\(log|y|+\frac { 1 }{ y } +\frac { 1 }{ x } =x+c\)

\(8x\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }-12y\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }=27x\)

\(\frac { 128 }{ 315 } \)

\(\frac { 3 }{ 2 } \)

2

50, 50

2.89

w = xy + z
\(\frac { \partial w }{ \partial x } =y;\frac { \partial w }{ \partial y } =x;\frac { \partial w }{ \partial z } =1\)
⇒ \(\frac { \partial w }{ \partial x } \) = sin t; \(\frac { \partial w }{ \partial y } \) = cos t; \(\frac { \partial w }{ \partial z } \) = 1
\(\frac { dx }{ dt } \) = - sin t; \(\frac { dy}{ dt } \) = cos t; \(\frac { dz }{ dt } \) = 1
∴  \(\frac { dw }{ dt } \) = \(\frac { \partial w }{ \partial x } .\frac { dx }{ dt } +\frac { \partial w }{ \partial y } .​​\frac { dy }{ dt } +\frac { \partial w }{ \partial z } .\frac { dz }{ dt } \)
= sin t(-sin t) + cos t(cost) + 1 (1) 
= - sin² t + cos² t + 1
= cos² t + 1 - sin² t
= cos² t + cos² t  [∵ 1- sin² t = cos² t]
\(\frac { dw }{ dt } \) = 2 cos² t

Given  |3z - 5| = 3 |z + 1
⇒ |3(x+iy)-5| = 3|x+iy+1|
⇒ |(3x-5)+3y| = 3|(x+1)+iy|
⇒ \(\sqrt { (3x-5)^{ 2 }+3^{ 2 } } =3\left[ \sqrt { (x+1)^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right] \)
Squaring both sides we get,
(3x - 5)² + 9 = 9 [(x + 1)² + y²]
⇒ 9x² - 30x + 25 + 9 = 9 [x² + 2x + 1 + y²]
⇒ 48x - 16 = 0
⇒ 3x-1 = 0

Given 2b = 5 and 2ae = 13
b² = a²( e² - 1) - b ⇒ a \(\sqrt { { e }^{ 2 }-1 } \)
2b = 5 ⇒ 2a\(\sqrt { { e }^{ 2 }-1 } \) = 5
⇒ 4a²( e² - 1) = 25 [squaring both sides]
⇒ 4a²e²- 4a² = 25
⇒ (2ae)² - 4a² = 25
⇒ 13²-4a²=25 [∵ 2ae=13]
⇒169- 25 = 4a²
⇒ 4a²= 144
⇒ a²= 36
⇒ a = 6
∴ 2b = 5 ⇒ b = \(\frac52\)⇒b² = \(\frac{25}{4}\)
∴ Equation of the hyperbola is \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 36 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ \frac { 25 }{ 4 } } =1\)
\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 36 } -\frac { { 4y }^{ 2 } }{ 25 } =1\)

\(cos\left[ { cos }^{ -1 }\left( \frac { -\sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right] \)
= \(cos\left[ \pi -{ cos }^{ -1 }\left( \frac { -\sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right] \)
\(\left[ \because { cos }^{ -1 }\left( -x \right) =\pi -{ cos }^{ -1 }x \right] \)
= \(cos\left[ \pi -\frac { \pi }{ 6 } +\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
\(\left[ \because { cos }^{ -1 }\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =x\Rightarrow \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =cosx\Rightarrow x=\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
= \(cos\pi -1\)

Given \(\overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } =0\)
\(\overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } \)= -\(\overset { \rightarrow }{ c } \) ... (1)
Taking cross product with \(\overset { \rightarrow }{ a } \) both sides, we get 
\(\overset { \rightarrow }{ a } \left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } \right) =-\left( \overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) \)
\(\overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ a } \)
\(\left[ \because -\left( \overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) =\overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ a } \right] \)
\(\Rightarrow \overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ a } \left( \because \overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \rightarrow }{ 0 } \right) \)
Taking cross product with \(\overset { \rightarrow }{ b } \) both sides, we get
\(\overset { \rightarrow }{ b } \times \left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } \right) =\overset { \rightarrow }{ b } \times \left( -\overset { \rightarrow }{ c } \right) \)
\(\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ b } =-\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \)
\(-\overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } =-\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \)
\(\overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \)
From (2) and (3) we get
\(\overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } =\overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ a } \)

|A| =\(\left[ \begin{matrix} -2 & -3 \\ 5 & -6 \end{matrix} \right] \) = 12+15 = 27
∴ A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } adjA=\frac { 1 }{ 27 } \left[ \begin{matrix} -6 & 3 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
(A^-1)^T = \(\frac { 1 }{ 27 } \left[ \begin{matrix} -6 & -5 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)...(1)
A^T =\(\left[ \begin{matrix} -2 & 5 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right] \)
|A^T| =\(\left[ \begin{matrix} -2 & 5 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right] \) = 12+15 = 27
∴ (A^T)^-1 = \(\frac { 1 }{ |A^{ T }| } adj(A^{ T })=\frac { 1 }{ 27 } \left[ \begin{matrix} -6 & -5 \\ 3 & -2 \end{matrix} \right] \)...(2)
From (1) and (2), (A^-1)^T = (A^T)^-1

The given equation can be written as
\({ 2 }^{ z }\left( 1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( 1+\frac { 1 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 49 } \right) \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( \frac { 8+4+2 }{ 8 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( \frac { 49+7+1 }{ 49 } \right) \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( \frac { 7 }{ 4 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( \frac { 57 }{ 49 } \right) \Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 49 }{ 57 } =\frac { { 7 }^{ x } }{ { 2 }^{ x } } \)
\(\Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 49 }{ 57 } ={ \left( \frac { 7 }{ 4 } \right) }^{ x }\Rightarrow \frac { { 7 }^{ 3 } }{ 4\times 57 } ={ \left( \frac { 7 }{ 4 } \right) }^{ x }\)
\(\Rightarrow xlog\left( \frac { 7 }{ 4 } \right) =3log\ 7-log4-log57\)
\(\Rightarrow x=\frac { 3log7-log4-log57 }{ log\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) } \)