\(\mathrm{MR} =6=3 x^2-x^3 \)
\(\mathrm{R} =\int\left(6-3 x^2-x^3\right) d x \)
\(\mathrm{R} =6 x-\frac{3 x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+k \)
x  =0,R=0 எனில்  k=0
\(\mathrm{R}  =6 x-x^3-\frac{x^4}{4} \)
\(\mathrm{p}  =\frac{R}{x}=6-x^2-\frac{x^3}{4} \)

கொடுக்கப்பட்டவை: y=36-x² மற்றும் y₀=11
11=36-x₀²
x₀²=25
x₀=5

=\(\int _{ 0 }^{ 5 }{ (36-x^{ 2 }) } dx-5\times 11\)
=\(\left[ 36x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 5 }-55\)
=\(\left[ 36(5)-\frac { { 5 }^{ 3 } }{ 3 } \right] -55\)
=\(180-\frac { 125 }{ 3 } -55=\frac { 250 }{ 3 }\)
நுகர்வோர் உபரி =\(\frac { 250 }{ 3 } \) அலகுகள்.

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு MR =14-6x+9x²
வருவாய்ச் சார்பு \(\mathrm{R} =\int\left(14-6 \mathrm{x}+9 \mathrm{x}^2\right) d x \)
\(\mathrm{R} =14 x-\frac{6 x^2}{2}+\frac{9 x^3}{3}+k \)
x = 0, R = 0 எனில்  k  =0
\(\mathrm{R}  =14 x-3 x^2+3 x^3 \)
தேவை சார்பு: \(\mathrm{p}  =\frac{R}{x} \)
\( =14-3 x+3 x^2\)

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு 
\(\mathrm{MR} =20-5 x+3 x^2 \)
\(\frac{d R}{d x} =20-5 x+3 x^2 \)
வருவாய் சார்பு: \(\mathrm{R} =\int\left(20-5 \mathrm{x}+3 \mathrm{x}^2\right) d x \)
\(R =20 x-\frac{5 x^2}{2}+\frac{3 x^3}{3}+k \)
x  =0, R =0  எனில், k  =0 
\(\mathrm{R}  =20 x-\frac{5 x^2}{2}+x^3 \)

பரப்பு =\(\int _{ 1 }^{ 4 }{ ydx } \)
=\(\int _{ 1 }^{ 4 }{ (4x+3)dx } \)
=\(\left[ 2x^{ 2 }+3x \right] _{ 1 }^{ 4 }\)
= 32 + 12 - 2 - 3
= 39 சதுர அலகுகள்.

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு 
\(\mathrm{MR} =5+3 \mathrm{e}^{-0.03 x} \)
\(\frac{d R}{d x} =5+3 \mathrm{e}^{-0.03 x} \)
\(\mathrm{R} =\int\left(5+3 \mathrm{e}^{-0.03 x}\right) \mathrm{dx}=5 x+\frac{3 e^{-0.03 x}}{-0.03}+k \)
\(\mathrm{R} =5 x-\frac{e^{-0.03 x}}{0.01}+k \)
\(x =0, \mathrm{R}=0 \) எனில் 
\(\mathrm{k} =\frac{1}{0.01}=100\)
\(\mathrm{R} =5 x-\frac{e^{-0.03 x}}{0.01}+100\)
x =100 அலகுகள் எனில்,
\(\mathrm{R}  =5(100)-\frac{e^{-3}}{0.01}+100=600-\left(\frac{0.05}{0.01}\right)\)
=ரூ.5.95(ரூபாய் ஆயிரங்களில்)
=ரூ.5,95,000

கொடுக்கப்பட்ட MR =35+7x-3x²
R =\(\int { (MR) } dx+k\)
=\(\int { (35+7x-3x^{ 2 } } )dx+k\)
R =35x+\(\frac { 7 }{ 2 } \)x²-x³+k
x=0 எனும்பொழுது R=0 ∴ k=0
R=35x+\(\frac { 7 }{ 2 } \)x²-x³
தேவையானச் சார்பு: p=\(\frac { R }{ x } \)
p=35+\(\frac { 7 }{ 2 } \)x-x²

(i) கொடுக்கப்பட்ட MC=2+5e^x 
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (2+5{ e }^{ x }) } dx+k\)
=2x+5e^x+k
x=0, C=100 ⇒100=2(0)+5(e⁰)+k
k=95
∴ C=2x+5e^x+95
(ii) சராசரி விலை =\(\frac { C }{ x } =\frac { 2x+{ 5e }^{ x }+95 }{ x } \)
AC=\(2+\frac { 4e^{ x } }{ x } +\frac { 95 }{ x } \).

y-1 = x

y - 1 = x ⇒ y = x + 1
பரப்பு \(=\int _{ b }^{ a }{ ydx }\)
\(=\int _{ -1 }^{ -2 }{ ydx } +\int _{ -1 }^{ 3 }{ ydx } \left[ \because \int _{ a }^{ b }{ f(x)dx=-\int _{ b }^{ a }{ f(x)dx } } \right] \)
\(=\int _{ -1 }^{ -2 }{ (x+1)dx+\int _{ -1 }^{ 3 }{ (x+1)dx } } \)
\(={ \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +x \right) }_{ -1 }^{ -2 }+{ \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +x \right) }_{ -1 }^{ 3 }\)
\(=-\left( +\frac { 1 }{ 2 } -1 \right) -\left( 2 -2 \right) +\left( \frac { 9 }{ 2 } +3 \right) -\left( \frac { 1 }{ 2 } -1 \right) \)
\(=- +\frac { 1 }{ 2 } -1 + \frac { 9 }{ 2 } +3 - \frac { 1 }{ 2 } -1 = \frac { 7 }{ 2 } +5\) \(=\frac { 17 }{ 2 } \) ச.அலகுகள்

y=|x+3| =\(\begin{cases} x+3, & x\ge -3 \\ -(x+3), & x<-3 \end{cases}\)
தேவைப்படும் பரப்பு =\(\int _{ -6 }^{ 0 }{ y } dx\)
=\(\int _{ -6 }^{ -3 }{ y } dx+\int _{ -3 }^{ 0 }{ y } dx\)
=\(\int _{ -6 }^{ -3 }{ -(x+3)dx } +\int _{ -3 }^{ 0 }{ (x+3) } dx\)
=\(\left[ \frac { (x+3)^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -6 }^{ -3 }+\left[ \frac { (x+3)^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -3 }^{ 0 }\)
\(=\left[ 0-\frac { 9 }{ 2 } \right] +\left[ \frac { 9 }{ 2 } -0 \right] \)=9 சதுர அலகுகள்

\(\mathrm{I}(x)=500-0.03 x^2 ; \mathrm{C}_1=0.3 ; \mathrm{T}=30\)
சரக்கின் மொத்த தேக்கச் செலவு
\( =C_1 \int_0^T I(\mathrm{x}) \mathrm{dx} \)
\(=0.3 \int_0^{30}\left(500-0.03 \mathrm{x}^2\right) \mathrm{dx} \)
\(=0.3\left[500 x-0.01 x^3\right]_0^{30} \)
\(=0.3[15000-270]=₹ 4419\)
= ரூ.4,419

p=1000, r=0.1, N=5
மொத்த தொகை=\(\int _{ 0 }^{ 5 }{ 10000e^{ 0.1t } } dt\)
=\(\frac { 10000 }{ 0.1 } \left( { e }^{ 0.1t } \right) _{ 0 }^{ 5 }\)
=100000[e^0.1x5-e⁰]
=100000(e^0.5-1)
=100000[0.6487]
=ரூ.64,870

\(\mathrm{MC} =100 \sqrt{x} \)
\(\mathrm{C}  =100 \int x^{1 / 2} d x=100\left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]+k \)
\(\mathrm{C}  =\frac{200}{3} x^{\mathrm{M} / 2}+k\)
x =0 மற்றும் C=0 எனில்,k=0
\(\mathrm{C} =\frac{200}{3} x^{3 / 2}\)
சராசரி செலவுச் சார்பு
\(\mathrm{AC}=\frac{C}{x}=\frac{200}{3} x^{1 / 2}\)

\(\mathrm{CS}=\int^{x_2}_ 0 f(x) d x-x_0 p_0=\int^5_ 0\left(28-x^2\right) d x-15\)
\( =\left[28 x-\frac{x^3}{3}\right]_{10}^5-15 \)
\( =140-\frac{125}{3}-15=\frac{250}{3} \) அலகுகள்

\(\mathrm{R} =\int\left(35+7 x-3 x^2\right) d x \)
\( =35 x+\frac{7 x^2}{2}-\frac{3 x^3}{3}+k \)
x = 0 மற்றும் R = 0 எனில் k = 0
\(\mathrm{R}=35 x+\frac{7 x^2}{2}-x^3\)
சராசரி வருவாய்ச் சார்பு
\(\mathrm{AR}=\frac{R}{x}=35+\frac{7 x}{2}-x^2\)

பரப்பு \(=\int_0^4\left(4 x-x^2\right) d x=\left[\frac{4 x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^4 \)
\(=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3} \)ச.அலகுகள்