\(d=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \)
கொடுக்கப்பட்டது \(\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left|\frac{3+k}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\right| \)
\(\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left|\frac{3+k}{\sqrt{3}}\right| \Rightarrow 6=|3+k| \\ \Rightarrow \pm 6=3+\mathrm{k} \Rightarrow \mathrm{k}=3,-9\)

 \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})  =\frac{\vec{b}}{\sqrt{2}}+\frac{\vec{c}}{\sqrt{2}} \\ (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}  =\frac{\vec{b}}{\sqrt{2}}+\frac{\vec{c}}{\sqrt{2}} \\  -\vec{a} \cdot \vec{b}  =\frac{1}{\sqrt{2}} .\)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} =\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ |\vec{a} \| \vec{b}| \cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \text { (1)(1) } \cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \theta =\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} \)

\( \cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma =1 \\ \frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2} =1 \Rightarrow \frac{3}{c^2}=1 \\ c^2 =3 \Rightarrow c= \pm \sqrt{3} \)

\(x+2 y+3 z+7=0\)          ...(1)
\(2 x+4 y+6 z+7=0\)
\(\Rightarrow x+2 y+3 z+\frac{7}{2}=0\)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) என்பன இணையான தளங்கள்
\( \delta=\frac{d_1-d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} =\frac{7-\frac{7}{2}}{\sqrt{1+4+9}}=\frac{\frac{14-7}{2}}{\sqrt{14}}=\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{14}} \\ =\frac{7}{2 \sqrt{7} \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}} \)

\( {[\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}] } = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{a} \times \vec{b})= \frac{1}{4} \\ |\vec{a} \times \vec{b}|^2 =\frac{1}{4} \\ |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \sin ^2 \theta =\frac{1}{4} \)
\(\sin ^2 \theta =\frac{1}{4} \quad(\because \vec{a}, \vec{b} \)  என்பன அலகு வெக்டர்கள்) 
\(\\ \sin \theta =\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6} \)

\( \vec{b} =2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}, \quad \vec{n}=\hat{i}+\hat{j} \\ \sin \theta =\frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| \vec{n} \mid}=\frac{2+1+0}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{9} \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \theta =\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4} \)
or 45⁰

கொடுக்கப்பட்ட தளம் \(x+3 y-\alpha z+\beta=0\)
(2, 1, -2) என்ற புள்ளி தளத்தின் மீது அமைந்துள்ளது.
2+3+2 \(\alpha+\beta \) = 0 
\(\Rightarrow 2 \alpha+\beta  =-5\)       ....(1)
\(\vec{r} . \vec{d}=\mathrm{p}, \vec{d}\) என்பது \(\left(b_1, b_2, b_3\right)=(3,-5,2)\) என்ற திசைக் கொசைன் கொண்ட செங்குத்தான வெக்டர் ஆகும்.
\(\therefore b_1 d_1+b_2 d_2+b_3 d_3  =0 \\\Rightarrow 3(1)-5(3)+2(-\alpha)=0 \\ -12-2 \alpha  =0 \Rightarrow \alpha=-6\)
\(\alpha=6 \) என (1) ல் பிரதியிட,
\(2(-6)+\beta=-5 \Rightarrow-12+\beta=-5 \Rightarrow \beta=7\)
எனவே \((\alpha, \beta)=(-6,7)\)

\( \overrightarrow{n_1} =3 \hat{i}-2 \hat{j}+0 \hat{k}, \overrightarrow{n_2}=\hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}+2 \hat{k} \\ \vec{n}_1 \cdot \overrightarrow{n_2} =3-2\left(\frac{3}{2}\right)=3-3=0 \\ \cos \theta =0 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2} \)

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})\)
\( \vec{b} \times \vec{c} =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & -1 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(-2+25)-\hat{j}(-1+15)+\hat{k}(5-6) \\ =23 \hat{i}-14 \hat{j}-\hat{k} \\ \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}) =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 23 & -14 & -1 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(-3-14)-\hat{j}(-2+23)+\hat{k}(-28-69) \\ =-17 \hat{i}-21 \hat{j}-97 \hat{k} \)

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}) =(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} \\ \vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} =0 \\ \vec{a} \| \vec{c} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{c} =1 \)
\((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன அலகு வெக்டர்கள்)
\(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=1(\vec{b})-0(\vec{c})=\vec{b}\)

கொடுக்கப்பட்டது \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}=0\)
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து
\({[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] }  =(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=(|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \cdot \hat{n}) \cdot \vec{c} \\  =|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta|\vec{c}| \cos \alpha\)
\((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து என்பதால், \(\alpha=0, \theta=\frac{\pi}{2})\) 
\(=\left|\vec{a}\left\|\vec{b}\left|\sin \frac{\pi}{2} \cos 0^{\circ}\right| \vec{c}|=| \vec{a}\right\| \vec{b} \| \vec{c}\right|\)

\( \vec {a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) என்பன இணையாதலால், \(\vec{a}=\lambda \vec{b}\)
\([\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]=[\lambda \vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda[\vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda(0)=0\)

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})  =(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \\ (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}  =(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} \\ \vec{c}  =\frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}} \vec{a}=\lambda \vec{a}\)
\( \Rightarrow \vec{a} \) என்பது \(\vec{c}\) க்கு இணையானவை

\(\vec{a}, \vec{b}\) ஆல் அமைக்கப்படும் தளம் \(P_1\) க்கு செங்குத்தான வெக்டர் \( \vec{a}\)\( \times \vec{b}\)
\(\vec{c}, \vec{d}\) ஆல் அமைக்கப்படும் தளம் \(\mathrm{P}_2\) க்கு
செங்குத்தான வெக்டர் \(\vec{c} \times \vec{d}\)
\(\therefore(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})=\overrightarrow{0} \\ \Rightarrow(\vec{a} \times \vec{b}) \|(\vec{c} \times \vec{d})\)
தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(0^{\circ}\)

கொடுக்கப்பட்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு \([\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]=8\)
இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு
\({[(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}),(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a}),(\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})] }   =8^2 \\ =64\)

\( P(h, k) \\ x=-\frac{9}{2} \Rightarrow 2 x+9=0 \\ P Q=\frac{2}{3} \mathrm{PM} \\ \sqrt{(h+2)^2+k^2}=\frac{2}{3}\left|\frac{2 h+9}{2}\right| \\ (h+2)^2+k^2=\frac{1}{9}(2 h+9)^2 \\ h^2+4+4 h+k^2=\frac{1}{9}\left(4 h^2+36 h+81\right) \\ 9 h^2+36+36 h+9 k^2=4 h^2+36 h+81 \\ 5 h^2+9 k^2=45 \\ \frac{h^2}{9}+\frac{k^2}{5}=1\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \) 
நீள்வட்டமாகும்.

வட்டத்தின் சமன்பாடு\((x - 3) ^ 2 + (y + r) ^ 2 = r ^ 2 \) ....(1)
இது (1, -2) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது
\( (1-3)^2+(-2+r)^2 =r^2 \\ 4+4-4 r+r^2 =r^2 \Rightarrow r=2 \\ (x-3)^2+(y+2)^2 =4 \)
\((5-3)^2+(-2+2)^2=4 \Rightarrow 4=4\)

P-ன் நியமப்பாதை = y²-ன் இயக்குவரை = 4x
4a = 4
a = 1
இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = -a = -1
x = -1

x = a cos \(\theta\); y = b sin \(\theta\)
நீளம் = 2acos\(\theta\); அகலம் = 2bsin\(\theta\)
பரப்பு A = l \(\times\) b = 4absin\(\theta\)cos\(\theta\)
A = 2ab sin 2\(\theta\)
\(\frac{dA}{d \theta}\)= 2ab cos2\(\theta\) (2) = 4ab cos2\(\theta\)
மீப்பெரும பரப்பிற்கு
\(\frac{dA}{d \theta}\) = 0 \(\Rightarrow\) cos2\(\theta\) = 0
\(\begin{aligned} 2 \theta & =\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore A = 2 a b \sin 2\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 a b \sin \frac{\pi}{2} \end{aligned}\)
A = 2ab

\(\triangle O O^{\prime} A ,\\ (1+y)^2  =(1-y)^2+1 \\ 1+y^2+2 y  =1+y^2-2 y+1 \\ 4 y  =1 \Rightarrow y=\frac{1}{4} \)

\(a^2=9, \quad b^2=4 \\  2 x-y=1 \Rightarrow y=2 x-1 \\  m=2 \\  c=\sqrt{a^2 m^2-b^2}=\sqrt{9(4)-4} \\  =\sqrt{36-4}=\sqrt{32} \\  c= \pm 4 \sqrt{2} \\ =\left(\frac{-a^2 m}{c}, \frac{-b^2}{c}\right) \\  =\left(\frac{-9 \times 2}{-4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{-4 \sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9 \times 2}{4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{4 \sqrt{2}}\right) \\  =\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9}{2 \sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right) \\ \)

E₂ என்ற நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
இது (0, 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
a² = 16 
மேலும் இது (3, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(\frac{9}{b^2}+\frac{4}{16}=1 \Rightarrow \frac{9}{b^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\( b^2=12 \\ e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{12}{16}}=\frac{1}{2} \)

\( y^2=12 x \quad \Rightarrow 4 a =12 \Rightarrow a=3 \\ x+y =k \Rightarrow y=-x+k \\ \therefore m =-1, c=k \\ c=-2 a m-a m^2 \Rightarrow k =-2 a(-1)-a(-1)^3 \\ k =-6(-1)-3(-1)=6+3=9 \)

 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\ (\pm a e, 0 )\\ e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\\ (\pm b e, 0 )\\ e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
நாற்கரத்தின் பரப்பு \( =\frac{1}{2} A C \times B D \)
\( =\frac{1}{2} 2 a e \times 2 b e \\ =a \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} \times 2 b \sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}} \\ =a \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} \times 2 b \frac{\sqrt{b^2+a^2}}{b} \\ =2\left(a^2+b^2\right) \)

x + y = 6 ...(1)
x + 2y = 4... (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க. 
(1)-(2) -y = 2
y = -2
(1) ⇒ x-2 = 6
x = 8
புள்ளி (8, -2) என்க.
மற்றொரு புள்ளி (6, 2)
\(r = \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2} \\ =\sqrt{(8-6)^2+(2+2)^2} \\ =\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16} \\ =\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \)

\(x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 2y + 1 = 0 \)
2g = - 2
g = - 1
2f = - 2
f = - 1
இணையான கோடு 2x + 4y + \(\lambda\) = 0 என்க. மையம் (-g, -f) = (1, 1) என்பது இக்கோட்டின் மேல் அமைவதால்,
2 + 4 + 2 = 0 ⇒\(\lambda\) = -6
2x + 4y - 6 = 0
x + 2y = 3

\( 3 x^2+b \mathrm{y}^2+4 b x-6 b \mathrm{y}+b^2 =0 \\ a=\mathrm{b} \ \Rightarrow \ b =3=\mathrm{a} \)
\( 3 x^2+3 y^2+12 x-18 y+9=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2+4 x-6 y+3=0 \\ 2 g=4 ; 2 f=-6 ; c=3 \\ g=2 ; f=-3 \\ r=\sqrt{g^2+f^2-c} \\ =\sqrt{4+9-3}=\sqrt{10} \)

\( L: 3 x-4 y =\mathrm{m} \\ C: x^2+y^2-4 x-8 y-5 =0 \\ (x-2)^2+(y-4) =25 \)
C(2, 4); r = 5
மையத்திலிருந்து தொலைவு < r
\( \left| \frac{ah+bk+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|<r\)
\(\left|\frac{3\times 2-4\times 4-m}{\sqrt{9+16}} \right|<r\Rightarrow \left| \frac{-10-m}{5}\right|<5\)
\(-5<\frac{10+m}{5}<5\)
-25 < 10 + m < 25
-25 - 10 < m < 25 - 10
-35 < m < 15

செவ்வகல நீளம்
\( \frac{2 b^2}{a} =8 \\ b^2 =4 a ........ (1) \) 
துணையச்சின் நீளம் 
\( 2 b =\frac{1}{2}(2 a e) \\ b =\frac{a e}{2} \\ b^2 =\frac{a^2 e^2}{4} \)
\( \frac{a^2 e^2}{4} =a^2\left(e^2-1\right) \\ \mathrm{e}^2\left(e^2-1\right) =4 \mathrm{e}^2-4 \\ 3 \mathrm{e}^2 =4 \Rightarrow \mathrm{e}^2=\frac{4}{3} \\ \therefore \mathrm{e} =\frac{2}{\sqrt{3}}\)

x = 0 என்ற கோட்டிற்கும் மையம் (- g, - f) -க்கும் உள்ள தூரம் வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.
\(\pm\left(\frac{-g}{1^2}\right)=\sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow f^2=c\) ............ (1)
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து,
\( 2 f =-6+3 \lambda, c=9-19 \lambda \\ \left(\frac{-6+3 \lambda}{2}\right)^2 =9-19 \lambda \Rightarrow \lambda=0, \frac{-40}{9} \)