இங்கு A = 1, C = -1, F = -7
இங்கு \(A\neq C\)  மற்றும் A மற்றும் C ஒன்றுக்கொன்று எதிர்குறிகளை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அதிபரவளையத்தை குறிக்கிறது.

y² = 16x
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையம் வலது பக்க திறப்புடையது மற்றும் \(4a=16\Rightarrow a=4\).
(a) முனை(0, 0)
\(\Rightarrow h=0,k=0\)
(b) குவியம் (h + a, 0 + k)
\(\Rightarrow (0+4,0+0)=(4,0)\)
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = h - a
\(\Rightarrow x=0-4\Rightarrow x=-4\)
(d) செவ்வகத்தின் நீளம் 4a = 16

2a = 36.18, 2b = 9.12, எனத் தரப்பட்டுள்ளது.
இதிலிருந்து \(e=\sqrt { 1-\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\frac { \sqrt { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } }{ a } =\frac { \sqrt { { \left( \frac { 36.18 }{ 2 } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 9.12 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } }{ \frac { 36.18 }{ 2 } } \)
\(=\frac { \sqrt { { (18.09) }^{ 2 }-{ (4.56) }^{ 2 } } }{ (8.09) } \approx 0.97.\)

SS' = 2c மற்றும் 2c = 4; A'A = 2a = 6
\(\Rightarrow \) c = 2 மற்றும் a = 3,
\(\Rightarrow \) b² = a² - c² = 9 - 4 = 5.
நெட்டச்சு x-அச்சு, a > b 
மையம் (0, 0) மற்றும் குவியம் (±2, 0).
எனவே நீள் வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 9 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 5 } =1.\)

கொடுக்கப்பட்ட விட்டத்தின் முனைகள் (3, 4) (2, -7) 
\(\therefore\) வட்டத்தின் சமன்பாடு
\(\Rightarrow\) (x-x¹)(x-x²)+(y-y¹)(y-y²) = 0
\(\Rightarrow\) (x-3)(x-2)+(y+4)(y+7) = 0
\(\Rightarrow\) x²-2x-3x+6+y²+7y-4y-28 = 0
\(\Rightarrow\) x²+y²-5x+3y-22 = 0

வட்டம் இரு அச்சுகளையும் தொட்டுச் செல்வதால் அச்சுகளிலிருந்து வட்டத்தின் மையத்திற்கு உள்ள தூரம் 3 அலகுகள். எனவே மையம் (±3, ±3)ஆக இருக்கும். அதனால் ஆரம் 3 உடைய நான்கு வட்டங்களின் சமன்பாடுகள் x² + y², ±6x, ±6y + 9 = 0 ஆகும்.

இரு கடலோர காவல்படைத் தளங்கள் குவியலங்களாதலால் அவற்றின் மையம் (0,300) அதிபரவளையத்தின் மையமாகும்.
எனவே சமன்பாடு \(\frac { { \left( y-300 \right) }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { \left( x-0 \right) }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\).... (1)
a மற்றும் b-ன் மதிப்பு காண அதிபரவளையத்தின் மீதுள்ள இருபுள்ளிகளை எடுத்துப் பிரதியிடலாம்.
A ஆனது B-ஐ விட 200 கி.மீ. அதிக தூரத்தில் உள்ளதால்  (0,400) அதிபரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி \(\frac { { \left( 400-300 \right) }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { O }{ { b }^{ 2 } } =1\frac { { 100 }^{ 2 } }{ a^{ 2 } } =1,{ a }^{ 2 }=10000.\) 
மற்றொரு புள்ளி (x,600)-ம் அதிபரவளையத்தின் மீது 600² + x² = (x+200)²  எனுமாறு உள்ளது.
360000 + x² = x²+ 400x + 40000
x = 800
(1)-இல் பிரதியிட, \(\frac { { \left( 600-300 \right) }^{ 2 } }{ 10000 } -\frac { { \left( 800-0 \right) }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(9-\frac { 640000 }{ { b }^{ 2 } } =1\)
b² = 80000
தேவையான சமன்பாடு \(\frac { { \left( y-300 \right) }^{ 2 } }{ 10000 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 80000 } =1\)
இந்த அதிபரவளையத்தின் ஏதோ ஒரு புள்ளியில் தான் அந்த கப்பல் உள்ளது. மூன்றாவது ஒரு காவல்படைத் தளத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் சரியான இருப்பிடத்தைக் காண முடியும்.

பரவளையத்தின் சமன்பாடு 
(x-h)²=-4a(y-k)
இங்கு முனை (0.5, 4)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு (x - 0.5)² = -4a(y - 4) ..1(1)
O(0, 0) பரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி 
(0 - 0.5)² = -4a(0 - 4)
\(\Rightarrow \left( \cfrac { -1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }=-4a\left( -4 \right) \) 
\(\Rightarrow \cfrac { 1 }{ 4 } =16a\Rightarrow a=\cfrac { 1 }{ 64 } \) 
\(\therefore\) (1) லிருந்து (x - 0.5)²
\((x-0.5)^{ 2 }=-4\times \cfrac { 1 }{ 64 } \left( y-4 \right) \)
மேலும் D (0.75, y₁) பரவளையத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி 
\(\therefore \left( 0.75-0.5 \right) ^{ 2 }=-\cfrac { 1 }{ 16 } \left( { y }_{ 1 }-4 \right) \) 
\(\Rightarrow \left( \cfrac { 3 }{ 4 } -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }=-\cfrac { 1 }{ 16 } \left( { y }_{ 1 }-4 \right) \)
 \(\Rightarrow \left( \cfrac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 2 }=\cfrac { -1 }{ 16 } \left( { y }_{ 1 }-4 \right) \) 

\(\Rightarrow 1=-{ y }_{ 1 }+4\)
\(\Rightarrow { y }_{ 1 }=-1+4=3\) மீ
0.75 மீ கிடைமட்டத் தூரத்தில் நீரின் உயரம் 3 மீ  ஆகும்.

சரக்கு வாகனத்தின் அகலம் 3மீ என்பதால் அது வளைவு வழிச் செல்ல சாலையின் மையத்திலிருந்து 1.5மீ தூரத்தில் வளைவின் உயரம் கணக்கிட வேண்டும். இந்த உயரம் 2.7மீ அல்லது குறைவாக இருந்தால் சரக்கு வாகனம் வளைவு வழிச் செல்லாது.
படத்திலிருந்து a = 6 மற்றும் b = 3 என்பது \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { 6 }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { 3 }^{ 2 } } =1\) என்ற நீள்வட்டச் சமன்பாட்டை அளிக்கின்றது.
3மீ அகல வாகனத்தின் விளிம்பு மையத்திலிருந்து x = 1.5மீ-இல் இருக்கும். மையத்திலிருந்து 1.5மீ தூரத்தில் வளைவின் உயரம் காண x = 1.5 எனச் சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு y-இன் தீர்வு காண
\(\frac { { \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ 36 } \frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\)
 \({ y }^{ 2 }=9\left( 1-\frac { 9 }{ 144 } \right) \)
\(\frac { 9\left( 135 \right) }{ 144 } =\frac { 135 }{ 16 } \)
\(y=\frac { \sqrt { 135 } }{ 4 } \)
= 11.62/4
= 2.90
இதனால் வளைவின் மையத்திலிருந்து 1.5மீ தூரத்தில் வளைவின் உயரம் 2.90மீ, சரக்கு வாகனத்தின் உயரம் 2.7மீ என்பதால் அது நீள்வட்ட வளைவு வழியேச் செல்லும்.

நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு c² + 3y² = 12
\(\div \) 12 கிடைப்பது \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 12 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 4 } =1\) 
\(\therefore\) a² = 12, b² = 4
கோடு x - y + 4 = 0 ஐ y = x + 4 என திருத்தி எழுதலாம் .
\(\therefore\) m = 1, c = 4
y = mx + 4 நீள் வட்டத்தின் தொடுகோடாக இருக்க கட்டுப்பாடு c² = a²m² + b²
\(\therefore \) (4)² = 12(1)² + 4
\(\Rightarrow\) 16 = 12 + 4
\(\Rightarrow\) 16 = 16
நிபந்தனை நிறைவு செய்யப்படுவதால், கோடு x - y + 4 = 0 நீள் வட்டம் x² + 3y² = 12க்கு தொடுகோடாகும்.
மேலும் தொடும்புள்ளி \(\left( \cfrac { { -a }^{ 2 }m }{ c } ,\cfrac { { b }^{ 2 } }{ c } \right) \)
\(\Rightarrow \left( -\cfrac { 12(1) }{ 4 } ,\cfrac { 4 }{ 4 } \right) \Rightarrow \left( -3,1 \right) \)
\(\therefore\) தொடுபுள்ளி (-3, 1)

நீள் வட்டத்தின் சமன்பாடு 
x²+ 4y² = 32
\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 32 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 8 } =1\)
a² = 32, b² = 8
\(a=4\sqrt { 2 } ,b=2\sqrt { 2 } \)
\(\theta =\frac { \pi }{ 4 } \) - இல் தொடுகோட்டுச் சமன்பாடு 
\(\frac { x \cos\frac { \pi }{ 4 } }{ 4\sqrt { 2 } } \frac { y \sin\frac { \pi }{ 4 } }{ 2\sqrt { 2 } } =1\)
\(\frac { x }{ 8 } +\frac { y }{ 4 } =1\)
x+2y-8 = 0.
செங்கோட்டின் சமன்பாடு \(\frac { 4\sqrt { 2X } }{ cos\frac { \pi }{ 4 } } -\frac { 2\sqrt { 2Y } }{ sin\frac { \pi }{ 4 } } =32-8\)
8x-4y = 24 
2x-y-6 = 0.
மாற்று முறை : \(\theta =\frac { \pi }{ 4 } \) எனில்
\((a\ cos \theta ,b\ sin \theta )=\left( 4\sqrt { 2 }\ cos\frac { \pi }{ 4 } ,2\sqrt { 2 }\ sin\frac { \pi }{ 4 } \right) \) = (4, 2)
∴ தொடுகோட்டுச் சமன்பாடு  \(\theta =\frac { \pi }{ 4 } \) -இல் என்பதும் புள்ளி (4, 2) -இல் என்பதும் ஒன்றே.
எனவே தொடுகோட்டுச் சமன்பாடு \(\frac { { xx }_{ 1 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { yy }_{ 1 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
x+2y−8 = 0
தொடுகோட்டுச் சாய்வு -\(\frac { 1 }{ 2 } \)
செங்கோட்டுச் சாய்வு 2
செங்கோட்டின் சமன்பாடு  y - 2 = 2(x -4) 
y−2x+6 = 0 

உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தி எழுத நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
4x² + 24x + y² − 2y + 21 = 0
அதாவது 4(x² + 6x + 9 − 9)+ ( y² − 2y +1−1)+ 21 = 0 ,
4(x+3)²-36+(y-1)²-1+21 = 0, 
4(x+3)²+(y-1)² = 16,
\(\frac { { (x+3) }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { (y-1) }^{ 2 } }{ 16 } =1\)
மையம் (-3, 1) a = 4, b = 2, மற்றும் நெட்டச்சு y-அச்சுக்கு இணை 
c² = 16 - 4 = 12
c = ±2\(\sqrt 3\).
எனவே குவியங்கள் (-3, 2\(\sqrt 3\) + 1) மற்றும் (-3, -2\(\sqrt 3\) + 1).
முனைகள் (3, ±4 + 1), அதாவது (-3, 5) மற்றும் (-3, -3), மற்றும் 
செவ்வகல நீளம் = \(\frac { { 2b }^{ 2 } }{ a } =2\) அலகுகள்.

நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac { { (x-11) }^{ 2 } }{ 484 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 64 } =1\). 
சிறுநீரகக் கற்களைக் கரைக்க ஒலி அலைகள் தோன்றும் இடமும் நோயாளியின் சிறுநீரகக் கல்லும் குவியங்களில் உள்ளவாறு அமைய வேண்டும்.
a² = 484 மற்றும் b²=64
c² = a² -b²
= 484-64
= 420
c ≃ 20.5 .
நோயாளியின் சிறுநீரகக்கல் நீள்வட்டத்தின் நெட்டச்சில் மையத்திலிருந்து 20.5 செ.மீ தூரத்தில் இருக்க வேண்டும்.

பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax.
குவியம் முனையிலிருந்து 2மீ என்பதால் a = 2
எனவே பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 8x
முனையிலிருந்து 3மீ தூரத்தில் பரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி P எனில் P என்பது (3,y)ஆக இருக்கும்
y² = 8 x 3
\(y=\sqrt { 8\times 3 } \)
\(=2\sqrt { 6 } \)
முனையிலிருந்து 3மீ தூரத்தில் அலைவாங்கியின் அகலம் 4\(\\ \\ \sqrt { 6 } \)மீ ஆகும்.

\( 2 g =-8 \\ g =-4 \\ 2 f=-4 \\ f=-2 \\ \mathrm{C}(-g,-f) =(4,2) \\ \frac{x_1+x_2}{2} =4 \\ \frac{x_1+11}{2} =4 \\ x_1 =8-11 \\ x_1 =-3\\ \)
\( \frac{y_1+y_2}{2} =2 \\ \frac{y_1+2}{2} =2 \\ y_1 =4-2 \\ y_1 =2 \)
\(\therefore\) மற்றொரு முனை (-3, 2).

கொடுக்கப்பட்ட கோடு \(y=\mathrm{m} x+2 \sqrt{5}\)
இங்கு 
\( m=m ; c=2 \sqrt{5} \\  a^2=9 \quad b^2=16 \\  a=3 \quad b=4 \\  c^2=a^2 m^2-b^2 \\  (2 \sqrt{5})^2=9 m^2-16 \\  20+16=9 m^2 \Rightarrow m^2=\frac{36}{9}=4 \)
\(\therefore m= \pm 2 \) என்பது \(x^2-(a+b) x-4=0\)
\(2^2-(a+b) 2-4=0 \Rightarrow a+b=0\)

\(a^2=9, \quad b^2=4 \\  2 x-y=1 \Rightarrow y=2 x-1 \\  m=2 \\  c=\sqrt{a^2 m^2-b^2}=\sqrt{9(4)-4} \\  =\sqrt{36-4}=\sqrt{32} \\  c= \pm 4 \sqrt{2} \\ =\left(\frac{-a^2 m}{c}, \frac{-b^2}{c}\right) \\  =\left(\frac{-9 \times 2}{-4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{-4 \sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9 \times 2}{4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{4 \sqrt{2}}\right) \\  =\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9}{2 \sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right) \\ \)

\(x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 2y + 1 = 0 \)
2g = - 2
g = - 1
2f = - 2
f = - 1
இணையான கோடு 2x + 4y + \(\lambda\) = 0 என்க. மையம் (-g, -f) = (1, 1) என்பது இக்கோட்டின் மேல் அமைவதால்,
2 + 4 + 2 = 0 ⇒\(\lambda\) = -6
2x + 4y - 6 = 0
x + 2y = 3

x = 0 என்ற கோட்டிற்கும் மையம் (- g, - f) -க்கும் உள்ள தூரம் வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.
\(\pm\left(\frac{-g}{1^2}\right)=\sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow f^2=c\) ............ (1)
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து,
\( 2 f =-6+3 \lambda, c=9-19 \lambda \\ \left(\frac{-6+3 \lambda}{2}\right)^2 =9-19 \lambda \Rightarrow \lambda=0, \frac{-40}{9} \)