A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \)என்க 
A ஒரு 3 x 3 வரிசை அணி 
∴ ρ(A)≤(3,3)-ன் மீச்சிறு =3
A-ன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக் கோவைகளின் உச்சவரிசை 3 ஆகும்.
\(\left| \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -6 \\ -1 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 4 & -6 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} 2 & -6 \\ 5 & -1 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}\)
[R₁-ன் மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்டது]
=1(-4+6)+2(-2+30)+3(2-20)
=1(2)+2(28)+3(-18)
=2+56-54=58-54=4≠0
∴ ρ(A)=3.

\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } =r(cos\theta +isin\theta )\)
\(r=\sqrt { { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } } =\sqrt { \frac { 4 }{ 4 } } =1\)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } } \right| ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \) முதலாம் கால்பகுதியில் அமைவதால், θ = α
\(\therefore \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } =1\left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\therefore { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }={ 1 }^{ 2 }{ \left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 5 }\)
\(=cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \) ...(1) [டி மாய்வரின் தேற்றம்]
அதைப் போல \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } =1\left( cos\frac { \pi }{ 6 } -isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\therefore { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }={ 1 }^{ 2 }{ \left( cos\frac { \pi }{ 6 } -isin\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 5 }\)
\(=cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ கூட்ட கிடைப்பது,
\({ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }{ +\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }\)

\(=2cos\frac { 5\pi }{ 6 } =2cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(=-2cos\frac { \pi }{ 6 } \)[\(\therefore \frac { 5\pi }{ 6 } \) இரண்டாம் காலப்பகுதியில் அமைவதால்]
\({ -2\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }=\sqrt { 3 } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

i) (x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²)(x₃² + y₃²).........(x_n² + y_n²) = a² + b².
இருபுறமும் மட்டு மதிப்பு காண கிடைப்பது
⇒ l(x₁ + iy₁) (x₂ + iy₂) (x_n + iy_n)| = |a + ib|
⇒ lx₁ + iy₁| |x₂ + iy₂| ... |x_n + iy_n| = |a + ib|
\(\Rightarrow \sqrt { { { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } } \sqrt { { { x }_{ 2 } }^{ 2 }+{ { y }_{ 2 } }^{ 2 } } ...\sqrt { { { x }_{ n } }^{ 2 }+{ { y }_{ n } }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது.
(x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²)(x₃² + y₃²).........(x_n² + y_n²) = a² + b².
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
ii) (x₁+ iy₁) (x₂ + iy₂) ... (x_n + iy_n) = a + ib
arg ((x₁+ iy₁) (x₂ + iy₂) ... (x_n + iy_n)) = arg(a + ib)
⇒ arg (x₁+ iy₁) + arg (x₂ + iy₂) + ...  + arg (x_n + iy_n)) = arg(a + ib)
(∵ arg (z₁z₂...z₃) = arg z₁ + arg z₂ + ... + arg z_n)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 } } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { { y }_{ 2 } }{ { x }_{ 2 } } \right) +...+{ tan }^{ -1 }\left( \frac { { y }_{ n } }{ { x }_{ n } } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { { b } }{ a } \right) +2k\pi \)
\(\Rightarrow \sum _{ r=1 }^{ n }{ tan\left( \frac { { y }_{ r } }{ { x }_{ r } } \right) } ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { b }{ a } \right) +2k\pi, k\epsilon Z\)

(i) |z - 2 - i| = 3
⇒ |z - 2 - i| = 3
இது |z - z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது.
(ii) |2z + 2 - 4i| = 2
2|z + 1 - 2i| = 2
⇒ |z -(- 1 - 2i)| = 1
இது |z -z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது.
(iii) ⇒ 3|z - 2 + 4i| = 8
⇒ |z - (2 + 4i)| = \(\frac 83\)
இது |z - z₀| = r என்ற வடிவம். உள்ளது ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (2 - 4i) மற்றும் ஆரம் \(\frac 83\) ஆகும்.

சமன்பாட்டு தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX=B 
இங்கு 
\(A=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
\(A=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\([A/B]=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & k \\ 1 & -2k & 1 \\ k & -2 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ kR }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & k \\ 1 & -2k+2 & k \\ 0 & -2+2k & 1-{ k }^{ 2 } \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 1-k \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -2k+2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} k \\ 1-k \\ 1-{ k }^{ 2 }+1-k \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -k-2 \end{matrix} \right] \)
\(\rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -2k+2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} k \\ 1-k \\ (k+2)(1-k) \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -k-2 \end{matrix} \right] \quad .....(1)\)
நிலை (i) k=1 எனில் 
\([A|B]\rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -3 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
[2 - k - k² = - (k² +k-2)
=-(k+2) (k-1)
= (k + 2) (1-k)]
நிலை (i) k = 1 எனில்
ρ(A)=1, ρ([A } B]) = 3.
ρ(A) ≠ ρ([A | B])
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது மற்றும் தீர்வுகள் கிடையாது.
நிலை (ii): k ≠ 1, k ≠ -2 எனில் ρ(A)=3, ρ([A | B]) = 3 = n
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டது.
நிலை (iii): k=-2 எனில்
ρ(A) = 2, ρ([A | B]) = 2
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டது.

\(A=\left[ \begin{matrix} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right] \)
|A| = 24 - 20 = 4 ≠ 0.
A^-1 ஐக் காண இயலும்.
\(\operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right]\)
\(\begin{aligned} \mathrm{A}(\operatorname{adj} \mathrm{~A}) & =\left[\begin{array}{cc} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} 24-20 & 32-32 \\ -15+15 & -20+24 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] ....(1) \end{aligned}\)
\((\operatorname{adj} A) A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{array}\right]\)
             \(\begin{aligned} & =\left[\begin{array}{cc} 24-20 & -12+12 \\ 40-40 & -20+24 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] ....(2) \end{aligned}\)
\(|\mathrm{A}| \mathrm{I}_2=4\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right]\) ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
A(adj A) = (adj A) A = |A| I₂.

|A|=(2)(7)-(9)(1) = 14-9=5. எனவே, A^-1 =\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -9 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 9 }{ 5 } \\ -\frac { 1 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] \)
எனவே, (A^-1)^T = \(\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 1 }{ 5 } \\ -\frac { 9 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \) ... (1)
A^T=\(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 9 & 7 \end{matrix} \right] \)எனவே |A^T| =(2)(7)-(1)(9) = 5
(A^T)^-1 = \(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \)... (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து கிடைப்பது, (A^-1)^T =(A^T)^-1 எனவே கொடுத்துள்ள பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.

|adj A| = \(\left| \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) = 9
எனவே A^-1 = \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adj(A)| } } adj(A)=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 9 } } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] =\pm \frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \).

2x − y = 8, 3x + 2y = −2
தொகையின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \\ \)
⇒ AX=B இங்கு A\(=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(B=\left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow X={ A }^{ -1 }B.\)
இப்பொழுது \(|A|=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] =4+3=7\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A\)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 16 & -2 \\ -24 & -4 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 14 \\ -28 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 14 }{ 7 } \\ \frac { -28 }{ 7 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore x=2,\quad y=-4\)
எனவே, தீர்வுக் கணம்{2,-4}

\(7\le \left|z +6-8i \right| \le 13\) எனக் கொடுக்கப்பட்டது 
\(\left| z+6-8i \right| \le \left| z \right| +\left| 6-8i \right| \) [முக்கோணச் சமனிலி]
\(\le 3\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-8) }^{ 2 } } \le 3+\sqrt { 36+64 } \le 3\sqrt { 1w } \)
\(\left| z+6-8i \right| \le 3+10\le 13\) ...(1)
மேலும் \(\left| z+6-8i \right| \ge \left| z \right| -\left| 6-8i \right| \ge \left| 3\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-8) }^{ 2 } } \right| \)
\(\ge \left| 3-\sqrt { 36+84 } \right| \ge \left| 3-10 \right| \ge \left| -7 \right| \ge 7\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து கிடைப்பது,
\(7\le \left| z+6-8i \right| \le 13\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(\left| 6-8i \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+({ -8) }^{ 2 } } =10\) மற்றும் வர்க்கமூலம் காண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\sqrt { 6-8i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 10+6 }{ 2 } } -i\sqrt { \frac { 10-6 }{ 2 } } \right) \) \((\because \) b குறை, \(\frac { b }{ \left| b \right| } =-1\))
 \(=\pm (\sqrt { 8 } -i\sqrt { 2 } )\)
\(=\pm (2\sqrt { 2 } -i\sqrt { 2 } )\).

z = (2 +3i)(1 - i) = (2 + 3)+ (3 - 2)i = 5 + i
⇒ z⁻¹ = \(\frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ 5+i } \)
தொகுதி மற்றும் பகுதியை பகுதியின் இணை எண்ணால் பெருக்க
z⁻¹ = \(\frac { (5-i) }{ (5+i)(5-i) } =\frac { 5-i }{ { 5 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 26 } -i\frac { 1 }{ 26 } \)
⇒ z⁻¹ = \(\frac { 5 }{ 26 } -i\frac { 1 }{ 26 } \)

பின்வரும் அணிக்கோவைகளின் மதிப்பை முதலில் காண்போம்.
\(\triangle =\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right| =6\neq 0,{ \triangle }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 3 & -1 & 0 \\ 17 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 2 \end{matrix} \right| =12,{ \triangle }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 17 & 4 \\ 0 & 7 & 2 \end{matrix} \right| =-6,{ \triangle }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & 17 \\ 0 & 1 & 7 \end{matrix} \right| =24\)
கிராமரின் விதிப்படி x₁ = \(\frac { { \triangle }_{ 1 } }{ \triangle } =\frac { 12 }{ 6 } =2,{ x }_{ 2 }=\frac { { \triangle }_{ 2 } }{ \triangle } =\frac { -6 }{ 6 } =-1,{ x }_{ 3 }=\frac { 24 }{ 6 } =4\)
எனவே தீர்வானது (x₁= 2, x₂ = -1, x₃ = 4)

கொடுக்கப்பட்ட adj \(A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
இங்கு \(adj(adj\quad A)={ \left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(2-0) \\ -(0) \\ +(0-2) \end{matrix}\begin{matrix} -(0) \\ +(1+1) \\ -(0) \end{matrix}\begin{matrix} +(0+2) \\ -(0) \\ +(2-0) \end{matrix} \right] }^{ T }={ \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
adj(adj) A \(=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] \)

i¹⁺⁵⁰ + i²⁺⁵⁰ + ... + i¹⁰⁺⁵⁰
= i⁵¹ + i⁵² + ..... + i⁶⁰
i⁵⁰ ஐ பொதுவாக எடுக்க கிடைப்பது.
i⁵⁰[(i + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i + i⁸) + i⁹ + i¹⁰]
= i⁵⁰ [0 + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + i⁴⁺⁴) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺²)]
= i⁵⁰ [0 + 0 + i + i²] [∵ i + i² + i³ + i⁴ = 0]
= i⁵⁰ [i - 1] = i⁴⁸⁺²(i-1)
= i²(i-1) [∵ i⁴⁸ = 1]
= -1 (i-1) = -i + 1 = 1 - i

A =\(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)பின்பு, A^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
எனவே
AA^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta & cos\theta sin\theta -sin\theta cos\theta \\ sin\theta cos\theta -cos\theta sin\theta & { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \) = I₂
இதேபோல் A^TA = I₂. எனவே AA^T = A^TA = I₂ ⇒ A ஆனது செங்குத்து அணியாகும்.

நாம் \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\) ஐ காண வேண்டும். z = \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\) எனில் z⁴ = 1 ஆகும்.
z⁴ = 1  என்ற சமன்பாட்டை துருவ வடிவில் எழுத,
z = cos (0 + 2kㅠ) + isin (0 + 2kㅠ) = e^i2kㅠ, k = 0,1,2,.....
எனவே, z = \(cos\left( \frac { 2k\pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { 2k\pi }{ 4 } \right) ={ e }^{ i\frac { 2k\pi }{ 4 } }\) k = 0,1,2,3
k = 0,1,2,3 எனப்பிரதியிட
k = 0, z = cos0 + isin0=1
k = 1, \(z = cos\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) =i\),
k = 2, z = cosㅠ + isinㅠ = -1
k=3, z = \(cos\frac { 3\pi }{ 2 } +isin\frac { 3\pi }{ 2 } \) = - \(cos\frac { \pi }{ 2 } -isin\frac { \pi }{ 2 } =-i\)
ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்கள் 1, i, -1, -i ⇒ 1, ω, ω²மற்றும் ω³ இங்கு \(ω ={ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 4 } }=i\)

\(z={ (-1) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\) என்க.
\(z={ (cos\pi +isin\pi ) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\)
[∵ cosπ = -1 மற்றும் sin π = 0]
\(\Rightarrow z=cos\frac { 1 }{ 4 } (2k\pi +\pi )+isin\frac { 1 }{ 4 } (2k\pi +\pi )\)
k = 0, 1, 2, 3
k = 0 எனில்
\(z=cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1+i)\)
k = 1 எனில்
\(z=cos\frac { 3\pi }{ 4 } +isin\frac { 3\pi }{ 4 } =cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
\(=-cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵ \(\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \) II -ம் கால்பகுதியில் அமைகிறது cos θ குறை மற்றும் sin θ மிகை]
\(=-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1+i)\)
k = 2 எனில்
\(z=cos5\frac { \pi }{ 4 } +isin5\frac { \pi }{ 4 } \)
\(=cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= -\(cos\frac { \pi }{ 4 } -isin\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵ \(\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \) III - கால்பகுதியில் அமைகிறது இங்கு cos θ மற்றும் sin θ குறை]
= - \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1-i)\)
k = 3 எனில்
\(z=cos7\frac { \pi }{ 4 } +isin7\frac { \pi }{ 4 } \)
\(=cos\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) -isin2\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= \(cos\frac { \pi }{ 4 } -isin\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵\(\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \) IV  -ம் கால்பகுதியில் அமைகிறது இங்கு cos θ மிகை மற்றும் sin θ குறை]
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1-i)\)
எனவே நான்கு மூலங்கள்
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1+i),\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1+i),\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1-i),\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1-i)\)
∵ மூலங்கள் \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1\pm i)\)

கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
\(Im\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { 2(x+iy)+1 }{ i(x+iy)+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix+{ i }^{ 2 }y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix-y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+iy }{ (1-y)+ix } \right) =0\)
பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது.
\(Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ (1-y)+ix } \times \frac { (1-y)-ix }{ (1-y)-ix } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy\times (1-y)-ix }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } \right) =0\)
கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac { (2x+1)+(-x)\times 2y(1-y) }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } =0\)
⇒ (2x+ 1)-x+2y(1-y) = 0
⇒ -2x² - x + 2y - 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x - 2y = 0
எனவே z - ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x - 2y = 0

\({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } })^{ 10 }\)
இப்பொழுது \(\overline { z } =\overline { (2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)
\(\overline { z } =\overline { (2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } -(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) \([\because \overline { { z }_{ 1 }-{ z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 } } -\overline { { z }_{ 2 } } ]\)
\(=(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\)
\(=-[(2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }]=-z\)
\(\therefore \overline { z } =-\overline { z } \Rightarrow z\) முழுவதும் கற்பனை எண்
எனவே \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } })^{ 10 }\) முழுவதும் கற்பனை எண்.

ஒரு தோசையின் விலை ரூ.x என்க.
ஒரு இட்லியின் விலை ரூ. y என்க.
ஒரு வடையின் விலை ரூ.z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, 
2x+3y+2z=150
2x+2y+4z=200
5x+4y+2z=250
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 2 \end{matrix} \right| \)
\(=2\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \)
=2(4-16)-3(4-20)+2(8-10)
=2(-12)-3(-16)+2(-2)
=-24+48-4=20 ≠ 0 
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 150 & 3 & 2 \\ 200 & 2 & 4 \\ 250 & 4 & 2 \end{matrix} \right| \)
C₃ லிருந்து 50ஐ பொதுவில் எடுக்க கிடைப்பது 
\(=50\left| \begin{matrix} 3 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ 3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \right] \)
= 50[3(4 - 16) - 3(8 - 20) + 2(16 - 10)]
= 50[- 36 + 36 + 12] = 600
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 2 & 150 & 2 \\ 2 & 200 & 4 \\ 5 & 250 & 2 \end{matrix} \right| =50\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 5 & 5 & 1 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 5 \end{matrix} \right| \right] \)
= 50 [2(8-20)-3(4-20)+2(10-20)]
= 50[-24+48-20] = 200
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 150 \\ 2 & 2 & 200 \\ 5 & 4 & 250 \end{matrix} \right| =50\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 5 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ 2\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 5 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \right] \)
=50[2(10-16)-3(10-20)+3(8-10)]
=50[2(-6)-3(-10)+3(-2)]
=50[-12+30-6]=50[12]=600
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 600 }{ 20 } =30\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 200 }{ 20 } =10\)
\(z=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 600 }{ 20 } =30\)
ஆகையால் ஒரு தோசையின் விலை ரூ.30, ஒரு இட்லியின் விலை ரூ. 10 மற்றும் 1 வடையின் விலை ரூ.30.
மேலும் 3 தோசைகள், ஆறு இட்லிகள் மற்றும் 6 வடைகளின் விலை
=3x+6y+6z =3(30)+6(10)+6(30)
=90+60+180=ரூ.330
அக்குடும்பத்தினரிடம் ரூ.350 இருப்பதால் சாப்பிட்ட செலவிற்கான தொகையை அவர்களிடமிருந்த பணத்தைக் கொண்டு செலுத்த முடியும்.

(i) A = \(\left[ \begin{matrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 6 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 3 வரிசையுடைய அணி. எனவே \(\rho \)(A) ≤ min{3,3} = 3
உச்ச சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 3.
A-விற்கு ஒரே ஒரு 3 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைதான் உண்டு. அதன் மதிப்பு
\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 6 \end{matrix} \right| \) = 3(6-6)-2(6-6)+5(3-3) = 0. எனவே, \(\rho \)(A) < 3
அடுத்து 2 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை தேர்வு செய்வோம். அதில் ஒரு 2 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை \(\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \) = 3-2 = 1 ≠ 0. எனவே \(\rho \)(A) = 2.
(ii) A = \(\left[ \begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 4 வரிசையுடைய அணி.
எனவே \(\rho \)(A) ≤ min{3, 4} = 3
உச்ச சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 3. அவை
\(\left| \begin{matrix} 4 & 3 & 1 \\ -3 & -1 & -2 \\ 6 & 7 & -1 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 4 & 3 & -2 \\ -3 & -1 & 4 \\ 6 & 7 & 2 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 4 & 1 & -2 \\ -3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & 4 \\ 7 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =0\)
எனவே, \(\rho \)(A) < 3 அடுத்து 2-ஆம் வரிசையின் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவை ஏதேனும் ஒன்று A உள்ளதா எனப்பார்ப்போம். இது சாத்தியமாகும்.
ஏனெனில் \(\left| \begin{matrix} 4 & 3 \\ -3 & -1 \end{matrix} \right| \)= -4 + 9 = 5 ≠ 0
எனவே, \(\rho \)(A) = 2.

\( \delta=\frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{|-1|}{\sqrt{4+9+\lambda^2}} \\ 5=\sqrt{4+9+\lambda^2} \Rightarrow 25=4+9+\lambda^2 \\ 25=13+\lambda^2 \Rightarrow \lambda^2=12 \Rightarrow \lambda= \pm 2 \sqrt{3} \\ \because \lambda>0, \lambda=2 \sqrt{3} \)

\( \cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma =1 \\ \frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2} =1 \Rightarrow \frac{3}{c^2}=1 \\ c^2 =3 \Rightarrow c= \pm \sqrt{3} \)

\( \left(x_1, y_1, z_1\right)=(0,0,0), d=7 \\ \quad(a, b, c)=(3,-6,2) \\ d=\frac{\left|a x_1+b y_1+c z_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|7|}{\sqrt{9+36+4}}=\frac{7}{7}=1 \)

\( \frac{\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})}{(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}} +\frac{\vec{b} \cdot(\vec{c} \times \vec{a})}{(\vec{a} \times \vec{b})+\vec{c}}+\frac{\vec{c} \cdot(\vec{a} \times \vec{b})}{(\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}} \\ =\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}+\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}-\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]} \\ =1+1-1=1 \)

\( \overrightarrow{n_1} =3 \hat{i}-2 \hat{j}+0 \hat{k}, \overrightarrow{n_2}=\hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}+2 \hat{k} \\ \vec{n}_1 \cdot \overrightarrow{n_2} =3-2\left(\frac{3}{2}\right)=3-3=0 \\ \cos \theta =0 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2} \)

கொடுக்கப்பட்டது \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}=0\)
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து
\({[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] }  =(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=(|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \cdot \hat{n}) \cdot \vec{c} \\  =|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta|\vec{c}| \cos \alpha\)
\((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து என்பதால், \(\alpha=0, \theta=\frac{\pi}{2})\) 
\(=\left|\vec{a}\left\|\vec{b}\left|\sin \frac{\pi}{2} \cos 0^{\circ}\right| \vec{c}|=| \vec{a}\right\| \vec{b} \| \vec{c}\right|\)

\( \vec {a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) என்பன இணையாதலால், \(\vec{a}=\lambda \vec{b}\)
\([\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]=[\lambda \vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda[\vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda(0)=0\)

\(\frac{3}{-1+i}=\frac{3}{-1+i} \times \frac{-1-i}{-1-i}=\frac{3}{2}(-1-i) \)
\(\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right)=\frac{\pi}{4}\)
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகள் குறை மதிப்புகள் என்பதால் 'θ' ஆனது 3 ஆம் கால் வட்டப் பகுதியில் அமைகிறது.
முதன்மை வீச்சு \(=-\frac{3 \pi}{4} \quad\left[\because \frac{\pi}{4}-\pi\right]\)

\(z_1+z_2+z_3=0 \)
\( \Rightarrow\left(z_1+z_2+z_3\right)^2=0 \)
\( z_1^2+z_2^2+z_3^2+2\left(z_1 z_2+z_2 z_3+z_3 z_1\right)=0 \)
\( z_1^2+z_2^2+z_3^2=-2 z_1 z_2 z_3\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}\right) \)
\(=-2 z_1 z_2 z_3\left(\bar{z}_1+\bar{z}_2+\bar{z}_3\right) \)
\(=-2 z_1 z_2 z_3\left(\overline{z_1+z_2+z_3}\right)=0\)

\(\sum_{r=0}^n{ }^n C_r(-1)^r \dot{x}^r=1-{ }^n C_1 x+{ }^n C_2 x^2-{ }^n C_3 x^3+\ldots(-1)^n x^n\)
P(x) என்பது 'n' மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது.எனவே, இது 'n' மிகை மூலங்களைக் கொண்டிருக்கும்.
P(-x)ல் குறிமாற்றங்கள் இல்லை, எனவே குறையெண் மூலங்கள் கிடையாது.

P(x) = x³ + 2x + 3, குறிமாற்றங்கள் இல்லை
மிகை மெய்யெண் மூலங்கள் இல்லை.
P(-x) = - x³ - 2x + 3, ஒரேயொரு குறிமாற்றம் 
ஒரு குறையெண் மூலம்
இதற்கு ஒரு குறையெண் மற்றும் இரண்டு கற்பனை மூலங்கள் உள்ளது.

விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, p/q என்பது பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலம். இங்கு a₀ = -5, a_n = 4 மற்றும் (4, -5) = 1. எனவே p என்பது 5 ஐயும், q என்பது 4 ஐயும் வகுக்க வேண்டும்.
p ன் சாத்தியமுறு மதிப்புகள் +1, -1, +5,-5
q ன் சாத்தியமுறு மதிப்புகள் +1, - 1, 4, -4
4/5 என்பது சாத்தியமற்ற விகிதமுறு பூச்சியமாகும்.

\(\mathrm{f}(x)=x^{\mathrm{m}}\) மற்றும் \(g(x)=x^n \) என்க.
படி = m படி = n 
\( (\mathrm{f} \circ \mathrm{g})(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{g}(x))=\mathrm{f}\left(x^{\mathrm{n}}\right)=\left(x^{\mathrm{n}}\right)^{\mathrm{m}}=x^{\mathrm{mn }} \)
படி = mn 

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left| z-\frac { 3 }{ z } \right| \) = 2
|z| ஐ \(\left|\left(z-\frac{3}{z}\right)+\frac{3}{z}\right|\) என எழுதலாம்.
ஏதேனும் இரு காலப்பெண்களுக்கான முக்கோண சமனிலியைப் பயன்படுத்த,
\( || z-\frac{3}{z}|-| \frac{3}{z}|| \leq\left|z-\frac{3}{z}+\frac{3}{z}\right| \leq\left|z-\frac{3}{z}\right|+\left|\frac{3}{z}\right|\)
\(\left|2-| \frac{3}{z}|\leq| z|\leq 2+| \frac{3}{z} \right\rvert\, \)
\( \left.\Rightarrow 2-\left|\frac{3}{z}\right|-|z| \leq 0 \Rightarrow|z|+\frac{3}{\mid z} \right\rvert\,-2 \geq 0\)
\( -2+\left|\frac{3}{z}\right|-|z| \leq 0 \Rightarrow|z|-\frac{3}{|z|}+2 \geq 0\)
\( |z|-2-\frac{3}{|z|} \leq 0\)
|z| = r என்க.
\(\text {(1) } \Rightarrow r^2-2 r+3 \geq 0 \)
B² - 4AC = 4 - 12 < 0, மெய் மூலங்கள் இல்லை 
\(\text {(2) } \Rightarrow r^2+2 r-3 \geq 0 \Rightarrow(r+3)(r-1) \geq 0\)
ie) \(r \in \mathbb{R}-(-3,1)\)
\(\text {(3) } \Rightarrow r^2-2 r-3 \leq 0 \Rightarrow(r-3)(r+1) \leq 0\)
ie) \(r \in[-1,3]\)
(4) மற்றும் (5) லிருந்து, \(r \in[1,3] \Rightarrow|z| \in[1,3]\)
\(\therefore|z|\) ன் மீச்சிறு மதிப்பு 1

\( 2 g =-8 \\ g =-4 \\ 2 f=-4 \\ f=-2 \\ \mathrm{C}(-g,-f) =(4,2) \\ \frac{x_1+x_2}{2} =4 \\ \frac{x_1+11}{2} =4 \\ x_1 =8-11 \\ x_1 =-3\\ \)
\( \frac{y_1+y_2}{2} =2 \\ \frac{y_1+2}{2} =2 \\ y_1 =4-2 \\ y_1 =2 \)
\(\therefore\) மற்றொரு முனை (-3, 2).

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

x = a cos \(\theta\); y = b sin \(\theta\)
நீளம் = 2acos\(\theta\); அகலம் = 2bsin\(\theta\)
பரப்பு A = l \(\times\) b = 4absin\(\theta\)cos\(\theta\)
A = 2ab sin 2\(\theta\)
\(\frac{dA}{d \theta}\)= 2ab cos2\(\theta\) (2) = 4ab cos2\(\theta\)
மீப்பெரும பரப்பிற்கு
\(\frac{dA}{d \theta}\) = 0 \(\Rightarrow\) cos2\(\theta\) = 0
\(\begin{aligned} 2 \theta & =\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore A = 2 a b \sin 2\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 a b \sin \frac{\pi}{2} \end{aligned}\)
A = 2ab

\( a^2=16 b^2 =9 \\ (h, k) =(0,3) \\ e =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4} \)
\(a e=4 \frac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{7} (x-h)^2+(y-k)^2  =r^2 \\ (\sqrt{7}-0)^2+(0-3)^2  =r^2 \Rightarrow \sqrt{7}^2+3^2=r^2 \\ 7+9  =r^2 \Rightarrow r^2=16 \\ \therefore(x-0)^2+(y-3)^2  =16 \\ x^2+y^2-6 y+9  =16 \\ x^2+y^2-6 y-7  =0\)

\( y^2=12 x \quad \Rightarrow 4 a =12 \Rightarrow a=3 \\ x+y =k \Rightarrow y=-x+k \\ \therefore m =-1, c=k \\ c=-2 a m-a m^2 \Rightarrow k =-2 a(-1)-a(-1)^3 \\ k =-6(-1)-3(-1)=6+3=9 \)

ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac { 1 }{ i-2 } \) 
கலப்பெண் \(z = \frac { 1 }{ -i-2 } = \frac { 1 }{-( i-2) } = \frac { -1 }{( i+2) } \)

\(x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 2y + 1 = 0 \)
2g = - 2
g = - 1
2f = - 2
f = - 1
இணையான கோடு 2x + 4y + \(\lambda\) = 0 என்க. மையம் (-g, -f) = (1, 1) என்பது இக்கோட்டின் மேல் அமைவதால்,
2 + 4 + 2 = 0 ⇒\(\lambda\) = -6
2x + 4y - 6 = 0
x + 2y = 3

\( L: 3 x-4 y =\mathrm{m} \\ C: x^2+y^2-4 x-8 y-5 =0 \\ (x-2)^2+(y-4) =25 \)
C(2, 4); r = 5
மையத்திலிருந்து தொலைவு < r
\( \left| \frac{ah+bk+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|<r\)
\(\left|\frac{3\times 2-4\times 4-m}{\sqrt{9+16}} \right|<r\Rightarrow \left| \frac{-10-m}{5}\right|<5\)
\(-5<\frac{10+m}{5}<5\)
-25 < 10 + m < 25
-25 - 10 < m < 25 - 10
-35 < m < 15

\(\sum_{n=1}^{13}\left(i^n+i^{n-1}\right)=  \left(\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\ldots+\mathrm{i}^{13}\right)+ \left(\mathrm{i}^0+\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\ldots+\mathrm{i}^{12}\right) \)
\(=  \mathrm{i}^0+2\left(\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\ldots+\mathrm{i}^{12}\right)+\mathrm{i}^{13} \)
\(=  1+2(\mathrm{i}-1-\mathrm{i}+1+\ldots+1)+\mathrm{i} \)
\(=  1+2(0)+\mathrm{i}=1+\mathrm{i}\)

adj (adj A) = |A|^{n - 2} A
|A|^3-2 = A = |A| A 
IA| = 3(-3 + 4) + 3(2) + 4(-2)
= 3 + 6 - 8 = 1
adj (adj A) = 1 A = A

\(\operatorname{adj}(\mathrm{AB}) =\operatorname{adj}(\mathrm{B}). \operatorname{adj}(\mathrm{A}) \)
\( =\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2-8 & 3+2 \\ -6+4 & -9-1 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj}(\mathrm{AB}) =\left[\begin{array}{cc} -6 & 5 \\ -2 & -10 \end{array}\right] \)

\(A B=I \Rightarrow B=A^{-1}=\frac{1}{1+\tan ^2 \frac{\theta}{2}}\left[\begin{array}{cr} 1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1 \end{array}\right] \)
\(=\frac{1}{\sec ^2 \frac{\theta}{2}}\left[\begin{array}{cc} 1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1 \end{array}\right]=\cos ^2 \frac{\theta}{2} A^{\top}\)

A^-1=\(\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -2 & -1 \end{matrix} \right] \) 
A^-1= (A^-T)^-1= \(\left[ \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & -1 \end{matrix} \right] \)

\(\mathrm{AB} =\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 8 \\ 11 & 4 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj} \mathrm{AB} =\left[\begin{array}{cc} 4 & -8 \\ -11 & 2 \end{array}\right] \)
\(\therefore|\operatorname{adj} \mathrm{AB}| =8-88=-80\)

A ன் வரிசை 2 x 2 \(A\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \) என்க.
\(\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \)
a + b = 6
c + d = 0
-2a + 4b = 0
-2c + 4d = 6
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கக் கிடைப்பது, 
a = 4, b = 2 c = -1, d = 1
\(A = \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)

\( \sin \left(\tan ^{-1} x\right),|x|<1  \\ \because \tan ^{-1} x   =\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \therefore \sin \left(\tan ^{-1} x\right)   =\sin \left[\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)

 \(\alpha=\cot ^{-1} \frac{1}{2} \) என்க \(\Rightarrow \cot \alpha=\frac{1}{2}\) மற்றும்\(\ \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{5}} \)
\(\therefore \sin ^{-1}(x)+\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{5}} \quad\left(\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right)\)

\(\therefore \cos 2 u=\cos 2\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \pi=-1\)

\( -1 \leq x^2-3 \leq 1 \\ -1+3 \leq x^2 \leq 1+3 \\ \Rightarrow 2 \leq x^2 \leq 4 \\ \pm \sqrt{2} \leq x \leq \pm 2 \\ \therefore \quad[-2,-\sqrt{2}] \cup[\sqrt{2}, 2] \)

sin⁻¹\(\sqrt{x-1} \) 
\(-1  \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \text { and } \sqrt{x-1} \geq 0 \\ \therefore 0   \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \\ 0    \leq x-1 \leq 1 \\ 1   \leq x \leq 2 \Rightarrow x \in[1,2]  \)

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\frac{\pi}{2}-x\)
\(\cos x=\sin \frac{\pi}{2}-x\) என்று இருக்க வேண்டும் எனில்,
 \(-\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2}-x \leq \frac{\pi}{2} \\   -\pi \leq-x \leq 0 \\   \therefore 0 \leq x \leq \pi  \)

\( \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\sin ^{-1} y =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi \\ \frac{2 \pi}{3}+\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y =\pi \\ \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y =\pi-\frac{2 \pi}{3} \\ =\frac{3 \pi-2 \pi}{3}=\frac{\pi}{3} \)