\( \delta=\frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{|-1|}{\sqrt{4+9+\lambda^2}} \\ 5=\sqrt{4+9+\lambda^2} \Rightarrow 25=4+9+\lambda^2 \\ 25=13+\lambda^2 \Rightarrow \lambda^2=12 \Rightarrow \lambda= \pm 2 \sqrt{3} \\ \because \lambda>0, \lambda=2 \sqrt{3} \)

முதல் தளம் \(\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}-\lambda \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=3\)
இரண்டாவது தளத்தை மாற்றி எழுத,
\(\vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}-\frac{\mu}{2} \hat{k}\right)=\frac{5}{2}\)
இரு தளங்களும் இணையானவை எனவே,
\(-\lambda=\frac{1}{2} \\ \frac{-\mu}{2}=1\\ \therefore \lambda=-\frac{1}{2} ; \mu=-2\)

\(\vec{r}=(\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k})+t(6 \hat{j}-\hat{k})\\ \vec{r}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})\ i.e\ \vec{a}, \vec{b}\\ \vec{a}  =\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k} \\ \vec{b}-\vec{a}  =6 \hat{j}-\hat{k} \Rightarrow \vec{b}=6 \hat{j}-\hat{k}+\vec{a} \\ \vec{b}  =6 \hat{j}-\hat{k}+\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}=\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}\)
புள்ளிகள் (1,-2,-1) மற்றும் (1,4,-2)

\(d=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \)
கொடுக்கப்பட்டது \(\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left|\frac{3+k}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\right| \)
\(\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left|\frac{3+k}{\sqrt{3}}\right| \Rightarrow 6=|3+k| \\ \Rightarrow \pm 6=3+\mathrm{k} \Rightarrow \mathrm{k}=3,-9\)

 \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})  =\frac{\vec{b}}{\sqrt{2}}+\frac{\vec{c}}{\sqrt{2}} \\ (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}  =\frac{\vec{b}}{\sqrt{2}}+\frac{\vec{c}}{\sqrt{2}} \\  -\vec{a} \cdot \vec{b}  =\frac{1}{\sqrt{2}} .\)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} =\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ |\vec{a} \| \vec{b}| \cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \text { (1)(1) } \cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \theta =\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} \)

\( {[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]^2 } =\left[[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2\right]^2=[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^4 \\ =3^4=81 \)

\( \cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma =1 \\ \frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2} =1 \Rightarrow \frac{3}{c^2}=1 \\ c^2 =3 \Rightarrow c= \pm \sqrt{3} \)

\(x+2 y+3 z+7=0\)          ...(1)
\(2 x+4 y+6 z+7=0\)
\(\Rightarrow x+2 y+3 z+\frac{7}{2}=0\)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) என்பன இணையான தளங்கள்
\( \delta=\frac{d_1-d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} =\frac{7-\frac{7}{2}}{\sqrt{1+4+9}}=\frac{\frac{14-7}{2}}{\sqrt{14}}=\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{14}} \\ =\frac{7}{2 \sqrt{7} \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}} \)

\(\bar{a}.\bar{c}\) = 1 மற்றும் \(\vec{b}.\vec{c}=1\)
\( (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b} \Rightarrow(\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}-(\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b} \\ \Rightarrow \mu=\vec{c} \cdot \vec{a}=1 \quad \& \quad \lambda=-(\vec{c} \cdot \vec{b})=-1 \\ \mu+\lambda=1-1=0 \)

\( \left(x_1, y_1, z_1\right)=(0,0,0), d=7 \\ \quad(a, b, c)=(3,-6,2) \\ d=\frac{\left|a x_1+b y_1+c z_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|7|}{\sqrt{9+36+4}}=\frac{7}{7}=1 \)

கொடுக்கப்பட்டது \(\vec{r}=(6 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})+t(-\hat{i}+4 \hat{k})\)
\(\frac{x-6}{-1}=\frac{y+1}{0}=\frac{z+3}{4}=t \Rightarrow(-t+6,-1,4 t-3)\)
என்பது \(x+y-z=3\) ஐச் சந்திக்கிறது.
\(-t+6-1-4 t+3  =3 \Rightarrow-5 t+5=0 \\ 5 t  =5 \Rightarrow t=1\)
\(\therefore (5,-1,1)\)

\( {[\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}] } = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{a} \times \vec{b})= \frac{1}{4} \\ |\vec{a} \times \vec{b}|^2 =\frac{1}{4} \\ |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \sin ^2 \theta =\frac{1}{4} \)
\(\sin ^2 \theta =\frac{1}{4} \quad(\because \vec{a}, \vec{b} \)  என்பன அலகு வெக்டர்கள்) 
\(\\ \sin \theta =\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6} \)

\( \frac{\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})}{(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}} +\frac{\vec{b} \cdot(\vec{c} \times \vec{a})}{(\vec{a} \times \vec{b})+\vec{c}}+\frac{\vec{c} \cdot(\vec{a} \times \vec{b})}{(\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}} \\ =\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}+\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}-\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]} \\ =1+1-1=1 \)

\( \vec{b} =2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}, \quad \vec{n}=\hat{i}+\hat{j} \\ \sin \theta =\frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| \vec{n} \mid}=\frac{2+1+0}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{9} \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \theta =\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4} \)
or 45⁰

கொடுக்கப்பட்ட தளம் \(x+3 y-\alpha z+\beta=0\)
(2, 1, -2) என்ற புள்ளி தளத்தின் மீது அமைந்துள்ளது.
2+3+2 \(\alpha+\beta \) = 0 
\(\Rightarrow 2 \alpha+\beta  =-5\)       ....(1)
\(\vec{r} . \vec{d}=\mathrm{p}, \vec{d}\) என்பது \(\left(b_1, b_2, b_3\right)=(3,-5,2)\) என்ற திசைக் கொசைன் கொண்ட செங்குத்தான வெக்டர் ஆகும்.
\(\therefore b_1 d_1+b_2 d_2+b_3 d_3  =0 \\\Rightarrow 3(1)-5(3)+2(-\alpha)=0 \\ -12-2 \alpha  =0 \Rightarrow \alpha=-6\)
\(\alpha=6 \) என (1) ல் பிரதியிட,
\(2(-6)+\beta=-5 \Rightarrow-12+\beta=-5 \Rightarrow \beta=7\)
எனவே \((\alpha, \beta)=(-6,7)\)

\( \overrightarrow{n_1} =3 \hat{i}-2 \hat{j}+0 \hat{k}, \overrightarrow{n_2}=\hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}+2 \hat{k} \\ \vec{n}_1 \cdot \overrightarrow{n_2} =3-2\left(\frac{3}{2}\right)=3-3=0 \\ \cos \theta =0 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2} \)

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})\)
\( \vec{b} \times \vec{c} =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & -1 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(-2+25)-\hat{j}(-1+15)+\hat{k}(5-6) \\ =23 \hat{i}-14 \hat{j}-\hat{k} \\ \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}) =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 23 & -14 & -1 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(-3-14)-\hat{j}(-2+23)+\hat{k}(-28-69) \\ =-17 \hat{i}-21 \hat{j}-97 \hat{k} \)

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}) =(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} \\ \vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} =0 \\ \vec{a} \| \vec{c} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{c} =1 \)
\((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன அலகு வெக்டர்கள்)
\(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=1(\vec{b})-0(\vec{c})=\vec{b}\)

கொடுக்கப்பட்டது \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}=0\)
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து
\({[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] }  =(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=(|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \cdot \hat{n}) \cdot \vec{c} \\  =|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta|\vec{c}| \cos \alpha\)
\((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து என்பதால், \(\alpha=0, \theta=\frac{\pi}{2})\) 
\(=\left|\vec{a}\left\|\vec{b}\left|\sin \frac{\pi}{2} \cos 0^{\circ}\right| \vec{c}|=| \vec{a}\right\| \vec{b} \| \vec{c}\right|\)

\(\vec{\alpha}\) என்பது \(\vec{\beta}\ \& \ \vec{\gamma} \)ஆகியவற்றின் தளத்தில் அமைவதால், \(\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}\) ஆகியவை ஒரே தளத்தில் அமைவனவானாகும்.
\(\therefore[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]=\overrightarrow{0} \text {. }\)

\( \vec {a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) என்பன இணையாதலால், \(\vec{a}=\lambda \vec{b}\)
\([\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]=[\lambda \vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda[\vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda(0)=0\)

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})  =(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \\ (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}  =(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} \\ \vec{c}  =\frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}} \vec{a}=\lambda \vec{a}\)
\( \Rightarrow \vec{a} \) என்பது \(\vec{c}\) க்கு இணையானவை

\(\vec{a}, \vec{b}\) ஆல் அமைக்கப்படும் தளம் \(P_1\) க்கு செங்குத்தான வெக்டர் \( \vec{a}\)\( \times \vec{b}\)
\(\vec{c}, \vec{d}\) ஆல் அமைக்கப்படும் தளம் \(\mathrm{P}_2\) க்கு
செங்குத்தான வெக்டர் \(\vec{c} \times \vec{d}\)
\(\therefore(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})=\overrightarrow{0} \\ \Rightarrow(\vec{a} \times \vec{b}) \|(\vec{c} \times \vec{d})\)
தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(0^{\circ}\)

கொடுக்கப்பட்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு \([\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]=8\)
இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு
\({[(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}),(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a}),(\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})] }   =8^2 \\ =64\)

\(\omega=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3}=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\) மற்றும் 
\(\left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right|=0\)
\((z+1)\left[\left(z+\omega^2\right)(z+\omega)-1\right]-\omega\left[\omega(z+\omega)-\omega^2\right]+ \omega^2\left[\omega-\omega^2\left(z+\omega^2\right) 1=0\right.\)
\(z^3+\left(\omega^2+\omega+1\right) z^2+\left(\omega^3+\omega-1-\omega^4\right) z+ (2\omega^2-\omega^ 6-1) = 0\)
கொடுக்கப்பட்டது \(ω=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\)
\(\omega^2=e^{\frac{i 2 \pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(\omega^2=e^{\frac{i 4 \pi}{3}}=-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(\omega^3=e^{i 2 \pi}=1 \)
\(\omega^4=e^{\frac{i 8 \pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}=\omega \)
\(\omega^6=\omega^3 \cdot \omega^3=1\)
சமன்பாடு (1) ஆனது \(z^3+(0) z^2+(0) z+0=0\)
\(\Rightarrow z^3=0\)

\(\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10} =\left[\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right] ^{10}\)
\( =\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right] ^{10}\)
\( =\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{10}=\cos \frac{20 \pi}{3}+i \sin \frac{20 \pi}{3} \)
\( =\cos \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right) \)
\( =\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \)

'ω' என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் 
\(\omega=\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\right) \) மற்றும் \(\omega^2=\left(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\right) \) என்க.
கொடுக்கப்பட்டது :  \(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & { -\omega }^{ 2 }-1 & { \omega }^{ 2 } \\ 1 & { \omega }^{ 2 } & { \omega }^{ 7 } \end{matrix} \right| \) = 3k
\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & { \omega }^{ } & { \omega }^{ 2 } \\ 1 & { \omega }^{ 2 } & { \omega }^{ } \end{matrix} \right| \) = 3k
[ ∵ 1 + ω + ω² = 0 மற்றும் ω³ = 1]
\( 1\left(\omega^2-\omega^4\right)-1\left(\omega-\omega^2\right)+1\left(\omega^2-\omega\right)=3 \mathrm{k} \)
\( \omega^2-\omega-\omega+\omega^2+\omega^2-\omega=3 \mathrm{k} \)
\( 3 \omega^2-3 \omega=3 \mathrm{k} \Rightarrow 3\left(\omega^2-\omega\right)=3 \mathrm{k} \)
\( \therefore \mathrm{k}=\omega^2-\omega=\left(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\right)-\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\right) \)
\( =\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}+\frac{1-i \sqrt{3}}{2}=-i \sqrt{3}=-\sqrt{3} i \)

\( \left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)^{\frac{3}{4}}=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)\right]^{3/4}\)
\( =\cos \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}+i \sin \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}, k=0,1,2,3 \)
\(\mathrm{k}=0 \) எனில் \(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4} \)
k = 1 எனில்  \(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4} \)
k = 2 எனில்  \(\cos \frac{5 \pi}{4}+i \sin \frac{5 \pi}{4}\)
k = 3 எனில் \(\cos \frac{7 \pi}{4}+i \sin \frac{7 \pi}{4} \)
எல்லா மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகை 
\(=\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right) \)
\(=\cos 4 \pi+i \sin 4 \pi=1+0=1\)

x² + x + 1 = 0 
தீர்க்கக் கிடைப்பது \(x = {-1 \pm i \sqrt{3} \over 2}\)
\( \omega=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2} \) மற்றும் \(\omega^2=\frac{-1-i \sqrt{3}}{2} \)
\( \therefore \alpha^{2020}+\beta^{2020}=(\omega)^{2020}+\left(\omega^2\right)^{2020} \)
\( =\left(\omega^3\right)^{673} \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^{1346} \cdot \omega^2 \)
\( =1 \cdot \omega+1 . \omega^2=\omega+\omega^2=-1 \)

\( \text { Let } z=\frac{(1+i \sqrt{3})^2}{4 i(1-i \sqrt{3})}=\frac{(1+i \sqrt{3})^2}{4(\sqrt{3}+i)} \)
\( \arg (z)=\arg (1+i \sqrt{3})^2-\arg (4)-\arg (\sqrt{3}+i) \)
\( =2 \times \arg (1+i \sqrt{3})-\arg (4)-\arg (\sqrt{3}+i) \)
\( =2 \times \frac{\pi}{3}-0-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2} \)

\((1+\omega)^7  =A+B \omega \Rightarrow\left(-\omega^2\right)^7=A+B \omega \)
\(-\omega^{14}  =A+B \omega \Rightarrow-\omega^2=A+B \omega \)
\(1+\omega  =A+B \omega\)
ஒப்பிடக் கிடைப்பது \(\mathrm{A}=1, \mathrm{~B}=1\).

 (1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i) .... (1 + ni) = x + iy இருபுறமும் மட்டு மதிப்பை கண்டு வர்க்கப்படுத்த 
2.5.10 .... (1 + n²) = x² + y²

\(\mathrm{z}  =\left(\sin 40^{\circ}+i \cos 40^{\circ}\right)^{5}=\left(\cos 50^{\circ}+i \sin 50^{\circ}\right)^5 \)
\(=\cos 250^{\circ}+i \sin 250^{\circ} \)
\( =\cos \left(360^{\circ}-110^{\circ}\right)+i \sin \left(360^{\circ}-110^{\circ}\right) \)
\( =\cos 110^{\circ}-i \sin 110^{\circ} \)
\( =\cos \left(-110^{\circ}\right)+i \sin \left(-110^{\circ}\right)\)
முதன்மை வீச்சு = 110^o

\(\frac{3}{-1+i}=\frac{3}{-1+i} \times \frac{-1-i}{-1-i}=\frac{3}{2}(-1-i) \)
\(\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right)=\frac{\pi}{4}\)
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகள் குறை மதிப்புகள் என்பதால் 'θ' ஆனது 3 ஆம் கால் வட்டப் பகுதியில் அமைகிறது.
முதன்மை வீச்சு \(=-\frac{3 \pi}{4} \quad\left[\because \frac{\pi}{4}-\pi\right]\)

\(|z+2| =|z-2| \)
\(z  =x+\mathrm{iy} \)
\(|(x+2)+\mathrm{iy}|  =|(x-2)+\mathrm{iy}| \)
\((x+2)^2+y^2  =(x-2)^2+\mathrm{y}^2 \)
\(x^2+4 x+4  =x^2-4 x+4 \)
\(\Rightarrow x  =0\)

\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை 
\(\mathrm{z}=x+\mathrm{iy}\) என்க.
\(\frac{z-1}{z+1}=\frac{x+i y-1}{x+i y+1}=\frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2}+i \frac{2 y}{(x+1)^2+y^2}\)
\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை என்பதால்,
\(\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right) =0 \)
\(\therefore \frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2} =0 \Rightarrow x^2+y^2=1\)
அதாவது \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

\(z_1+z_2+z_3=0 \)
\( \Rightarrow\left(z_1+z_2+z_3\right)^2=0 \)
\( z_1^2+z_2^2+z_3^2+2\left(z_1 z_2+z_2 z_3+z_3 z_1\right)=0 \)
\( z_1^2+z_2^2+z_3^2=-2 z_1 z_2 z_3\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}\right) \)
\(=-2 z_1 z_2 z_3\left(\bar{z}_1+\bar{z}_2+\bar{z}_3\right) \)
\(=-2 z_1 z_2 z_3\left(\overline{z_1+z_2+z_3}\right)=0\)

\(z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}\) மற்றும் \(z+\frac{1}{z} \in \mathbb{R}\) எனில், 1/z ஆனது z - ன் இணை எண் ஆகும்.
ie) \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left|z_1\right|=1,\left|z_2\right|=2,\left|z_3\right|  =3 \)
மற்றும் \(\left|9 z_1 z_2+4 z_1 z_3+z_2 z_3\right|  =12 \)
\(\left|z_1\right|\left|z_2\right|\left|z_3\right|\left|\frac{9}{z_3}+\frac{4}{z_2}+\frac{1}{z_1}\right| =12 \)
\(\text { (1) (2) (3) }\left|\frac{9 \bar{z}_3}{\left|z_3\right|^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{\left|z_2\right|^2}+\frac{\overline{z_1}}{\left|z_1\right|^2}\right|  =12\left[\because|z|^2=z \bar{z}\right] \)
\(6\left|\frac{9 \bar{z}_3}{(3)^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{(2)^2}+\frac{\overline{z_1}}{(1)^2}\right|  =12 \)
\(\left|\bar{z}_3+\bar{z}_2+\bar{z}_1\right|  =\frac{12}{6}=2 \)
\(\left|\overline{z_3+z_2+z_1 \mid}\right|  =2 \)
\(\therefore\left|z_1+z_2+z_3\right|  =2\)

\(|\mathrm{z}|-\mathrm{z} =1+2 \mathrm{i} \)
\(\mathrm{z}  =x+\mathrm{iy} \) என்க.
\(|\mathrm{z}|  =x+\mathrm{iy}+1+2 \mathrm{i} \)
\(\sqrt{x^2+y^2}  =(x+1)+\mathrm{i}(\mathrm{y}+2) \)
\(\sqrt{x^2+y^2}  =x+1 \)
\(x^2+\mathrm{y}^2  =(x+1)^2 \)
\(\mathrm{y}^2 =2 x+1 \)
\(\mathrm{y}+2=0\)
y = -2
\(2 x  =3 \Rightarrow x=\frac{3}{2} \)
\(\therefore \mathrm{z}=x+\mathrm{iy}  =\frac{3}{2}-2 i\)

\(\sum_{r=0}^n{ }^n C_r(-1)^r \dot{x}^r=1-{ }^n C_1 x+{ }^n C_2 x^2-{ }^n C_3 x^3+\ldots(-1)^n x^n\)
P(x) என்பது 'n' மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது.எனவே, இது 'n' மிகை மூலங்களைக் கொண்டிருக்கும்.
P(-x)ல் குறிமாற்றங்கள் இல்லை, எனவே குறையெண் மூலங்கள் கிடையாது.

P(x) = x³ + 2x + 3, குறிமாற்றங்கள் இல்லை
மிகை மெய்யெண் மூலங்கள் இல்லை.
P(-x) = - x³ - 2x + 3, ஒரேயொரு குறிமாற்றம் 
ஒரு குறையெண் மூலம்
இதற்கு ஒரு குறையெண் மற்றும் இரண்டு கற்பனை மூலங்கள் உள்ளது.

a < 0 எனில், ஒரே ஒரு குறிமாற்றம் மட்டுமே கிடைக்கும்.

\(\Delta \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2-4(1)(9) \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2 \geq 36 \Rightarrow|k| \geq 6\)

விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, p/q என்பது பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலம். இங்கு a₀ = -5, a_n = 4 மற்றும் (4, -5) = 1. எனவே p என்பது 5 ஐயும், q என்பது 4 ஐயும் வகுக்க வேண்டும்.
p ன் சாத்தியமுறு மதிப்புகள் +1, -1, +5,-5
q ன் சாத்தியமுறு மதிப்புகள் +1, - 1, 4, -4
4/5 என்பது சாத்தியமற்ற விகிதமுறு பூச்சியமாகும்.

\(\alpha+\beta+\gamma=-p, \quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=q, \alpha \beta \gamma=-r \)
\(\sum \frac{1}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\beta \gamma+\alpha \gamma+\alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}=\frac{q}{-r}\)

\(\mathrm{f}(x)=x^{\mathrm{m}}\) மற்றும் \(g(x)=x^n \) என்க.
படி = m படி = n 
\( (\mathrm{f} \circ \mathrm{g})(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{g}(x))=\mathrm{f}\left(x^{\mathrm{n}}\right)=\left(x^{\mathrm{n}}\right)^{\mathrm{m}}=x^{\mathrm{mn }} \)
படி = mn 

\(x^3 =-64 \)
\(x^3 =-4 \times-4 \times-4=(-4)^3 \)
\(x =-4\)

\(|z| =1 \Rightarrow|z|^2=1 \)
\(z \bar{z} =1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z} \)
\(\frac{1+z}{1+z} =\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}}=\frac{1+z}{\frac{1+z}{z}}=z \)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left| z-\frac { 3 }{ z } \right| \) = 2
|z| ஐ \(\left|\left(z-\frac{3}{z}\right)+\frac{3}{z}\right|\) என எழுதலாம்.
ஏதேனும் இரு காலப்பெண்களுக்கான முக்கோண சமனிலியைப் பயன்படுத்த,
\( || z-\frac{3}{z}|-| \frac{3}{z}|| \leq\left|z-\frac{3}{z}+\frac{3}{z}\right| \leq\left|z-\frac{3}{z}\right|+\left|\frac{3}{z}\right|\)
\(\left|2-| \frac{3}{z}|\leq| z|\leq 2+| \frac{3}{z} \right\rvert\, \)
\( \left.\Rightarrow 2-\left|\frac{3}{z}\right|-|z| \leq 0 \Rightarrow|z|+\frac{3}{\mid z} \right\rvert\,-2 \geq 0\)
\( -2+\left|\frac{3}{z}\right|-|z| \leq 0 \Rightarrow|z|-\frac{3}{|z|}+2 \geq 0\)
\( |z|-2-\frac{3}{|z|} \leq 0\)
|z| = r என்க.
\(\text {(1) } \Rightarrow r^2-2 r+3 \geq 0 \)
B² - 4AC = 4 - 12 < 0, மெய் மூலங்கள் இல்லை 
\(\text {(2) } \Rightarrow r^2+2 r-3 \geq 0 \Rightarrow(r+3)(r-1) \geq 0\)
ie) \(r \in \mathbb{R}-(-3,1)\)
\(\text {(3) } \Rightarrow r^2-2 r-3 \leq 0 \Rightarrow(r-3)(r+1) \leq 0\)
ie) \(r \in[-1,3]\)
(4) மற்றும் (5) லிருந்து, \(r \in[1,3] \Rightarrow|z| \in[1,3]\)
\(\therefore|z|\) ன் மீச்சிறு மதிப்பு 1

\(|| z|-|-2+i|| \leq|z-2+i| \leq|z|+|-2+i| \)
\(|| z|-\sqrt{5}| \leq|z-2+i| \leq|z|+\sqrt{5}\)
கொடுக்கப்பட்டது : \(|z-2+i| \leq 2\)
\(|z-2+i|=2\) ஐக் கருதுக.
\(\therefore|z|+\sqrt{5} \geq 2 \Rightarrow|z| \geq 2-\sqrt{5}\) ...(1)
மற்றும் \(||z|-\sqrt{5}| \leq 2\)
\(|z|-\sqrt{5} \leq 2 \Rightarrow|z| \leq 2+\sqrt{5} \) ...(2)
\( \sqrt{5}-|z| \leq 2 \Rightarrow|z| \geq \sqrt{5}-2\) ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
|z| ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(=\sqrt{5}+2\)

\( 2 g =-8 \\ g =-4 \\ 2 f=-4 \\ f=-2 \\ \mathrm{C}(-g,-f) =(4,2) \\ \frac{x_1+x_2}{2} =4 \\ \frac{x_1+11}{2} =4 \\ x_1 =8-11 \\ x_1 =-3\\ \)
\( \frac{y_1+y_2}{2} =2 \\ \frac{y_1+2}{2} =2 \\ y_1 =4-2 \\ y_1 =2 \)
\(\therefore\) மற்றொரு முனை (-3, 2).

கொடுக்கப்பட்ட கோடு \(y=\mathrm{m} x+2 \sqrt{5}\)
இங்கு 
\( m=m ; c=2 \sqrt{5} \\  a^2=9 \quad b^2=16 \\  a=3 \quad b=4 \\  c^2=a^2 m^2-b^2 \\  (2 \sqrt{5})^2=9 m^2-16 \\  20+16=9 m^2 \Rightarrow m^2=\frac{36}{9}=4 \)
\(\therefore m= \pm 2 \) என்பது \(x^2-(a+b) x-4=0\)
\(2^2-(a+b) 2-4=0 \Rightarrow a+b=0\)

\( P(h, k) \\ x=-\frac{9}{2} \Rightarrow 2 x+9=0 \\ P Q=\frac{2}{3} \mathrm{PM} \\ \sqrt{(h+2)^2+k^2}=\frac{2}{3}\left|\frac{2 h+9}{2}\right| \\ (h+2)^2+k^2=\frac{1}{9}(2 h+9)^2 \\ h^2+4+4 h+k^2=\frac{1}{9}\left(4 h^2+36 h+81\right) \\ 9 h^2+36+36 h+9 k^2=4 h^2+36 h+81 \\ 5 h^2+9 k^2=45 \\ \frac{h^2}{9}+\frac{k^2}{5}=1\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \) 
நீள்வட்டமாகும்.

வட்டத்தின் சமன்பாடு\((x - 3) ^ 2 + (y + r) ^ 2 = r ^ 2 \) ....(1)
இது (1, -2) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது
\( (1-3)^2+(-2+r)^2 =r^2 \\ 4+4-4 r+r^2 =r^2 \Rightarrow r=2 \\ (x-3)^2+(y+2)^2 =4 \)
\((5-3)^2+(-2+2)^2=4 \Rightarrow 4=4\)

P-ன் நியமப்பாதை = y²-ன் இயக்குவரை = 4x
4a = 4
a = 1
இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = -a = -1
x = -1

\(2 \mathrm{i} z^2=\bar{z} \text {. } \)
\(\therefore \quad\left|2 i z^2\right|=|\bar{z}| \)
\(ie \ |2| \cdot|i| \cdot|z|^2=|z| \Rightarrow 2 \times 1 \times|z|^2=|z|\)
\(\frac{|z|^2}{|z|}=\frac{1}{2} \Rightarrow|z|=\frac{1}{2}\)

\(|\sqrt {3} + i| = \sqrt {3+1} = 2\)
\(|3 i+4|  =\sqrt{9+16}=5 \)
\(|8+6 i|  =\sqrt{64+36}=10 \)
\(|z|  =\frac{2^3 \times 5^2}{10^2}=\frac{200}{100}=2\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

x = a cos \(\theta\); y = b sin \(\theta\)
நீளம் = 2acos\(\theta\); அகலம் = 2bsin\(\theta\)
பரப்பு A = l \(\times\) b = 4absin\(\theta\)cos\(\theta\)
A = 2ab sin 2\(\theta\)
\(\frac{dA}{d \theta}\)= 2ab cos2\(\theta\) (2) = 4ab cos2\(\theta\)
மீப்பெரும பரப்பிற்கு
\(\frac{dA}{d \theta}\) = 0 \(\Rightarrow\) cos2\(\theta\) = 0
\(\begin{aligned} 2 \theta & =\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore A = 2 a b \sin 2\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 a b \sin \frac{\pi}{2} \end{aligned}\)
A = 2ab

\( e =\frac{3}{5} \\ 2 a e =6 \Rightarrow 2 a\left(\frac{3}{5}\right)=6 \Rightarrow a=5 \\ b^2 =a^2-a^2 e^2 \\ b^2 =25-19=16 \Rightarrow \mathrm{b}=4 \\ =4 \times \frac{1}{2} \times a b=2 a b \\ =2 \times 5 \times 4=40 \)

\(\triangle O O^{\prime} A ,\\ (1+y)^2  =(1-y)^2+1 \\ 1+y^2+2 y  =1+y^2-2 y+1 \\ 4 y  =1 \Rightarrow y=\frac{1}{4} \)

\( a^2=16 b^2 =9 \\ (h, k) =(0,3) \\ e =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4} \)
\(a e=4 \frac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{7} (x-h)^2+(y-k)^2  =r^2 \\ (\sqrt{7}-0)^2+(0-3)^2  =r^2 \Rightarrow \sqrt{7}^2+3^2=r^2 \\ 7+9  =r^2 \Rightarrow r^2=16 \\ \therefore(x-0)^2+(y-3)^2  =16 \\ x^2+y^2-6 y+9  =16 \\ x^2+y^2-6 y-7  =0\)

\(a^2=9, \quad b^2=4 \\  2 x-y=1 \Rightarrow y=2 x-1 \\  m=2 \\  c=\sqrt{a^2 m^2-b^2}=\sqrt{9(4)-4} \\  =\sqrt{36-4}=\sqrt{32} \\  c= \pm 4 \sqrt{2} \\ =\left(\frac{-a^2 m}{c}, \frac{-b^2}{c}\right) \\  =\left(\frac{-9 \times 2}{-4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{-4 \sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9 \times 2}{4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{4 \sqrt{2}}\right) \\  =\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9}{2 \sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right) \\ \)

E₂ என்ற நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
இது (0, 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
a² = 16 
மேலும் இது (3, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(\frac{9}{b^2}+\frac{4}{16}=1 \Rightarrow \frac{9}{b^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\( b^2=12 \\ e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{12}{16}}=\frac{1}{2} \)

\( y^2=12 x \quad \Rightarrow 4 a =12 \Rightarrow a=3 \\ x+y =k \Rightarrow y=-x+k \\ \therefore m =-1, c=k \\ c=-2 a m-a m^2 \Rightarrow k =-2 a(-1)-a(-1)^3 \\ k =-6(-1)-3(-1)=6+3=9 \)

y² = 4x
4a = 4
a = 1
செவ்வகலத்தின் முனைப்புள்ளிகள் 
\( =(a, \pm 2 a) \\ =(1, \pm 2) \)
செங்கோட்டின் சமன்பாடு
\(x y_1+2 a y=x_1 y_1+2 a y_1\)
(1, \(\pm2\)) புள்ளியில் செங்கோட்டின் சமன்பாடு
y = - x + 3
x + y - 3 = 0
y = x + 3
x - y + 3 = 0
\( \left|\frac{a x_1+b y_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|=\left|\frac{3-2-3}{\sqrt{1+1}}\right| =r \Rightarrow\left|\frac{-2}{\sqrt{2}}\right|=r \\ \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{2}} =r \\ r =\sqrt{2} \Rightarrow r^2=2 \)

ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac { 1 }{ i-2 } \) 
கலப்பெண் \(z = \frac { 1 }{ -i-2 } = \frac { 1 }{-( i-2) } = \frac { -1 }{( i+2) } \)

z, iz மற்றும் z + iz ஆகிய கலப்பெண்களால் ஏற்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
z = a + ib என்க. ⇒ புள்ளி (a,b)
iz = - b + ia ⇒புள்ளி (-b, a) 
z + iz = (a-b) + i(a+b) ⇒ புள்ளி ((a−b), (a+b))
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \( =\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right] \)
\(=\frac{1}{2}[a(a-a-b)-b(a+b-b)+(a-b)(b-a)] \)
\(=\frac{1}{2}\left[-a b-a b+a b-a^2-b^2+a b\right] \)
\(=\frac{1}{2}\left|a^2+b^2\right|=\frac{1}{2}|z|^2\)

 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\ (\pm a e, 0 )\\ e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\\ (\pm b e, 0 )\\ e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
நாற்கரத்தின் பரப்பு \( =\frac{1}{2} A C \times B D \)
\( =\frac{1}{2} 2 a e \times 2 b e \\ =a \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} \times 2 b \sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}} \\ =a \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} \times 2 b \frac{\sqrt{b^2+a^2}}{b} \\ =2\left(a^2+b^2\right) \)

x + y = 6 ...(1)
x + 2y = 4... (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க. 
(1)-(2) -y = 2
y = -2
(1) ⇒ x-2 = 6
x = 8
புள்ளி (8, -2) என்க.
மற்றொரு புள்ளி (6, 2)
\(r = \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2} \\ =\sqrt{(8-6)^2+(2+2)^2} \\ =\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16} \\ =\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \)

\( 16 x^2+25 y^2 =400 \\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16} =1 \\ a^2 =25 \Rightarrow a= \pm 5 \\ P F_1+P F_2 = 2 a \\ =2 \times 5=10 \)

\(x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 2y + 1 = 0 \)
2g = - 2
g = - 1
2f = - 2
f = - 1
இணையான கோடு 2x + 4y + \(\lambda\) = 0 என்க. மையம் (-g, -f) = (1, 1) என்பது இக்கோட்டின் மேல் அமைவதால்,
2 + 4 + 2 = 0 ⇒\(\lambda\) = -6
2x + 4y - 6 = 0
x + 2y = 3

நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு \(x^2-8 x-12=0\)
\( x =\frac{8 \pm \sqrt{64-4(-12)}}{2}=\frac{8 \pm \sqrt{64+48}}{2} \\ =\frac{8 \pm \sqrt{112}}{2}=\frac{8 \pm 4 \sqrt{7}}{2}=4 \pm 2 \sqrt{7} \\ x =4+2 \sqrt{7}, 4-2 \sqrt{7}\)
மற்றொரு நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு,
\( y^2-14 y+45 =0 \Rightarrow(y-5)(y-9)=0 \\ y =5,9 \)
ஃ விட்டத்தின் முனைகள் \((4+2 \sqrt{7}, 9)\) மற்றும் \((4-2 \sqrt{7}, 5)\)
மையம் என்பது \((4+2 \sqrt{7}, 9)\) மற்றும் \((4-2 \sqrt{7}, 5)\) ஆகியவற்றின் நடுப்புள்ளி.
\(\left(\frac{4+2 \sqrt{7}+4-2 \sqrt{7}}{2}, \frac{9+5}{2}\right)\) = (4, 7)

\( 3 x^2+b \mathrm{y}^2+4 b x-6 b \mathrm{y}+b^2 =0 \\ a=\mathrm{b} \ \Rightarrow \ b =3=\mathrm{a} \)
\( 3 x^2+3 y^2+12 x-18 y+9=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2+4 x-6 y+3=0 \\ 2 g=4 ; 2 f=-6 ; c=3 \\ g=2 ; f=-3 \\ r=\sqrt{g^2+f^2-c} \\ =\sqrt{4+9-3}=\sqrt{10} \)

\( C A =C B \Rightarrow C A^2=C B^2 \\ (1-1)^2+(0-h)^2 =(2-1)^2+(3-h)^2 \\ h^2 =1+h^2+9-6 h \\ 6 h =10 \Rightarrow h=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \\ =2 h =2\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{10}{3} \)

\( L: 3 x-4 y =\mathrm{m} \\ C: x^2+y^2-4 x-8 y-5 =0 \\ (x-2)^2+(y-4) =25 \)
C(2, 4); r = 5
மையத்திலிருந்து தொலைவு < r
\( \left| \frac{ah+bk+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|<r\)
\(\left|\frac{3\times 2-4\times 4-m}{\sqrt{9+16}} \right|<r\Rightarrow \left| \frac{-10-m}{5}\right|<5\)
\(-5<\frac{10+m}{5}<5\)
-25 < 10 + m < 25
-25 - 10 < m < 25 - 10
-35 < m < 15

செவ்வகல நீளம்
\( \frac{2 b^2}{a} =8 \\ b^2 =4 a ........ (1) \) 
துணையச்சின் நீளம் 
\( 2 b =\frac{1}{2}(2 a e) \\ b =\frac{a e}{2} \\ b^2 =\frac{a^2 e^2}{4} \)
\( \frac{a^2 e^2}{4} =a^2\left(e^2-1\right) \\ \mathrm{e}^2\left(e^2-1\right) =4 \mathrm{e}^2-4 \\ 3 \mathrm{e}^2 =4 \Rightarrow \mathrm{e}^2=\frac{4}{3} \\ \therefore \mathrm{e} =\frac{2}{\sqrt{3}}\)

x = 0 என்ற கோட்டிற்கும் மையம் (- g, - f) -க்கும் உள்ள தூரம் வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.
\(\pm\left(\frac{-g}{1^2}\right)=\sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow f^2=c\) ............ (1)
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து,
\( 2 f =-6+3 \lambda, c=9-19 \lambda \\ \left(\frac{-6+3 \lambda}{2}\right)^2 =9-19 \lambda \Rightarrow \lambda=0, \frac{-40}{9} \)

\(\sum_{n=1}^{13}\left(i^n+i^{n-1}\right)=  \left(\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\ldots+\mathrm{i}^{13}\right)+ \left(\mathrm{i}^0+\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\ldots+\mathrm{i}^{12}\right) \)
\(=  \mathrm{i}^0+2\left(\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\ldots+\mathrm{i}^{12}\right)+\mathrm{i}^{13} \)
\(=  1+2(\mathrm{i}-1-\mathrm{i}+1+\ldots+1)+\mathrm{i} \)
\(=  1+2(0)+\mathrm{i}=1+\mathrm{i}\)

\(\mathrm{i}^n+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}  =\mathrm{i}^n\left[1+i+i^2+i^3\right] \)
\( =i^n[1+i-1-i] =i^n(0)=0\)

adj (adj A) = |A|^{n - 2} A
|A|^3-2 = A = |A| A 
IA| = 3(-3 + 4) + 3(2) + 4(-2)
= 3 + 6 - 8 = 1
adj (adj A) = 1 A = A

\(B =A^{-1} \)
\(4 A^{-1} =\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & x \\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right] .\)
\(A^{-1} =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & x \\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right]\)
x என்பது A -ல் a₃₂ - ன் சிற்றணிக்கோவை 
\(x=-\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{array}\right|=-(-2+1)=-(-1)=1 \)

ρ(A) = ρ(A |B) = 2
λ - 7 = 0 மற்றும் μ + 5 = 0
λ = 7 மற்றும் μ = -5

|A| = 0 எனில் AX = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு வெளிப்படையற்ற தீர்வுகள் இருக்கும் 
\(\left|\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & -1 & 1 \\ \sin \theta & 1 & -1 \end{array}\right|=0 \)
\( \Rightarrow 1(1-1)-\sin \theta(-\cos \theta-\sin \theta) -\cos \theta(\cos \theta+\sin \theta)=0 \)
\( \Rightarrow \sin \theta \cos \theta+\sin ^2 \theta-\cos ^2 \theta-\cos \theta \sin \theta=0 \)
\(\sin ^2 \theta=\cos ^2 \theta \Rightarrow \sin \theta=\cos \theta \)
\(\theta=\frac{\pi}{4}\)

கொடுக்கப்பட்டது \(x^{\mathrm{a}} \cdot \mathrm{y}^{\mathrm{b}}=\mathrm{e}^{\mathrm{m}} ; x^{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{y}^{\mathrm{d}}=\mathrm{e}^{\mathrm{n}}\)
மடக்கை எடுக்கக் கிடைப்பது 
\( a \log x+b \log y=m \) ...(1)
\(c \log x+d \log y=n \) ...(2)
\(X=\log x, Y=\log y \) என்க.
\(\therefore(1) \Rightarrow a X+b Y=m \) ...(3)
\((2) \Rightarrow c X+d Y=n\) ...(4)
கிராமரின் விதியைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\Delta=\left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right|=\Delta_3\) கொடுக்கப்பட்டது 
\( \Delta_X=\left|\begin{array}{ll} m & b \\ n & d \end{array}\right|=\Delta_1 \) கொடுக்கப்பட்டது 
\(\Delta_Y=\left|\begin{array}{ll} a & m \\ c & n \end{array}\right|=\Delta_2 \) கொடுக்கப்பட்டது 
\( \therefore \mathrm{X}=\frac{\Delta_{\mathrm{X}}}{\Delta}=\frac{\Delta_1}{\Delta_3} \Rightarrow \log x=\frac{\Delta_1}{\Delta_3} \Rightarrow x=\mathrm{e}^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}} \)
\( Y=\frac{\Delta_Y}{\Delta}=\frac{\Delta_2}{\Delta_3} \Rightarrow \log y=\frac{\Delta_2}{\Delta_3} \Rightarrow y=e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}} \\ \)

\(\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ -1 & -2 & -3 & -4 \end{array}\right] \xrightarrow[R_2 \rightarrow R_2-2 R_1]{R_3+R_1}\left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\)
அபூச்சிய நிரைகளின் எண்ணிக்கை = 1
\(\therefore \rho(A)=1\)

\(\operatorname{adj}(\mathrm{AB}) =\operatorname{adj}(\mathrm{B}). \operatorname{adj}(\mathrm{A}) \)
\( =\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2-8 & 3+2 \\ -6+4 & -9-1 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj}(\mathrm{AB}) =\left[\begin{array}{cc} -6 & 5 \\ -2 & -10 \end{array}\right] \)

\(\lambda A^{-1} =A \)
\(\lambda I=A^2 =\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 4+15 & 6-6 \\ 10-10 & 15+4 \end{array}\right] \)
\(\lambda\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{array}\right] \Rightarrow \lambda=19 \)

\(\text { adj } A =\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \)
\(A(\operatorname{adj} A) =\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \)
\({\left[\begin{array}{ll} k & 0 \\ 0 & k \end{array}\right] } =\left[\begin{array}{cc} \cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta & 0 \\ 0 & \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta \end{array}\right] \)
\(k =\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta=1\)

\(A B=I \Rightarrow B=A^{-1}=\frac{1}{1+\tan ^2 \frac{\theta}{2}}\left[\begin{array}{cr} 1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1 \end{array}\right] \)
\(=\frac{1}{\sec ^2 \frac{\theta}{2}}\left[\begin{array}{cc} 1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1 \end{array}\right]=\cos ^2 \frac{\theta}{2} A^{\top}\)

\(\mathrm{A}^{\mathrm{T}} =\mathrm{A}^{-1} \Rightarrow \mathrm{AA}^{\mathrm{T}}=\mathrm{I} \)
\({\left[\begin{array}{ll} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ x & \frac{3}{5} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} \frac{3}{5} & x \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{array}\right] } =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)
\(\frac{3}{5} x+\frac{12}{25} =0\)
\(\frac{3}{5} x=\frac{-12}{25} \Rightarrow x = \frac{-4}{5}\)

A^-1=\(\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -2 & -1 \end{matrix} \right] \) 
A^-1= (A^-T)^-1= \(\left[ \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & -1 \end{matrix} \right] \)

(A^TA^-1)^T = A^TA^-1
(A^-1)^T (A^T)^T =  A^TA^-1
(A^T)^-1 A = A^TA^-1
A^T(A^T)^-1AA = (A^T) A^T A^-1 A
(A^T மற்றும் A ஆல் முறையே முன்பெருக்கம் மற்றும் பின்பெருக்கம் செய்ய) A² = (A^T)²

\( (\mathrm{AB})^{-1} =\mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}^{-1} \)
\((\mathrm{AB})^{-1} \mathrm{~A} =\mathrm{B}^{-1}\left[\mathrm{~A}^{-1} \mathrm{~A}\right] \)
\((\mathrm{AB})^{-1} \mathrm{~A} =\mathrm{B}^{-1} \)
\( \left(A^{-1}\right)^{-1} =\mathrm{A} \)
\(\left|\mathrm{A}^{-1}\right| =3-2=1 \)
\(\operatorname{adj} \mathrm{A}^{-1} =\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right] \)
\(\mathrm{A} =\frac{1}{\left|A^{-1}\right|} \operatorname{adj} \mathrm{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right] \)
\(\mathrm{B}^{-1} =(\mathrm{AB})^{-1} \mathrm{~A} \)
\(\mathrm{~B}^{-1} =\left[\begin{array}{cc} 12 & -17 \\ -19 & 27 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right] \)
\( =\left[\begin{array}{cc} 36-34 & 12-17 \\ -57+54 & -19+27 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & -5 \\ -3 & 8 \end{array}\right] \)

A - ல் A₃₂ ன் இணைக்காரணி =\(-\left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 2 & 0\end{array}\right|\)=-(0+2)=-2 
|A|  =3(2)-1(-2)-1(4+2)
=6+2-6=2
\(\mathrm{A}^{-1}\) - ல் \(\mathrm{a}_{23}\)இணைக்காரணி
\(=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} \mathrm{A}_{32}=\frac{1}{2}(-2)=-1\)

\(|\operatorname{adj} \mathrm{A}| =|\mathrm{A}|^{\mathrm{n}-1} \)
\(1(-6+0)-x(-2) =4^2 \)
\(-6+2 x =16 \)
\(2 x=16+6 =22 \Rightarrow x=11\)

\(\mathrm{AB} =\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 8 \\ 11 & 4 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj} \mathrm{AB} =\left[\begin{array}{cc} 4 & -8 \\ -11 & 2 \end{array}\right] \)
\(\therefore|\operatorname{adj} \mathrm{AB}| =8-88=-80\)

|A| = 14 - 12 = 2 ≠ 0
\( \text { adj } A=\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] \)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A\)
\(A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right]=2 A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right]\)
\(\begin{aligned} & 9I-A=9\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 7 & 3 \\ -4 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 7 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}\right] \end{aligned}\)
\(=\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] = 2A^{-1}\)

A ன் வரிசை 2 x 2 \(A\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \) என்க.
\(\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \)
a + b = 6
c + d = 0
-2a + 4b = 0
-2c + 4d = 6
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கக் கிடைப்பது, 
a = 4, b = 2 c = -1, d = 1
\(A = \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)

\(\frac { |adjB| }{ |C| } = \frac {adj |adjA| }{ |3A| } = \frac{|A|^{(n-1)^2}}{3^n|A|}\)
\(= \frac{|A|^{1}}{3^2|A|} = \frac{1}{9} \ \ \ (∵ n = 2)\)

AA^T = A^TA மற்றும் B=A^-1A^T
B^T = (A^-1A^T)^T = (A^T)^T (A^-1)^T=A (A^-1)^T
BB^T = (A^-1A^T) (A(A^-1)^T) = A^-1(A^TA)(A^-1)^T
= A^-1(AA^T) (A^-1)^T = (A^-1A) (A^T(A^T)^-1) = I₃

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4

\( \sin \left(\tan ^{-1} x\right),|x|<1  \\ \because \tan ^{-1} x   =\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \therefore \sin \left(\tan ^{-1} x\right)   =\sin \left[\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)

\( \sin ^{-1} \frac{x}{5}+\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{4}=\frac{\pi}{2}\\   \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{x}{5}+\sin ^{-1} \frac{4}{5}=\frac{\pi}{2} \ldots . . .(1) \\   \theta=\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{4} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta=\frac{5}{4} \\  \Rightarrow \sin \theta=\frac{4}{5} \text { and } \cos \theta=\frac{3}{5}\\    \theta=\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{4}  \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta=\frac{5}{4} \\  \Rightarrow \sin \theta=\frac{4}{5} and\ \cos \theta=\frac{3}{5}\\ (1) \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{x}{5}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}=\frac{\pi}{2}\)
(2) மெய் இருக்க வேண்டுமெனில்,
\(\frac{x}{5}=\frac{3}{5} \Rightarrow x=3\)

 \(\alpha=\cot ^{-1} \frac{1}{2} \) என்க \(\Rightarrow \cot \alpha=\frac{1}{2}\) மற்றும்\(\ \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{5}} \)
\(\therefore \sin ^{-1}(x)+\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{5}} \quad\left(\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right)\)

\(\tan ^{-1} x-\cot ^{-1} x=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6} \\   \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\) 
(2) மற்றும் (1) ஐக் கூட்ட,
\(2 \tan ^{-1} x  =\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{2 \pi}{3} \\ \tan ^{-1} x   =\frac{\pi}{3} \Rightarrow x=\tan \left(\frac{\pi}{3}\right)\)
\(x=\sqrt{3} \) என்பது ஒரேயொரு தீர்வாகும்.

\( \sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2} =2 \tan ^{-1} x \\ \therefore 2 \tan ^{-1} x-2 \tan ^{-1} x =0 \)

\(\therefore \cos 2 u=\cos 2\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \pi=-1\)

\( \sin ^{-1}\left(2 \cos ^2 x-1\right)+\cos ^{-1}\left(1-2 \sin ^2 x\right) \\ =\sin ^{-1}(\cos 2 x)+\cos ^{-1}(\cos 2 x) \\ =\frac{\pi}{2} \quad\left[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right] \)

\(  \sin ^{-1}(1)-\sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{x}}\right)   =\frac{\pi}{6} \\ \frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \sqrt{\frac{3}{x}}   =\frac{\pi}{6} \Rightarrow \cos ^{-1} \sqrt{\frac{3}{x}}=\frac{\pi}{6} \\ \sqrt{\frac{3}{x}}   =\cos \frac{\pi}{6} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{x}   =2 \Rightarrow x=4  \)
விடை (2) :  \(x^2-x-12=0 \Rightarrow(x-4)(x+3)=0 \) 
\(\Rightarrow x=4,-3\)
விடை (3) :\( x^2+x-12=0 \Rightarrow(x+4)(x-3)=0 \\\)
\(  \Rightarrow x=3,-4\)
 x = 4 க்கு, விடை(2) சரியானது.

 \(\cot ^{-1} 2+\cot ^{-1} 3 =\tan ^{-1} \frac{1}{2}+\tan ^{-1} \frac{1}{3} \\   =\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{b}{6}}\right]=\tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}\)
மூன்றாவது கோணம் = \(\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} \)

\( -1 \leq x^2-3 \leq 1 \\ -1+3 \leq x^2 \leq 1+3 \\ \Rightarrow 2 \leq x^2 \leq 4 \\ \pm \sqrt{2} \leq x \leq \pm 2 \\ \therefore \quad[-2,-\sqrt{2}] \cup[\sqrt{2}, 2] \)

\( \tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{9}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{36}}{\frac{36-2}{36}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{17}{34}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \)

\( \cos \left[\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right]=\cos \left(\frac{\pi}{2}+\sin ^{-1} x\right) \\ =-\sin \left(\sin ^{-1} x\right) \\ {[\because \cos (90+\theta)=-\sin \theta] } \\ =-x=-\frac{1}{5} \)

sin⁻¹\(\sqrt{x-1} \) 
\(-1  \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \text { and } \sqrt{x-1} \geq 0 \\ \therefore 0   \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \\ 0    \leq x-1 \leq 1 \\ 1   \leq x \leq 2 \Rightarrow x \in[1,2]  \)

\( \tan ^{-1} x+\cos ^{-1} x =\frac{\pi}{2} \\ \tan ^{-1} x =\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\frac{2 \pi}{5} \\ =\frac{5 \pi-4 \pi}{10}=\frac{\pi}{10} \)

\( \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y+\sin ^{-1} z=\frac{3 \pi}{2}    \therefore x=y=z=1 \\  \left(\because \sin ^{-1}(1)\right.\left.=\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{3 \pi}{2}\right) \\   x^{2017}+y^{2018}+z^{2019}-\frac{9}{x^{101}+y^{101}+z^{101}} \\  =1+1+1-\frac{9}{1+1+1} \\  =3-\frac{9}{3}=3-3=0  \)

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\frac{\pi}{2}-x\)
\(\cos x=\sin \frac{\pi}{2}-x\) என்று இருக்க வேண்டும் எனில்,
 \(-\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2}-x \leq \frac{\pi}{2} \\   -\pi \leq-x \leq 0 \\   \therefore 0 \leq x \leq \pi  \)

2sin⁻¹ \(\alpha\) -க்கு ஒரு தீர்வு இருந்தால்
\( -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{4} \\ \sin \left(\frac{-\pi}{4}\right) \leq \alpha \leq \sin \frac{\pi}{4} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \alpha \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ |\alpha| \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( \sin ^{-1} \frac{3}{5}-\cos ^{-1} \frac{12}{13}+\sec ^{-1} \frac{5}{3}-\operatorname{cosec}^{-1} \frac{13}{12} \\ =\sin ^{-1} \frac{3}{5}-\sec ^{-1} \frac{13}{12}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}-\operatorname{cosec}^{-1} \frac{13}{12} \)
\( =\left(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}\right)-\left(\sec ^{-1} \frac{13}{12}+\operatorname{cosec}^{-1} \frac{13}{12}\right) \\ =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0 \)

\( \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\sin ^{-1} y =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi \\ \frac{2 \pi}{3}+\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y =\pi \\ \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y =\pi-\frac{2 \pi}{3} \\ =\frac{3 \pi-2 \pi}{3}=\frac{\pi}{3} \)

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\frac{\pi}{2}-x\)