\(A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right] \) 
\(\left| A \right| =\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right] =-5-6=-11\neq 0\) 
\(|A|I=-11\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -11 & 0 \\ 0 & -11 \end{matrix} \right] \) 
\(adjA=\left[ \begin{matrix} -5 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \) 
\(A(adjA)=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -5 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \) 
= \(\left[ \begin{matrix} -5-6 & -3+3 \\ -10+10 & -6-5 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -11 & 0 \\ 0 & -11 \end{matrix} \right] =|A|I\) 
\(\left( adjA \right) A=\left[ \begin{matrix} -5 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right] \) 
= \(\left[ \begin{matrix} -5-6 & -15+15 \\ -2+2 & -6-5 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -11 & 0 \\ 0 & -11 \end{matrix} \right] =|A|\) 
(1),(2) மற்றும் (3) லிருந்து  
\(A(adjA)=(adjA)=|A|I\)

\(\frac{1}{x}\) = z 
3z+2y=12, 2z+3z=13
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| =9-4=5\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 12 & 2 \\ 13 & 3 \end{matrix} \right| =36-26=10\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 3 & 12 \\ 2 & 13 \end{matrix} \right| =39-24=15\)
\(\therefore z=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 10 }{ 5 } =2\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 2 } \)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 15 }{ 5 } =3\)
∴ தீர்வுக் கணம் {\(\frac{1}{2}\),3}

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 6 & -2 & -3 \end{matrix} \right] \)என்க
காஸ்-ஜோர்டன் முறையை பயன்படுத்த கிடைப்பது.
\([A|{ I }_{ 3 }]=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\\ \overset { R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 6R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -6 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 4R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}|\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}|\begin{matrix} -2 \\ -3 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ -3 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
ஆகையால், A^-1\(\left[ \begin{matrix} -2 & -3 & 1 \\ -3 & -3 & 1 \\ -2 & -4 & 1 \end{matrix} \right] \) என அறிவோம்.

இங்கு மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B, இங்கு A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 7 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
[A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 7 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b-a \\ c-3a \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2R_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b-a \\ (c-3a)-2(b-a) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b-a \\ (c-2b-a) \end{matrix} \right] \)
தொகுப்பின் தீர்வுகள் ஒரு சாராமாறிக் குடும்பமாக இருக்க வேண்டுமாயின், ρ(A) = ρ[(A,B]) = 2. எனவே ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள மூன்றாவது நிரையானது பூச்சிய நிரையாக இருக்க வேண்டும்.
எனவே, c-2b-a = 0 ⇒ c = a +2b

A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ 2 }= A \times A =\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}=\left[ \begin{matrix} 25-3 & 15-6 \\ -5+2 & -3+4 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 22 & 9 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right] \)
-3A = \(-3\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -15 & -9 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right] \)
-7I₂ = \(-7\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}\)
\(\therefore { A }^{ 2 }-3A-{ 7I }_{ 2 }\)
\(=\begin{bmatrix} 22 & 9 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}-3\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] -7\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=\left[ \begin{matrix} 22-15-7 & 9-9+0 \\ -3+3+0 & 1+6-7 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] ={ O }_{ 2 }\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
\(\therefore { A }^{ 2 }-3A-{ 7I }_{ 2 }=0\)
பின்புறமாக A^-1 ஆல் பெருக்க கிடைப்பது,
A².A^-1-3AA^-1-7I₂A^-1=0.A^-1
⇒ A(AA^-1)-3(AA^-1)-7(A^-1) = 0
[∵I₂A^-1 = A^-1 மற்றும் |(0)A^-1 = 0]
⇒ AI-3I-7A^-1 = 0 [ ∵ AA^-1 = I]
⇒ AI-3I = 7A-1
⇒A^-1 = \(\frac{1}{7}[A-3I]\) [∵ AI = A]
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 7 } =\left[ \left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] -3\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \right] \)
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 5-3 & 3-0 \\ -1-0 & -2-3 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right] \)

தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B
இங்கு A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{matrix} \right] \)
|A| = \(\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{matrix} \right| \) = 2(4+1)-3(-2-3)+3(-1+6) = 10 + 15 + 15 = 40 ≠ 0
எனவே A^-1 காண இயலும் மற்றும்
A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } (adjA)=\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} +(4+1) & -(-2-3) & +(-1+6) \\ -(-6+3) & +(4-9) & -(-2-9) \\ +(3+6) & -(2-3) & +(-4-3) \end{matrix} \right] ^{ T }=\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{matrix} \right] \)
X = A^-1B என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(\left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} 25-12+27 \\ 25+52+3 \\ 25-44-21 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} 40 \\ 80 \\ -40 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
எனவே தீர்வானது (x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = -1)

|A|=(2)(7)-(9)(1) = 14-9=5. எனவே, A^-1 =\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -9 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 9 }{ 5 } \\ -\frac { 1 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] \)
எனவே, (A^-1)^T = \(\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 1 }{ 5 } \\ -\frac { 9 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \) ... (1)
A^T=\(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 9 & 7 \end{matrix} \right] \)எனவே |A^T| =(2)(7)-(1)(9) = 5
(A^T)^-1 = \(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \)... (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து கிடைப்பது, (A^-1)^T =(A^T)^-1 எனவே கொடுத்துள்ள பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.

\(\Delta =\left| \begin{matrix} 6 & -9 \\ 4 & -6 \end{matrix} \right| =0\) 
\(\Delta =0\) எனும்போது,\(\cfrac { \Delta _{ x } }{ \Delta } \)என்பது வரையறுக்கப்பட்டதாகிறது.
எனவே, சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
\([A|B]\left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & 15 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 13 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }{ \rightarrow R }_{ 2 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ -5 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=3
∴ ρ(a) ≠ρ([A|B])
எனவே தொகுப்பு ஒருங்கிமைவற்றது.

2x − y = 8, 3x + 2y = −2
தொகையின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \\ \)
⇒ AX=B இங்கு A\(=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(B=\left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow X={ A }^{ -1 }B.\)
இப்பொழுது \(|A|=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] =4+3=7\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A\)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 16 & -2 \\ -24 & -4 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 14 \\ -28 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 14 }{ 7 } \\ \frac { -28 }{ 7 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore x=2,\quad y=-4\)
எனவே, தீர்வுக் கணம்{2,-4}

A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 0 & 5 \end{matrix} \right] \) என்க. தொடக்க நிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(A\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -2 \\ 0 & -6 & -4 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \)
கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவத்தில் உள்ளது மற்றும் இரண்டு அபூச்சிய நிரைகளைப் பெற்றுள்ளது. எனவே \(\rho \)(A) = 2

\(adj\quad (A)=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adjA| } } (adj\ A)\) என அறிவோம். ...(1)
|adj A| = 0 + 2(36 - 18) + 0 = 2(18) = 36
\(|adj\ A|=0+2\left| \begin{matrix} 6 & -6 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right| +0\)
[R₁ மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்டது]
\(\therefore { A }^{ -1 }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 36 } } \left[ \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\(\pm \frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 0 & -2 & 0 \\ 6 & 2 & -6 \\ -3 & 0 & 6 \end{matrix} \right] \)

தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX =  B, இங்கு A =\(\left[ \begin{matrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right] \)
|A| = \(\left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \) = 10-6 = 4 ≠ 0. எனவே A^-1 காண இயலும். மற்றும் A^-1 = \(\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right] \)
X = A^-1B என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 6-10 \\ -9+25 \end{matrix} \right] =\frac {1}{4}\left[ \begin{matrix} -4 \\ 16 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { -4 }{ 4 } \\ \frac { 16 }{ 4 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
எனவே தீர்வானது (x = -1, y = 4)

A =\(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)பின்பு, A^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
எனவே
AA^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta & cos\theta sin\theta -sin\theta cos\theta \\ sin\theta cos\theta -cos\theta sin\theta & { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \) = I₂
இதேபோல் A^TA = I₂. எனவே AA^T = A^TA = I₂ ⇒ A ஆனது செங்குத்து அணியாகும்.

\(\frac { 1 }{ x } =u,\frac { 1 }{ y } =v,\frac { 1 }{ z } =w\), என பிரதியிடு நமக்கு கிடைப்பது
3u - 4v - 2w = 1,
u + 2v + w = 2,
2u=5v-4w=-1
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 3 & -4 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -5 & -4 \end{matrix} \right| =3\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -5 & -4 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right| \\ \)
=3(-8+5)+4(-4-2)-2(-5-4)
=3(-3)+5(-6)-2(-9)
=-9-24+18=-15
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 1 & -4 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -5 & -4 \end{matrix} \right| \)
\(=1\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -5 & -4 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & -4 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right| \)
=1(-8+5)+4(-8+1)-2(-10+2)
=1(-3)+4(-7)-2(-8)
=-3-28+16=-15
\({ \Delta }_{ 2 }\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -4 \end{matrix} \right| \)
\(=3\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & -4 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right| \)
=3(-8+1)-1(-4-2)-2(-1-4)
=3(-7)-1(-6)-2(-5)
=-21+6+10=-5
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & -1 \end{matrix} \right| \)
\(=3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -5 & -1 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right| \)
=3(-2+10)+4(-1-4)+1(-5-4)
=3(8)+4(-5)+1(-9)
=24-20-9=-5
\(\therefore u=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { -15 }{ -15 } =1\Rightarrow \frac { 1 }{ x } =1\Rightarrow x=1\)
\(v=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -5 }{ -15 } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow y=3\)
\(w=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { -5 }{ -15 } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow z=3\)
∴ தீர்வு கணம் {1, 3, 3}

கொடுக்கப்பட்ட C₂ H₆ + O₂ ➝ H₂O + CO₂
நாம் மிகை எண்கள் x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ இவ்வாறு காண வேண்டும்.
x₁ C₂ H₆ + x₂ O₂ ➝ x₃ H₂O + x₄ CO₂ ... (1)
(1) ல் இடது பக்கத்தில் உள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கை வலது பக்கத்தில் உள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
∴ 2x₁ = 1x₄
⇒ 2x₁ - x₄ = 0                ...(2)
ஹைட்ரஜன் அணுக்களால் கிடைப்பது, 
6x₁ = 2x₃
⇒6x₁ - 2x₃ = 0
⇒ 3x₁ - x₃ = 0                ...(3)
மேலும், ஆக்ஸிஜன் அணுக்களால் கிடைப்பது, 
2x₂ = 1x₃ + 2x₄
⇒ 2x₂ - x₃ - 2x₄ = 0       ...(3)
4 மாறிகளில் அமைந்த நேரியில் சமபடித்தான தொகுப்பு சமன்பாடுகள் (2), (3) மற்றும் (4)
∴ விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி
[A|B] \(\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறை மூலம் கிடைப்பது,
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } - 3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} { -1 } \\ 3 \\ -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} { -1 } \\ { -2 } \\ { 3 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A) = ρ([A | B]) = 3 < 4, மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
∴ தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரு சாராமாறிக் குடும்ப தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும், ஆகையால் x₄ = t என்க.
ஏறுபடிவத்திலிருந்து சமன்பாடுகளை எழுத கிடைப்பது 
2x₁ - x₄ = 0
⇒ 2x₁ - x₄ = 0
⇒ 2x₁ = x₄
⇒ 2x - t
⇒ x₁ = \(\frac{t}{2}\)
4x₂ - 7x₄ = 0
⇒, 4x₂ = 7t ⇒ x₂=\(\frac{7t}{4}\)
-2x₃ + 3x₄ = 0 ⇒ 2x₃ = 3x₄
⇒x₃ = \(\frac{3t}{2}\)
x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ மிகை முழுக்கள், ஆதலால், t = 4 என தேர்ந்தெடுக்க
∴ x₁=\(\frac{4}{2}=2\) 

x₄=t=4
ஆகையால் சமநிலைப்படுத்தப்பட்ட சமன்பாடு 
2C₂H₆ + 7O₂ ⟶ 6H₂O + 4CO₂

அணிவடிவம் \(=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & \lambda \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}\right ]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]\)
விரிவு படுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மற்ற கிடைப்பது,
\([A|0]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & \lambda \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & \lambda \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 } }{ \underset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & \lambda \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & \lambda -8 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]\)
நிலை (i) λ≠8 எனில் 

இங்கு ρ(A) = 3, ρ([A | B]) = 3
\(\therefore\) ρ(A) = ρ([A | B]) = 3 = n மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
\(\therefore\) கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும்.
தீர்வு x = 0, y = 0, z = 0
நிலை (ii) λ = 8 எனில் 
\([A|0]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A) = 2, ρ([A | B]=2
\(\therefore\) ρ(A) = ρ([A|0]) = 2 < 3, மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை,
\(\therefore\) தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் வெளிப்படையற்ற தீர்வுகளை உடையது.

மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B
இங்கு A = \(\left[ \begin{matrix} 4 & -2 & 6 \\ 1 & 1 & -3 \\ 15 & -3 & 9 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 8 \\ -1 \\ 21 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
[A|B] =\(\left[ \begin{matrix} 4 & -2 & 6 \\ 1 & 1 & -3 \\ 15 & -3 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 8 \\ -1 \\ 21 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -3 \\ 4 & -2 & 6 \\ 15 & -3 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} -1 \\ 8 \\ 21 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-4{ R }_{ 1 },\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-15{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & -6 & 18 \\ 0 & -18 & 54 \end{matrix}|\begin{matrix} -1 \\ 12 \\ 36 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div (-6),\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-18) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & - \\ 0 & 1 & -3 \end{matrix}|\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
எனவே \(\rho \)(A) = \(\rho \)([A|B]) = 2 < 3
ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது
x + y - 3z = -1, y - 3z = -2, 0 = 0
இதில் கடைசி சமன்பாடு 0 = 0 வெளிப்படையானது மற்றும் பொருத்தமுடையது.
மேலும் வெளிப்படையற்ற சமன்பாடுகள் இரண்டு உள்ளன. மூன்று தொகுப்பில் மாறிகள் உள்ளன. எனவே மாறிகளில் ஒன்றை நமது விருப்பப்படி நிலை நிறுத்தி மற்ற இரு மாறிகளுக்கான இரு சமன்பாடுகளைப் பெறலாம். எனவே z-ஐ t என்ற மெய்யெண் பெறும் தன்னிச்சை மாறியாகக் கொள்வோம். எனவே நாம் பெறுவது y = 3t - 2, x = -1-(3t - 2) + 3t = 1. எனவே தீர்வானது (x = 1, y = 3t - 2, z = t) ஆகும். இங்கு t என்பது தன்னிச்சை மெய்யெண் ஆகும். மேல் உள்ள தீர்வுக் கணமானது ஒரு சாராமாறி குடும்பத் தீர்வுகள் ஆகும். எனவே கொடுத்துள்ள தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் பெற்றிருக்கும். இந்த எண்ணற்ற தீர்வுகள் ஒரு குடும்பத் தீர்வுகளாகும்.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடிவ வடிவத்திற்கு உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது,
\(\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 9 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 25 \\ 13 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \\ 4 & 3 & 6 \\ 2 & 9 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 13 \\ 25 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-4{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \\ 0 & -17 & -22 \\ 0 & -1 & -13 \end{matrix}|\begin{matrix} 13 \\ -27 \\ -25 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+ (-1)\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+ (-1) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \\ 0 & 17 & 22 \\ 0 & 1 & 13 \end{matrix}|\begin{matrix} 13 \\ 27 \\ 25 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow 17{ R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \\ 0 & 17 & 22 \\ 0 & 0 & 199 \end{matrix}|\begin{matrix} 13 \\ 27 \\ 398 \end{matrix} \right] \)
ஏறுபடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது
x + 5y + 7z = 13,   ....(1)
17y + 22z = 27,   .....(2)
199z = 398   ......(3)
(3)-லிருந்து நாம் பெறுவது z = \(\frac { 398 }{ 199 } \) = 2
z = 2 என (2) -ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது y = \(\frac { 27-22\times 2 }{ 17 } =\frac { -17 }{ 17 } \) = -1
z = 2 மற்றும் y = −1 என (1)-ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது x = 13 - 5 x (-1) -7 x 2 = 4
எனவே தீர்வானது (x = 4, y = -1, z = 2)

ஒரு ஆடவர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு x நாட்கள் மற்றும் மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு y நாட்கள் ஆகும்.
∴ கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, 
\(\frac { 4 }{ x } +\frac { 4 }{ y } =\frac { 1 }{ 3 } \) மற்றும் \(\frac { 2 }{ x } +\frac { 5 }{ y } =\frac { 1 }{ 4 } \)
\(\frac { 1 }{ x } =s\) மற்றும் \(\frac { 1 }{ y } =t\) என பிரதியிடு 
\(\therefore 4s+4t=\frac { 1 }{ 3 } \) மற்றும் \(2s+5t=\frac { 1 }{ 4 } \)
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 4 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} s \\ t \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } \\ \frac { 2 }{ 4 } \end{matrix} \right] \Rightarrow AX=B\)
\(A=\left[ \begin{matrix} 4 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \) மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } \\ \frac { 2 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)
X=A^-1 B 
இங்கு \(|A|=\left| \begin{matrix} 4 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| =20-8=12\neq 0\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} 5 & -4 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} 5 & -4 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} \frac { 5 }{ 3 } -1 \\ \frac { -2 }{ 3 } +1 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 12 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 12 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 18 } \\ \frac { 1 }{ 36 } \end{matrix} \right] \)
\(\therefore s=\frac { 1 }{ 18 } \Rightarrow \frac { 1 }{ x } =\frac { 1 }{ 18 } \Rightarrow x=18\)
\(t=\frac { 1 }{ 36 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ 36 } \Rightarrow y=36\)
ஆகையால் ஓர் ஆடவர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு 18 நாட்கள் மற்றும் ஒரு மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு 36 நாட்கள் ஆகும்.

AB = \(\left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -4+4+8 & 4-8+4 & -4-8+12 \\ -7+1+6 & 7-2+3 & -7-2+9 \\ 5-3-2 & -5+6-1 & 5+6-3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix} \right] \)= 8I₃

மற்றும் BA = \( \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -4+7+5 & 4-1-3 & 4-3-1 \\ -4+14-10 & 4-2+6 & 4-6+2 \\ -8-7+15 & 8+1-9 & 8+3-3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix} \right] \)= 8I₃
எனவே நாம் பெறுவது AB = BA = 8I₃ அதாவது \(\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) B = B\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) \) = I₃ எனவே, B^-1 = \(\frac { 1 }{ 8 } \)A.
கொடுத்துள்ள நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை அணி வடிவில் எழுதக் கிடைப்பது.
\(\\ \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] \) அதாவது, B = \(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே, \(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ={ B }^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) \left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} -16+36+4 \\ -28+9+3 \\ 20-27-1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} 24 \\ -16 \\ -8 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
எனவே தீர்வானது (x = 3, y = -2, z = -1)

கொடுக்கப்பட்ட \(A=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=0-1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| +1\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\)
= -1( 0-1) +1(1-0) =1+1 = 2
\(adjA{ =\left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} \left( 0-1 \right) \\ -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 1-0 \right) \end{matrix}\begin{matrix} -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 0-1 \right) \\ -\left( 0-1 \right) \end{matrix}\begin{matrix} +\left( { 1-0 } \right) \\ -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 0-1 \right) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] ....(1)\)
இங்கு \( { A }^{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +0 \\ +1 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +1 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} +0 \\ +0 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +1 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +0 \\ +1 \end{matrix}\begin{matrix} +0 \\ +0 \\ +0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ 2 }-3I=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] -3\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ -0 \\ -0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -0 \\ -3 \\ -0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} -0 \\ -0 \\ -3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { A }^{ 2 }-3I \right] \)