\sqrt { 100+25 } =\sqrt { 125 } \)
\(=\sqrt { 25\times 5 } =5\sqrt { 5 } \)
ஆகையால் \(\sqrt { 125 } <\sqrt { 162 } \), B, C-க்கு அருகாமையில் இருக்கும்.
∴ 11 + 6i, 1 + i க்கு அருகாமையில் இருக்கும்.

\(\frac { 1+i }{ 1-i } =\frac { \left( 1+i \right) \left( 1+i \right) }{ \left( 1-i \right) \left( 1+i \right) } =\frac { 1-2i-1 }{ 1+1 } =\frac { 2i }{ 2 } =i\)
மேலும் \(\frac { 1-i }{ 1+i } ={ \left( \frac { 1+1 }{ 1-i } \right) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ i } =-i\)
எனவே, \({ \left( \frac { 1+i }{ 1-i } \right) }^{ 3 }-{ \left( \frac { 1-i }{ 1+i } \right) }^{ 3 }\) = \({ i }^{ 3 }-{ (-i) }^{ 3 }\) = -i - i =- 2i 

கொடுக்கப்பட்டது : z₁ = 3, z₂ = -7i, z₃ = 5 + 4i
z₂ z₃ = -7i + 5 + 4i = 5 - 3i
z₁ (z₂ z₃) = 3(5 - 3i) = 15 - 9i  ...(1)
z₁ z₂ = 3(-7i) = -21i 
z₁ z₂ + z₁ z₃ = -21i + 15 + 12i 
= 15 - 9i  ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ (z₁ + z₂) z₃ = z₁ z₃ + z₂ z₃ எனவே நிறுவப்பட்டது.

\({ \left( -\sqrt { 3 } +3i \right) }^{ 31 }\)
\(-\sqrt { 3 } +3i\) = r(cos θ + isin θ) என்க.
r = \(\sqrt { { (-\sqrt { 3 } ) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { 3 }{ -\sqrt { 3 } } \right| ={ tan }^{ -1 }\sqrt { 3 } =\frac { \pi }{ 3 } \)
θ = π - a = π - \(\frac { \pi }{ 3 } =\frac { 2\pi }{ 3 } \) (∵ \(-\sqrt { 3 } +3i \) ஆனது II-ஆம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்)
ஆகவே, \(-\sqrt { 3 } +3i \) = \(2\sqrt { 3 } \) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
இருபுறமும் 31-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
\({ (-\sqrt { 3 } +3i) }^{ 31 }={ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) ^{31}\)
=\({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\left( 20\pi +\frac {2 \pi }{ 3 } \right) +isin\left( 20\pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac {2 \pi }{ 3 } \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( -cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) \) = \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( -\frac { 1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)