\(I=\int { { x }^{ 5 }{ e }^{ { x }^{ 2 } } } dx\)
\(=\int { { x }^{ 2 }.{ x }^{ 2 }.{ x }^{ 1 }.{ e }^{ { x }^{ 2 } }dx } \)
\({ x }^{ 2 }=t\Rightarrow 2xdx=dt\Rightarrow xxdx=\frac { dt }{ 2 } \)
\(\therefore I=\int { t.t.{ e }^{ t }\frac { dt }{ 2 } } =\int { { t }^{ 2 }{ e }^{ t } } \frac { dt }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \int { { t }^{ 2 }.{ e }^{ t }dt } \)
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தின் படி
\(\int { udv=uv-u'{ v }_{ 1 }+{ u''v }_{ 2 }.... } \)
\(\int { { t }^{ 2 }{ e }^{ t }dt={ t }^{ 2 }{ e }^{ t }-{ 2te }^{ t }+{ 2e }^{ t }+c } \)
\(={ e }^{ t }({ t }^{ 2 }-2t+2)+c\)
\(={ e }^{ { x }^{ 2 } }({ x }^{ 4 }-{ 2x }^{ 2 }+2)+c[\because t={ x }^{ 2 })\)

\(\int { \frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ { x }^{ 3 }+x } } =\int { \frac { { x }^{ 2 }+1-2x }{ x({ x }^{ 2 }+1) } } dx\)
\(=\int { \left( \frac { ({ x }^{ 2 }+1) }{ x({ x }^{ 2 }+1) } -\frac { 2x }{ x({ x }^{ 2 }+1) } \right) dx } \)
\(=\int { \frac { 1 }{ x } dx-2\int { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } dx } } \)
= log|x|-2 tan^-1 x +c.

\(P(A)={2\over5}.P(B)={3\over5}.P(C)=-{1\over5},P(D)={1\over5}\)
\(P\left( C \right) =\frac { -1 }{ 5 } \)
∴ நிகழ்தகவு சாத்தியமில்லை.

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\frac { dx }{ dt } =a.3cos^{ 2 }t.\frac { d }{ dt } (cost)\)
\(=3acos^{ 2 }t(-sint)\)
\(=-3asintcos^{ 2 }t\)
\(y=asin^{ 3 }t\)
\(\frac { dy }{ dt } =3asin^{ 2 }t.\frac { d }{ dt } (sint)\)
\(=3asin^{ 2 }tcost\)
\(\therefore \frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ dt } \times \frac { dt }{ dx } =\frac { \frac { dy }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\frac { 3asin^{ 2 }tcost }{ -3asintcos^{ 2 }t } \)
\(=-{\sin t\over cost}=-\tan t\)

\(f(x)=\tan ^{ -1 }{ (1+{ x }^{ 2 }) } \) என்க 
\(g(x)={ x }^{ 2 }+x+1\)
\(\frac { df }{ dg } =\frac { { f }^{ ' }(x) }{ { g }^{ ' }(x) } \)
\({ f }^{ ' }(x)=\frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \)
\({ g }^{ ' }(x)=2x+1\)
\(\frac { df }{ dg } =\frac { \frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } }{ 2x+1 } =\frac { 2x }{ (2x+1)(1+{ x }^{ 2 }) } \)

\(\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { { x }^{ 3 }+x }{ { { x }^{ 4 }-3x }^{ 2 }+1 } } \)
தொகுதியிலிருந்து x³, பகுதியிலிருந்து x⁴ ஐ வெளியில் எடுக்க
\(=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { { x }^{ 3 }\left( 1+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) }{ { x }^{ 4 }\left( 1-\frac { 3 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } \right) } } \)
\(\left[ \because \frac { 1 }{ x } \rightarrow 0;x\rightarrow \infty \right] \)
\(=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { \left( 1+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) }{ x\left( 1-\frac { 3 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } \right) } =\frac { 1 }{ \infty } =0 } \)

\(y=x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +...\)  என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
இருபுறமும் (-1) ஆல் பெருக்க
⇒ -y-x-\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } \)-....
⇒ -y=log(1-x) \(\left[ \because \log(1-x)=-x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -... \right] \)
⇒ e^-y=(1-x)
⇒ x=1-e^-y
⇒ x=1-\(\left[ 1-\frac { y }{ 1! } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2! } -\frac { { y }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { y }^{ 4 } }{ 4! } -.... \right] \)
⇒ x=1-1+\(\frac { y }{ 1! } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { y }^{ 3 } }{ 3! } -\frac { { y }^{ 4 } }{ 4! } +..\)
⇒ x=y-\(\frac { { y }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { y }^{ 3 } }{ 3! } -\frac { { y }^{ 4 } }{ 4! } \)+...

இரண்டு வட்டங்களில் ஒரே அளவு கொண்ட வில்லின் நீளங்கள் தாங்கும் கோணங்கள் 60⁰, 75⁰ அவற்றின் ஆரங்கள் r₁, r₂ என்க 
θ = 60⁰ = \(60\times \frac { \pi }{ 180 } =\frac { \pi }{ 3 } \) ஆரையன் 
⇒ \(\frac { l }{ r } \) ⇒ θ₁r₁
= 60⁰ x r₁
l = \(\frac { \pi }{ 3 } { r }_{ 1 }\)    ..(1)
θ₂ = 75⁰ ⇒ = 75 x \(\frac { \pi }{ 180 } =\frac { 15 }{ 36 } \pi \)  ஆரையன் 
θ₂ ⇒ \(\frac { l }{ { r }^{ 2 } } \) ⇒ l = θ₂r₂
= 75⁰ r₂
= \(\frac { 15 }{ 36 } \pi { r }_{ 2 }\)
l = \(\frac { 15 }{ 12 } \pi { r }_{ 2 }\)   ...(2)
(1), (2) லிருந்து   

\(\frac { { r }_{ 1 } }{ { r }_{ 2 } } =\frac { 5 }{ 4 } \) ⇒ r₁ : r₂ = 5 : 4

y = log, x-ன் நேர்மாறு y = e^x என நாம் அறிவோம்.  ஆதலால் y = x என்ற கோட்டினைப்  பொறுத்து y = log,x -ன் பிரதிபலிப்பு y = e^x ஆகும்.

0 < x < \(\frac { \pi }{ 2 } \), 0 < y < \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(x, y) I  கால் பகுதியில் அமைவதால் இவை அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களும் மிகையாகும்
= \(\sqrt { { 17 }^{ 2 }-{ 15 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 289-225 } \)
= \(\sqrt { 64 } \) = 8
\(\sqrt { { 13 }^{ 2 }-{ 12 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 169-144 } \)
= \(\sqrt { 25 } \) = 5

sin x = \(\frac { 15 }{ 17 } \)       sin y = \(\frac { 5 }{ 13 } \)
cos x = \(\frac { 8 }{ 17 } \)       cos y = \(\frac { 12 }{ 13 } \)
tan x =\(\frac { 15 }{ 8 } \)        tan y = \(\frac { 5 }{ 12 } \)
cosec x = \(\frac { 17 }{ 15 } \)    cosec y = \(\frac { 13 }{ 5 } \)     
sec x = \(\frac { 17 }{ 8 } \)      sec y = \(\frac { 13 }{ 12 } \)
cot x = \(\frac { 8 }{ 15 } \)        cot y = \(\frac { 12 }{ 5 } \)
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
= \(\frac { 15 }{ 17 } \times \frac { 12 }{ 13 } +\frac { 8 }{ 17 } \times \frac { 5 }{ 13 } \)
= \(\frac { 180 }{ 221 } +\frac { 40 }{ 221 } =\frac { 220 }{ 221 } \)

I=\(\int\frac{5x-7}{\sqrt{3x-x^{2}-2}}dx\)என்க
5x-7=A\(\frac{d}{dx}(3x-x^{2}-2)+B\)
5x-7=A(3-2x)+B
ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த, 
\(-2A=5 \Rightarrow A=-\frac{5}{2}; A+B=-7 \Rightarrow B=\frac{1}{2}\)
I=\(\int\frac{\frac{-5}{2}(3-2x)+\frac{1}{2}}{\sqrt{3x-x^{2}-2}}dx\)
\(I=-\frac{5}{2}\int{\frac{3-2x}{\sqrt{3x-x^{2}+2}}}dx+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{3x-x^{2}+2}}}dx\)
=\((-\frac{5}{2})2\sqrt{3x-x^{2}+2}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{(\frac{\sqrt{17}}{2})^{2}-(x-\frac{3}{2})^{2}}}}dx\)
=\(-5\sqrt{3x-x^{2}+2}+\frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{17}}{2}})+c\)
எனவே, I=-5\(\sqrt{3x-x^{2}+2}+\frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{2x-3}{\sqrt{17}})+c\)

கூறுவெளி S={H,T} x {H,T}
S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}
மற்றும் E={(H,H),(H,T)}
F={(H,H),(T,H)}
EUF={(H,H),(H,T),(T,H)}
\(E\cap F=\{(H,H)\}\)
(i) P(EUF)=P(E)+P(F)-P(E\(\cap\)F) அல்லது \((={n(EUF)\over n(S)})\)
\(={2\over4}+{2\over4}-{1\over4}={3\over4}\)
(ii) P(E/F) \(={P(E\cap F)\over P(F)}={(1/4)\over (2/4)}={1\over2}\)
(iii) P\((\overline{E}/F)={P(\overline{E}\cap F)\over P(F)}\)
\(={P(F)-P(E\cap F)\over P(F)}\)
\(={(2/4)-(1/4)\over (2/4)}\)
\(={1\over2}\)
(iv) E மற்றும் F சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகுமா?
\(P(E\cap F)={1\over4}\)
\(P(E)={2\over4},P(F)={2\over4}\)
\(P(E),P(F)={2\over4}.{2\over4}={1\over4}\)
\(\Rightarrow P(E \cap F)=P(E).P(F)\)
எனவே E மற்றும் F சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகும்.

\(f(x)=\begin{cases} 0\quad ;\quad x<0 \\ x\quad ;\quad 0\le x<1\quad \\ -{ x }^{ 2 }+4x-2;\quad 1\le x<3 \\ 4-x\quad ;\quad x\ge 3\quad \end{cases}\)
(i) x =0 எனும் புள்ளியில்
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ 0=0 } } \)
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x)=x=0 } \) மற்றும் f(0) = x =0
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x)=f(0)=0 } } \)
\(\therefore\) f(x) ஆனது x =0-ல் தொடர்ச்சியானது.
(ii) x = 1 என்னும் புள்ளியில்
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x)=x=1 } \)
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=-{ x }^{ 2 }+4x-2=-1+4-2 } \)
= 4 - 3 = 1
f(1) = -x² + 4x - 2 = -1 + 4 - 2 = 1
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=f(1)=1 } \)
\(\therefore\) f(x) ஆனது x = 1-ல் தொடர்ச்சியானது.
(iii) x = 3 எனும் புள்ளியில்
\(\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ - } }{ -{ x }^{ 2 }+4x-2 } } \)
= - (3)² + 4(3) - 2
= - 9 + 12 - 2 = 1
\(\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ + } }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ + } }{ 4-x=4-3=1 } \)
f(3) = 4 - 3 = 1
\(\therefore \quad \lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ + } }{ f(x)=f(3)=1 } } \)
\(\therefore\) f(x) ஆனது x = 3-ல் தொடர்ச்சியானது.  

\(\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { { \left( \frac { { x }^{ 2 }-2x+1 }{ { x }^{ 2 }-4x+2 } \right) }^{ x } } } \)\(=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { 2x-1 }{ { x }^{ 2 }-4x+2 } \right) }^{ x } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \left( { \left[ { \left[ 1+\frac { 2x-1 }{ { x }^{ 2 }-4x+2 } \right] }^{ \frac { { x }^{ 2 }-4x+2 }{ 2x-1 } } \right] }^{ \frac { { (2x-1)x } }{ { x }^{ 2 }-4x+2 } } \right) } \)

\(={ e }^{ \left( \lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { { 2x }^{ 2 }-x }{ { x }^{ 2 }-4x+2 } } \right) }\) \(\left[ \because \lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ x }=e } \right] \)

[\(\because x\rightarrow \infty \) எனில் \(\frac { 1 }{ x } \rightarrow 0\)
\(={ e }^{ \left( \frac { 2-\frac { 1 }{ 0 } }{ 1-\frac { 4 }{ 0 } +\frac { 2 }{ 0 } } \right) }={ e }^{ 2 }\)

A  = \(\left| \begin{matrix} 0 & cos\theta & sin\theta \\ cos\theta & sin\theta & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 0 & cos\theta & sin\theta \\ cos\theta & sin\theta & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta \end{matrix} \right| \) என்க.  
cos 2\(\theta\) = 2cos² \(\theta\) - 1 = 0
2cos² \(\theta\) = 1
cos² \(\theta\) = 1/2
cos \(\theta\) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), sin \(\theta\) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
 = \(\left| \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \end{matrix} \right| \)
\(\therefore \)  \(\triangle \) = \(\left| \begin{matrix} 0+\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) +\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) & \left( 0+\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( 0+0+\frac { 1 }{ 2 } \right) \\ \left( 0+\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+0 \right) \\ \left( 0+0+\frac { 1 }{ 2 } \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+\frac { 1 }{ 2 } \right) \end{matrix} \right| \)
= \(\left| \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 2 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 1 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & \frac { 1 }{ 2 } & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(1\left( 1-\frac { 1 }{ 4 } \right) -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } \right) \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2 } \right) \)
= \(\frac { 3 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 8 } -\frac { 1 }{ 8 } =\frac { 6-2 }{ 8 } =\frac { 4 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
 தீர்வு = \(\frac { 1 }{ 2 } \)

முக்கோணத்தின் கோணங்கள் \(\theta\), 2\(\theta\), 3\(\theta\) என்க.
எனவே, \(\theta\) + 2\(\theta\) + 3\(\theta\) = 180°
ஆகவே ,  \(\theta\) = 30°
\(\frac { a }{ \sin { A } } =\frac { b }{ \sin { B } } =\frac { c }{ \sin { C } } =2R\) என்ற சைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி,
\(​​​​\frac { a }{ \sin { { 30 }^{ o } } } =\frac { b }{ \sin { { 60 }^{ o } } } =\frac { c }{ \sin { { 90 }^{ o } } } \) என நமக்குக் கிடைக்கிறது,
\(\Rightarrow\) a : b : c = sin 30° : sin 60° : sin 90°
= \(\frac { 1 }{ 2 } :\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } :1=1:\sqrt { 3 } :2\)

தனித்தனி கோடுகள் y=m₁x, y=m₂x என்க
y=m₁x ஆனது ஆய அச்சுகளின் இடைப்பட்டக் கோணத்தின் இருசமவெட்டி
y=m₁x மற்றும் x அச்சிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் 45^o 
y=m₁x ன் சாய்வு m₁,x அச்சின் சாய்வு =c

\(\therefore \)tan 45^o 
\(\left[ \therefore tan\theta =\frac { { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 1 }{ m }_{ 3 } } \right] \)
1= \(\frac { { m }_{ 1 } }{ 1 } \Rightarrow \)m₁=1
1+m₂=\(\frac {-2h}{b}\Rightarrow \) 1+m=\(\frac {-2h}{b}\)
m₂=\(\frac {-2h}{b}\)-1 m₂=\(\frac { -2h-b }{ b } \) ------(1)
m₁m₂=\(\frac {a }{b }\Rightarrow \) 1(m₂)=\(\frac {a }{b }\)    ----------(2)
(1) மற்றும் (2),  \(\frac { -2h-b }{ b } =\frac { a }{ b } \Rightarrow \)-2h-b=a
\(\Rightarrow \)2h=a+b
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
\(\Rightarrow \)4h²=(a+b)²

i) 0 முதல் 50 நகல்கள் வரை உள்ள கட்டணத்தைக் குறிக்கும் வரைபடம்.

x-பிரதிகளின் எண்ணிக்கை, y - நகல்களின் கட்டணம் என்க.
y=1.50 x, 0\(\le \)x\(\le \)10
x>10, எனில், y = 10(1.50) + (x-10)   ....(1)
முதல் 10 நகல்கள் எடுக்க ரூ 1-ம் மீதி (x-10)
=15 + x - 10
= 5 + x
\(\therefore\)y=\(\\ \begin{cases} x+5,\quad x>10 \\ 1.50x,0\le x\le 10 \\ x+5,\quad x>10 \end{cases}\) 
10 நகல்கள் எடுக்க ஆகும் செலவு 1.50 \(\times\) 10 = 15.0 (1 நகல் ரூ 1.5 வீதம்)
10 பிரதிகளுக்கு ஆகும் செலவு 1 \(\times\) 10 = 10.00 (1 நகல் ரூ 1 வீதம்)
அடுத்த 10 பிரதிகளுக்கு ஆகும் செலவு 0.40 \(\times\) 10 = 4.00 (1 நகல் ரூ 0.40 வீதம்)
அடுத்த 10 பிரதிகளுக்கு ஆகும் செலவு 0.25 \(\times\) 10 = 2.50 (1 நகல் ரூ 0.25 வீதம்)
\(\therefore\) 40 பிரதிகள் எடுக்க ஆகும் செலவு  = (15 + 10 + 4 + 2.20)
= ரூ 31.50. 

கொடுக்கப்பட்ட வார்த்தையின் எழுத்துகள் ஆங்கில அகராதியில் A, B, E, L, T என்ற வரிசையில் அமையும். அகராதியில் A யில் துவங்கும் வார்த்தைகள் தான் முதலில் வரும். முதல் இடத்தில் A ஐ அமைத்து மீதம் உள்ள 4 எழுத்துகளை (B,E,L,T) 4! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். இதேபோல் தொடர நமக்கு கிடைப்பது.
(i) TABLE என்ற வார்த்தையின் தரம்
A _ _ _ _ = 4! = 24 வழிகள்
B _ _ _ _ = 4! = 24 வழிகள்
E _ _ _ _ = 4! = 24 வழிகள்
L _ _ _ _ = 4! = 24 வழிகள்
T A B E L = 1 வழி
T A B L E = 1 வழி
TABLE என்ற வார்த்தையின் தரம் 4 x 4!+1+1=98
(ii) BLEAT என்ற வார்த்தையின் தரம்
A _ _ _ _ = 4! = 24 வழிகள்
B A _ _ _ = 3! = 6 வழிகள்
B E _ _ _ = 3! = 6 வழிகள்
B L A _ _ = 2! = 2 வழிகள்
BLEAT = 1 வழி
BLEAT என்ற வார்த்தையின் தரம் 24 + 6 + 6 + 2 + 1 = 39.

சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு வடிவம்
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\sqrt { 3 } \)x-y+4=0=0
⇒ y=\(\sqrt { 3 } \)x+4   (6.15)-ஐ
y=mx+b என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும்போது
சாய்வு =\(\sqrt { 3 } \) மற்றும் y-ன் வெட்டுத்துண்டு =4

கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு பகுதி தொகுதியையும் பகுதியின் துணை எண்ணால் பெருக்க பகுதி விகிதமுறு எண்ணாக மாறும்.
\(\frac{1}{3-\sqrt{8}}-\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-{2}}\)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 8 } -\sqrt { 7 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 8 } -\sqrt { 7 } } \times \frac { \sqrt { 8 } +\sqrt { 7 } }{ \sqrt { 8 } +\sqrt { 7 } } =\frac { \sqrt { 8 } +\sqrt { 7 } }{ \sqrt { 8 } ^{ 2 }-\sqrt { 7 } ^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 8 } +\sqrt { 7 } }{ 8-7 } =\sqrt { 8 } +\sqrt { 7 } \)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } -\sqrt { 6 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } -\sqrt { 6 } } \times \frac { \sqrt { 7 } +\sqrt { 6 } }{ \sqrt { 7 } +\sqrt { 6 } } =\frac { \sqrt { 7 } +\sqrt { 6 } }{ \sqrt { 7 } ^{ 2 }-\sqrt { 6 } ^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 7 } +\sqrt { 6 } }{ 7-6 } =\sqrt { 7 } +\sqrt { 6 } \)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } -\sqrt { 5 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } -\sqrt { 5 } } \times \frac { \sqrt { 6 } +\sqrt { 5 } }{ \sqrt { 6 } +\sqrt { 5 } } =\frac { \sqrt { 6 } +\sqrt { 5 } }{ \sqrt { 6 } ^{ 2 }-\sqrt { 5 } ^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 6 } +\sqrt { 5 } }{ 6-5 } =\sqrt { 6 } +\sqrt { 5 } \)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } -2 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } -2 } \times \frac { \sqrt { 5 } +2 }{ \sqrt { 5 } +2 } =\frac { \sqrt { 5 } +2 }{ \sqrt { 5 } ^{ 2 }-2^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 5 } +2 }{ 5-4 } =\sqrt { 5 } +2\)
இவை அனைத்தையும் 1-ல் பிரதியிட 
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3-\sqrt { 5 } } -\frac { 1 }{ \sqrt { 8 } -\sqrt { 7 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } -\sqrt { 6 } } -\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } -\sqrt { 5 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } -2 } \)

=3+2=5

\(\frac { \left( 2n \right) ! }{ n! } =\frac { 1.2.3.4...\left( 2n-2 \right) \left( 2n-1 \right) \times 2n }{ n! } \)
\(=\frac { \left( 1.3.5...\left( 2n-1 \right) \right) \left( 2.4.6...\left( 2n-2 \right) \times 2n \right) }{ n! } \)
(இரட்டை மற்றும் ஒற்றை படை எண்களை தனித்தனியே சேர்க்க)
\(=\frac { \left( 1.3.5...\left( 2n-1 \right) \times { 2 }^{ n }\times \left( 1.2.3...\left( n-1 \right) .n \right) \right) }{ n! } \)
(எல்லாவற்றிலிருந்தும் 2 ஐ வெளியே எடுக்க)
\(=\frac { \left( 1.3.5...\left( 2n-1 \right) \right) \times { 2 }^{ n }\times n! }{ n! } ={ 2 }^{ n }\left( 1.3.5...\left( 2n-1 \right) \right) \)

p=q+h என்க.
h மிகச் சிறிய மதிப்புடையதால் h², h³ நீக்கப்படலாம்.
RHS=\(\frac { (n+1)p+(n-1)q }{ (n-1)p+(n+1)q } =\frac { (n+1)(q+h)+(n-1)q }{ (n+1)(q+h)+(n+1)q } \)
=\(\frac { nq+q-nh+h+nq-q }{ nq-q+nh-h+nq+q } =\frac { 2nq+(n+1)h }{ 2nq+(n-1)h } \)
=\(\frac { 1+\frac { n+1 }{ 2n } .\frac { h }{ q } }{ 1+\frac { n-1 }{ 2n } .\frac { h }{ q } } =\left( 1+\frac { n+1 }{ 2n } .\frac { h }{ q } \right) \left( 1+\frac { n-1 }{ 2n } .\frac { h }{ q } \right) ^{ -1 }\)
=\(\left( 1+\frac { n+1 }{ 2n } .\frac { h }{ q } \right) \left( 1+\frac { n-1 }{ 2n } .\frac { h }{ q } \right) =1+\left( \frac { n+1 }{ 2n } -\frac { n-1 }{ 2n } \right) \frac { h }{ q } \)
=1+\(\frac { 1 }{ n } .\frac { h }{ q } \)    .....(1)
LHS=\(\left( \frac { p }{ q } \right) ^{ \frac { 1 }{ n } }=\left( \frac { q+h }{ q } \right) ^{ \frac { 1 }{ n } }=\left( 1+\frac { h }{ q } \right) ^{ \frac { 1 }{ n } }=1+\frac { 1 }{ n } \times \frac { h }{ q } \)   ....(2)
(1) x (2) ⇒ LHS=RHS
\(\sqrt [ 8 ]{ \frac { 15 }{ 16 } } =\frac { (8+1)(15)+(8-1)(16) }{ (8-1)(15)+(8+1)(16) } =\frac { 9(15)+7(16) }{ 7(15)+9(16) } \)
=\(\frac { 135+112 }{ 105+144 } =\frac { 247 }{ 249 } \)
⇒ \(\sqrt [ 8 ]{ \frac { 15 }{ 16 } } \)=0.99196.

P(h, k) என்பது தேவையான நியமப்பாதையின் நடுப்புள்ளி A, B என்பன முனைப்புள்ளிகள் A(a, 0) B(0, b) P(h, k) A, B யின் நடுப்புள்ளி என்பதால்.

\(h=\left( \frac { a+0 }{ 2 } \right) ,k=\left( \frac { 0+b }{ 2 } \right) \)
\(h=\frac { a }{ 2 } ,k=\frac { b }{ 2 } \)
a = 2h, b = 2k
\(\Delta\)OAB யிலிருந்து நமக்கு கிடைப்பது AB² = OA² + OB²
8² = a² + b²
\(\Rightarrow { (2h })^{ 2 }+{ (2k) }^{ 2 }=64\)
\(\Rightarrow { 4h }^{ 2 }+{ 4k }^{ 2 }=64\)
\(\Rightarrow { h }^{ 2 }+{ k }^{ 2 }=16\)    (\(\because\) 4 ஆல் வகுத்தல்)
\(\therefore\) P(h, k) ன் நியமப்பாதை x² + y² = 16

sin² (A + B) - sin² (A - B) = sin 2A. sin 2B
L.H.S = sin² (A + B) - sin² (A - B)

= sin(2A). sin(2B)
= RHS 
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

முதல் ஒற்றைப்படை இயல் எண் = x என்க
அடுத்த ஒற்றைப்படை இயல் எண் = x +2
\(\Rightarrow x>10\) கொடுக்கப்பட்ட கூற்று ...(1)
\(\Rightarrow x+2>10\quad ...(2)\)
x + x + 2 <40 ...(3)
\(\Rightarrow x>10\quad \quad ...(4)\)
(3) லிருந்து 2x +2 <40
\(\Rightarrow 2x<38\)
\(\Rightarrow x<\frac { 38 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x<19\quad .....(5)\)
x ஒற்றைப்படை இயல் எண்கள் என்பதால் x = 11, 13, 15, 17
\(\therefore \) தேவையான ஜோடிகள் (11,13), (13,15),(15,17) (17,19).

\(u={ x }^{ 3 }-1\) என்க.
\(y={ u }^{ 100 }\) 
மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ du } \times \frac { du }{ dx } \)
\(=100{ u }^{ 100-1 }\times (3{ x }^{ 2 }-0)\)
\(=100{ (x }^{ 3 }-1{ )^{ 99 } }\times 3{ x }^{ 2 }\)
\(=300{ x }^{ 2 } (x ^3 -1{ )^{ 99 } }.\)

\(\vec { a } =2\hat { i } +\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } -2\hat { k } \)
\(\vec { a } \times \vec { b } =(2\hat { i } +\hat { j } +3\hat { k } )\times (3\hat { i } +5\hat { j } -2\hat { k } )\)
\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \vec { i } & \vec { j } & \vec { k } \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & -2 \end{matrix} \right| \)
=\(\hat { i } (-2-15)-\hat { j(-4-9)+\hat { k } (10-3) } \)
=\(-17\hat { i } +13\hat { j } +7\hat { k } \)
\(|\vec { a } \times \vec { b } |=\sqrt { (-17)^{ 2 }+13^{ 2 }+{ 7 }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 289+169+49 } =\sqrt { 507 } \).

x=1, y=2, z=3
r=\(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 1+4+9 } \)=\(\sqrt { 14 } \)
∴ திசைக்கொசைன்கள் =\(\frac { x }{ r } ,\frac { y }{ r } ,\frac { z }{ r } \)
=\(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } ,\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } ,\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \)

\({ C }_{ 1 }\rightarrow { C }_{ 1 }-{ C }_{ 2 }\) -ஐ பயன்படுத்த, \(\left| \begin{matrix} 4 & { (a }^{ x }-{ a }^{ -x }{ ) }^{ 2 } & 1 \\ 4 & { (b }^{ x }-{ b }^{ -x }{ ) }^{ 2 } & 1 \\ 4 & { (c }^{ x }-{ c }^{ -x }{ ) }^{ 2 } & 1 \end{matrix} \right| =0\quad [{ C }_{ 1 },{ C }_{ 3 }\)  விகிதச் சமமானவை ]

ⁿC_x = ⁿC_y
¹⁵C_2r-1 = ¹⁵C_{2r + 4}  என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 
ⁿC_x = ⁿC_y  \(\Rightarrow\)  x = y  அல்லது   x+y = n
நமக்கு கிடைப்பது 2r - 1 = 2r  + 4r
1 \(\neq \)  4  ஆக இருக்க முடியாது  (அல்லது )
2r - 1 +2r + 4 = 15
4r + 3 = 15; 4r = 12
\(\Rightarrow\)  r = \(\frac { 12 }{ 4 } \) = 3
\(\therefore\)  r = 3   

A={a,b,c}
f: A⟶ A

இது ஒரு சார்பு ஆனால் ஒன்றுக் கொன்றான சார்பு அல்ல. 

பூஜ்ஜியங்களைக் காண f (x) = 0 என்க 
4x² - 25 = 0
4x² = 25
\({ x }^{ 2 }=\frac { 25 }{ 4 } \Rightarrow x=\sqrt { \frac { 25 }{ 4 } } \)
\(\Rightarrow x=\pm \frac { 5 }{ 2 } \)
எனவே பூஜ்ஜியங்கள் \(\frac { 5 }{ 2 } ,\frac { -5 }{ 2 } \)ஆகும்.

A என்பது ஒரு குடும்பத்தின் உறுப்பினர்கள் அனைவரையும் கொண்ட கணம்.
தொடர்பு R என்பது "a என்பவர் b-ன் சகோதரி இல்லை.
a,b,c\(\in\)A
தற்சுட்டு:
a R a \(\Rightarrow\)a- ஆனது a-ன் சகோதரி ஆக இருக்க முடியாது 
∴ R ஒரு தற்சுட்டு தொடர்பு அல்ல.
சமச்சீர் தொடர்பு ;  a R a \(\Rightarrow\)b R a
aஆனது b-ன் சகோதரி அல்ல. b ஆனது a-ன் சகோதரி
∴ R  ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு அல்ல.
கடப்பு தொடர்பு: a R b மற்றும்  b R c\(\Rightarrow\) a R c
a ஆனது b-ன் சகோதரி அல்ல.
b ஆனது c -ன் சகோதரி அல்ல.
∴ R ஒரு கடப்பு தொடர்பு அல்ல.